江苏省基地学校2026届高三上学期第一次大联考数学试卷

2026届新高考基地学校第一次大联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 修 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1已知x=2十i,则z卢 1 A2+ c-含+2 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|2+x>10},则A∩B= 3 A.{1,2} B.(4,5} C.{1,2,3} D.(3,4,5} 3.某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果 毁 的实际质量服从正态分布N(500,02),且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可 能性为95.4%，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为 A.2.3% B.4.6% C.95.4% D.97.7% 童 4.若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间 约为(1g11≈1.04) A.15月 B.25月 C.35月 D.45月 5.设函数f(x)=(x十a)x2在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值是 A.-3 B.-2 c-是 D.3 【第一次大联考·数学第1页（共4页）】 26-X-279C-1 6.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(2,0),且与x轴、y轴分别交于点B(x,0),C(0,y)两个 动点，则点M(x,y)的轨迹方程为 A.x2+y2-2x=0 B.x2+y2-2y=0 C.y2=-2x D.x2=2y .将函数f(x)=sin(ar+)(w>0)的图象向左平移晋个单位长度后，得到的函数图象关于 直线x=否对称，则ω的最小值是 A号 B号 C.2 D.6 g(x),f(x)≥g(x), 8.已知f(x)和g(x)都是定义在R上的奇函数，设h(x)= 则 f(x),f(x)<g(x), A.h(x)不可能是增函数 B.h(x)不可能是偶函数 C.h(x)≤f(x)+g(x) D.h(0)≥h(x)+h(-x) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正三棱柱ABC-A1BC中，D为AB的中点，则下列结论一定成立的是 A.CD∥平面A1BC B.BC1∥平面A1CD C.CD⊥平面ABB1A D.AB1⊥平面ABC 10.已知函数f(x)=x(x一2)(x一1)2，则 A.曲线y=f(x)关于直线x=1对称 B.f(x)的极大值为0 C存在x∈(-1,0)，f(x)≥f(x-1) D.f(x)有最小值，无最大值 1 1.已知数列(a,}满足a1=立a+1一a0,十，则 A.任意n∈N*,0<am<1 B.存在n∈N',an<a+1 c++叶>≥-1+公 D.a1+a2+…+an<1 a a2 【第一次大联考·数学第2页（共4页）】 26-X-279C-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知向量a=0,1,b=(2,x,若a与6的夹角的余弦值为-得，则x= 13.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的 正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为 14.袋中有7个小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球.每次不放回从袋中随机取出一个球， 当三种颜色的球都取到时停止，则停止摸球时共取出5个球的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(i如x,号)，b=(cos(c+晋)，)设函数fx)=a·血 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若x∈[0，]，求f(x)的最值和单调区间. 16.(本小题满分15分) 已知数列(a,}的首项a1=号，且满足1十a,a1=2a (1)证明： 1 an-1/ 是等差数列； (2)记[x]表示不超过x的最大整数，S,T,分别为(a,}和) 的前n项和，求[S,+Tn]. la, 【第一次大联考·数学第3页（共4页）】 26-X-279C-1 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系0中，已知椭圆C专+芳-1(a>6>0)的离心率为分，左，右顶点分 别为A1,A2,上顶点为B,|A1A2|=4,P,Q是C上异于顶点的两点， (1)求C的方程； (2)若P在第一象限，△PA1A2的面积是△POB面积的2倍，求P的坐标； (3)若直线PA1的斜率是直线QA2的斜率的3倍，证明：直线PQ经过定点. 18.(本小题满分17分) 如 如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，AB∥CD,AE∥DF,AB⊥AD,AB⊥ AE,AB-AE-AD-1,CD=DF=2. (1)证明：B,E,F,C四点共面； 长 (2)若∠ADF=60°，求该几何体的体积； (3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x-a)e(a>0). (1)求曲线y=f(x)在x=a处的切线方程： (2)设t>0,证明：对任意s∈(-t,t),都有f(s)<f(t); （③若数列红满足f)一云证明：启台<1-血2 2e 【第一次大联考·数学第4页（共4页）】 26-X-279C-12026届新高考基地学校第一次大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【知识定位】复数的四则运算. 【考核目标】考查与复数相关的运算能力. 【解题思路1片中-02=号+之放选A 【参考答案】A 2.【知识定位】集合的运算. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】因为f(x)=2+x是增函数，且f(2)=6<10,f(3)=11>10,所以A∩B={3,4,5.故选D. 【参考答案】D 3.【知识定位】概率、正态分布. 【考核目标】考查学生的理解能力与运算能力. 【解题思路】由概率和为1及对称性求解，得P=95.4%+1一954必=97.7%.故选D. 2 【参考答案】D 4.【知识定位】函数模型， 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为t月，则1000=100×(1+0.1)‘，两边取常 用对数得g1.1=1,所以1一gg可≈1÷0.04=5.故选B 【参考答案】B 5.【知识定位】利用导数求函数的单调性. 【考核目标】考查函数的单调性，利用化归思想分析问题，考查学生解决问题的能力. 【解题思路】因为函数f(x)在区间(1,2)上是减函数，所以f(x)=x(3x十2a)≤0，即3x十2a≤0，所以a≤ 、3 x,因为x∈(1,2)时，-3<- 受-号，所以a≤-3.放选A 【参考答案】A 6.【知识定位】动点的轨迹方程. 【考核目标】考查学生的理解能力和运算能力， 【解题思路】因为AB为圆的直径，所以圆心坐标为（士，0，半径为。引，因为点C在圆上，所以 ()+y=(22),整理得=-2红.故选C 【参考答案】C 7.【知识定位】三角函数的图象和性质， 【考核目标】考查图象转换能力和分析问题，解决问题的能力 【解题思路】函数f(x)=sin(ou十)(w>0)的图象向左平移否个单位后，得到的函数g(x)= 【第一次大联考·数学参考答案第1页（共8页）】 26-X-279C-1 sn(or十吾w十学)，因为曲线y=g)关于直线x=吾对称，所以吾w十晋。十=kx十受w一3论-， 6 3 ∈乙，因为w>0,所以u的最小值是号.故选B 【参考答案】B 8.【知识定位】分段函数、函数奇偶性与单调性的综合应用. 【考核目标】考查运算求解能力、问题转化能力、抽象概括能力. 2x,x0, 【解题思路】设f(x)=2x,g(x)=x,则h(x)= h(x)是增函数，且h(-1)=-2>一3=f(-1)+ x,x>0, x,0, g(-1),故A,C错误；设f(x)=一x,g(x)=x,则h(x)= 此时h(x)为偶函数，故B错误；对于 -x,x>0, D,对任意xn∈R,若f(x)≥g(xm),则-f(xm)≤-g(xo),即f(一x)≤g(-xm),所以h(xn)=g(xn), h(-xo)=f(-zo),h(zo)+h(-x0)=g(zo)+f(-zo)g(zo)+g(-o)=0,h(0)= min{f(0),g(0)〉=0，所以h(0)≥h(x)+h(一xo);若f(xo)<g(xn)上式也成立，故D正确.故选D. 【参考答案】D 9.【知识定位】立体几何中的线面关系. 【考核目标】考查空间想象能力 【解题思路】对于A,取A1B1中点E,连结DE交A1B于点O,连结OC,若CD∥平面A1BC,则由线面平行 性质定理可知，OC∥CD,矛盾，故A错误；对于B,如图，因为BE∥AD,CE∥CD,由线面平行判定定理可 知，BE∥平面ACD,CE∥平面A1CD,所以平面BCE∥平面ACD,所以BC∥平面ACD,故B正确；对 于C,因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥CD,因为CD是正△ABC的中线，所以AB⊥CD,由线面垂直判定定 理可知，CD⊥平面ABB1A,故C正确：对于D,若AB⊥平面ABC,则AB1⊥AB,由条件可知该结论不一 定成立.综上，故选BC 【参考答案】BC 10.【知识定位】函数的导数、函数图象对称性、函数的极值与最值. 【考核目标】考查利用函数的单调性分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】对于A,因为f(2-x)=(2-x)(一x)(1一x)2=x(x一2)(x-1)2=f(x),所以曲线y=f(x)关 于直线x=1对称，故A正确：对于B,因为f(x)=2(x-1)(22-4红十1D,所以当x<2,2或1<< 2 2生2时，fa)0,7造减：当>222政22<1时，f>0,r递路所以=1是)的 极大值点，f(1)=0,故B正确：对于C,当x∈（一1,0）时，x一1<x<0,因为f(x)在（一∞，0）上是减函数， 所以f(x)<(x1D,故C错误；对于D,由B选项分析可知，当x=2,2或=2三时，∫()取得最小 2 【第一次大联考·数学参考答案第2页（共8页）】 26-X-279C-1 值，当x→十∞时，f(x)→十∞，所以f(x)无最大值，故D正确.综上，故选ABD. 【参考答案】ABD 11.【知识定位】数列的递推关系式. 【考核目标】考查对数列递推关系式的转化方法、不等式的综合应用、分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】对于A,因为0<a<1,a-a,+1=(a。-)}°+子>0，所以a>0:因为a1-1 aa十，所以a1-1与a。-1同号，所以a<1,即0<a.<1,m∈N,故A正确：对于B,因为0<a,<1, an1 d-a十1>a>0,所以a<会=a,即a1<a,<<a=子放B错误：对于C,因为-2士十 antl anan 1,所以品-1=（公-1)水装)，d=2:由B知≥2时2>2，所以士-1>2(-1)≥> 2(日-1）=2，所以++…+士≥+(1+2+…+2)=叶2-1，放C正确：对于D,由（※） 1 11 ana十1 式得，1-1（ 1g）1L产aa,所以a,aa1 为a>0,所以4<1，放D正确综上，故选AGD 【参考答案】ACD 12.【知识定位】平面向量. 【考核目标】考查学生对向量的数量积的理解及运算能力. 【解题思路】由夹角公式得二=一号，解得x=一1. √x2+4 【参考答案】-1 13.【知识定位】立体图形的体积和表面积. 【考核目标】考查分析问题能力、解决问题的能力. 【解题思路】设球心为O,因为球O的表面积为16π，所以球的半径R=2.因为△ABC的外接圆半径为√3，所 以O到平面ABC的距离d=√/22一(W5)=1,所以D到平面ABC的距离的最大值为3，所以四面体 ABCD的体积的最大值为：号×9×3X1+2》=9 【参考答案】 14.【知识定位】概率与计数原理， 【考核目标】考查学生分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】根据题意可知，停止摸球时共取出5个球的所有可能的情况为： 前4次摸出2个白球、2个红球，第5次摸出1个黄球：此时概率为P,=AXC=力 A 35 前4次摸出2个白球，2个黄球，第5次摸出1个红球：此时概率为P,=C×AXC= A 35 【第一次大联考·数学参考答案第3页（共8页）】 26-X-279C-1 前4次摸出2个黄球、2个红球，第5次摸出1个白球：此时概率为P=CXAXC= A 35 前4次摸出3个黄球、1个红球，第5次摸出1个白球或者前4次摸出3个黄球、1个白球，第5次摸出1个 红球：此时概率为R,CXAXC×?=品P=P,+P+B+P=器 A 【套考答】器 15.【知识定位】向量、三角函数、三角恒等式. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】利用向量数量积得出函数关系式，利用函数关系式求解问题 【参考答案】解：1f=a·b=smx…(+吾)+ 2分 5simx+ 4 =sin2x+s2z=sm(2x+号)， …5分 所以f(x)的最小正周期为元.…7分 (2因为x∈[0，受]，所以2x+晋∈[吾，誓]， 所以当2x+吾=弩，即x=受时，)取得最小值，最小值为。 当2+苓=受，即x=登时，f代)取得最大值，最大值为2 ………… 10分 当号≤2x+≤受，即0≤≤卺时，f()递增： 当受<2x十吾<誓，即<≤受时，x)递减。 12分 综上，)的最小值为一日，最大值为2：x)的单调递增区向为[0，登]，单调递减区间为[竞，受]， 13分 16.【知识定位】数列的递推关系、等差数列等. 【考核目标】考查分析问题能力、推理论证能力. 【解题思路】利用递推关系证明等差数列，利用等差数列求出通项，进一步求解问题. 【参考答案】（1)证明：因为1十a,a1=2a,显然a,≠0，所以a1=2a, …2分 an 所以1 1 a12a1 an an 即1 =1, ag+1-1a-1 5分 又。气=2，所以{，马}是以2为首项1为公差的等差数列 …7分 （:由0得，2叶18分 【第一次大联考·数学参考答案第4页（共8页）】 26-X-279C-1 所以a=1+=1市 所以a+=2+中2 1 10分 所以s+T.=(a+)+(a:+)+…+(a.+) =2m+(合号)+（号子）++(nh)=2+3- n+2 …13分 因为0<十2≤分 所以2+日<2+是<2+， 所以[S.+Tn]=2n. 15分 17.【知识定位】椭圆. 【考核目标】考查学生运算求解能力. 【解题思路】由长轴长与离心率求出椭圆方程，利用椭圆与直线的关系进一步解决问题. 【参考答案】(1)解：因为|AA2|=2a=4,所以a=2, 1分 因为后=号所以c=1,=02-2=3, 所以C的方程为号+号=1 4分 (2)解：设P(x0,%),x0,%>0,则3.x品+4y=12,① 因为△PA1A2的面积是△POB的面积的2倍， 所以2×4·w=2×分×5·n,即为=5 ② ②代人①，解得w=区，h= 2 所以P(,): 8分 (3)证明：显然直线PQ与y轴不垂直，设其方程为x=my十n, x=my+n, 联立 消去x得(3m2+4)y2+6my+32-12=0, 3.x+4y2=12, △=36m22-4(3m2+4)(3m2-12)=48(3m2-1n2+4)>0, 设Pm.Q).测n十g=y为=是 10分 由题意4=o,即十2=3兰2(m%十n一2》=3（十叶2 即21y2十3(n十2)y2-(n-2)y=0. 2m(3t-12+4m+1D%-(m-2)0+为)=0， 3m2+4 12分 6m(2-49-(n-2)·3m产+4 3m2+4 -6m+4n+1)y2=0, 12mn-2+D+4m+1)y=0,4(n+1D =0,n=-1, 3nm+4 3m(n2+ 3m2+4 即直线PQ过定点M(-1,0).……15分 【第一次大联考·数学参考答案第5页（共8页）】 26-X-279C-1 18.【知识定位】立体几何与空间向量. 【考核目标】在立体图形中考查学生的空间想象能力，及分析问题和解决问题的能力 【解题思路】(1)利用平行直线共面关系得出结论，(2)几何体的分割和补体求体积，(3)利用空间向量求解. 【参考答案】(I)证明：取CD中点M,DF中点N,连结BM,MN,EN,则MN∥CF, 因为AE∥DF,AE=DN=1, 所以四边形AEND是平行四边形，… …2分 所以EN∥AD,EN=AD, 因为AB∥CD,AB=DM=1, 所以四边形ABMD是平行四边形， 所以BM∥AD,BM=AD, 所以BM∥EN,BM=EN, 所以四边形BENM是平行四边形， 所以BE∥MN, 所以BE∥CF, 所以B,E,F,C四点共面. 5分 (2)解：法1：连结AF,BF,在平面ADF中，作FG⊥AD,垂足为G, 因为AB⊥AE,AB⊥AD,AE,ADC平面AEFD,AE∩AD=A, 所以AB⊥平面AEFD,即AB是三棱锥B-AEF的高. 因为FGC平面AEFD,所以AB⊥FG, 因为AB∥CD,所以CD⊥FG, 因为AD,CDC平面ABCD,AD∩CD=D, 所以FG⊥平面ABCD, 即FG是四棱锥F-ABCD的高，且FG=DFXsin∠ADF=√3.…8分 梯形AEFD的高为ADX sin∠ADF=写 2 所以Se-子×AE×号-号 4 因为SEm=2X(AB+CD)XAD=号X(1+2)X1= 2 所以该几何体的休积V=Vw+VD号×厚×1十号×号x厅=7径 12 10分 法2：延长FE,DA交于点P,因为EFC平面BEFC,ADC平面ABCD, 所以P是平面BEFC和平面ABCD的公共点， 因为平面BEFC∩平面ABCD=BC,所以P∈BC, 所以所求几何体的体积等于三棱锥C-PDF与三棱锥B-PAE的体 积之差。… ………7分 同法1可证AB是三棱锥B-PAE的高，CD是三棱锥C-PDF的高， P 因为AE∥DF,AD=AE=1,DF=2, 所以A为PD的中点，即PA=1,因为∠ADF=60°， 【第一次大联考·数学参考答案第6页（共8页）】 26-X-279C-1 所以S△PME= ×PAXAEXsin∠PAE-×1XIX号-.Sane=4SaE=5, 2 所以该几何体的体积 V=m-Vae=子×5x2-子×9×1- 4 12· 10分 (3)解：在平面AEFD中，过点A作AQ⊥AD,交EF于点Q,由(2)知AQ⊥平面ABCD, 以A为原点，{AD,AB,AQ}为基底，如图建立直角坐标系， 则D1,0,0),B(0,1,0),C(1,2,0), 设∠ADF=(0<π)，则E(-cos0,0,sin), 所以BD=(1,-1,0),BC=(1,1,0),B驼=(-cos0,-1,sin0).…12分 设平面BDE的一个法向量m=(x,y,之)， (m.BD=0, x-y=0, 则 所以( m·B成=0,1 -xcos 0-y+zsin 0=0, 令x=1,则y=1,=1十0s0 2oas号-1+1 sin 0 2sin cos2 tan 2 所以m tan n·BC=0, 1a+b=0, 设平面BEF℃的一个法向量n=(a,b,c),则 所以 In.BE=0, -acos 0-6+csin 0=0, 令a=1,则b=-1,c=os0-1 1-2sim29 2 -1 sin 0 2sin cos2 一tan2’ 所以n=（1,-1,-tan2 15分 设平面BDE与平面BEFC的夹角为a,则 m·n 1 cos a= m·n tar之 2+am㎡号） 5+2 tan'- 2 tan2号 5+4 tan tan2 2 当且仅当tm号=1，即9=受时，等号成立， 所以平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值为3· 17分 19.【知识定位】函数与导数， 【考核目标】考查函数的单调性，利用导数分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】(1)先求导，求出含参的切线方程；(2)利用函数单调性证明不等式：(3)构造函数证明 【参考答案】(1)解：因为(x)=工，… …1分 【第一次大联考·数学参考答案第7页（共8页）】 26-X-279C-1 所以f(a)=e,f(a)=0, 所以曲线y=f(x)在x=a处的切线方程为y=e(x一a).… 3分 (2)证明：因为a>0,所以x<0时，f(x)<0,f(x)递减： x>0时，f(x)>0,f(x)递增；… 因为s∈(-t,t),所以0≤s<t,或-ts<0<t, 若0≤s<t,由f(x)在(0，十o∞)上递增得f(s)<f(t):… 5分 若一ts0<t,因为f(x)在(-一∞，0)上递减，所以f(s)<f(一t), 要证f(s)<f(t), 只要证f(-t)<f(t). 7分 设F(x)=f(x)-f(-x),x>0, 则F)=f)+f(-0=-e=(e-e)>0, a 所以F(x)在(0，十∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,所以f(一)<f(t). 故f(s)f(t). …9分 (3)证明：由(2)知，f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(0)=-a<0,f(a)=0, 因为对任意k∈N”,一a< 元<0， 所以存在唯一∈(0，a),使得f代)=一元，由f(a)≤-条=f)得≤，吾≤丝，…10分 a 首先证明兰<1一 ① h(x)=(x-a)ea-e(z-a), 则()=音c-e递增，因为a)=0,所以 当x∈(a,+∞)时，h'(x)>0,h(x)递增； 当x∈(-o∞，a)时，h'(x)<0,h(x)递减， 11分 所以h(x)≥h(a)=0,当且仅当x=a时取“=” 所以h)=)c-a）=一景-e(-a)>0,即益<1-2 1 13分 其次证明：>h为，k∈N.@ 设t(x)=x-ln(x+1),x>0, 则tx)千>0，所以)在0，+∞)上单调递增，所以1x)>1(0)=0, 令x=名，得>1n 15分 2e 综上，原不等式得证 17分 【第一次大联考·数学参考答案第8页（共8页）】 26-X-279C-1