专题01 圆中求角导角问题（八大题型）（专项训练）数学北京版九年级上册

专题01 圆中求角导角问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角、圆周角、等弧概念辨析 1 题型二、用同圆半径相等求角 2 题型三、用半圆 (直径)对90°圆周角求角 3 题型四、用弧弦圆心角的关系求角 4 题型五、用同弧（或等弧）对的圆周角相等求角 5 题型六、用圆周角定理求角 6 题型七、用圆内接四边形求角 8 题型八、求圆弧的度数 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角、圆周角、等弧概念辨析 1．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．  B．   C．   D．   2．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 3．下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 4．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 题型二、用同圆半径相等求角 【方法点拨】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，同圆半径相等是常用的隐含条件。当我们要解决有关角度问题时，通常可以同圆半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质进行求角导角。 6．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 7．如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ． 8．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 10..如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 题型三、用半圆 (直径)对90°圆周角求角 【方法解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 11．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．．如图，内接于，，是直径，与弦相交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在中，，顶点，，均在上，为的直径．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 14．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．    (1)求证； (2)若的度数为，求的度数． 15．如图，是半圆O的直径，以弦为痕折叠后，恰好过点O则等于（    ）    A． B． C． D． 题型四、用弧弦圆心角的关系求角 16．如图，点D是半圆O上的三等分点，且，点C是上任意一点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 17．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 18．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 19．如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 20．如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型五、用同弧（或等弧）对的圆周角相等求角 21．如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22.如图，已知的两条弦相交于点E，，连接，若E为中点，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 23.如图，四边形内接于是直径，，，则，分别为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 24．如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 25．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型六、用圆周角定理求角 【方法解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 26.．如图，，是的弦，连接并延长交于点，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 27．如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 28．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（    ）    A． B． C． D． 29．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 30．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 题型七、用圆内接四边形求角 31．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（       ）    A． B． C． D． 32．如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 33．如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 34．如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则（　　）． A． B． C． D． 35．如图，，，是上的三点，其中点是弧的三等分点，且弧大于弧，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型八、求圆弧的度数 36．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37.如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 38.．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 39．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 40.如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 1．如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点D，连接；（2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交弧于点M，N；（3）连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 3．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点． (1)求证：； (2)若C是的中点，设，用含α的代数式表示β． 4．已知是半径为的圆的内接三角形，，则 ． 5．如图，以为直径的经过的顶点，平分. (1)在线段上确定点，使点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数. 6．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点E，且． (1)求证：； (2)连接，交于点F，若，求的度数． 7．如图，已知的直径，为上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点，交于点，连接，若，则的度数为 ．    8．如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ． 9．如图，点P为矩形的外接圆上的动点，连接，，，当平分时，的度数为（　　）    A． B． C．或 D．或 10．如图，是的直径，点B，D在上，．    (1)在上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，，若，求的大小． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中求角导角问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角、圆周角、等弧概念辨析 1 题型二、用同圆半径相等求角 3 题型三、用半圆 (直径)对90°圆周角求角 6 题型四、用弧弦圆心角的关系求角 10 题型五、用同弧（或等弧）对的圆周角相等求角 14 题型六、用圆周角定理求角 18 题型七、用圆内接四边形求角 23 题型八、求圆弧的度数 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角、圆周角、等弧概念辨析 1．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 3．下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 4．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 【答案】B 【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意； D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握经过圆心的弦叫直径，连接圆上任意两点的线段叫弦，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，顶点在圆上，两边分别与圆相交的角是圆周角是解题的关键． 题型二、用同圆半径相等求角 【方法点拨】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，同圆半径相等是常用的隐含条件。当我们要解决有关角度问题时，通常可以同圆半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质进行求角导角。 6．如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 【答案】B 【分析】根据圆的基本性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵MN为⊙O的弦， ∴ ， ∴ ， ∵∠MON＝76°， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键． 7．如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ． 【答案】/80度 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 9．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 【答案】120 【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B． 【详解】如图，连结OB， ∵OA=OB=OC， ∴△OAB和△OBC都是等腰三角形， ∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC ∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜ ∴3∠ABC=360゜ ∴∠ABC=120゜ 即∠B=120゜． 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键． 10..如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E∠AOC进行计算即可． 【解答】解：连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE， ∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1， ∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E∠AOC84°＝28°．故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 题型三、用半圆 (直径)对90°圆周角求角 【方法解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 11．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 12．．如图，内接于，，是直径，与弦相交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用圆周角定理求得，，利用等腰三角形的性质求得，推出，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 13．如图，在中，，顶点，，均在上，为的直径．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而得出，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】∵为的直径． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．    (1)求证； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，首先证明，即可求解； （2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解． 【详解】（1）如图：连接    是的直径 ，即 又 ． （2）的度数为 又，且 ． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．如图，是半圆O的直径，以弦为痕折叠后，恰好过点O则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过O作于D交圆O于E，根据折叠的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，求得，据此求解即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，过O作于D交圆O于E，      ∵把半圆沿弦折叠，恰好经过点O， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 题型四、用弧弦圆心角的关系求角 16．如图，点D是半圆O上的三等分点，且，点C是上任意一点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系求得的度数，再利用圆周角定理即可求得答案 【详解】解：如图，连接，    ∵点D是半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴， 故选∶B． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键 17．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 18．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 19．如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据圆周角定理可得出的度数，由平角的定义可得出的度数，根据是的中点可知，进而可得出结论． 【详解】解：连接，，    ， ， ， 是的中点， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 20．如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用邻补角的定义计算出，再根据圆周角定理得到，，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后根据三角形内角定理计算的度数，再根据对顶角相等，即可得出答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 是的直径，， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 题型五、用同弧（或等弧）对的圆周角相等求角 21．如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，， ∴． 如图，连接， ∵是直径， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论．熟练掌握圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 22.如图，已知的两条弦相交于点E，，连接，若E为中点，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对圆周角相等，可求出的度数，在中，可求出的度数，再根据E为的中点，可知，即，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵E为的中点， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，理解并掌握圆的垂径定理，同弧等弧所对圆周角相等，三角形内角和定理是解题的关键． 23.如图，四边形内接于是直径，，，则，分别为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得,进而得到再根据同弧所对的圆周角相等即可求得,然后根据可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握同圆中等弦所对的圆周角相等是解答本题的关键． 24．如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用圆周角定理推出以及相应角的度数，再根据等边对等角即可求出的度数，最后用角度相加即可求出的度数. 【详解】解：是的直径， ， . 又， . ， . ， ， . 故选C. 【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆周角定理推论，熟练掌握定理或推论内容是解题的关键. 25．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，则，可得，再证，由“等边对等角”的性质求即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型六、用圆周角定理求角 【方法解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 26.．如图，，是的弦，连接并延长交于点，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等边对等角及三角形内角和定理易求得的度数，再根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键． 27．如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 28．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数； 【详解】连接 、，如图，    故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确记忆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键 29．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，则，可得，再证，由“等边对等角”的性质求即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 30．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确． 【详解】解：如答图1，∵点B是的中点， ∴， ∴，选项A正确； 当时，分两种情况， 如答图5，当点C位于优弧上时， 由圆周角定理，得， 如答图6，当点C位于劣弧上时，在优弧上任选一点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴或，选项B正确； 当时，分两种情况． 如答图3，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如答图4，∵， ∴， ∴的度数为或，选项C错误； 如答图2，∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∴四边形是菱形，选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质及菱形的判定；熟练掌握相关性质是解题的关键． 题型七、用圆内接四边形求角 31．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（       ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，根据圆内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：，， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的性质是解此题的关键． 32．如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点P，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点P，连接，    由圆周角定理得， ， 由圆内接四边形得性质可知：， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键． 33．如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 34．如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接、，由圆周角定理可得，再结合可得，进而得到；再根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 35．如图，，，是上的三点，其中点是弧的三等分点，且弧大于弧，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，在优弧上取点，连接、，由圆的性质可求得，根据圆周角定理可求得，利用圆内角四边形的性质即可求得． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，在优弧上取点，连接、，    ， ， ， 点是弧的三等分点， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用条件构造圆内接四边形是解题的关键． 题型八、求圆弧的度数 36．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 37.如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 38.．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°．故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 39．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 40.如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 1．如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用邻补角的定义计算出，再根据圆周角定理得到，，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后根据三角形内角定理计算的度数，再根据对顶角相等，即可得出答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 是的直径，， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 2．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点D，连接；（2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交弧于点M，N；（3）连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据作法可得，即可得到，则可判断A选项；若，可得，推出则可判断B选项；根据得到即可判断C选项；根据圆周角定理可得，即可判断D选项． 【详解】解：连接、，如图所示    ∵以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点， ∴ ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B选项说法错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴C选项说法正确，不符合题意； 由圆周角定理得：， ∴D选项说法正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点． (1)求证：； (2)若C是的中点，设，用含α的代数式表示β． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据已知条件结合对顶角相等、三角形外角的性质可得，然后再根据圆的内接四边形对角互补即可证明结论； （2）先根据等弧所对的弦相等求得，再说明，即是的垂直平分线；从而得到，；然后再根据直角三角形的性质可得，进而求得即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∵的内接四边形 ∴ ∴，即． （2）解：连接， ∵C是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的垂直平分线 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解答本题的关键． 4．已知是半径为的圆的内接三角形，，则 ． 【答案】或 【分析】先画出图形，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当是锐角三角形时，先作直径，连接构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等可得，求出的三角函数值，即可求出的度数，即可知的度数.当是钝角三角形时，与互补，求出的度数，即可知的度数. 【详解】   解：如图1，当是锐角三角形时，连接并延长交于点，连接， 则， 是的直径， ， 且， ∴sin， ， ；    如图2，当是钝角三角形时， 则   ； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”，以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键. 5．如图，以为直径的经过的顶点，平分. (1)在线段上确定点，使点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得， 时 ，因此以点D为圆心，长为半径作弧，与的交点即为点E； （2）由圆周角定理可得，结合可得，通过证明，可得． 【详解】（1）解：作图如下； （2）解：如图所示， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握：直径所对的圆周角为90度，同弧或等弧所对的圆周角相等． 6．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点E，且． (1)求证：； (2)连接，交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，根据邻补角互补可得，进而得到，然后利用等边对等角可得，进而可得； （2）首先证明是等边三角形，进而可得，再根据，可得是等腰三角形，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补． 7．如图，已知的直径，为上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点，交于点，连接，若，则的度数为 ．    【答案】67.5 【分析】交于，如图，根据圆周角定理得到，则，再证明，，则可判断，所以，接着证明，则根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到，最后利用互余可计算出的度数． 【详解】解：交于，如图，    的直径， ， 弦平分， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 8．如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ． 【答案】135 【分析】连接，由折叠的性质得出，，，由正方形的性质得出，，证明，证出，求出，则可得出答案． 【详解】解：连接， ∵将沿直线翻折到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图，点P为矩形的外接圆上的动点，连接，，，当平分时，的度数为（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】连接，推出是的直径，利用三角函数的定义求得，再分类讨论，当点P在上方和点P在下方时，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵点P为矩形的外接圆上的动点， ∴， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点P在上方时， ∵平分，    ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在下方时，    同理可得， ∴； 综上，的度数为或 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明是的直径是解题的关键． 10．如图，是的直径，点B，D在上，．    (1)在上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，，若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，可知只需利用尺规作图作即可； （2）由题意可证，进而证得四边形是矩形，利用矩形的性质，圆周角定理及平行线的性质可证，，，，即可证得，再根据即可求解． 【详解】（1）解： 以点为圆心，适当长为半径画弧交，于，，以同样长为半径画弧交于，再以为圆心，为半径画弧交于，连接所在直线，交于，可知， 又∵， ∴， ∴，    如图所示，即为所求； （2）如图，连接，，， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∵ ∴， 由（1）知， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题属于几何综合，考查了尺规作图，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，平行线的判定及性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $