精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024~2025年学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 2. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. C. D. 4. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第项 10. 已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在平面内 C. D. 直线与所成角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 13. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到“椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积”.已知椭圆的面积为，过焦点且与轴垂直的弦长为，则椭圆的离心率为__________. 14. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值（结果用数字表示）； （2）求（结果用数字表示）. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点. （1）求动点的轨迹方程； （2）设（1）中动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于不同的两点、. （i）求的取值范围； （ii）求面积的最大值及此时的值（为坐标原点）. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，二面角的余弦值为. （1）证明：平面平面； （2）求线段的长； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. （1）求抛物线和双曲线的标准方程； （2）动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； （3）设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025年学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法法则可得结果. 【详解】. 故选：B. 2. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 3. 已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为为该抛物线上一点，由抛物线的定义可得. 故选：A. 4. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定三组书的数量，结合组合计数原理以及部分平均分组思想可求得结果. 【详解】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 5. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线的准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，应选答案C． 6. 已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 7. 6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，运用排列与组合分别求出总基本事件数与符合条件的事件数，再利用古典概型的概率公式求解． 【详解】6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，总排列数为：； 若后排同学都比前排的高，可以将6人两两分组，每组中矮的站前排、高的站后排： 6人两两分组方法为：， 每组中矮的站前排、高的站后排只有1种排法， 符合条件的排列数为； 对应概率，故C正确． 故选：C． 8. 若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第项 【答案】BD 【解析】 【分析】利用展开式项数与指数的关系可判断A选项；利用展开式二项式系数和可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共有项，A错； 对于B选项，展开式的各二项式系数的和为，B对； 对于C选项，展开式通项为， 所以展开式中的系数为，C错； 对于D选项，展开式中二项式系数最大的项是第项，D对. 故选：BD. 10. 已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的几何性质可判断A选项；利用圆的几何性质以及椭圆焦半径的最值可判断BC选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A选项，因为，故点在圆内， 又因为，且圆的半径为， 故，当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当、为椭圆的右顶点时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当、分别为椭圆的右、左顶点时，等号成立，C对； 对于D选项，取椭圆的左焦点，则， 所以 ， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，D对. 故选：ACD. 11. 平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在平面内 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平方可判断A；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；求出，利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由直线与平面平行得出直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用垂直向量数量积为0构造方程求解． 【详解】，是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量， ， ，解得． 故答案为：2． 13. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到“椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积”.已知椭圆的面积为，过焦点且与轴垂直的弦长为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】将代入椭圆方程得，可得，解得， 所以过焦点且与轴垂直的弦长为①， 该椭圆的面积为②， 联立①②可得，，故， 因此该椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种． 【答案】96 【解析】 【分析】计数综合问题，可先对b，b，，进行排列，然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题，最后减去两个“b”相邻的情况即为所求 【详解】根据题意，分情况进行分析： ①先排列b，b，，，若，不相邻，则有（种）排法，若，相邻，则有（种）排法．所以b，b，，的排法有（种），排好后有5个空位． ②从所形成的5个空中选3个插入a，共有（种）方法，若b，b相邻，从所形成的4个空中选3个插入a，共有（种）方法， 故三个“a”两两步相邻，且两个“b”也不相邻的排法共有（种）． 故答案为：96 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值（结果用数字表示）； （2）求（结果用数字表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可得，可得出，设，利用赋值法可求得的值； （2）利用二项展开式通项可求得的值. 【小问1详解】 令，可得，则， 所以， 令，则， 因为①， ②， ①②可得，故. 【小问2详解】 的展开式通项为， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件及四棱锥的几何性质，求出相应的边长，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算求解． 【小问1详解】 平面，，平面， 互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，为棱的中点， ， ， ， ． 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， ，令，则， ， 点到平面的距离． 17. 已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点. （1）求动点的轨迹方程； （2）设（1）中动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于不同的两点、. （i）求的取值范围； （ii）求面积的最大值及此时的值（为坐标原点）. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）连接，可得出，则点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出该椭圆的方程，即为点的轨迹方程； （2）（i）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可求得实数的取值范围； （ii）设点、，列出韦达定理，求出以及点到直线的距离，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件可求出的值. 【小问1详解】 连接，如下图所示： 圆的半径为，由中垂线的几何性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆， 设该椭圆的标准方程为，则，可得， 又因为，则， 因此点的轨迹方程为； 【小问2详解】 （i）将直线的方程与椭圆方程联立， 可得， 由题意可得， 解得， 因此，实数的取值范围是； （ii）设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得 ， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故面积的最大值为. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，二面角的余弦值为. （1）证明：平面平面； （2）求线段的长； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面. 而平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证平面，利用面面垂直的判定定理得证. （2）设，建立空间直角坐标系，表示二面角的余弦值，解出，从而解得的长. （3）用空间向量求线面成角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，和所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示. 因为，则，.设， 所以，则得，所以， ，设平面法向量， 则有， 令，则得，，即. 由题意，可取平面的法向量，由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以，则. 【小问3详解】 因为，，，所以，则， 所以.由（2）得平面法向量， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. （1）求抛物线和双曲线的标准方程； （2）动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； （3）设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）抛物线，双曲线 （2） 设点，则，线段的中点为，， 故以线段为直径的圆的方程为， 假设存在满足题设条件的直线，使得直线被圆截得的弦长为定值， 圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为 对任意的为定值， 所以，解得，此时. （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出抛物线的标准方程，求出焦点的坐标，设双曲线的标准方程为，利用双曲线的定义求出的值，结合的值，可得出的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设点，设直线的方程为，求出圆的方程，可求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出直线被圆截得的弦长，根据弦长为定值可求出的值，即可证得结论成立； （3）设点，其中，，取，求得，先猜想出，根据，，结合二倍角的正切公式验证成立即可. 【小问1详解】 根据题意，设抛物线的标准方程为，则，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得，即， 又因为，故， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点，其中，， 因为双曲线的标准方程为，易知点、， 当轴时，点的横坐标为， 将代入双曲线的方程得可得，此时点， 此时，，则，为等腰直角三角形， 此时，，则， 假设存在实数，且，使得， 当且时，，， 因为 ， 综上所述，存在实数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $