第二十章解直角三角形（复习讲义）数学北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形（复习讲义） 1. 理解锐角三角函数的定义及它们在直角三角形中的应用。 ①掌握锐角三角函数定义；②会根据直角三角形的边长求一个锐角的三角函数值，并且能利用三角函数求直角三角形的边长. 2． 熟练运用三角函数进行计算，会使用计算器解决三角函数中的问题。 ①会结合图形推算30°、45°、60°角的三角函数值，②熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式.③熟练运用计算器解决三角函数中的问题。 3．理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.。会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 ①理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系:②根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素， 4. 通过实例分析，建立直角三角形模型，解决实际问题，增强建模能力。 ①将实际问题转化为数学问题，并能根据直角三角形中的已知条件，合理选择关系式，迅速准确求出未知元素;②弄清相关概念，例如仰角、俯角、坡度、坡角等的意义: 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，． 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 　 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： （1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示． 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成的形式． 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图． 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°． （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 题型一 锐角三角函数定义义 【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 【例1】在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可． 【答案】解：设BC为x，则AB＝3x， 由勾股定理得，AC＝＝＝2x， ∴sinB＝＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比 【变式1-1】如图，在中，，那么cos的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义. 【变式1-2】在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是　　 A． B．3 C． D． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可． 【答案】解：设BC＝x，则AB＝3x， 由勾股定理得，AC＝＝2x， 则tanB＝＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【变式1-3】如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的　　 A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可． 解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∴sin∠BCD＝sinA＝＝＝， 即只有选项C错误，选项A、B、D都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝． 题型二 网格中的锐角三角函数值 【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 【例2】将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为　 　． 【答案】 【分析】直接连接，进而得出，再利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：如图所示：连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：． ． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【变式2-1】由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为　　 A． B． C． D． 【分析】作CD⊥AB于点D，利用勾股定理计算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案． 【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝， BD＝＝2， 故tan∠ABC＝＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题． 【变式2-2】如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 在中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 【变式2-3】如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC＝＝5， ∵AC•BD＝5， ∴BD＝， 由勾股定理可知：BC＝＝， ∴sin∠ACB＝＝＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键． 题型三 锐角三角函数的增减性 【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 【例3】已知是锐角三角形，若，则（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解． 【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC， 则∠C＞∠B， 则sinB＜sinC． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 【变式3-1】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的增减性先判断解答．、大小，再进而判定其他类型三角函数值大小即可． 【详解】解：∵   、都是锐角，且， ∴   ， ∴   ，，． 故选： 【点睛】本题考查了三角函数的增减性，熟知各类三角函数的增减性是解题关键． 【变式3-2】比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（   ） A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40° 【答案】A 【分析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小． 【变式3-3】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）    A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随着动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大， 又∵动力臂， ∴此时动力臂也越来越大， ∴此时的动力越来越小， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 题型四 互余两角三角函数的关系 【例4】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式4-1】化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键． 【变式4-2】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦． 【变式4-3】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　． 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【答案】解：∵∠A＝90°，AD⊥BC， ∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°， ∴∠α＝∠B，∠β＝∠C， ∴sinα＝sinB，故①正确； sinβ＝sinC，故②正确； ∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝， ∴sinB＝cosC，故③正确； ∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC， ∴sinα＝cos∠β，故④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 题型五 特殊角三角函数值的计算 【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值. 【例5】计算：的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2 ＝+﹣+ ＝+； （2）原式＝＝． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【变式5-2】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值， （1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可． 掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式5-3】计算： ． 【答案】0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案； 【详解】原式 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 题型六 解直角三角形 【方法点拨】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） （1） 三边之间的关系：a2+b2=c2． （2） 两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． （3） 边角之间的关系 （4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 【例6】如图，在矩形中，，，E是上一点，于点F，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，； 故选A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及三角函数，熟练掌握矩形的性质及三角函数是解题的关键． 【变式6-1】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式6-2】如图，在中，于点，，点是的中点，，，求的值和的长． 【分析】利用已知表示出BC，CD的长，再利用勾股定理表示出AB的长，进而求出sin∠ECB的值和AD的长． 【答案】解：∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°． ∵点E是AB的中点，CE＝1， ∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2， ∴∠B＝∠ECB． ∵＝， ∴设BC＝3x，CD＝2x． 在Rt△ACD中，tanD＝2， ∴＝2， ∴AC＝4x．在Rt△ACB中， 由勾股定理得AB＝＝5x， ∴sin∠ECB＝sinB＝＝． 由AB＝2，得x＝， ∴AD＝＝＝2x＝2×＝． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确表示出AB的长以及锐角三角三角函数关系是解题关键． 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点B在轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得对应，且点D落在边上，交轴于点E，则线段的长度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数求出，再由旋转的性质可知，，再求出的长，然后根据即可得出结果． 【详解】在中，，点A的坐标为， ，， ，， 由旋转可知：，， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，掌握坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识是解题的关键． 题型七 作垂线解斜三角形 【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 【例7】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式7-1】如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【变式7-2】在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式7-3】在△ABC中，，，，则　 　． ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 题型八 解直角三角形的应用之坡度坡角问题 【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h：l的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例8】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，过点于点F，可得四边形是矩形，再由长6米，坡度为，可得到米，然后根据的坡度为，可得米，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵长6米，坡度为， ∴米， ∴米， ∵的坡度为， ∴米， ∴米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度的比是解题的关键． 【变式8-1】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中，迎水坡AB的坡角，背水坡CD的坡比为，斜坡AB长8m，则背水坡CD的长为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，AD∥BC， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，正确得出的度数是解题关键． 【变式8-2】如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．    (1)求斜坡的坡角的度数； (2)求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2)16.0米 【分析】（1）过点作于点，由，可得； （2）由、知米，再由可得答案． 【详解】（1）∵ ∴ （2）作垂足为    在中，     在矩形中   在Rt△BCE中 ∴ ∴（米） 答：的长是米 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念和坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式8-3】如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌，点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为α，且．沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计）    (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明． 【答案】(1)点B距水平地面的高度为5米； (2)符合要求．理由见解析 【分析】（1）过点B作交延长线于M，根据坡度的意义，求出，再利勾股定理求解即； （2）过点B作于E，先求出米，然后证明四边形是矩形，得到，米，即可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作交延长线于M，    ∵山坡的坡度比， ∴，即， ∵即， ∴米， ∴点B距水平地面的高度为5米； （2）解：过点B作于E，    由（1）得米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴（米）， ∴， ∴符合要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，坡度等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．题型九 解直角三角形的应用之仰角俯角问题 【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例9】如图所示，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数）．(参考数据：，，) 【答案】该建筑的高度约为 【分析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【详解】如图，过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得：，， 在中，， ∴， 在中，， ． ∵， ∴． 答：该建筑的高度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式9-1】某校九年级“综合与实践”小组开展“蔡明园南天门高度的测量”实践活动．请你帮他们完成下面的实践报告． “蔡明园南天门高度的测量”的实践报告 活动课题 蔡明园南天门高度的测量 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 角度测量仪、皮尺等测量工具 方案示意图      测量步骤 如图② （1）利用角度测量仪站在点B处测得南天门最高点P的仰角为； （2）前进了10米到达A处（测点A、B与O在同一水平线上，A、B两点之间的距离可用皮尺直接测得，角度测量仪的高度忽略不计），在点A处测得点P的仰角为． 参考数据 ，， 计算南天门OP的高度（结果精确到1米） 【答案】35米 【分析】设为x米，在中，根据，，得出，根据，求出，得出米． 【详解】解：设OP为x米 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，∴ ∴米． 所以，蔡明园南天门高度约为35米．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合． 【变式9-2】小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    【答案】楼房的高度约为 【分析】延长交延长线于点，由题意可知，设，在中，，根据正切的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】解如图，延长交延长线于点，    ， ， 由题意可知，设， ，， 在中，， ，即， 解得． 答楼房的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式9-3】我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段的长）．直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为，点的仰角为，在处测得点的仰角为，米．且、、三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽的长．（结果保留根号） 【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA＝PN，设PA＝PN＝x米，解Rt△APM得到MP＝AP•tan∠MAP＝x，然后在Rt△BPM中，根据tan∠MBP＝列方程即可得到结论． 【答案】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°， ∴PA＝PN， 在Rt△APM中，tan∠MAP＝， 设PA＝PN＝x米， ∵∠MAP＝60°， ∴MP＝AP•tan∠MAP＝x， 在Rt△BPM中，tan∠MBP＝， ∵∠MBP＝30°，AB＝5， ∴＝， ∴x＝， ∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝， 答：广告牌的宽MN的长为米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键． 题型十 解直角三角形的应用之方向角问题 【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【例10】某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． （1）求的度数； （2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠ECB的度数，则∠ACB即可求得； （2）作BH⊥AC于点H，解直角△BCH，求出BH，解直角△ABH，求出AB，进而求得时间． 【答案】解：（1）∵BD∥CE， ∴∠DBC+∠ECB＝180°， ∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°， ∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°； （2）如图，作BH⊥AC，垂足为H． 在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°． ∵∠ACB＝30°， ∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18， ∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝， ∴AB＝＝＝18． 则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）． 答：B船约0.85小时能到达A船出事地点． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 【变式10-1】一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）这条河的宽度是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于D．构造直角三角形，设，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于D． 设， 在中， ∵， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【变式10-2】九年级一班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表： 课题 测量公园人工湖亭子A与正东方向的亭子B之间的距离 测量 示意图   如图，在P点用测角器测得亭子A，B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离 测量数据 根据以上内容，解决问题：求出亭子A与亭子B之间的距离(结果精确到1，参考数据：，，，)． 【答案】292米 【分析】作于点，在直角中求得和的长，然后在直角中利用三角函数求得的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点．    由题意得，，． 在直角中，， （米）， （米）， 在直角中，， （米）， 则（米）． 答：亭子与亭子之间的距离约为292米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【变式10-3】在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)AC=200海里，AD=200(-1)海里 (2)无触礁的危险 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长； （2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】（1）如图，作CE⊥AB于E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°=x， 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100． ∴AC＝2x＝200海里． ∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°， ∴∠ACB=∠ADC=75°， ∵∠BAC=∠CAD， ∴△ABC∽△ACD ∴， ∴， ∴AD=200(-1) （2）在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（−1）， ∴DF＝y=×100（−1）≈126.8（海里）， ∵126.8＞100， ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的值，再根据正切定义解答即可． 本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握勾股定理，正切定义，是解决问题的关键． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．在中，，，，下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可． 【详解】解，，， . A.，故此选项正确； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 3．如果∠为锐角，且sin＝0.6，那么的取值范围是（   ） A．0°＜≤30° B．30°＜＜45° C．45°＜＜60° D．60°＜≤90° 【答案】B 【分析】由sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinα=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案． 【详解】∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinα=0.6，且sinα随α的增大而增大， ∴30°＜α＜45°． 故选B． 【点睛】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大． 4．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】由题意可知． ∵，米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握余弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得到sinA＝，可设a＝3k，c＝5k，根据勾股定理和余弦的定义计算即可； 【详解】∵sinA＝，∴可设a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b＝4k，∴cosA＝＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 二、填空题 6．的值是 ． 【答案】 【详解】分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可：． 7．如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．    【答案】 【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可． 【详解】解： ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，． 【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值． 8．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，则的正切值是 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，利用网格中小正方形，求出，，的长，得到，由此求出的正切值． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．    【答案】## 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意可知,， 设为x， ，， 根据，可得方程， 解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点，    ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可； （）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可； 本题考查了特殊三角函数值混合运算，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 12．如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长． （2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出． 【详解】（1）解：设， 在中，，即， ∴． ∵， ∴， ∴， 在，，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴． （2）解：如图所示，过点D作于点E，    在中，， ∴， ∵， 由（1）知． ∴， ∴． 13．如图所示为某游乐场中跷跷板游戏的示意图，跷跷板的长为，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为，求此时跷跷板与地面所成的锐角的度数（精确到）．    【答案】此时跷跷板与地面所成的锐角的度数为 【分析】过点作垂直于地面，垂足为．在中先求出的正弦值，再利用科学计算器求出的度数． 【详解】解：如图，过点作垂直于地面，垂足为．    由题意知；． 在中， ． ． 答：此时跷跷板与地面所成的锐角的度数为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形能利用科学计算器是解决本题的关键． 14．如图1所示的是一套车牌识别系统，将其抽象成如图2所示的示意图，摄像头可绕点旋转，与地面形成的角度为，立柱与地面垂直，高度为．当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，某款小汽车车牌上方距离地面．（结果精确到，参考数据：．）    (1)若，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离； (2)若的最大值为，求系统能识别该汽车车牌的最大距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】将具体问题几何化，转为解直角三角形，由于只涉及垂直距离与水平距离，可使用正切值求得水平距离，即可求得系统能识别汽车车牌的距离． 【详解】（1）如图，为车牌上方距离地面的高度，，    ， ， ． 故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为． （2）如图，， ， ， ． 故系统能识别该汽车车牌的最大距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数中边角的关系． 15．如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为． (1)求坝底的长； (2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到） 【答案】(1) (2)加固总长5千米的堤坝共需土方 【分析】（1）过点作于，可得：，利用坡比求出的长，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，利用，即可得解； （2）过点F作于G，求出梯形的面积，再乘以总长即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作于， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）解：过点F作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴加固总长5千米的堤坝共需土方：． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 能力提升进阶练 一、单选题 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 【答案】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则 sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误； tanA＝，则b＝，故B选项错误； cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义 2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设BC=，AB=，根据勾股定理求出AC=，再根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴设BC=，AB=， 由勾股定理得：AC=， ∴tanA=， 即∠A的正切值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． 3．如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图取格点，连接、．设小菱形的边长为．首先证明，再证明，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图取格点，连接、．设小菱形的边长为． ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 依题意，则是等边三角形， 则，， ， ，，    如图所示，过点作，∵， ∴，， ∴， 又∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：设，交于点， 由题意得， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 故， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ．    故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键． 5．如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴ ∴ ∴直线l与x轴夹角为， ∵为x轴上一点，且，，轴 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 同理， … ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律． 二、填空题 6．如图，在菱形中，菱形的周长为20，，垂足为E，，则的长是 ．    【答案】3 【分析】由菱形的周长为20，推出，由，推出，在中，，推出． 【详解】解：菱形的周长为20， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题，中考常考题型． 7．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得，，，则原来的三角形纸片的面积是 ．（结果精确到，参考数据：，，．） 【答案】201 【分析】先延长直角三角形的两边相交于点，利用，求出直角边的长，即可求出三角形纸片的面积． 【详解】如图延长直角三角形的两边相交于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案是201． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及三角形的面积，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 8．．如图是武汉某地铁站的一个智能通道闸机，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，扇形的圆心角，半径，通道关闭时，则闸机通道的宽度 ．（参考数据：，，） 【答案】// 【分析】如图所示，连接并延长交于点，交于点，可得，，的长度就是与的距离，，在中，根据勾股定理可求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点，交于点， 由点与点在同一水平线上，和均垂直于地面可知， ∴，， ∴的长度就是与的距离， 由两圆弧翼成轴对称可知，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，利用锐角三角函数解决问题是解题关键． 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 【答案】 【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作， ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键． 10．如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分四种情况：当点在点右侧，在上方时；当点在点左侧，在上方时；当点在右侧，在上方时；当点在点左侧，在点上方时；分别画出图形，根据正方形的性质、通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：分四种情况： ①如下图，当点在点右侧，在上方时．    在直角三角形中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ②如下图，当点在点左侧，在上方时．    设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：，即． ③如下图，当点在右侧，在上方时．    设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：，即． ④如下图，当点在点左侧，在点上方时．    在直角三角形中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，正确分类、熟练解直角三角形是解题的关键． 三、解答题 11．为了保证端午龙舟赛在我市浏阳河水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到浏阳河水域考查水情，从岸边的A处以的速度前往南偏西45°方向的B处设置浮标，用时1分钟，之后从B处出发，以的速度继续行驶45秒前往南偏东75°方向的C处清理障碍物.（，，结果保留整数） （1）在工作人员由B处前往C处的过程中，距离A处最近时距离约为多少？ （2）求C处到A处的距离. 【答案】（1）在工作人员由B处前往C处的过程中，距离A处最近时距离约为519米；（2）C处到A处的距离约为795米 【分析】（1）过点A作于点D，利用即可求解； （2）连接，由（1）可求出，再求出CD，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）如解图，过点A作于点D，由题可得， 在中，， ∴， 答：在工作人员由B处前往C处的过程中，距离A处最近时距离约为519米； （2）如解图，连接，由（1）可得，， ∴. 在中，， 答：C处到A处的距离约为795米. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解. 12.某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 【答案】建筑物的高度为. 【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解. 【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为. ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，. ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴，. 根据题意，，， 在中，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，. 又∵， ∴，解得， ∴. 答：建筑物的高度为. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义. 13.（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又， ， ， ． 14..陕甘边革命根据地纪念碑是为了纪念陕甘边革命根据地创建80周年而修建．为继承优良革命传统，弘扬爱国主义精神，清明期间，某校组织学生前往陕甘边革命根据地缅怀革命先烈．借此机会数学小组成员开展了测量纪念碑高度的项目主题活动． 方案设计：如图，组员甲用测角仪在D处测出纪念碑顶端A的仰角∠ADM，组员乙从C处垂直升起一架无人机到E处，从E处测得纪念碑顶端A的俯角∠AEN． 数据收集：∠ADM＝38.8°，∠AEN＝16.8°，测角仪到地面的高度CD＝1m，无人机在E处到地面的高度EC＝45m． 已知条件：AB⊥BC，DC⊥BC，E、D、C三点在一条直线上． 参考数据：sin16.8°≈0.29，cos16.8°≈0.96，tan16.8°≈0.30，sin38.8°≈0.63，cos38.8°≈0.78，tan38.8°≈0.80． 项目任务：请根据以上过程，求出陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB． 【分析】如图，过A作AK⊥DE于K，结合题意可得：设EK＝x，而CE＝45，DK＝45﹣1﹣x＝44﹣x，表示，再进一步利用锐角三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过A作AK⊥DE于K，结合题意可得： 四边形ABCK是矩形，∠AEN＝∠EAK＝16.8°，∠ADM＝∠DAK＝38.8°， AB＝CK＝CD+DK＝1+DK， 设EK＝x，而CE＝45， ∴DK＝45﹣1﹣x＝44﹣x， ∵tan16.8°≈0.30， ∴， ∴， ∵tan38.8°≈0.80， ∴， ∴， 解得：x＝12，经检验符合题意； ∴AB＝CK＝45﹣x＝45﹣12＝33（m）， ∴陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB为33m． 15.（2025九年级下·北京·专题练习）【研学实践】“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由对称的性质可得，，，再解直角三角形得出，进而完成解答； （2）如图：作于，四边形为矩形得出，再解直角三角形得出，然后分别求出和时的值，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴． （2）解：如图：作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 当时，， 当时，， ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，点E下降的高度为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 解直角三角形（复习讲义） 1. 理解锐角三角函数的定义及它们在直角三角形中的应用。 ①掌握锐角三角函数定义；②会根据直角三角形的边长求一个锐角的三角函数值，并且能利用三角函数求直角三角形的边长. 2． 熟练运用三角函数进行计算，会使用计算器解决三角函数中的问题。 ①会结合图形推算30°、45°、60°角的三角函数值，②熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式.③熟练运用计算器解决三角函数中的问题。 3．理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.。会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 ①理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系:②根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素， 4. 通过实例分析，建立直角三角形模型，解决实际问题，增强建模能力。 ①将实际问题转化为数学问题，并能根据直角三角形中的已知条件，合理选择关系式，迅速准确求出未知元素;②弄清相关概念，例如仰角、俯角、坡度、坡角等的意义: 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，． 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 　 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： （1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示． 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成的形式． 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图． 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°． （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 题型一 锐角三角函数定义义 【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 【例1】在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，那么cos的值为（ ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是　　 A． B．3 C． D． 【变式1-3】如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的　　 A． B． C． D． 题型二 网格中的锐角三角函数值 【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 【例2】将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为　 　． 【变式2-1】由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为　　 A． B． C． D． 【变式2-2】如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为　　 A． B． C． D． 题型三 锐角三角函数的增减性 【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 【例3】已知是锐角三角形，若，则（　　　） A． B． C． D． 【变式3-1】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（   ） A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40° 【变式3-3】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）    A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定 题型四 互余两角三角函数的关系 【例4】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【变式4-2】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　． 题型五 特殊角三角函数值的计算 【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值. 【例5】计算：的值为 ． 【变式5-1】计算： （1）； （2）． 【变式5-2】计算： (1)． (2) 【变式5-3】计算： ． 题型六 解直角三角形 【方法点拨】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） （1） 三边之间的关系：a2+b2=c2． （2） 两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． （3） 边角之间的关系 （4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 【例6】如图，在矩形中，，，E是上一点，于点F，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，于点，，点是的中点，，，求的值和的长． 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点B在轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得对应，且点D落在边上，交轴于点E，则线段的长度是（　　）    A． B． C． D． 题型七 作垂线解斜三角形 【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 【例7】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式7-1】如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式7-2】在中，，，，求的长． 【变式7-3】在△ABC中，，，，则　 　 ． 题型八 解直角三角形的应用之坡度坡角问题 【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h：l的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例8】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（    ）米 A． B． C． D． 【变式8-1】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中，迎水坡AB的坡角，背水坡CD的坡比为，斜坡AB长8m，则背水坡CD的长为（   ） A．m B．m C．m D．m 【变式8-2】如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．    (1)求斜坡的坡角的度数； (2)求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米） 【变式8-3】如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌，点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为α，且．沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计）    (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明． 题型九 解直角三角形的应用之仰角俯角问题 【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例9】如图所示，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数）．(参考数据：，，) 【变式9-1】某校九年级“综合与实践”小组开展“蔡明园南天门高度的测量”实践活动．请你帮他们完成下面的实践报告． “蔡明园南天门高度的测量”的实践报告 活动课题 蔡明园南天门高度的测量 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 角度测量仪、皮尺等测量工具 方案示意图      测量步骤 如图② （1）利用角度测量仪站在点B处测得南天门最高点P的仰角为； （2）前进了10米到达A处（测点A、B与O在同一水平线上，A、B两点之间的距离可用皮尺直接测得，角度测量仪的高度忽略不计），在点A处测得点P的仰角为． 参考数据 ，， 计算南天门OP的高度（结果精确到1米） 【变式9-2】小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    【变式9-3】我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段的长）．直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为，点的仰角为，在处测得点的仰角为，米．且、、三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽的长．（结果保留根号） 题型十 解直角三角形的应用之方向角问题 【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【例10】某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． （1）求的度数； （2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，． 【变式10-1】一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）这条河的宽度是（  ） A． B． C． D． 【变式10-2】九年级一班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表： 课题 测量公园人工湖亭子A与正东方向的亭子B之间的距离 测量 示意图   如图，在P点用测角器测得亭子A，B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离 测量数据 根据以上内容，解决问题：求出亭子A与亭子B之间的距离(结果精确到1，参考数据：，，，)． 【变式10-3】在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 基础巩固通关测 一、单选题 1．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．如果∠为锐角，且sin＝0.6，那么的取值范围是（   ） A．0°＜≤30° B．30°＜＜45° C．45°＜＜60° D．60°＜≤90° 4．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的值是______ ． 7．如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则______ ．    8．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，则的正切值是______ 9．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 ______ 海里．    10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为______ ．    三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，． (1)求边的长； (2)求的值． 13．如图所示为某游乐场中跷跷板游戏的示意图，跷跷板的长为，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为，求此时跷跷板与地面所成的锐角的度数（精确到）．    14．如图1所示的是一套车牌识别系统，将其抽象成如图2所示的示意图，摄像头可绕点旋转，与地面形成的角度为，立柱与地面垂直，高度为．当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，某款小汽车车牌上方距离地面．（结果精确到，参考数据：．）    (1)若，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离； (2)若的最大值为，求系统能识别该汽车车牌的最大距离． 15．如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为． (1)求坝底的长； (2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到） 能力提升进阶练 一、单选题 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的正切值为（　　） A． B． C． D． 3．如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 4．如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在菱形中，菱形的周长为20，，垂足为E，，则的长是______ ．    7．如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得，，，则原来的三角形纸片的面积是______ ．（结果精确到，参考数据：，，．） 8．．如图是武汉某地铁站的一个智能通道闸机，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，扇形的圆心角，半径，通道关闭时，则闸机通道的宽度 ______ ．（参考数据：，，） 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ______． 10．如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为_____ ． 三、解答题 11．为了保证端午龙舟赛在我市浏阳河水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到浏阳河水域考查水情，从岸边的A处以的速度前往南偏西45°方向的B处设置浮标，用时1分钟，之后从B处出发，以的速度继续行驶45秒前往南偏东75°方向的C处清理障碍物.（，，结果保留整数） （1）在工作人员由B处前往C处的过程中，距离A处最近时距离约为多少？ （2）求C处到A处的距离. 12.某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 13.（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 14..陕甘边革命根据地纪念碑是为了纪念陕甘边革命根据地创建80周年而修建．为继承优良革命传统，弘扬爱国主义精神，清明期间，某校组织学生前往陕甘边革命根据地缅怀革命先烈．借此机会数学小组成员开展了测量纪念碑高度的项目主题活动． 方案设计：如图，组员甲用测角仪在D处测出纪念碑顶端A的仰角∠ADM，组员乙从C处垂直升起一架无人机到E处，从E处测得纪念碑顶端A的俯角∠AEN． 数据收集：∠ADM＝38.8°，∠AEN＝16.8°，测角仪到地面的高度CD＝1m，无人机在E处到地面的高度EC＝45m． 已知条件：AB⊥BC，DC⊥BC，E、D、C三点在一条直线上． 参考数据：sin16.8°≈0.29，cos16.8°≈0.96，tan16.8°≈0.30，sin38.8°≈0.63，cos38.8°≈0.78，tan38.8°≈0.80． 项目任务：请根据以上过程，求出陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB． 15.（2025九年级下·北京·专题练习）【研学实践】“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $