专题01 数与式的计算与化简求值（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题01 数与式的计算与化简求值 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；常考： 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 4）实数的混合运算通常还会涉及到特殊角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 3．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 5．（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 解｜题｜技｜巧 1.牢记以下内容： 以-1为底数的幂：； 负指数幂： 常用算术平方根： 2.要正确使用运算律，简化运算，减少计算错误。 考点二：整式的混合运算 易｜混｜易｜错 1）幂的运算常用易混淆公式：；；； 2）单项式单项式法则：简单记：系数乘系数，字母乘字母 单项式多项式法则： 多项式多项式法则： 3）乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式： ★注意：公式中的可以代单独一个数或字母，也可以表示多项式，分式等可以运算的对象。 1．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键． 先用完全平方公式和多项式除以单项式计算，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（2025·江苏·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式及多项式乘以多项式，熟练掌握平方差公式及多项式乘以多项式是解题的关键；先利用平方差公式计算，再利用多项式乘法法则计算，最后去括号，合并同类项． 【详解】解： ． 5．（2025·山西·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 解｜题｜技｜巧 乘法公式中的不仅仅可以表示数，也可以表示字母，或者多项式，灵活使用乘法公式，可以简化计算，提高运算正确率。 考点三：分式的混合运算 易｜混｜易｜错 1）同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用符号表示为： 2）异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用符号表示为： ★注意：分式的运算最易错最难的地方的就是分式的通分。 3）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用符号表示为： 4）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 用符号表示为： 1．（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（2025·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 3．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 4．（2025·甘肃·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 解｜题｜技｜巧 分式的运算与分数的运算类似，可以模仿分数的运算进行分式的运算； 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 1）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解。 2）因式分解的基本方法： ▋提取公因式法： ▋运用公式法： 常用公式：平方差公式：.完全平方公式： 3）因式分解的一般步骤： 一，提取公因式；二运用公式；三检查分解因式是否彻底。 ★注意：因式分解问题一定要检查分解是否彻底，尤其是解答题中涉及到的因式分解问题。 1．（2025·黑龙江·一模）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解等知识，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，问题得解． 【详解】解：原式． 2．（2025·江苏无锡·二模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解等知识，解题的关键是：先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·黑龙江·一模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提公因式，再用平方差公式分解即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ； 5．（2025·山西晋城·三模）分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 解｜题｜技｜巧 因式分解的考查通常放在填空题中，解答题考因式分解的情况不多，一定要检查分解的结果是否彻底。 考点五：新定义计算问题 易｜混｜易｜错 1）新定义计算问题主要涉及到和利用到实数的运算和整式的运算、分式的运算的运算法则和方法，所以，一定要熟练掌握它们的运算法则和运算顺序，以及运算律。 2）重点理解题目中所给出的新定义运算的规则，通常题目除了给出新运算规则外，还会给出1-2个具体例子，一定要仔细研究弄懂所给出的例子，然后模仿例子去解题。 3）注意新定义运算等号后的运算都是我们课本上学习的常规运算。 1．（2025·河北·一模）对于任意有理数和，定义◐，例如2◐． (1)求◐3的值； (2)若◐，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义有理数的运算和一元一次不等式的求解： （1）根据新定义的计算法则，令即可计算； （2）根据新定义的计算法则，令，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，◐； （2）解：由题意可得，◐， 解得． 2．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 【答案】(1)148； (2)274． 【分析】本题考查了实数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出，分别讨论求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：； （2）解： a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 3．（2025·陕西榆林·三模）对于实数，定义一种运算“”：．解不等式组，并求其所有整数解的和． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据新定义可得，求出不等式组的解集，进而确定其整数解即可得到答案． 【详解】解：根据定义的新运算得，原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为0，1， ∴原不等式组所有整数解的和为 4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 【答案】(1)884 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入到中，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解： （2）证明：∵， ， 始终能被4整除， 始终能被4整除． 5．（2025·江西·模拟预测）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． (1)当时，求得到的新实数； (2)现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查新定义，一元二次方程的求解，理解新定义的运算法则，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）根据新定义，代入求值即可； （2）根据题意得到一元二次方程，因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数， ∴当时，原式； （2）解：根据题意，将实数对放入其中得到， ∴， 整理得，， 解得，． 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题，要充分利用题目中所给的例子，实在不会的情况下，可以模仿题目中所给的例子去解题，把题目给的例子中的数或者式子换成自己要求的数或者式子即可。 考点六：判断并改正计算过程中的错误 易｜混｜易｜错 1）错误类型1：运算法则记忆和使用有误，尤其是符号问题； 2）错误类型2：运算顺序有误； 3）错误类型3：错误使用运算律，尤其是乘法分配律的使用； 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 【答案】①二；②，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识，解题的关键是： ①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； ②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ②解：原式 ， ∵， ∴，， ∴取，则原式． 2．（2025·河南驻马店·三模）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 【答案】一； ； ． 【分析】本题考查了整式化简求值，掌握整式相关的运算法则是解题的关键． 观察解答过程可得答案； 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并同类项即可； 把的值代入计算可得答案． 【详解】观察解答过程可知，亮亮从第一步步开始出现错误， 故答案为：一； 解：原式 ， 故答案为：； 当时， 原式 ． 3．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)一； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． 根据平方差公式可知，所以第一步中除式的分母分解因式错误； 根据分式的运算法则计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知只能选，把代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 第一步中除式的分母分解因式错误， 小红同学的化简过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 4．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答； （2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式 ， 当时，原式． 解｜题｜技｜巧 找错改错问题，常见错误就三种，运算法则错误；运算顺序错误；运算律使用错误。 考点七：整式的化简求值 易｜混｜易｜错 1）重视两个乘法公式和整式的乘法法则： 平方差公式：；完全平方公式： 2）整式的化简后求值方法通常有两种： ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 1．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查代数式化简求值.用整式乘法和乘法公式将代数式展开，然后合并同类项，得出化简结果，最后将代入求值即可. 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查多项式混合运算，代数式求值，熟练掌握多项式运算法则与乘法公式是解题的关键． 先根据多项式除以单项式法则和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简，然后把字母值代入计算即可． 【详解】解： 当，时： 原式 4．（2025·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并同类项得最简结果，再把代入计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 原式． 35．（2025·北京石景山·二模）已知，求代数式的值． 【答案】；6 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先利用完全平方公式化简所求代数式，再根据化简结果将已知等式进行变形得出，然后作为整体代入求值即可得． 【详解】.解： ∵， ∴． ∴原式． 解｜题｜技｜巧 整式的化简求值问题，化简后求值方法通常为：直接代入法和整体代入法，通常考查整体代入法的较多，有时候代入前还需要适当的变形才能代入。 考点八：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 1）分式的化简通常涉及到因式分解和通分，其中通分是最难的一步，也是错误最多的一步，通分时必然会用到下面的公式：一定要牢记 平方差公式：. 完全平方公式： 2）分式的化简后求值方法通常有两种：（这一步与整式的化简求值类似） ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 1．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入化简，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2． 【分析】本题考查分式的化简求值，幂的乘方逆运算法则，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，利用幂的乘方逆运算法则求出，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解：， ， ； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 将，代入上式得：原式． 3．（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 4．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，再由，得，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值问题，重点考查两个方面，其一是分式的混合运算；其二是求代数式的值；求值一般考查和使用整体代入的题目较多，所以要灵活处理题目中所给的条件。 1．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，解题的关键是分别掌握各知识点的运算法则，准确进行化简和计算． 先化简绝对值，因为，所以；再计算特殊角的三角函数值，；接着计算负整数指数幂，；最后将各部分结果代入原式进行加减运算． 【详解】解： ． 2．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 1．（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】任务一：①B；②四；任务二：过程见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 任务一：①根据分解因式的定义求解；②根据去括号法则进行判断； 任务二：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：任务一： ①第一步将原式这一项变形为，属于分子分母因式分解； 故选：B； ②第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四； 任务二： 原式 = = = = ， 且且， 可以取2， 当时，原式， 2．（2025·山东·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题01 数与式的计算与化简求值 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；常考： 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 4）实数的混合运算通常还会涉及到特殊角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 2．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 5．（2025·四川广元·中考真题）计算：． 解｜题｜技｜巧 1.牢记以下内容： 以-1为底数的幂：； 负指数幂： 常用算术平方根： 2.要正确使用运算律，简化运算，减少计算错误。 考点二：整式的混合运算 易｜混｜易｜错 1）幂的运算常用易混淆公式：；；； 2）单项式单项式法则：简单记：系数乘系数，字母乘字母 单项式多项式法则： 多项式多项式法则： 3）乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式： ★注意：公式中的可以代单独一个数或字母，也可以表示多项式，分式等可以运算的对象。 1．（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）化简：． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 4．（2025·江苏·一模）化简：． 5．（2025·山西·一模）化简：． 解｜题｜技｜巧 乘法公式中的不仅仅可以表示数，也可以表示字母，或者多项式，灵活使用乘法公式，可以简化计算，提高运算正确率。 考点三：分式的混合运算 易｜混｜易｜错 1）同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用符号表示为： 2）异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用符号表示为： ★注意：分式的运算最易错最难的地方的就是分式的通分。 3）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用符号表示为： 4）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 用符号表示为： 1．（2025·四川·中考真题）化简：． 2．（2025·陕西·中考真题）化简：． 3．（2025·江西·中考真题）化简： 4．（2025·甘肃·中考真题）化简：． 5．（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 解｜题｜技｜巧 分式的运算与分数的运算类似，可以模仿分数的运算进行分式的运算； 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 1）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解。 2）因式分解的基本方法： ▋提取公因式法： ▋运用公式法： 常用公式：平方差公式：.完全平方公式： 3）因式分解的一般步骤： 一，提取公因式；二运用公式；三检查分解因式是否彻底。 ★注意：因式分解问题一定要检查分解是否彻底，尤其是解答题中涉及到的因式分解问题。 1．（2025·黑龙江·一模）因式分解：． 2．（2025·江苏无锡·二模）分解因式：． 3．（2025·黑龙江·一模）分解因式：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）因式分解：． 5．（2025·山西晋城·三模）分解因式：． 解｜题｜技｜巧 因式分解的考查通常放在填空题中，解答题考因式分解的情况不多，一定要检查分解的结果是否彻底。 考点五：新定义计算问题 易｜混｜易｜错 1）新定义计算问题主要涉及到和利用到实数的运算和整式的运算、分式的运算的运算法则和方法，所以，一定要熟练掌握它们的运算法则和运算顺序，以及运算律。 2）重点理解题目中所给出的新定义运算的规则，通常题目除了给出新运算规则外，还会给出1-2个具体例子，一定要仔细研究弄懂所给出的例子，然后模仿例子去解题。 3）注意新定义运算等号后的运算都是我们课本上学习的常规运算。 1．（2025·河北·一模）对于任意有理数和，定义◐，例如2◐． (1)求◐3的值； (2)若◐，求x的取值范围． 2．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 3．（2025·陕西榆林·三模）对于实数，定义一种运算“”：．解不等式组，并求其所有整数解的和． 4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 5．（2025·江西·模拟预测）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． (1)当时，求得到的新实数； (2)现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题，要充分利用题目中所给的例子，实在不会的情况下，可以模仿题目中所给的例子去解题，把题目给的例子中的数或者式子换成自己要求的数或者式子即可。 考点六：判断并改正计算过程中的错误 易｜混｜易｜错 1）错误类型1：运算法则记忆和使用有误，尤其是符号问题； 2）错误类型2：运算顺序有误； 3）错误类型3：错误使用运算律，尤其是乘法分配律的使用； 1．（2025·贵州遵义·模拟预测） 下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 2．（2025·河南驻马店·三模）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 3．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 4．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 解｜题｜技｜巧 找错改错问题，常见错误就三种，运算法则错误；运算顺序错误；运算律使用错误。 考点七：整式的化简求值 易｜混｜易｜错 1）重视两个乘法公式和整式的乘法法则： 平方差公式：；完全平方公式： 2）整式的化简后求值方法通常有两种： ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 1．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 4．（2025·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 5．（2025·北京石景山·二模）已知，求代数式的值． 解｜题｜技｜巧 整式的化简求值问题，化简后求值方法通常为：直接代入法和整体代入法，通常考查整体代入法的较多，有时候代入前还需要适当的变形才能代入。 考点八：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 1）分式的化简通常涉及到因式分解和通分，其中通分是最难的一步，也是错误最多的一步，通分时必然会用到下面的公式：一定要牢记 平方差公式：. 完全平方公式： 2）分式的化简后求值方法通常有两种：（这一步与整式的化简求值类似） ▋直接代入法：将题目中所给字母的值代入化简后的式子，计算出结果； ▋整体代入法：如果题目中没有给出字母的值，而是给出的一个式子，通常采用整体代入法计算。 1．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中．、 2．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中满足． 3．（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 4．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值问题，重点考查两个方面，其一是分式的混合运算；其二是求代数式的值；求值一般考查和使用整体代入的题目较多，所以要灵活处理题目中所给的条件。 1．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 2．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 3．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 5．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1．（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 2．（2025·山东·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $