第二十章 解直角三角形（知识清单）数学北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． 　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． 　③边角之间的关系： sin A = ， cos A= ， tan A = sin B = ，. 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°． （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 一..锐角三角函数概念 1.正弦、余弦、正切的定义 错误：正弦、余弦、正切的定义混淆 注意：正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    2.正弦、余弦、正切定义的本质 错误：对正弦、余弦、正切中线段的比理解不深刻 注意：正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 3网格中的锐角三角函数值 错误：不会依托网格的特点构造直角三角形 注意：这是一类重要的常考题型，解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 3. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为　　 A． B． C． D． 【分析】作CD⊥AB于点D，利用勾股定理计算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案． 【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝， BD＝＝2， 故tan∠ABC＝＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题． 二..特殊角的三角函数值 1. 特殊角的三角函数值的运算 错误：记错特殊角三角函数值 注意：有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2.特殊角的三角函数值的混合运算 错误：忘记零指数幂、负整数指数幂的计算公式而导致与特殊角的三角函数值的混合运算致错 注意：熟记零指数幂、负整数指数幂的计算公式及绝对值的化简法则同时关注运算顺序 5．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等运算在二次根式计算中的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等法则计算，再按照二次根式的加减运算计算即可． 【详解】解： ． 3. 解直角三角形 1解直角三角形 错误：忽视三角函数是在直角三角形中进行定义的 注意：题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出． 由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值， 【详解】 解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴=， 故答案为： 2.作垂线解斜三角形 错误：不能充分依托已知条件构造恰当的直角三角形 注意：解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 7.在△ABC中，，，，则　 　． ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 4. 解直角三角形的实际应用 1.仰角、俯角的概念 错误：不能在实际问题中准确的确定仰角、俯角都是视线与水平线的夹角。 注意：正确理解仰角、俯角的概念，准确在图形中标记仰角和俯角。 8．小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    【答案】楼房的高度约为 【分析】延长交延长线于点，由题意可知，设，在中，，根据正切的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】解如图，延长交延长线于点，    ， ， 由题意可知，设， ，， 在中，， ，即， 解得． 答楼房的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 2.方向角的概念 错误：不能在实际问题中准确的确定方向角和方位角。 注意：正确理解方向角的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合， 9.某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． （1）求的度数； （2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠ECB的度数，则∠ACB即可求得； （2）作BH⊥AC于点H，解直角△BCH，求出BH，解直角△ABH，求出AB，进而求得时间． 【答案】解：（1）∵BD∥CE， ∴∠DBC+∠ECB＝180°， ∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°， ∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°； （2）如图，作BH⊥AC，垂足为H． 在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°． ∵∠ACB＝30°， ∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18， ∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝， ∴AB＝＝＝18． 则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）． 答：B船约0.85小时能到达A船出事地点． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 3.坡角、坡比的概念 错误：不能在应用问题中准确的确定坡角、坡比的实际意义。 注意：正确理解坡角、坡比的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合 10．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，正确理解坡度的定义是解题关键．根据坡度的定义求解即可． 【详解】 解：由题意知，，斜坡的坡度，， 设N与M的垂直高度， 根据坡度为，则， 根据勾股定理得 ：， 解得：（舍负值）． 故答案为： 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 2. 在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是　　 A． B．3 C． D． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可． 【答案】解：设BC＝x，则AB＝3x， 由勾股定理得，AC＝＝2x， 则tanB＝＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3. .在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可． 【答案】解：设BC为x，则AB＝3x， 由勾股定理得，AC＝＝＝2x， ∴sinB＝＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比 4. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 在中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 5. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC＝＝5， ∵AC•BD＝5， ∴BD＝， 由勾股定理可知：BC＝＝， ∴sin∠ACB＝＝＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键． 6. 计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值， （1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可． 掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 7.计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． 先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】 解： ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 9.在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 10.如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 11.在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12.（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 15.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．    【答案】 【分析】在图中共有三个直角三角形，即、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决． 【详解】解：作于点，于点， 在中，，， （米）． 设米， ， ． 在中，，，， ， ， 解得． 答：此人所在位置点的铅直高度米， 故答案为：．    【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 解直角三角形 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的 ，也叫做∠B的 ，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的 ，也是∠A的 ，直角C所对的边AB记为c，叫做 ． 锐角A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的 与 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 锐角三角函数：锐角A的 都是∠A的三角函数．（其中： ＜∠A＜ ） 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即 和 ． 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系： 勾股定理）． 　②锐角之间的关系： ． 　③边角之间的关系： sin A = ，cos A= ， tan A = sin B = ，. 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有 )，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为 模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为 关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并 是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 坡度、坡角 坡度：坡面的 和 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角： 与 的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的 ，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度 . 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角 视角： 与 的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按 转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是 ， ， ． （2）方向角： 方向线与 线所成的小于 的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示 30°， 45°， 80°， 60°．特别如：东南方向指的是 ，东北方向指的是 ，西南方向指的是 ，西北方向指的是 ． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为 或 来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 一..锐角三角函数概念 1.正弦、余弦、正切的定义 错误：正弦、余弦、正切的定义混淆 注意：正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2.正弦、余弦、正切定义的本质 错误：对正弦、余弦、正切中线段的比理解不深刻 注意：正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 3网格中的锐角三角函数值 错误：不会依托网格的特点构造直角三角形 注意：这是一类重要的常考题型，解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 3. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为　　 A． B． C． D． 二..特殊角的三角函数值 1. 特殊角的三角函数值的运算 错误：记错特殊角三角函数值 注意：有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）计算： ． 2.特殊角的三角函数值的混合运算 错误：忘记零指数幂、负整数指数幂的计算公式而导致与特殊角的三角函数值的混合运算致错 注意：熟记零指数幂、负整数指数幂的计算公式及绝对值的化简法则同时关注运算顺序 5．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 3. 解直角三角形 1解直角三角形 错误：忽视三角函数是在直角三角形中进行定义的 注意：题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为 ． 2.作垂线解斜三角形 错误：不能充分依托已知条件构造恰当的直角三角形 注意：解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 7.在△ABC中，，，，则　 　． ． 4. 解直角三角形的实际应用 1.仰角、俯角的概念 错误：不能在实际问题中准确的确定仰角、俯角都是视线与水平线的夹角。 注意：正确理解仰角、俯角的概念，准确在图形中标记仰角和俯角。 8．小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    2.方向角的概念 错误：不能在实际问题中准确的确定方向角和方位角。 注意：正确理解方向角的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合， 9.某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． （1）求的度数； （2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，． 3.坡角、坡比的概念 错误：不能在应用问题中准确的确定坡角、坡比的实际意义。 注意：正确理解坡角、坡比的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合 10．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2. 在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是　　 A． B．3 C． D． 3. .在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 4. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 5. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为　　 A． B． C． D． 6. 计算： (1)． (2) 7.计算 ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 9.在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 10.如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 11.在中，，，，求的长． 12.（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是 米． 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 15.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $