广东省清远市华侨中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

清远市华侨中学2025一2026学年度第一学期12月考试 高二数学试题 命题人：孙彦艳审核人：张海琼 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将答题卡上交 第I卷客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的、 1.已知向量a=(2,-1,1),b=(1,m,2),且(a-)1a,则m=（ ) A.-2 B.2 C.4 D.6 2.已知直线1：√3x+3y+8=0,则直线I的倾斜角为( A:30° B.60° C.120° D.150° 3.若公差为-3的等差数列{an}满足a,=3,an=-18,则n等于（) A.7 B.8 C.9 D.10 4.在等差数列{an}中，a+a,+a=1,则a2+ag=( A.5 B.6 C.10 D.15 瓦，循圆C名+a>b0的左、右焦点分别为点在C出 过点A作y轴垂线，垂足为B,直线BE的方程为y=-2x+2,则A=（ A.2 B.2W2 C.3 D.2W5 第对页共'4页)数学试题 6、已如双曲线号示±@>0，b>)的右供点尸与抛物铁)产=8x的焦点重合，范物线准 线与一条渐近线交于点4m,-25),则双曲线的方程为（) 124 &-=1c.-y=1 D.2-y=1 412 3 3 7、如图，所示，空间四边形0ABC中，OA=a,0远=6,0C=d,点M在04上，且OM=2OA, 点W为BC中点，则MN等于（) c.-2a+6+ 0 2a+26-1 3 32 2 32 第7题图 第8题图 8.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平 面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,)是阴影部分（包含边 界)的动点，则2的最小值为（ A.-1 B-4 3 2 D.、2 3 二、多选题：本题共3小题，每外题6分，.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.下列说法正确的是（) A.已知AB=(1,2,-1)xBC=(24,-3,则A8C三点共线. B.已知à=(01,4)，b=(V3,0,-1,则a在i上的投影向量为-6， C.已知三棱锥O-ABC,点P为平面ABC上的一点，且 O-号0i+n0丽+n0c(ame,则m+a=月 D.若直线l的方向向量为=(3,0，-1)，平面a的法向量为i=(-9,0,3),则111ax 露第2须（共4页）：数学试题 10、已知数列{a}的前5项为-1、1、-1、1、-1，则{a}的通项公式可能为() A.an=(-l”B.a, {2t-keN) 小12k C.an=cOS n】 D.a=sin 2 11.已知椭圆C:32+4y2=48的两个焦点分别为，F,P是C上任意一点，则() A、C的离心率为 B.P的最小值为3 C、△PFE的周长为12 D.PPF的最大值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上. 12、若向量a=(山，12)，石=(2，为y少，且a动6，则同= 13.已知P,2两点分别在圆C:x2+(y-12)2=9和圆C2:x2+y2-10x+21=0上，则Pg的 最小值为 14.设数列{a}的前n项和Sn=21-3n（neN),则an=一 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a中，4=1，=+3a (1)a2,a3 2)求证： 数列 是等差数列，并求数列{a}的通项公式 16.(15分)已知点A(5,4),B(-1-4),以AB为直径的圆记为圆C. (1)求圆C的方程； (2)若过点P(-2,3)作圆C的切线1与x轴交于点M,求直线l的方程及△PCM的面积. 第3页（共4页）数学斌题 17、(15分)已知M(4,0)、N(1,0),若动点P满足M.M派=P丽 (1)求动点P的轨迹C的方程； (②)若斜率为1的直线1与曲线C交于A,B两点，且4-号反，求直线！的方程。 18.(17分)四棱锥P-ABCD,PA⊥面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=1,BC=1,AD=2, M是PD中点 (1)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥4AD, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： ②在线段助上是香存在点&使得点D到平面PAQ的距离为万？若存在，求出器的值； 若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知抛物线C:y2=2x(p>0),其准线方程为x+1=0,直线1过点T化，0(t>0) 且与抛物线交于A,B两点，O为坐标原点。 (1)求抛物线C的方程； (2)当t=2时，求证：OA.OB的值与直线1的倾斜角的大小无关： (3)若P为抛物线上的动点，记|PTI的最小值为d(t),求函数y=d()的解析式 第4页（共4页）数学试题2025一2026学年度第一学期12月考试 高二数学试题答案 1.A2.D3.B4.C5.B【详解】直线5：y=-2x+2交x轴于，0,0)，交y轴于B0,2), 而A1x轴，AB⊥y轴，则|45=2=2，因此4A仍=AP+1F5P=2W万. 6.D【详解】因为抛物线)少=8x的焦点为（亿，0，双曲线号芳-1的右焦点F与抛物线少=8x的 焦点重合，所以双曲线的右焦点为F(2,0),即c=2,又因为抛物线的准线方程为x=-2，抛物线准 线与一条渐近线交于点A(m,-25),则-2-2)，因为点A在第三象限，则点A在渐近线y=x上， 代入得b=5a,则 4解仁所以双线方程为号1 b=3a 7.c【详解)O丽=2O,点N为BC中点， 则@=而+a丽=-号丽+o丽+0c=号a+5+, 2 2 +2+2 8.B【详解】2表示点P,)与点2,0)连线的斜率，由题图可知，过点2,0)且与以(0,1D为 圆心，1为半径的半圆(y轴右侧)相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为y=k(x-2),即 区-y业=0，由9，解得t=0舍去)戚k字所以六之与的最小值是-号 9.B0【详解】对于，由硒=2-，元-4-列，因为分子*日所以而与C不共线 用ABC三点不失数.故A损：对于，在6上的投影有量为骨：5，微B正康 4 对于C,因为P为平面ABC上的一点，所以P,A,B,C四点共面，所以+m+n=l,即m+n= 故C正确：对于D,由题易得m=-3e,则1La,故D错误. 0.ABC【详解】观察数列{an}的前5项可知，{a}的通项公式可能为 &=r-2-eN.因为w -L,n为奇数 1,为偶数’ 故a,=C0snr, 第1页（共6页）数学试题答案 若a“确受，则%-s如受=l,不合平愿意。 小A0D【详解】由椭圆C:3+4y=48可得，后+台l, 所以口e16B=12c2=0-4,散离心率为e=台-子宁放人正确： 根据椭圆焦半径的取值范围可知：P≥a-c=2,故B错误： 根据椭圆的定义可知：△PF3的周长为2a+2c=8+4=12,枚C正确： 限紧基率不博可有：ps(图-4=16，取等号条作是R-p-,放D正 确： 2.26【详解】由ab,则吃子解得x=2,y=4,则6=(2,24，所以=2+2+F=26. 13.8【详解】因为C(0,12),R=3,C,5,0,R=2,所以CC,=F+12=13>5=R+R,所以圆G与圈C, 外离，所以PgL=GC-(R+R)=8: 14. 2”-3n≥2【详解】当m=1时，4=8=2-3=与当≥2时，及=2-3a-)=2-3n+3,所 f1,n=1 以a.=S。-S,=21-3n-(2-3n+3)=2”-3,代入n=1得4=2'-3=-1≠1：所以 f1,n=1 a, 2”-3,n≥21 15.【详解】(1)因为4=1，011+3 4品子 ….2分 …4分 1 第2页（共6页）数学试题答案 2)因为4l,a1+3a ，所以+3， 1,8分 即-3, 8分 dwl d 又因为21， …9分 是省大会是为：整数 …10分 所以数列 所以上=1+a-x3=3n-2, .12分 所似4230-2 .13分 16.【详解】(1)因为A(5,4),B(-1,-4),所以AB中点为(2,0)， .1分 4网=[5-(l+[4-(4]=10, 2分 又因为圆C是以B为直径的圆，所以圆心为C2,0),半径为，-4=5， .4分 所以圆C的方程为(x-2)°+广=25 ……5分 (2)由题意，圆C的圆心C(2,0)到点P的距离为PC卡√(-2-2)+(3-0=5=r,6分 故点P在圆C上，则过点P的圆的切线1只有一条， 7分 团心山6器导则之号》 kcp 3' …9分 故切线1方程为y-3=+2,即4x-3y+17=0, .11分 令y-0,解得x=-子则将M0。 …13分 做8e-o4--(73g …15分 17,【详解】(1)设P(x,y),则结合己知条件得： 丽=(-3,0，而=(x-4,y,丽=(x-1y), …2分 :m.m=6网，-3x-4)=6x-1+. 3分 :平方整理得：2-8x+16=4x2-2x+1+y,即3x2+4y=12, 5分 第页（共6页）数学试题答案 8 ； P的轨迹为C的方程为兰+兰l。 43 ,1.6分 (2)根据已知条件可设直线1：y=*+m, ,7分 将y+m代入方程兰+上 =1, 43 整理得：7x2+8mr+4m2-12=0, .9外 设A(:,),B(x,为)广，则△=64m2-28×(4m2-12)>0,解得m2<7, …10分 所以有：+名加业。 7 …11分 则Tka+-=- 4m2-1 212W2 13分 整理得：m2=4,满足m2<7,所以m=士2， .14分 即直线1方程为y=x+2或y=x-2. 15 18.【详解】(1) *45 B C 取PA中点N,连接BN,MN.:M为PD中点， :MNIIAD,且M=AD=1, .... 。2 又：BC=1,BCIIAD, ∴.BCIIMN,且BC=MN, …2 四边形BCMN为平行四边形，即CMIIBN, 3 BNC平面PAB,CMt平面PAB, ,CM∥平面PAB; 4 (2 第4页（共6页）数学试题答案 ①、PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 则以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向为x轴，y轴，名轴继立空间直角坐标系，5分 海00,0)、B(1,00),C11,0),D(0,2,0）,P(00,2). AB=(,00),i=(0,0,2,P元=(0,2，-2)，C可=(-1,10)， 8分 易知平面PAB的一个法向量为4=(0,1,0)， ….7分 设平面PCD的法向量为2=(：，y,)小， 历.元=2y-2z=0,令x=1,则石=(，1 则 CD2=-x+y=0 …8分 os(7,元) 3 1P+1护+了 .9分 .平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为 5 .10分 ②易知BD=(-1,2,0),AD=(0,2,0), 假设存在点2满足题意，设B面=面=(-九，21,0)，0≤1≤1， .11分 ∴21-2,22,0)，A0=1-1,21,0), ..12分 设平面PA2的法向量为n=(a,b,c),- A.2=2e=0 则 0%=0-)a+2b=0'令a=21,则%=(21,2-1,0). .14分 所以点D到平面PAQ的距离d= 而.网。2(-以 网 =， .15分 V(22+(2-1 化简可得32+22-1=0，解得1口。或1=-1（舍去)， .16分 所以在线段D上存在点0使得点D到平面PM0的距离为V5,且照= .17分 第5页（共6页）数学试题答案 19、【详解】(1)由抛物线C:y=2px(p>0)的准线方程为x+1=0,得号=1，…2分 2. 解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. 4分 (2)设直线l:x=my+2,meR,点(，为)，B(x2,5), 5分 由2 清去x得y产-4my-8=0. 6分 x=0y+2 所以A=(4m3-4×(8)=16m2+32>0 7分 则片=8， .8分 因此O.0丽=头+%=-8a4,为常数， 9分 16 所以OAOB的值与直线！的顿斜角的大小无关。 ..10分 (3)设P(x,),则y2=4x,1PT1-√G区-+少=√2-(2-4x+7，x20,12分， 令fx)=x2-(2t-4)x+72,x≥0， .13分 函数f(x)图象的对称轴为直线x=t-2, .14分 当0<1≤2，即1-2s0时，f(x)m=f0)=产，则d0=t: .15分 当t>2,即r-2>0时，f(x)=f0-2)=2-0-2}2=4-4,则d0)=2-可，…16分 [t,0<1≤2 所以d()= .17分 21-1,t>2' 第6页，（共6页）数学试题答案