第28讲 抛物线（知识清单+3题型讲解练+强化训练）讲义-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

该高中数学高考复习资料聚焦抛物线专题，覆盖定义、标准方程及几何性质等核心考点，按概念内涵、方程形式、性质应用的逻辑层次构建知识体系。通过知识清单梳理基础，题型讲解（举三反三）强化方法，分层训练（单选至解答题）实战演练，系统助力学生突破难点。 资料突出“例题-变式”联动设计，如抛物线定义应用中，通过焦点与顶点位置关系例题及变式训练，培养学生用数学眼光分析几何关系的能力。分层训练精准对接高考题型，强化数学思维与规范表达，帮助教师高效把控复习节奏，提升学生应考实战能力。

第28讲 抛物线 知识清单 知识点01：抛物线的概念 知识点02：抛物线的标准方程和简单几何性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：抛物线的定义及应用 题型2：抛物线的标准方程 题型3：抛物线的几何性质 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 知识点02.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 题型1：抛物线的定义及应用 【例1-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为， 所以或， 则. 故选：D 【例1-2】（2025·山东泰安·一模）抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 根据抛物线的定义可知. 故答案为：4 【例1-3】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】2 【分析】根据条件推得，利用抛物线的定义可得点在准线上，求得点的横坐标，再利用对称性即得答案. 【详解】 如图，因为， 所以，故 于是点在准线上， 由，关于轴对称，得. 故答案为：2. 【变式1-1】（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式1-2】（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得． 故答案为：. 【变式1-3】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 题型2：抛物线的标准方程 【例2-1】（2023·福建莆田·模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出. 【详解】依题意可设的标准方程为， 因为的焦点到准线的距离为3，所以， 所以的标准方程为. 故选：A 【例2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可. 【详解】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B 【例2-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 . 【答案】或 【分析】由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案. 【详解】令得，令得，所以抛物线的焦点为或. 当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为. 故答案为：或. 【变式2-1】（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（    ） A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可解答. 【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为. 故选：D. 【变式2-2】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【变式2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用抛物线的标准方程计算即可. 【详解】依题意可得的标准方程可设为或， 将点的坐标代入得，则的标准方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 题型3：抛物线的几何性质 【例3-1】（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 【例3-2】（多选）（2025·江西·二模）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD 【例3-3】（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知且轴，设设，，结合抛物线方程分析求解. 【详解】由题意可知，且轴， 设，，则，可知， 所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为． 故答案为：. 【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式3-2】（多选）（2025·山西太原·一模）已知动点到点和直线的距离和为5，记其轨迹为曲线．点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．对于任意，都存在点，，使得成立 C．当时，若点，关于点对称，则 D．若点，关于点对称，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求曲线的方程，判断A的真假；根据曲线的对称性，可判断B的真假；结合，坐标的特点，可求的取值范围，判断C的真假；分，两种情况，求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：根据题意，列方程：. 当时，化简可得：； 当时，化简可得：.故A错误. 对B：由A，作出曲线如下： 可知曲线关于轴对称，所以对于任意，都存在点，，只要，，就能使得成立，故B正确； 对C：因为，所以一定分别在曲线（）和（）上. 不放设，（），则， 因为，所以.故C正确； 对D：若，因为，关于对称，所以当，分别对应点和，时，取得最大值；当接近曲线的上下顶点时，接近于0； 若，由C可知，，且 ，. 所以. 综上：，故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】（2024·上海普陀·模拟预测）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 2．（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 3．（2025·四川成都·一模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为上一点，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】依据题意可知点的横坐标为2，然后利用焦半径公式求解即可. 【详解】由题意因为，所以x轴，所以点的横坐标为2， 所以由抛物线定义可知. 故选：C 4．（2025·广西柳州·一模）已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】由题意求得的坐标，判断的形状，进而求得其面积. 【详解】由题可知，以F为圆心，为半径的圆的方程为. 设. 由得. 因为点在一象限，所以，.即. 显然，所以为直角三角形，所以的面积为. 故选：D. 5．（2025·湖南长沙·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据题目条件求出，，再根据点到点的距离与到直线的距离相等，得到，化简得到，解得. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即，所以， 抛物线的焦点为 ， 由点到点的距离与到直线的距离相等，得到 即，化简得，即， 因为，所以，解得 故选：A 6．（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 7．（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标得到抛物线方程，利用恒成立求解的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线. 设，则对，， 整理得， 所以因为，所以，所以， 又，所以的取值范围为， 故选：B. 8．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点的坐标，再根据抛物线的定义，求出点的坐标，进而利用向量垂直的坐标性质即可得解. 【详解】在抛物线中，，则， 所以焦点，准线方程为. 设点的坐标为，则，故， ，且, 又， 则 解得． 故选：C. 二、多选题 9．（2025·山东·模拟预测）已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】将点代入抛物线方程，求的值，判断A的真假；判断点坐标的特点，判断B的真假；根据抛物线的焦半径公式，可判断CD的真假. 【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误． 对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确． 对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确． 对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确． 故选：BCD 10．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 【答案】BC 【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据的长，结合焦半径公式，可得P点坐标，可得的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据是等边三角形，即可求得直线的倾斜角，即可判断D的正误. 【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确． 因为，所以点的横坐标为3， 由，得，即， 记与轴交于点，则， 所以， 所以，所以是等边三角形，故C正确． 由C选项得：， 所以，直线的斜率为，故D错误． 故选：BC 11．（2025·河南南阳·模拟预测）已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．恒关于点中心对称 B．若，则与的准线之间的距离为 C．若上一点的横坐标，则 D．若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：计算出点及点坐标后，验证点关于中心对称的点不在曲线上即可得；对B：由题意可得计算出，则可得抛物线与物线的准线方程，即可得其距离；对C：由计算出，则可计算出，再利用可得，即可得解；对D：分别计算在上及在上时的值，可得范围，则可得等于的大小关系，即可得解. 【详解】对A：对，令，可得，则， 对，令，可得，则， 点关于中心对称的点为，不在曲线上， 故点不是曲线的对称中心，故A错误； 对B：由、，则， 令，解得，则， 由抛物线对称性可知、关于轴对称，故， 则有，解得， 又抛物线为抛物线向左平移个单位而来， 抛物线为抛物线向右平移个单位而来， 故抛物线的准线方程为， 抛物线的准线方程为， 即与的准线之间的距离为，故B正确； 对C：由，则， 则，化简得，故或（舍）， 则，由，则该点在上，， 由，则， 则 ， 故，故C正确； 对D：由，当点在上时，即时， 有，则， 当点在上时，即时， 有，则， 即，则对上一点，有， 则， 由对于任意给定的常数，为定值， 则恒成立，即，即的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于对于任意给定的常数，为定值，则当时，需满足. 三、填空题 12．（2021·北京房山·二模）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的对称性知：在上， ∴，可得，即抛物线的方程为. 故答案为：. 13．（2025·四川达州·模拟预测）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 14．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴设出抛物线方程为，再将点代入求解即可． 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点， 所以设抛物线方程为， 将点代入可得， 所以此抛物线的标准方程为． 故答案为：． 四、解答题 15．（2025·四川凉山·三模）已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义列式求解即可； （2）直线与抛物线联立方程，根据韦达定理得，，根据计算可得，再根据化简求值即可. 【详解】（1）抛物线的准线为，焦点 由抛物线定义可得，解得， 故的方程为 （2）设，， 联立， 故，     又则， 由， 解得：或（舍去）， （当且仅当时，等号成立）. 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，直线与抛物线C相交于P点（异于原点），. (1)求抛物线C的方程； (2)设，过P的直线l与C相交于另一点M，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）列方程组求出点的坐标，然后结合及抛物线的定义列方程，从而可求出的值，进而可求出抛物线C的方程； （2）由求出直线MF的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，从而可求出直线l的方程. 【详解】（1）抛物线的准线方程为.   联立方程，解得或（舍去）， 因为，所以，即，     故抛物线C的方程为. （2）由（1）可知，，，       因为，，则，   则直线MF的方程为，        联立，整理得，解得，或，     所以或，         所以或， 所以直线l的方程为，或， 即直线l的方程为，或. 17．（2025·四川南充·一模）在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，且面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，由求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得原点到直线的距离和弦长AB，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为抛物线上一点， 到焦点的距离为1， 所以解得， 所以抛物线的方程； （2）设直线的方程为， 与抛物线方程联立，，消去x得， 由韦达定理得， 原点到直线的距离为：， 弦长， ， 所以， 解得， 所以直线的方程为：. 18．（24-25高三上·广西·期末）已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线写出焦点坐标，再由椭圆参数关系求得、，即可得方程； （2）联立与椭圆，应用韦达定理及弦长公式可得，进而求线段的中垂线方程得到坐标，求出到直线的距离，最后求面积即可. 【详解】（1）由抛物线：的焦点，所以，即， 又的短轴长为，所以，则，故； （2）依题意有，联立，整理得，    设，，显然，则，， 所以， 设线段的中点为，则，， 故线段的中垂线为，令有，故， 所以到直线的距离为， 所以的面积. 19．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义及，求出； （2）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据中点的纵坐标为，可解得结果； （2）设，，求出，利用可得结果. 【详解】（1）由抛物线方程知：，设， 由得：，. （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； （3）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设， 联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 抛物线 知识清单 知识点01：抛物线的概念 知识点02：抛物线的标准方程和简单几何性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：抛物线的定义及应用 题型2：抛物线的标准方程 题型3：抛物线的几何性质 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 知识点02.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 题型1：抛物线的定义及应用 【例1-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·山东泰安·一模）抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 【例1-3】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【变式1-1】（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【变式1-2】（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 【变式1-3】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 题型2：抛物线的标准方程 【例2-1】（2023·福建莆田·模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（      ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 . 【变式2-1】（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（    ） A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x 【变式2-2】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： . 题型3：抛物线的几何性质 【例3-1】（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3-2】（多选）（2025·江西·二模）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【例3-3】（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（多选）（2025·山西太原·一模）已知动点到点和直线的距离和为5，记其轨迹为曲线．点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．对于任意，都存在点，，使得成立 C．当时，若点，关于点对称，则 D．若点，关于点对称，则的取值范围为 【变式3-3】（2024·上海普陀·模拟预测）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 一、单选题 1．（2024·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 2．（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为上一点，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（2025·广西柳州·一模）已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2025·湖南长沙·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 二、多选题 9．（2025·山东·模拟预测）已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 10．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 11．（2025·河南南阳·模拟预测）已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．恒关于点中心对称 B．若，则与的准线之间的距离为 C．若上一点的横坐标，则 D．若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是 三、填空题 12．（2021·北京房山·二模）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 13．（2025·四川达州·模拟预测）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 . 14．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ． 四、解答题 15．（2025·四川凉山·三模）已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，直线与抛物线C相交于P点（异于原点），. (1)求抛物线C的方程； (2)设，过P的直线l与C相交于另一点M，若，求直线l的方程. 17．（2025·四川南充·一模）在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，且面积为4，求直线的方程． 18．（24-25高三上·广西·期末）已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 19．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $