重难点02 规律探究问题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“规律探究型问题”核心考点，涵盖数与式、图形、坐标三大类中考高频题型，以“重难点梳理-题型突破-典例精析-变式训练”架构知识体系，通过深挖重难固根基、分层锤炼验成效的教学流程，帮助学生系统掌握规律探究方法，提升抽象能力与几何直观素养。 亮点在于创新“三步法”解题策略，如数与式规律从简单项入手提炼变量关系，图形规律转化为数字序列分析，坐标规律分层剖析横纵变化，配合2025年各地模拟真题训练，培养学生数学思维与表达能力。分层设计基础与提升练习，教师可精准把控复习节奏，助力学生高效突破中考难点。

第一章 数与式 重难点02 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 数与式的规律探究问题 1. 数与式的规律探究问题一般有：按一定周期循环类型；等差数列变化类型；等比数列变化类型； 2. 规律探究问题的解决策略： （1）从简单的情况入手∶计算出前四-五项结果，最好保留计算过程，因为规律往往隐藏在过程之中。 （2）关注问题中的不变量和变量∶ 在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量； （3）用代数式写出规律： 先写出每项中都有的相同部分，包含具体的数、式子、运算符号，再仔细观察变化的量与序号（一般为n或k）之间的关系，用式子表示出这种关系，通常为和差、或倍数关系，这样我们找到这个关系就找到了规律所在。 3.常用数列求和公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 题型01实数规律探究问题 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【变式】 1．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 2．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 题型02单项式规律探究问题 / 【典例】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·青海西宁·二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 2．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型03 多项式规律探究问题 / 【典例】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南楚雄·三模）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 题型04 分式规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【变式】 1．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 2．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 题型05 等式规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【变式】 1．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 2．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 题型06 跨学科类规律探究问题 / 【典例】（2025·湖南·模拟预测）在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ． 【变式】 1．（2025·福建南平·三模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子的数目为2n（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 重难点二 图形类规律探究 1. 图形类规律探究问题是题目给出连续变化的几何图形（如三角形、正方形、多边形叠加 / 拆分），探究图形个数、边长、周长、面积等规律； 2. 图形类规律探究问题解决策略：将图形类规律转化为代数式类规律探究 三步法：数特殊图形的 “量”（个数 / 长度 / 面积）→ 转化为数字序列 → 按数字规律推导 具体技巧： - 叠加类：图形 = 基础图形 + 增量（如第个图形比第个多个小图形） - 拆分类：将复杂图形拆分为基础图形（如三角形数 ） - 面积类：先算前 个图形面积，找 “差的规律”（如每次增加 2π） 题型01 基础图形个数规律探究 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 2．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 题型02 分形类规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【变式】 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 2．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 题型03 面积类规律探究问题 / 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【变式】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 2．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 题型04 周长类规律探究问题 / 【典例】（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ． 【变式】 1．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 2．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 重难点三 坐标类规律探究 1. 给出平面直角坐标系中运动的点（如直线、折线、圆上运动），探究点的坐标的变化规律； 2. 坐标类规律探究问题解决策略： 三步法：列出前 3-4 个点的坐标 → 分别分析 的规律（或 与的函数关系）→ 验证轨迹合理性 具体技巧： 直线运动：均为等差规律（如 ） 周期运动：找坐标循环节（如，4 个一循环） 函数关联：若点在函数图像上，直接代入函数表达式推导. 题型01 运动点的坐标规律 / 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标 ． 题型02 图形变换坐标规律 / 【典例】（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是 （写出一个满足题意的点即可） 2．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．如图所示，现将点向右平移一个单位长度得到对应点，点向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，并将之记为第一次变换；再将向右平移一个单位长度得到对应点，向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，记为第二次变换，此时与点重合；按这样的方式继续平移3次，则有与是该变换下的第二次重合，…，当点与点是这样的变换中的第25次重合时，则 ，点的坐标为 ． 题型03 与函数相结合坐标规律探究 / 【典例】（2025·山东烟台·一模）小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是 ． 【变式】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 2．（2025·河北邯郸·三模）两个反比例函数在第一象限内的图像如图所示，点在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，……，共2025个连续奇数，过点分别作轴的平行线，与的图像的交点依次是，则的长为 ． 1．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 3．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒． 5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 6．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 7．（2025·山西临汾·三模）蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”．如图，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形……按此规律，第n个图中小正六边形的个数是 （用含n的代数式表示）． 8．（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有9个正方形，第3个图案中有13个正方形……按此规律排列下去，则第11个图案中正方形的个数为 个． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为 ． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 2．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______； 【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 3．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 4．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点02 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 数与式的规律探究问题 1. 数与式的规律探究问题一般有：按一定周期循环类型；等差数列变化类型；等比数列变化类型； 2. 规律探究问题的解决策略： （1）从简单的情况入手∶计算出前四-五项结果，最好保留计算过程，因为规律往往隐藏在过程之中。 （2）关注问题中的不变量和变量∶ 在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量； （3）用代数式写出规律： 先写出每项中都有的相同部分，包含具体的数、式子、运算符号，再仔细观察变化的量与序号（一般为n或k）之间的关系，用式子表示出这种关系，通常为和差、或倍数关系，这样我们找到这个关系就找到了规律所在。 3.常用数列求和公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 题型01实数规律探究问题 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 【变式】 1．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 2．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)3016；5625 (2)①详见解析；②99 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据上述的运算规律计算，即可求解； （2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到，然后计算出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴另一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴这两个两位数分别为，， 根据题意得：这个运算规律为， 证明：左边 右边， ∴左边右边； ②由①得：， ∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘， ∴新的两个两位数分别为，， ∴ ， ∴ ， ， ∵a，b为正整数， ∴为整数， ∴能被99整除， ∴这个两位数的最大值为． 题型02单项式规律探究问题 / 【典例】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数规律为从3开始的连续的奇数，指数为从1开始连续的整数，进行求解即可． 【详解】解：单项式系数为3，5，7，9，11…，规律为；次数为1，2，3，4，5…，规律为n，故第n个单项式是． 故选D． 【变式】 1．（2025·青海西宁·二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 【答案】 【分析】本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是，而指数是从开始的奇数；分母是底数从开始的自然数的平方． 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 2．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 题型03 多项式规律探究问题 / 【典例】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【变式】 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 2．（2025·云南楚雄·三模）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，根据题目所给多项式，总结出第个多项式中各项的系数与次数，即可解答，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个多项式是， 故选：． 题型04 分式规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：； 证明如下： 等式左边 ， 等式右边， 等式左边=等式右边， 猜想成立． 【变式】 1．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 2．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案． （3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是： 故答案为：． （2）猜想第 n个等式是． 故答案为：． （3）证明：等式左边 左边=右边， ∴等式成立． 题型05 等式规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】（）根据已知等式写出式子即可； （）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证； 本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知等式可得，， 故答案为：，； （2）解：． 证明：∵ ， ∴， 故答案为：，． 【变式】 1．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 2．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 题型06 跨学科类规律探究问题 / 【典例】（2025·湖南·模拟预测）在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ． 【答案】20 【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点． 根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“”的个数． 【详解】解：由图可得， 甲烷分子结构式中“”的个数是； 乙烷分子结构式中“”的个数是； 丙烷分子结构式中“”的个数是； ， 可以总结出规律：对于n烷（n为天干顺序数），其分子中 “H” 的个数为． ∵“壬” 是十天干中的第9个，即． ∴壬烷分子结构式中“”的个数是：； 故答案为：20． 【变式】 1．（2025·福建南平·三模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子的数目为2n（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，通过观察甲醚、乙醚、丙醚的化学式，发现醚类由两个相同的烷氧基组成．总碳原子数为时，每个烷氧基含个碳原子，对应的氢原子数为．由此可归纳出醚类化学式的通式． 【详解】解：观察甲醚、乙醚、丙醚的化学式，发现醚类由两个相同的烷氧基组成．总碳原子数为时，每个烷氧基含个碳原子，对应的氢原子数为， ∴醚类的化学式可以表示为； 故选B． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 重难点二 图形类规律探究 1. 图形类规律探究问题是题目给出连续变化的几何图形（如三角形、正方形、多边形叠加 / 拆分），探究图形个数、边长、周长、面积等规律； 2. 图形类规律探究问题解决策略：将图形类规律转化为代数式类规律探究 三步法：数特殊图形的 “量”（个数 / 长度 / 面积）→ 转化为数字序列 → 按数字规律推导 具体技巧： - 叠加类：图形 = 基础图形 + 增量（如第个图形比第个多个小图形） - 拆分类：将复杂图形拆分为基础图形（如三角形数 ） - 面积类：先算前 个图形面积，找 “差的规律”（如每次增加 2π） 题型01 基础图形个数规律探究 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 2．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 题型02 分形类规律探究问题 / 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【详解】（1）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； （2）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， ∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 【变式】 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 2．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，第42个图形的边数正好是1980 【分析】本题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，找出规律是解题的关键． （1）根据前4个图形的边数即可得到规律求出第5个图形的边数； （2）得到规律：正边形“扩展”而来的多边形的边数为，然后再代入求值； （3）根据题意得到方程，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由图形可知，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为； 图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为； 图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的，边数为； …… ∴图⑤中的多边形是由正七边形“扩展”而来的边数为， 故答案为：； （2）解：观察发现，由正边形“扩展”而来的多边形的边数为， 即由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为， 故答案为：； （3）解：有，理由如下： 由题意得： 解得：或（舍） ∴多边形是由正44边形“扩展”而来的，由题规律可知，第42个图形的边数正好是1980． 题型03 面积类规律探究问题 / 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 2．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【答案】(1)30 (2) (3)图需要小正方形的个数为个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键． （1）观察前三个图，找到规律，即可求解； （2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解； （3）根据图形，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 题型04 周长类规律探究问题 / 【典例】（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律，三角形中位线的性质，根据题意可知，的周长的周长，的周长的周长，得出一般规律的周长，根据规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：为的中位线，，， ∴， ∴的周长的周长， 同理可得：的周长的周长， 的周长的周长， …… 则的周长， ∴的周长， 故答案：． 【变式】 1．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键． （1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答； （2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为， 这个海螺图形的周长为， ，且接近， ，且接近， ，且最接近的整数是13， 即最接近的整数是13． 2．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 重难点三 坐标类规律探究 1. 给出平面直角坐标系中运动的点（如直线、折线、圆上运动），探究点的坐标的变化规律； 2. 坐标类规律探究问题解决策略： 三步法：列出前 3-4 个点的坐标 → 分别分析 的规律（或 与的函数关系）→ 验证轨迹合理性 具体技巧： 直线运动：均为等差规律（如 ） 周期运动：找坐标循环节（如，4 个一循环） 函数关联：若点在函数图像上，直接代入函数表达式推导. 题型01 运动点的坐标规律 / 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点坐标规律探索，仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键． 根据题意得到每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为， ， ， 故选：D． 【变式】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，确定点的变化规律是解题关键．根据题意可得第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 由此发现，第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选：D． 2．（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标 ． 【答案】1013 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化，由此即可即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察动点的运动过程可得： 到，横坐标不变，都为1， 到，横坐标从1变为， 到，横坐标不变，都为， 到，横坐标从变为， 到，横坐标不变为， 观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化， ∵， ∴点的横坐标， 故答案为：． 题型02 图形变换坐标规律 / 【典例】（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称及规律探索．先求得点的坐标是，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征“关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，找到图形的变换规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，且，点为的中点，∴点的坐标是， 由题意可得，图形第一次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第二次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第三次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第四次关于轴对称后，点的对应点的坐标是，与原点重合， 由此可得，点的对应点的坐标随图形变换每4次一循环， ， 图形经过第2025次变换后，相当于第一次关于轴对称后的图形，此时点的对应点的坐标为， 故选：C． 【变式】 1．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是 （写出一个满足题意的点即可） 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，理解“归一变换”的定义是解题的关键． 根据“归一变换”的定义从满足条件的较大整数点出发，逐步按照规则进行变换，直至得到最终变换为的点．本题只需找出一个符合要求的点即可． 【详解】∵，， ∴选取点． 第一次：点 “归一变换点，得点． 第二次：点归一变换点得到． 第三次：点 “归一变换得到点． 第四次：点 “归一变换得到点． 第五次：点 “归一变换得到点． ∴经过数次“归一变换”后最终变换为为的是可以是 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．如图所示，现将点向右平移一个单位长度得到对应点，点向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，并将之记为第一次变换；再将向右平移一个单位长度得到对应点，向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，记为第二次变换，此时与点重合；按这样的方式继续平移3次，则有与是该变换下的第二次重合，…，当点与点是这样的变换中的第25次重合时，则 ，点的坐标为 ． 【答案】 74 【分析】本题考查坐标与图形，点的平移，点的规律探究，根据题意，与点重合，和重合，和重合进而得到第次重合时，，，进而求出点与点是这样的变换中的第25次重合时，的值，根据平移规律求出 ，过点作，根据等腰直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：与点重合，和重合，和重合， ∴点与点第次重合时，，， ∴当点与点是这样的变换中的第25次重合时， ， 此时：， 即：， ∴， ∵为正方形， ∴为等腰直角三角形， 过点作， 则：， ∴， ∴； 故答案为：74， 题型03 与函数相结合坐标规律探究 / 【典例】（2025·山东烟台·一模）小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，，……得出，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴ ∵， 当时，，即，即 ∵关于点中心对称的点为，即当时，， ∴， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 2．（2025·河北邯郸·三模）两个反比例函数在第一象限内的图像如图所示，点在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，……，共2025个连续奇数，过点分别作轴的平行线，与的图像的交点依次是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 先得到第2025个奇数为4049，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得的坐标为，由于平行y轴，所以的横坐标为，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定的纵坐标即可求解． 【详解】解：第2025个奇数为， 的坐标为， 平行y轴， 的横坐标为， 的纵坐标为 ， ， 故答案为． 1．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 2．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 3．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒． 【答案】 【分析】本题考查了图形类的规律变化问题，由已知图形可得第个图形用了根小棒，进而即可求解，由已知图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， ， ∴第个图形用了根小棒， 当时，， ∴第个图形要用根小棒， 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 6．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据图形总结出第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子和碳原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 7．（2025·山西临汾·三模）蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”．如图，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形……按此规律，第n个图中小正六边形的个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探索．根据题意找出规律，列出第n个图形中有个小正六边形． 【详解】第1个图中有4个小正六边形，； 第2个图中有7个小正六边形，； 第3个图中有10个小正六边形，； ……； 按此规律， 第n个图中小正六边形的个数是． 故答案为：． 8．（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律．通过递推公式计算前几项，观察数列是否呈现周期性，找到循环周期后，利用模运算定位目标项；将问题转化为二次函数的最小值问题，利用顶点公式求解． 【详解】解：根据递推公式计算前几项：， ， ， ， ， （周期开始重复） 由此可知，数列每5项为一个周期． 发现周期性：从开始，数列重复，，，，，周期为5． 余0，对应， 余1，对应 余2，对应， ∴， 转化为二次函数：，其最小值在顶点处取得．顶点横坐标为：， 代入得最小值：． 故选：D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有9个正方形，第3个图案中有13个正方形……按此规律排列下去，则第11个图案中正方形的个数为 个． 【答案】45 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第1个图案中有5个正方形，后一个图案比前一个图案多4个正方形，据此进行作答即可． 【详解】解：观察可知，第1个图案中有5个正方形，后一个图案比前一个图案多4个正方形， ∴第个图案中有个正方形， ∴第11个图案中正方形的个数为个． 故答案为：45． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了整式的规律、根据图形中的规律得到的第三项系数为成为解题的关键． 先根据图形中的规律得到的第三项系数为，然后令并代入计算即可． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； …… 的第三项系数为； 当时，有． 所以第三项系数为10． 故答案为：10． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______； 【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论． （1）如图构造正方形：A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （2）由以上几何图形的面积规律可猜测出； （3）提公因数即可转化为本题已经探究出的规律进行求解． 【详解】解：（1）如图， A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出， 故答案为：； （2）根据以上规律可知，为一个边长为的正方形面积， 故， 故答案为：；； （3）， 故答案为：288800． 3．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)；． 【分析】本题考查了新定义以及规律的探究，正确理解题意，发现数字间规律是解题的关键． （1）①根据表格中信息，得到第五次构造的数列，得到的值，与表格中的值，得到的结果； ②根据题意，得到，，，，推理出规律为即可； （2）根据数字的变化规律，得到的表达式；把的表达式代入到中，结合表格中给出的，得到的表达式． 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 4．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $