专题03 解直角三角形（期末复习讲义）九年级数学上学期北京版

该初中数学期末复习讲义以“解直角三角形”为核心，通过表格系统梳理锐角三角函数概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用等核心考点，明确复习目标与考情规律，用知识点分点呈现知识脉络，突出重难点内在联系，培养学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分题型设计解题技巧，如“仰角俯角问题”通过构造直角三角形模型转化实际问题，结合典例与变式题培养推理能力和模型意识。分层练习覆盖基础到综合拓展，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切的定义） 能准确说出锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，并能根据直角三角形中两边的长度计算出指定锐角的三角函数值 易错点：①三角函数的定义混淆，特别是正弦和余弦；②在非直角三角形中误用三角函数定义；③计算时忽略“在直角三角形中”这一前提条件。 命题趋势：常结合直角三角形的边长计算考查，多以选择题、填空题形式出现，难度中等偏易 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 能熟练记忆并准确默写30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，并能运用这些特殊值进行计算和化简 易错点：①特殊角三角函数值记忆混淆，尤其是cos60°与sin30°、tan30°与tan60°等；②在计算中符号出错或运算顺序错误。 命题趋势：常直接考查特殊角的三角函数值计算，或结合实数运算、代数式化简求值考查，是基础必拿分点，各种题型均可能涉及 解直角三角形（已知两边求第三边和其他锐角；已知一边一锐角求其他两边和锐角） 能综合运用勾股定理、锐角三角函数的定义，根据直角三角形中已知的边和角（至少有一条边），求出其他所有未知的边和角 易错点：①选择合适的三角函数解决问题存在困难，不知道用正弦、余弦还是正切；②已知斜边和一个锐角求对边或邻边时，公式变形出错；③计算过程中数据处理错误或结果忘记带单位（若题目有单位要求）。 命题趋势：是本章核心考查内容，常以解答题形式出现，题目背景可能与实际问题结合，也可能是纯数学问题，难度中等 解直角三角形的实际应用（如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等问题） 能将实际问题（如测量高度、宽度、距离等）转化为数学模型（构造直角三角形），并运用解直角三角形的知识解决问题，能清晰表达解题过程 易 是期末考查的重点和难点，常以解答题形式出现，题目具有较强的实践性和应用性，分值占比较高，有时会结合方程思想、分类讨论思想考查 知识点01 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。 正弦（sin）：∠A的对边与斜边的比 示例：若a=3，c=5，则。 余弦（cos）：∠A的邻边与斜边的比 示例：若b=4，c=5，则。 正切（tan）：∠A的对边与邻边的比 示例：若a=3，b=4，则。 易错点： 三角函数值仅与锐角大小有关，与三角形边长无关。 分母不为0，无意义。 知识点02 特殊角的三角函数值 锐角α 1 记忆技巧： 和的正弦、余弦值互换，正切值互为倒数（）。 的正弦、余弦值相等，正切值为1。 知识点03 解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知2个元素（至少1条边），可求其余3个元素： 三边关系（勾股定理）： 锐角关系：∠A + ∠B = 边角关系：，，（∠B同理） 示例： 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=2，求b和c。 解： ∠B = 由得： 由勾股定理： 知识点04 解直角三角形的应用 常见术语： 仰角：视线在水平线上方的夹角； 俯角：视线在水平线下方的夹角； 坡度（坡比）：（h为铅直高度，l为水平距离，α为坡角）。 步骤： ① 构造直角三角形； ② 标注已知量与未知量； ③ 选择合适的三角函数建立方程求解。 易错点： 仰角/俯角的顶点在观测点，而非目标点； 坡度i是“铅直高度:水平距离”，而非“高度:坡面距离”。 知识点05 三角函数的增减性 、随α增大而增大； 随α增大而减小。 示例：比较大小： ___ （填“>”“<”） 解：∵ ，且随α增大而增大，∴ 。 知识点06 同角三角函数关系 平方关系： 示例：若，则（锐角A的余弦值为正）。 商数关系： 示例：。 题型一 锐角三角函数的定义及应用 解｜题｜技｜巧 1.明确锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角A的正弦(sinA)等于对边与斜边的比，余弦(cosA)等于邻边与斜边的比，正切(tanA)等于对边与邻边的比。 2.已知直角三角形的两边，可直接利用定义求出锐角的三角函数值；已知一边和一锐角的三角函数值，可通过设未知数，根据定义列方程求解其他边。 3.注意三角函数值是一个比值，与三角形的大小无关，只与锐角的大小有关。 4.在计算时，要准确区分直角三角形的“对边”“邻边”和“斜边”，避免混淆。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求∠A的正弦值、余弦值和正切值。 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，求BC和AC的长。 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=10，求BC和AB的长。 题型二 特殊角的三角函数值的计算与应用 解｜题｜技｜巧 1.牢记30°、45°、60°角的三角函数值：，，；，，；，，。 2.在进行混合运算时，要先将特殊角的三角函数值代入，再按照实数的运算法则进行计算，注意运算顺序和符号。 3.利用特殊角的三角函数值可以解决与特殊直角三角形（如含30°角、45°角的直角三角形）有关的边长计算问题。 【典例】计算： 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，求AB和AC的长。 【变式2】计算： 题型三 解直角三角形的实际应用（仰角、俯角问题） 解｜题｜技｜巧 1.理解仰角和俯角的概念：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。 2.将实际问题转化为数学问题，画出直角三角形模型，明确已知条件（一边和一角或两边）和所求量。 3.在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义列出关系式，求解未知量。如果图形中没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形。 4.注意单位的统一，计算结果要符合实际问题的要求，通常保留根号或按指定精确度取近似值。 【典例】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 题型四 解直角三角形的综合应用（方向角问题） 解｜题｜技｜巧 1.理解方向角的概念：方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度。 2.根据题意画出正确的图形，将方向角转化为直角三角形中的内角，构造直角三角形。 3.结合解直角三角形的知识，利用三角函数或勾股定理求解实际问题中的距离、高度等。 4.注意多个直角三角形的组合问题，找到它们之间的公共边或相等的量，逐步求解。 【典例】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【变式2】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 题型五 坡度坡比问题 解｜题｜技｜巧 1::明确已知量与未知量，建立直角三角形模型 题目中若给出坡度（如 (1:5 ），需转化为，即 ，可设 ( h = k )，( l = 5k )（( k > 0 )），利用参数 k 表示边长，简化计算。 若给出倾斜角，直接利用建立边的关系。 2：结合勾股定理或三角函数列方程求解 若已知斜坡长度 L 和坡度，设 ( h = k )，( l = mk )，则，解得，进而求出 h 和 l 。 若已知高度 h 和坡度 i ，则水平宽度，斜坡长度（利用推导）。 3：注意单位统一与实际问题转化 题目中若涉及多个斜坡（如梯田、道路上下坡），需分别建立直角三角形，明确各三角形的公共边（如高度差、水平距离），避免混淆。 例如：“一段斜坡的坡度为 1:3 ，水平宽度为6米，求斜坡长度”——直接设 h = k ， l = 3k = 6 ，得 k = 2 ， h = 2 )米，斜坡长度米。 4：特殊坡度与角度的快速对应 常见坡度与角度转化：若，则，；若 ，则；若，则。利用特殊角可直接简化计算。 【典例】如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 【变式1】如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 3．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（    ） A． B． C． D．4 4．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 5．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板与地面的夹角，此时另一端B离地面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， (1)测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； (2)若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 12．如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． (1)求斜坡的长度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 13．（1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 14．如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H，经测量，点A距地面，到树的距离．求树的高度． 15．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切的定义） 能准确说出锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，并能根据直角三角形中两边的长度计算出指定锐角的三角函数值 易错点：①三角函数的定义混淆，特别是正弦和余弦；②在非直角三角形中误用三角函数定义；③计算时忽略“在直角三角形中”这一前提条件。 命题趋势：常结合直角三角形的边长计算考查，多以选择题、填空题形式出现，难度中等偏易 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 能熟练记忆并准确默写30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，并能运用这些特殊值进行计算和化简 易错点：①特殊角三角函数值记忆混淆，尤其是cos60°与sin30°、tan30°与tan60°等；②在计算中符号出错或运算顺序错误。 命题趋势：常直接考查特殊角的三角函数值计算，或结合实数运算、代数式化简求值考查，是基础必拿分点，各种题型均可能涉及 解直角三角形（已知两边求第三边和其他锐角；已知一边一锐角求其他两边和锐角） 能综合运用勾股定理、锐角三角函数的定义，根据直角三角形中已知的边和角（至少有一条边），求出其他所有未知的边和角 易错点：①选择合适的三角函数解决问题存在困难，不知道用正弦、余弦还是正切；②已知斜边和一个锐角求对边或邻边时，公式变形出错；③计算过程中数据处理错误或结果忘记带单位（若题目有单位要求）。 命题趋势：是本章核心考查内容，常以解答题形式出现，题目背景可能与实际问题结合，也可能是纯数学问题，难度中等 解直角三角形的实际应用（如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等问题） 能将实际问题（如测量高度、宽度、距离等）转化为数学模型（构造直角三角形），并运用解直角三角形的知识解决问题，能清晰表达解题过程 易 是期末考查的重点和难点，常以解答题形式出现，题目具有较强的实践性和应用性，分值占比较高，有时会结合方程思想、分类讨论思想考查 知识点01 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。 正弦（sin）：∠A的对边与斜边的比 示例：若a=3，c=5，则。 余弦（cos）：∠A的邻边与斜边的比 示例：若b=4，c=5，则。 正切（tan）：∠A的对边与邻边的比 示例：若a=3，b=4，则。 易错点： 三角函数值仅与锐角大小有关，与三角形边长无关。 分母不为0，无意义。 知识点02 特殊角的三角函数值 锐角α 1 记忆技巧： 和的正弦、余弦值互换，正切值互为倒数（）。 的正弦、余弦值相等，正切值为1。 知识点03 解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知2个元素（至少1条边），可求其余3个元素： 三边关系（勾股定理）： 锐角关系：∠A + ∠B = 边角关系：，，（∠B同理） 示例： 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=2，求b和c。 解： ∠B = 由得： 由勾股定理： 知识点04 解直角三角形的应用 常见术语： 仰角：视线在水平线上方的夹角； 俯角：视线在水平线下方的夹角； 坡度（坡比）：（h为铅直高度，l为水平距离，α为坡角）。 步骤： ① 构造直角三角形； ② 标注已知量与未知量； ③ 选择合适的三角函数建立方程求解。 易错点： 仰角/俯角的顶点在观测点，而非目标点； 坡度i是“铅直高度:水平距离”，而非“高度:坡面距离”。 知识点05 三角函数的增减性 、随α增大而增大； 随α增大而减小。 示例：比较大小： ___ （填“>”“<”） 解：∵ ，且随α增大而增大，∴ 。 知识点06 同角三角函数关系 平方关系： 示例：若，则（锐角A的余弦值为正）。 商数关系： 示例：。 题型一 锐角三角函数的定义及应用 解｜题｜技｜巧 1.明确锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角A的正弦(sinA)等于对边与斜边的比，余弦(cosA)等于邻边与斜边的比，正切(tanA)等于对边与邻边的比。 2.已知直角三角形的两边，可直接利用定义求出锐角的三角函数值；已知一边和一锐角的三角函数值，可通过设未知数，根据定义列方程求解其他边。 3.注意三角函数值是一个比值，与三角形的大小无关，只与锐角的大小有关。 4.在计算时，要准确区分直角三角形的“对边”“邻边”和“斜边”，避免混淆。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求∠A的正弦值、余弦值和正切值。 分析与解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，根据勾股定理可得斜边。 ∠A的对边是BC=3，邻边是AC=4，斜边是AB=5。 所以，，。 答案：，， 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，求BC和AC的长。 分析与解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10为斜边，，所以。 根据勾股定理。 答案：BC=6，AC=8 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=10，求BC和AB的长。 分析与解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=10，设BC=12x，则AC=5x，因为AC=10，所以5x=10，解得x=2，所以BC=12x=12×2=24。 根据勾股定理。 答案：BC=24，AB=26 题型二 特殊角的三角函数值的计算与应用 解｜题｜技｜巧 1.牢记30°、45°、60°角的三角函数值：，，；，，；，，。 2.在进行混合运算时，要先将特殊角的三角函数值代入，再按照实数的运算法则进行计算，注意运算顺序和符号。 3.利用特殊角的三角函数值可以解决与特殊直角三角形（如含30°角、45°角的直角三角形）有关的边长计算问题。 【典例】计算： 分析与解答：将特殊角的三角函数值代入式子中，，，，。 则原式。 答案： 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，求AB和AC的长。 分析与解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以BC是∠A的对边，AB是斜边，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得。 根据勾股定理。 答案：AB=10， 【变式2】计算： 分析与解答：代入特殊角的三角函数值，，，，则。 原式。 答案：3 题型三 解直角三角形的实际应用（仰角、俯角问题） 解｜题｜技｜巧 1.理解仰角和俯角的概念：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。 2.将实际问题转化为数学问题，画出直角三角形模型，明确已知条件（一边和一角或两边）和所求量。 3.在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义列出关系式，求解未知量。如果图形中没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形。 4.注意单位的统一，计算结果要符合实际问题的要求，通常保留根号或按指定精确度取近似值。 【典例】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴ 答案：C 【变式1】飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米 答案：A 【变式2】如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查平行线的性质，以及仰角俯角的定义，根据“两直线平行，内错角相等”可得结论． 【详解】解：如图，是水平线，由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴即在点观测点的俯角是 答案：A 题型四 解直角三角形的综合应用（方向角问题） 解｜题｜技｜巧 1.理解方向角的概念：方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度。 2.根据题意画出正确的图形，将方向角转化为直角三角形中的内角，构造直角三角形。 3.结合解直角三角形的知识，利用三角函数或勾股定理求解实际问题中的距离、高度等。 4.注意多个直角三角形的组合问题，找到它们之间的公共边或相等的量，逐步求解。 【典例】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 分析与解答：题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 答案：C 【变式1】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 分析与解答：本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 答案：A 【变式2】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米） （米） 答案：A 题型五 坡度坡比问题 解｜题｜技｜巧 1::明确已知量与未知量，建立直角三角形模型 题目中若给出坡度（如 (1:5 ），需转化为，即 ，可设 ( h = k )，( l = 5k )（( k > 0 )），利用参数 k 表示边长，简化计算。 若给出倾斜角，直接利用建立边的关系。 2：结合勾股定理或三角函数列方程求解 若已知斜坡长度 L 和坡度，设 ( h = k )，( l = mk )，则，解得，进而求出 h 和 l 。 若已知高度 h 和坡度 i ，则水平宽度，斜坡长度（利用推导）。 3：注意单位统一与实际问题转化 题目中若涉及多个斜坡（如梯田、道路上下坡），需分别建立直角三角形，明确各三角形的公共边（如高度差、水平距离），避免混淆。 例如：“一段斜坡的坡度为 1:3 ，水平宽度为6米，求斜坡长度”——直接设 h = k ， l = 3k = 6 ，得 k = 2 ， h = 2 )米，斜坡长度米。 4：特殊坡度与角度的快速对应 常见坡度与角度转化：若，则，；若 ，则；若，则。利用特殊角可直接简化计算。 【典例】如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 分析与解答：本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 答案：C 【变式1】如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 分析与解答：本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：米， ， 米 她在水平方向走了米， 答案：A 【变式2】2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 分析与解答：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米 答案：B 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论错误，不符合题意； D、，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，根据网格特点，结合正切值的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选D． 4．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解：，高为10丈， ， ， 故选：A． 5．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：米， ， 米 她在水平方向走了米， 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板与地面的夹角，此时另一端B离地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决本题的关键．过点B作，先利用平行线分线段成比例定理求出，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点 ，O是的中点， 在中， ， 故选：D. 7．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 8．如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理的运用、角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到M，过点A作于点，先运用勾股定理求出的值，再证明，进而求出可得结论． 【详解】解：如图，延长到M，过点A作于点， ，， ， ， ， 过点E作于点F，于点G，于点H， 和的平分线交于点E， ∴， ∴， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， (1)测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； (2)若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 【答案】(1)该火车超速，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程 （1）过A作于E，根据三角函数得出，进而解答即可； 作于F，根据直角三角形的三角函数解答即可． 【详解】（1）该火车超速，理由如下： 火车限速为，则每秒限速为， 过A作于E， ，， ， ， 在中，， ， ， 则该火车速度为， ， 该火车超速了； （2）作于F， 由知，中，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 12．如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． (1)求斜坡的长度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线． （1）根据含有的直角三角形的性质可得出斜坡的长度； （2）过A作于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：如图，过A作于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 13．（1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）． 【分析】本题考查了二次根式的加减，含三角函数值的混合运算，用公式法、因式分解法解一元二次方程，灵活运用相关知识正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行计算； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， ， ； （3） ， ， ， ， ； （4）， ， ， 或 ． 14．如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H，经测量，点A距地面，到树的距离．求树的高度． 【答案】树的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 15．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 【答案】(1)建筑物的高度为米； (2)米；行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 【分析】本题主要考查解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）过作于点，则有四边形是矩形，所以米，米，求出（米），然后通过线段和差即可求解； （2）①分别求出（米），（米），然后通过线段和差即可求解； ②利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）； ∵米， ∴， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $