第26讲 椭圆（知识清单+3题型讲解练+强化训练）讲义-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆专题，涵盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，按“定义-性质-应用”逻辑架构组织知识点，通过知识清单系统梳理、题型分类讲解（含例题与变式）、分层强化训练（单选至解答题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于“举三反三”题型设计，如定义应用中通过焦点距离关系例题培养数学眼光，几何性质对比焦点位置差异训练数学思维，结合模拟真题分层练习保障效果。助力学生提升用数学语言表达轨迹与面积问题的能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第26讲 椭圆 知识清单 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的简单几何性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：椭圆的定义及其应用 题型2：椭圆的标准方程 题型3：椭圆的几何性质 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点02：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 题型1：椭圆的定义及其应用 【例1-1】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合垂直关系列式求解即得. 【详解】依题意，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，即， 因此，即，所以，即. 故选：B 【例1-2】（2025·山东临沂·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】先由离心率为得到，，之间的关系，再建立平面直角坐标系求出各点坐标，最后由求出，的周长为. 【详解】因为离心率，且在椭圆中可得 ，， 建立如何所示的平面直角坐标系， ，， 因为垂直于轴，垂足为，故， 代入椭圆方程可得，， 又为与轴交点，可得， 因为，由两点之间的距离公式可得， 又，， 解得，， 则则的周长为 ， 故答案为：. 【例1-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上的任意两点，满足． (1)求证：以为直径的圆和以长轴为直径的圆内切； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设的中点为，椭圆的左焦点为，由题意可得，可证结论； （2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，求得，当斜率不存在时，可求得，可求得面积的取值范围． 【详解】（1）由，得，解得. 设的中点为，椭圆的左焦点为，因为是椭圆上的点， 所以，所以， 因为是的中点，所以， 又以长轴为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的圆心为，半径为； 所以，所以两圆相内切； 即以为直径的圆和以长轴为直径的圆内切； （2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由，得，所以，所以， 所以. 因为，将用代换可得， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 因为，所以，所以， 当直线斜率不存在或为0时，. 所以面积的取值范围为． 【变式1-1】（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，求解即可. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以. 故选：C. 【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则 . 【答案】5 【分析】先由题意依次求出即可由求出，接着由正切函数定义和两角和的正切公式结合点P求出直线的方程，进而求出直线过点，再联立椭圆方程求出即可同理求出得解. 【详解】由题意可知， 所以由， 由上得，且 所以， 所以，所以即， 令得，故直线经过点， 联立， 所以， 所以同理可得， 所以. 故答案为：5. 【变式1-3】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积. 【答案】(1) (2)或； 【分析】（1）根据所给条件求出，，，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程，根据根与系数的关系及，列出方程求出值，由点到直线的距离公式以及弦长公式，计算得到三角形的面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意可知 ，解得，所以椭圆的标准方程为 （2）设，， 联立，消去，可得， ，则或， 由韦达定理可得：，， 所以， 因为，，即， 所以，解得：或， 经检验满足，所以的值为或， 当时，直线方程为，原点到直线的距离， 因为， 所以 所以 当，由对称性可得， 所以的面积为 题型2：椭圆的标准方程 【例2-1】（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 【例2-2】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 【例2-3】（2025·北京延庆·三模）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义可得，，由即可求得，进而写出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程利用韦达定理得到，，从而得到，，求出的中点坐标代入直线方程可得答案. 【详解】（1）因为短轴长为2，所以， 因为， 所以，， 又因为轴，所以， 则，且，解得， 则椭圆的标准方程为. （2）设，则，， 联立，整理得， 则，，则， 直线：， 令，得， 故，，， 则的中点坐标为， 由于与的面积相等，故到直线的距离相等， 因此的中点在上， 可得，， 则，解得，又，所以. 【变式2-1】（2024·河北保定·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据得到，从而求得的值，再代入点坐标求得，即可得到长轴长. 【详解】由，得，所以， 把及代入， 得，解得（舍去）或， 所以，椭圆的长轴长为. 故选：B. 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况． 设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得； 该椭圆的方程为． 故答案为：或（写一个即可）； 【变式2-3】．（2025·广西·模拟预测）如图，已知椭圆过点，且焦距为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设、是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于另一点，且直线与直线关于对称，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义求出的值，即可得出的值，进而可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知，可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，可得出直线的方程以及的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由题意可知，则，故、， 由椭圆定义可得， 所以，则， 因此椭圆的标准方程为. （2）因为直线与直线关于对称，则， 所以直线的方程为，即， 联立，可得，即， 解得或， 设点，结合图形可知，故，则， 故点， 所以，故直线的方程为，即， ， 点到直线的距离为， 故的面积为. 题型3：椭圆的几何性质 【例3-1】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 【例3-2】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 【例3-3】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，利用已知的半焦距和短半轴长求出长半轴长，进而得到椭圆方程和离心率； （2）通过设出椭圆上一点的参数坐标，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，再利用三角函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1）由题可设C的方程为，C的半焦距为， 则，，， 所以C的方程为， 离心率； （2）设点，，    则 其中为锐角，且， 当时，四边形OFPB的面积取得最大值，且最大值为 【变式3-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 【变式3-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】先根据余弦定理得到，再结合题设及椭圆的定义可得，，进而求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 则，即， 由于椭圆以A，B为焦点，则，即， 又椭圆经过点C，所以，则，即， 所以该椭圆的离心率. 故答案为：.    【变式3-3】（2024·江西景德镇·一模）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. (1)求的方程； (2)斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在椭圆上及离心率列出等式求解即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，再通过三角换元即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）设直线为，设，设中点为， 联立， 根据韦达定理可知， 其中． ∴，． ∴， ∴， 令， ∴，等号当且仅当，即时取到，满足 ∴，即的最大值为． 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程及焦距的概念求解. 【详解】由题意可得， ， 故椭圆的焦距为． 故选：A． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率及即可得出判断． 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，， 所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形， 故选：B． 3．（2025·广东江门·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，然后结合结合椭圆的性质，代入计算可得. 【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 4．（2025·山西太原·一模）已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦距进行分类讨论，结合已知条件求离心率的最大值. 【详解】已知的三条边长分别为，，，因为，所以是直角三角形. 设的两个顶点为椭圆的焦点，另一个顶点在椭圆上. 情况一：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况二：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况三：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 所以椭圆的离心率的最大值为. 故选：C. 5．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及基本不等式和二次函数的性质，求得的值，利用离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，点为椭圆上的一点， 由椭圆的定义，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 又，所以，可得， 因为，可得， 则，其中， 当或时，， 又，所以，可得，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 6．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义和性质进行计算. 【详解】因为 又的周长为8， 则， 所以，则， 则， 则， 故选： 7．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 二、多选题 9．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误； ，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 故选：BC. 10．（2025·湖南邵阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】代入数量积的运算公式求椭圆方程，即可判断A，根据椭圆焦半径的最值，判断B，根据椭圆的定义，结合余弦定理判断C，根据距离距离的转化，判断D. 【详解】A.设，，，， ，得，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B.的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C.因为， 由余弦定理可知，， ，所以，故C正确； D. 设点到点右准线的距离为，，则， 则，当垂直于准线时，此时最小， 最小值是点到的距离2，故D正确. 故选：ACD 11．（2025·广西·模拟预测）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为8 D． 【答案】AC 【分析】根据条件求出，可确定椭圆方程，判断A的真假；结合椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，可判断B的真假；利用椭圆的定义，可判断C的真假；利用特殊情况，可判断D的真假. 【详解】如图：    对于选项A，由于，可得椭圆的方程为，所以A正确； 对于选项B，，所以B错误； 对于选项C，的周长，所以C正确； 对于选项D，当直线方程为时，由通径的概念可得， 所以，所以不能恒成立，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 13．（2024·上海普陀·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得椭圆的方程，再由，分轴和AB为长轴求得最值即可. 【详解】因为，所以， 因为， 当轴时，， 所以； 当AB为长轴时，， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 15．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可； （2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可. 【详解】（1）由题意得 ，得，                           故的方程为； （2）设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且，          所以 ， 故为定值． 16．（2020·上海奉贤·一模）平面内任意一点到两定点、的距离之和为. （1）若点是第二象限内的一点且满足，求点的坐标； （2）设平面内有关于原点对称的两定点，判别是否有最大值和最小值，请说明理由？ 【答案】（1）；（2）有最大值，最小值. 【解析】由椭圆的定义可以直接求出椭圆的标准方程. （1）根据数量积的坐标运算公式，得到等式，与椭圆的标准方程联立，解方程即可； （2）设出两点坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆上和椭圆的范围，可以求出的最大值及最小值. 【详解】因为，所以椭圆的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，所以点的轨迹方程为：. （1）设点的坐标为：，所以 ， 因为，所以，与联立，解得 ，点的坐标为； （2）存在最大值和最小值，理由如下： 根据题意，设的坐标分别为：， ， 则而， 所以，因为，所以， . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了平面向量数量积的坐标公式，考查了椭圆的范围，考查了数学运算能力. 17．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程； （2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离． 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 18．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍． (1)求实数和的值； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 （1）利用表示出椭圆的焦距和离心率，由此可构造方程组求得结果； （2）利用中点坐标公式可表示出坐标，将代入椭圆方程可整理得到，同理得到，由此可得直线方程，进而得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆方程可得其焦距为，离心率为； 由椭圆可得其焦距为，离心率为； 由题意知：，解得：（舍）或， ，. （2）设，，，则， ，，分别为的中点， ，，， ， ，，，即， 同理可得：，直线的方程为， 直线恒过定点.    【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，解题关键是能够利用中点坐标公式表示出坐标，利用点在椭圆上可构造方程组整理得到所满足的直线方程，根据直线方程可确定定点坐标. 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义及对称性列式求出即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求解最值，即可求得直线方程. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 于是，由离心率为，得，而，因此，， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设， 则，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的方程为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 椭圆 知识清单 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的简单几何性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：椭圆的定义及其应用 题型2：椭圆的标准方程 题型3：椭圆的几何性质 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点02：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 题型1：椭圆的定义及其应用 【例1-1】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例1-2】（2025·山东临沂·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 【例1-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上的任意两点，满足． (1)求证：以为直径的圆和以长轴为直径的圆内切； (2)求面积的取值范围． 【变式1-1】（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则 . 【变式1-3】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积. 题型2：椭圆的标准方程 【例2-1】（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【例2-3】（2025·北京延庆·三模）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【变式2-1】（2024·河北保定·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【变式2-3】．（2025·广西·模拟预测）如图，已知椭圆过点，且焦距为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设、是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于另一点，且直线与直线关于对称，求的面积． 题型3：椭圆的几何性质 【例3-1】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【例3-2】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【例3-3】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 【变式3-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 . 【变式3-3】（2024·江西景德镇·一模）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. (1)求的方程； (2)斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 3．（2025·广东江门·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 4．（2025·山西太原·一模）已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 10．（2025·湖南邵阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 11．（2025·广西·模拟预测）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为8 D． 三、填空题 12．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 13．（2024·上海普陀·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 16．（2020·上海奉贤·一模）平面内任意一点到两定点、的距离之和为. （1）若点是第二象限内的一点且满足，求点的坐标； （2）设平面内有关于原点对称的两定点，判别是否有最大值和最小值，请说明理由？ 17．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 18．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍． (1)求实数和的值； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点． 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $