专题02 一元一次方程（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材北京版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理一元一次方程及整式的核心考点、复习目标与考情规律，以“核心概念-性质-解法-应用”为主线分层呈现知识点，结合示例与易错点解析构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于按题型分类的解题技巧指导与分层练习设计，如应用题结合行程、利润等实际情境培养模型意识，解方程步骤强调规范运算提升运算能力。基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题02 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念（含未知数的次数、系数不为0等） 能准确判断一个方程是否为一元一次方程；能根据一元一次方程的定义确定方程中字母参数的值 易错点：忽略“一次”（未知数最高次数为1）或“系数不为0”的条件； 命题趋势：常结合方程的解考查参数确定 等式的基本性质及应用 能熟练运用等式的基本性质（性质1、性质2）进行等式变形；能利用等式性质判断等式变形的正确性 易错点：运用等式性质2时，两边同除以一个数时未考虑该数是否为0； 命题趋势：常以选择题形式考查等式变形的正误判断 解一元一次方程（含去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤） 能独立、准确、熟练地解各种形式的一元一次方程，包括含有分数系数、需要去括号的方程，做到步骤规范、计算无误 易错点：去分母时漏乘不含分母的项；去括号时符号出错或漏乘括号内的项；移项时忘记变号；系数化为1时计算错误； 命题趋势：解方程是必考基础，常单独命题或作为解答题的解题步骤 一元一次方程的应用（含行程问题、工程问题、利润问题、和差倍分问题、数字问题等） 能分析实际问题中的数量关系，设出恰当的未知数，列出一元一次方程并求解；能检验方程的解是否符合实际意义，并规范作答 易错点：审题不清，找不准等量关系；设未知数后单位不统一；解方程后未检验解的合理性或忘记作答；利润问题中利润率、成本、售价关系混淆；行程问题中相遇、追及等模型不清； 命题趋势：应用题是重点和难点，命题背景常结合生活实际、社会热点，注重考查建模能力和解决实际问题的能力，分值占比较高 一元一次方程的概念（含未知数的次数、系数不为0等） 能准确判断一个方程是否为一元一次方程；能根据一元一次方程的定义确定方程中字母参数的值 易错点：忽略“一次”（未知数最高次数为1）或“系数不为0”的条件； 命题趋势：常结合方程的解考查参数确定 整式的有关概念 能准确识别单项式、多项式，并能指出单项式的系数和次数、多项式的项、次数及常数项；能正确判断几个整式是否为同类项。 易错点：①单项式的系数包含前面的符号，尤其是负系数容易被忽略；②多项式的次数是指次数最高的项的次数，而非所有项次数的和；③同类项的判断易忽略“字母相同且相同字母的指数也相同”这两个条件，特别是字母顺序不同或指数不同的情况。 整式的加减运算 能熟练运用合并同类项法则进行同类项的合并；能准确进行去括号（包括多重括号）运算，并能熟练完成整式的加减混合运算（不含括号或含简单括号）。 易错点：①合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，易出现字母或指数也参与运算的错误；②去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号，容易漏变其中一项或几项；③整式加减的最后结果未按某个字母的升幂或降幂排列（若题目有要求）。 命题趋势：常与代数式求值结合考查，先化简再求值是常见题型。 整式的化简与求值 能对含有括号的整式进行正确化简（去括号、合并同类项）；能根据题目所给字母的值（或所给代数式的值），准确代入化简后的整式进行计算求值。 易错点：①代入数值时，若字母的值是负数或分数，未添加括号导致运算符号或运算顺序错误；②化简过程中出现计算错误，导致后续代入求值也出错；③对于整体代入求值的题目，难以发现已知条件与所求代数式之间的联系。 命题趋势：注重考查整体思想的运用，如已知，求代数式(2a + 2b - 5)的值等。 知识点01 核心概念 方程：含有未知数的等式叫做方程。 示例：（含有未知数x且是等式），(x - 5 > 0)（不是等式，所以不是方程），（没有未知数，所以不是方程）。 易错点：判断一个式子是否为方程，必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是必须是等式，两者缺一不可。 一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 示例：（只含一个未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式）。 易错点： “元”指未知数，“一元”即一个未知数，若方程中出现多个未知数如，则不是一元一次方程。 “一次”指未知数的最高次数是1，若出现、（可化为）等，则不是一次。例如（未知数次数是2），（不是整式方程，是分式）都不是一元一次方程。 等号两边必须是整式，即分母中不能含有未知数。 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。一元一次方程的解也可叫做方程的根。 示例：对于方程，当时，左边=2×2 + 1 = 5，右边，左边=右边，所以是方程的解（或根）。 易错点：检验一个数是否为方程的解，需将该数代入方程，分别计算等号左右两边的值，只有两边值相等时，该数才是方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 区分：“方程的解”是一个具体的数值，“解方程”是一个求解的过程。 知识点02 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 符号语言：如果，那么。 示例：由，两边同时减3（即加(-3)），得，即。 易错点：运用性质1时，等式两边必须同时加上或减去同一个数或同一个式子，不能只在一边进行操作，也不能两边加（减）的不是同一个数（或式子）。例如，由，若只在左边加5得，这是错误的，正确的是两边同时加5，得。 知识点03 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 符号语言：如果，那么；如果（(c ≠ 0)），那么。 示例： 由，两边同时乘2，得，即。 由，两边同时除以3（3≠0），得，即。 易错点： 运用性质2“除以同一个数”时，这个数不能为0，因为0不能作除数。 等式两边乘或除以的必须是同一个数，不能漏乘或漏除。例如，解方程，两边同时除以2时，应得，若错误地写成（漏除以2），则会导致结果错误。 知识点04 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。（具体解方程时，步骤要根据方程的特点灵活运用，不一定全部用到。） 去分母 法则：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，使方程中的分母为0（即化为整数系数方程）。 依据：等式的性质2。 示例：解方程 各分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘6： 化简得： 易错点： 方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。例如上例中右边的“1”也要乘6，若漏乘则会得到错误的。 当分子是一个多项式时，去分母后，分子作为一个整体要加上括号。例如上例中，应是-2(x - 1)，而不是-2x - 1。 去括号 法则：依据乘法分配律）和去括号法则（括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变）。 示例：接上面去分母后的方程 去括号得：(-2)乘(x)得(-2x)，(-2)乘(-1)得(+2) 易错点： 括号前的系数要乘括号里的每一项，不能漏乘。例如(2(3x - 1))应化为(6x - 2)，不能写成(6x - 1)（漏乘1）。 括号前是负号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不要只改变第一项的符号而忘记改变其余项的符号。例如(-(2x - 3))去括号后应是(-2x + 3)，而不是(-2x - 3)。 移项 法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 依据：等式的性质1（移项可看作是在方程两边同时加上该项的相反数）。 示例：接上面去括号后的方程 将常数项“+2”移到右边，变为“-2”： 易错点： 移项时必须变号，不移项的项不变号。例如，从移项，应得，若写成（2x移项未变号）或（3移项未变号）都是错误的。 不要把某项从等号的一边移到另一边时忘记变号，或者没有移项却错误地变号。 合并同类项 法则：把方程化成（a，b为常数，(a ≠ 0)）的形式。合并同类项就是将含有相同未知数的项合并，系数相加，字母和指数不变；常数项直接相加。 依据：乘法分配律的逆运算（）。 示例：接上面移项后的方程 左边合并同类项：；右边合并同类项：，得到 易错点：合并同类项时，系数相加要注意符号。例如，不要算成-8x；常数项，不要算成-5。 系数化为1 法则：在方程两边都除以未知数的系数a或乘未知数系数的倒数，得到方程的解。 依据：等式的性质2。 示例：对于方程，两边同时除以2（或乘），得。 易错点： 系数化为1时，是除以未知数的系数，而不是除以未知数本身或其他项。例如方程，应是x = 9÷3 = 3，而不是3 = 9÷x。 当系数是分数时，相当于乘它的倒数；当系数是负数时，除以系数后要注意符号。例如方程，两边除以-2，得，不要写成。 知识点05 列一元一次方程解应用题的一般步骤 审：审题，弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的等量关系。这是列方程的关键。 示例：行程问题中，常见的等量关系有：路程 = 速度×时间；相遇问题中，双方所走路程之和等于总路程；追及问题中，快者路程等于慢者路程加上初始距离等。 易错点：容易忽略题目中的隐含条件，导致找不到正确的等量关系。例如，工程问题中，通常将工作总量看作单位“1”，这是一个重要的隐含条件。 设：设未知数，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数（当直接设未知数难以列出方程时）。设未知数时要带单位。 示例：若问题是“求甲车的速度是多少千米/小时？”，可直接设甲车的速度为x千米/小时。 易错点：设未知数时忘记写单位，或者单位不统一。 列：根据找出的等量关系列出方程。列方程时，等式两边的量要具有相同的单位。 示例：已知小明以5千米/小时的速度走了t小时，路程为15千米，根据路程 = 速度×时间，可列出方程。 易错点：列方程时，等量关系找错，或者将不同单位的量直接相加、减，导致方程错误。例如，若速度单位是千米/小时，时间单位是分钟，需先统一单位再列方程。 解：解所列的一元一次方程，求出未知数的值。 易错点：解方程过程中出现计算错误，如去分母漏乘、去括号符号错误、移项不变号、合并同类项错误、系数化为1时除错等。 验：检验方程的解是否符合实际问题的意义（即检验解的合理性），而不仅仅是检验是否为方程的解。 示例：若求得的人数为负数或小数（非整数），而人数必须是正整数，则该解不符合实际意义，说明列方程或解方程过程有误。 易错点：只检验方程的解是否正确，而忽略其是否符合实际情况。 答：写出答案，包括单位名称。 易错点：忘记写单位，或者答案与所设未知数不符。例如，设的是间接未知数，最后要转化为直接问的量再作答。 题型一 一元一次方程的概念 解｜题｜技｜巧 1. 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。判断时需满足三个条件：①整式方程；②一个未知数；③未知数次数为1。 2. 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，检验一个数是否为方程的解，需将其代入方程两边，看是否相等。 3. 对于含有字母系数的方程，需根据一元一次方程的定义确定字母的取值范围，即未知数系数不为0，且未知数最高次数为1。 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A.. C. D. 分析与解答： 选项A中未知数最高次数是2，不是一元一次方程；选项B符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；选项C含有两个未知数，不是一元一次方程；选项D不是整式方程，所以不是一元一次方程。 答案：B 【变式1】若关于x的方程是一元一次方程，则k的取值范围是______。 分析与解答： 因为方程是一元一次方程，所以未知数x的系数不能为0，即，解得。 答案： 【变式2】检验是不是方程的解。 分析与解答： 将代入方程左边：3×2 - 1 = 5，代入方程右边：2×2 + 1 = 5，左边=右边，所以是方程的解。 答案：是 题型二 等式的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1. 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即若，则。 2. 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即若，则；若，(c ≠ 0)，则。 3. 应用等式性质解方程时，要注意等式两边同时进行相同运算，除以一个数时，除数不能为0。 【典例1】运用等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么. 如果，那么 分析与解答： 选项A中，等式两边应加（或减）同一个数，这里左边加c右边减c，错误；选项B中，因为，隐含(c ≠ 0)，根据等式性质2，两边乘c得，正确；选项C中，当时不成立，错误；选项D中，当时，也成立，所以不能直接得出，错误。 答案：B 【变式1】用等式性质解下列方程： 分析与解答： 根据等式性质1，等式两边加5，得，即。 答案： 【变式2】已知，下列变形不一定成立的是（ ） A. B. C.. 分析与解答： 选项A、B、D根据等式性质1和2，变形都成立；选项C中，当时，和无意义，所以变形不一定成立。 答案：C 题型三 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 1. 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，具体解题时可根据方程特点灵活调整步骤。 2. 去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分数线有括号作用，去分母后分子部分要加括号。 3. 去括号时，要根据去括号法则和乘法分配律进行，注意符号变化；移项要变号，不移项的项不变号；合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；系数化为1时，方程两边除以未知数的系数，注意符号。 【典例1】解方程： 分析与解答： 去括号，得； 合并同类项，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得。 答案： 【变式1】解方程： 分析与解答： 去分母，方程两边乘6，得； 去括号，得； 合并同类项，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得。 答案： 【变式2】解方程： 分析与解答： 先将方程中的小数化为整数，分子分母同时乘100和10，得，化简为； 去括号，得； 合并同类项，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得。 答案： 题型四 一元一次方程的应用 解｜题｜技｜巧 1. 知数）、列（根据等量关系列方程）、解（解方程）、验（检验方程的解是否符合实际意义）、答（写出答案）。 2. 常见的实际问题类型及等量关系： · 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：两者路程和=总路程；追及问题：快者路程 - 慢者路程=追及路程。 · 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，通常设总工作量为1。 · 利润问题：利润=售价 - 进价，利润率，售价=进价×(1 + 利润率)。 · 数字问题：两位数=十位数字×10 + 个位数字；三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。 · 调配问题：调配前后总量不变，根据调配后的数量关系列方程。 3. 设未知数时，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数，根据题目特点选择合适的设法。 【典例1】A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ 分析与解答： 设经过x小时两车相遇，根据路程=速度×时间，甲车行驶路程为120x千米，乙车行驶路程为80x千米，两车相向而行，总路程为450千米，所以可列方程； 合并同类项，得； 系数化为1，得。 答案：经过2.25小时两车相遇 【变式1】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 分析与解答： 设每件售价提高x元，则每件售价为10 + x元，每件利润为元，销售量为件； 根据利润=每件利润×销售量，可列方程； 展开得； 移项、合并同类项得； 两边除以-20得； 因式分解得； 解得或； 当时，售价为元；当时，售价为元； 因为要采取提高售价减少销售量的办法，所以时销售量过少，通常取，即售价定为12元。 答案：应将每件售价定为12元时，才能使每天利润为640元 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数。 分析与解答： 设个位上的数字为x，则十位上的数字为x - 1，这个两位数为； 根据十位与个位上的数字之和是这个两位数的，可列方程； 化简得； 去分母，两边乘5得； 移项得； 合并同类项得； 解得； 则十位上的数字为，这个两位数是45。 答案：这个两位数是45 题型五 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 1.理解题意，明确题目中数量之间的关系，确定用哪个字母表示哪个量 2.根据题目中的运算关系，将文字语言转化为含有字母的式子 3.注意书写规范，数字与字母相乘时数字在前，字母在后，乘号可省略；字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示；除法运算一般写成分数形式 【典例1】设某数为x，用含x的代数式表示“比某数的3倍多5的数”。 分析与解答： “某数的3倍”即3x，“比某数的3倍多5”就是在3x的基础上加上5，所以该代数式为3x + 5。 答案：3x + 5 【变式1】一个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，用含a、b的代数式表示这个长方形的周长。 分析与解答： 长方形的周长等于长与宽之和的2倍，长为a厘米，宽为b厘米，所以周长为2×(a + b)，省略乘号后表示为2(a + b)。 答案：2(a + b) 【变式2】小明今年m岁，爸爸的年龄比小明年龄的3倍还大5岁，用含m的代数式表示爸爸今年的年龄。 分析与解答： 小明年龄的3倍是3m岁，比3倍还大5岁，所以爸爸的年龄是3m + 5岁。 答案：3m + 5 题型六 整式的识别 解｜题｜技｜巧 1.整式包括单项式和多项式，单项式是数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式 2.多项式是几个单项式的和，多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 3.判断一个式子是否为整式，关键看式子中是否含有除法运算，以及除式中是否含有字母，若含有字母则不是整式；同时，整式中不能含有开方运算和字母在分母的情况 【典例1】下列各式中，哪些是整式？①x + 1 ②③④ ⑤ 0 ⑥ 分析与解答： ①x + 1是多项式，属于整式；②的分母中含有字母，不是整式；③含有开方运算，不是整式；④是多项式，属于整式；⑤0是单独的一个数，是单项式，属于整式；⑥可以看作，是多项式，属于整式。所以整式有①④⑤⑥。 答案：①④⑤⑥ 【变式1】下列说法正确的是（ ） A.单项式的系数是-2 B.0不是单项式 C.是二次三项式 D.是整式 分析与解答： A选项，单项式的系数是，不是-2，所以A错误；B选项，单独的一个数0是单项式，所以B错误；C选项，有三项，最高次项是，次数为2，所以是二次三项式，C正确；D选项，中分母有字母，不是整式，所以D错误。 答案：C 【变式2】指出下列整式中的单项式和多项式：①-5 ②a ③ ④⑤ 分析与解答： ①-5是单独的一个数，是单项式；②a是单独的一个字母，是单项式；③是数与字母的积，是单项式；④是几个单项式的和，是多项式；⑤是几个单项式的和，是多项式。 答案：单项式：①②③；多项式：④⑤ 题型7 单项式的系数与次数 解｜题｜技｜巧 1.单项式的系数是指单项式中的数字因数，包括前面的符号；如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数就是1或-1（当系数为1时通常省略不写，系数为-1时，只保留“-”号） 2.单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和，计算时要注意是所有字母的指数相加，不能遗漏字母的指数，常数项（单独的一个数）的次数是0 【典例1】指出单项式的系数和次数。 分析与解答： 单项式中的数字因数是，所以系数是；字母x的指数是2，字母y的指数是3，所有字母指数的和是2 + 3 = 5，所以次数是5。 答案：系数是，次数是5 【变式1】单项式的系数和次数分别是多少？ 分析与解答： 数字因数是，所以系数是25；字母x的指数是3，字母y的指数是1，指数和是3 + 1 = 4，所以次数是4。 答案：系数是25，次数是4 【变式2】若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值。 分析与解答： 单项式的系数是(-a)，已知系数是3，所以，解得；次数是字母x的指数b，已知次数是2，所以。 答案：a = -3，b = 2 题型八 多项式的项、次数与常数项 解｜题｜技｜巧 1.多项式中的每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式就有几项，多项式的项包括它前面的符号 2.多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，确定多项式的次数时，先分别求出每一项的次数，然后找出次数最高的项，其次数就是多项式的次数 3.多项式中不含字母的项叫做常数项 【典例1】指出多项式的项、次数和常数项。 分析与解答： 该多项式有4个单项式组成，分别是、、2x、(-1)，所以它的项是、、2x、-1；各项的次数依次为：的次数是2 + 1 = 3，的次数是1 + 2 = 3，2x的次数是1，-1的次数是0，次数最高的项是和，次数为3，所以该多项式的次数是3；常数项是-1。 答案：项是、、2x、-1，次数是3，常数项是-1 【变式1】多项式是几次几项式？并指出最高次项。 分析与解答： 该多项式有4项，分别是、、、(-5)；各项的次数依次为3、4、3、0，次数最高的项是，次数为4，所以该多项式是四次四项式，最高次项是。 答案：四次四项式，最高次项是 【变式2】已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值。 分析与解答： 因为该多项式是关于x的二次多项式，所以三次项的系数必须为0，即，此时多项式变为，是二次多项式。 答案：a = 0 题型九 同类项的识别与合并 解｜题｜技｜巧 1.同类项的识别：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。判断同类项时，只与字母和字母的指数有关，与系数和字母的顺序无关 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 【典例1】下列各组中的两项是不是同类项？①与②与 ③-3与5) ④与 分析与解答： ①与所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，所以是同类项；②中x的指数是1，y的指数是2，中x的指数是2，y的指数是1，相同字母的指数不同，不是同类项；③-3与5都是常数项，是同类项；④中a的指数是2，b的指数是1，中a的指数是1，b的指数是2，相同字母的指数不同，不是同类项。 答案：①③是同类项，②④不是同类项 【变式1】合并同类项： 分析与解答： 首先找出同类项，与是同类项，2x与-x是同类项，1是常数项。将同类项的系数相加：，，所以合并后的结果是。 答案： 【变式2】若与是同类项，求m + n的值。 分析与解答： 因为与是同类项，所以相同字母的指数相同，即m = 2，n = 3，所以m + n = 2 + 3 = 5。 答案：5 题型十 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 1.整式的加减实质就是合并同类项，一般步骤是：先去括号，再合并同类项 2.去括号法则：如果括号前面是“+”号，去掉括号和前面的“+”号，括号里各项的符号都不变；如果括号前面是“-”号，去掉括号和前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变 3.在进行整式加减运算时，要注意运算顺序，有括号先算括号里的，同级运算从左到右依次进行 【典例1】计算： 分析与解答： 先去括号，因为括号前面是“+”号，所以去掉括号后各项符号不变，得到；然后合并同类项，，，，所以结果为。 答案： 【变式1】计算： 分析与解答： 先运用乘法分配律去括号，，；然后合并同类项，，，所以结果为b。 答案：b 【变式2】先化简，再求值：，其中，。 分析与解答： 先去括号，；然后合并同类项，，，，化简结果为0；无论x、y取何值，原式的值都为0，所以当，时，原式的值是0。 答案：0 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．多项式的最高次项的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，5 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的项、次数与系数的概念，解题的关键是明确多项式中“次数”是指项中所有字母的指数和，“系数”是指项前面的数字因数． 先确定多项式的各项，计算每一项的次数，找出最高次项，再确定其系数和次数，进而选出正确选项． 【详解】解：∵多项式为， 项的次数为， 项的次数为， 项的次数为， ∴最高次数为，最高次项为，其系数为． 故选：D． 2．甲、乙两地之间的公路全长千米，汽车都从甲地开往乙地，如果汽车行驶速度为，汽车的行驶速度比汽车的行驶速度快，则汽车比汽车可以早到（   ）小时． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，读懂题意，掌握路程速度时间是解决问题的关键． 根据汽车比汽车早到的时间等于汽车所用时间减去汽车所用时间，根据速度和时间关系直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵汽车所用时间为小时， 汽车所用时间为小时， ∴汽车比汽车早到的时间为小时， 故选：B． 3．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．先解第一个方程求出x的值，再代入第二个方程求解a，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵： ∴， ∴ ∴， ∵两个方程的解相同， ∴把代入，得， 即， ∴， ∴， 故选：A． 4．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 5．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．甲乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加速后可以早到（   ）小时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，早到的时间应为原来所用时间减去加速后所用时间，解题的关键是理解题意，确定数量关系． 【详解】解：∵原时间，加速后时间， ∴早到时间， 故选：． 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据五次三项式的定义，最高次数为5且有三项，需确保各项系数非零． 【详解】解：∵多项式是五次三项式， ∴第一项次数为， 即， 解得． 当时，第二项系数，多项式为，只有两项，不符合； 当时，第二项系数，多项式为，是五次三项式； ∴． 故选：A． 8．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 9．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值． 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴． ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）． 15的约数为． 令，则． 代入值求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）． ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9． 其和为． 故选：D． 10．如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用-相遇问题，由于两车不是在同一顶点出发，所以两车第一次相遇，需要通过的路程之差等于边长的3倍，依此列出方程即可求解． 【详解】解：设经过x分钟两车第一次相遇，依题意有： ， 解得， ， 即乙走了2圈又2.5米， 故两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边上． 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，是小明家住宅的建筑平面图（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域． (1)请用含的代数式表示小明家住宅的建筑面积； (2)若，求小明家住宅的建筑面积． 【答案】(1) (2)小明家住宅的建筑面积为 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）将四个区域的面积相加即可； （2）将代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：小明家住宅的建筑面积为：； （2）解：当时，原式． 答：小明家住宅的建筑面积为． 12．已知a、互为相反数，、互为倒数，，是平方等于的数． (1)求，，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2)或73 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、平方根的定义，以及代数式的求值．熟练掌握相反数、倒数、绝对值、平方根的概念，并分情况讨论变量的可能值是解题的关键． （1）利用相反数、倒数、绝对值、平方根的定义，直接求出对应值； （2）将（1）中得到的不同值代入代数式，分情况计算结果． 【详解】（1）解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ 当，，，时， ： ； 当，，，时， ： = ． 13．解方程：． 【答案】时，；当时，方程有无数个解 【分析】本题考查了含字母系数的一元一次方程的解法，注意对未知数系数是否为零的讨论是解题的关键．通过去括号，移项，合并同类项，并化简后得到，当时，可解得；当，即时，方程有无数个解． 【详解】解：去括号得， 移项，得， 化简得， 即 当，即时，； 当，即时，方程有无数个解． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念（含未知数的次数、系数不为0等） 能准确判断一个方程是否为一元一次方程；能根据一元一次方程的定义确定方程中字母参数的值 易错点：忽略“一次”（未知数最高次数为1）或“系数不为0”的条件； 命题趋势：常结合方程的解考查参数确定 等式的基本性质及应用 能熟练运用等式的基本性质（性质1、性质2）进行等式变形；能利用等式性质判断等式变形的正确性 易错点：运用等式性质2时，两边同除以一个数时未考虑该数是否为0； 命题趋势：常以选择题形式考查等式变形的正误判断 解一元一次方程（含去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤） 能独立、准确、熟练地解各种形式的一元一次方程，包括含有分数系数、需要去括号的方程，做到步骤规范、计算无误 易错点：去分母时漏乘不含分母的项；去括号时符号出错或漏乘括号内的项；移项时忘记变号；系数化为1时计算错误； 命题趋势：解方程是必考基础，常单独命题或作为解答题的解题步骤 一元一次方程的应用（含行程问题、工程问题、利润问题、和差倍分问题、数字问题等） 能分析实际问题中的数量关系，设出恰当的未知数，列出一元一次方程并求解；能检验方程的解是否符合实际意义，并规范作答 易错点：审题不清，找不准等量关系；设未知数后单位不统一；解方程后未检验解的合理性或忘记作答；利润问题中利润率、成本、售价关系混淆；行程问题中相遇、追及等模型不清； 命题趋势：应用题是重点和难点，命题背景常结合生活实际、社会热点，注重考查建模能力和解决实际问题的能力，分值占比较高 一元一次方程的概念（含未知数的次数、系数不为0等） 能准确判断一个方程是否为一元一次方程；能根据一元一次方程的定义确定方程中字母参数的值 易错点：忽略“一次”（未知数最高次数为1）或“系数不为0”的条件； 命题趋势：常结合方程的解考查参数确定 整式的有关概念 能准确识别单项式、多项式，并能指出单项式的系数和次数、多项式的项、次数及常数项；能正确判断几个整式是否为同类项。 易错点：①单项式的系数包含前面的符号，尤其是负系数容易被忽略；②多项式的次数是指次数最高的项的次数，而非所有项次数的和；③同类项的判断易忽略“字母相同且相同字母的指数也相同”这两个条件，特别是字母顺序不同或指数不同的情况。 整式的加减运算 能熟练运用合并同类项法则进行同类项的合并；能准确进行去括号（包括多重括号）运算，并能熟练完成整式的加减混合运算（不含括号或含简单括号）。 易错点：①合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，易出现字母或指数也参与运算的错误；②去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号，容易漏变其中一项或几项；③整式加减的最后结果未按某个字母的升幂或降幂排列（若题目有要求）。 命题趋势：常与代数式求值结合考查，先化简再求值是常见题型。 整式的化简与求值 能对含有括号的整式进行正确化简（去括号、合并同类项）；能根据题目所给字母的值（或所给代数式的值），准确代入化简后的整式进行计算求值。 易错点：①代入数值时，若字母的值是负数或分数，未添加括号导致运算符号或运算顺序错误；②化简过程中出现计算错误，导致后续代入求值也出错；③对于整体代入求值的题目，难以发现已知条件与所求代数式之间的联系。 命题趋势：注重考查整体思想的运用，如已知，求代数式(2a + 2b - 5)的值等。 知识点01 核心概念 方程：含有未知数的等式叫做方程。 示例：（含有未知数x且是等式），(x - 5 > 0)（不是等式，所以不是方程），（没有未知数，所以不是方程）。 易错点：判断一个式子是否为方程，必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是必须是等式，两者缺一不可。 一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 示例：（只含一个未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式）。 易错点： “元”指未知数，“一元”即一个未知数，若方程中出现多个未知数如，则不是一元一次方程。 “一次”指未知数的最高次数是1，若出现、（可化为）等，则不是一次。例如（未知数次数是2），（不是整式方程，是分式）都不是一元一次方程。 等号两边必须是整式，即分母中不能含有未知数。 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。一元一次方程的解也可叫做方程的根。 示例：对于方程，当时，左边=2×2 + 1 = 5，右边，左边=右边，所以是方程的解（或根）。 易错点：检验一个数是否为方程的解，需将该数代入方程，分别计算等号左右两边的值，只有两边值相等时，该数才是方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 区分：“方程的解”是一个具体的数值，“解方程”是一个求解的过程。 知识点02 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 符号语言：如果，那么。 示例：由，两边同时减3（即加(-3)），得，即。 易错点：运用性质1时，等式两边必须同时加上或减去同一个数或同一个式子，不能只在一边进行操作，也不能两边加（减）的不是同一个数（或式子）。例如，由，若只在左边加5得，这是错误的，正确的是两边同时加5，得。 知识点03 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 符号语言：如果，那么；如果（(c ≠ 0)），那么。 示例： 由，两边同时乘2，得，即。 由，两边同时除以3（3≠0），得，即。 易错点： 运用性质2“除以同一个数”时，这个数不能为0，因为0不能作除数。 等式两边乘或除以的必须是同一个数，不能漏乘或漏除。例如，解方程，两边同时除以2时，应得，若错误地写成（漏除以2），则会导致结果错误。 知识点04 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。（具体解方程时，步骤要根据方程的特点灵活运用，不一定全部用到。） 去分母 法则：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，使方程中的分母为0（即化为整数系数方程）。 依据：等式的性质2。 示例：解方程 各分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘6： 化简得： 易错点： 方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。例如上例中右边的“1”也要乘6，若漏乘则会得到错误的。 当分子是一个多项式时，去分母后，分子作为一个整体要加上括号。例如上例中，应是-2(x - 1)，而不是-2x - 1。 去括号 法则：依据乘法分配律）和去括号法则（括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变）。 示例：接上面去分母后的方程 去括号得：(-2)乘(x)得(-2x)，(-2)乘(-1)得(+2) 易错点： 括号前的系数要乘括号里的每一项，不能漏乘。例如(2(3x - 1))应化为(6x - 2)，不能写成(6x - 1)（漏乘1）。 括号前是负号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不要只改变第一项的符号而忘记改变其余项的符号。例如(-(2x - 3))去括号后应是(-2x + 3)，而不是(-2x - 3)。 移项 法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 依据：等式的性质1（移项可看作是在方程两边同时加上该项的相反数）。 示例：接上面去括号后的方程 将常数项“+2”移到右边，变为“-2”： 易错点： 移项时必须变号，不移项的项不变号。例如，从移项，应得，若写成（2x移项未变号）或（3移项未变号）都是错误的。 不要把某项从等号的一边移到另一边时忘记变号，或者没有移项却错误地变号。 合并同类项 法则：把方程化成（a，b为常数，(a ≠ 0)）的形式。合并同类项就是将含有相同未知数的项合并，系数相加，字母和指数不变；常数项直接相加。 依据：乘法分配律的逆运算（）。 示例：接上面移项后的方程 左边合并同类项：；右边合并同类项：，得到 易错点：合并同类项时，系数相加要注意符号。例如，不要算成-8x；常数项，不要算成-5。 系数化为1 法则：在方程两边都除以未知数的系数a或乘未知数系数的倒数，得到方程的解。 依据：等式的性质2。 示例：对于方程，两边同时除以2（或乘），得。 易错点： 系数化为1时，是除以未知数的系数，而不是除以未知数本身或其他项。例如方程，应是x = 9÷3 = 3，而不是3 = 9÷x。 当系数是分数时，相当于乘它的倒数；当系数是负数时，除以系数后要注意符号。例如方程，两边除以-2，得，不要写成。 知识点05 列一元一次方程解应用题的一般步骤 审：审题，弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的等量关系。这是列方程的关键。 示例：行程问题中，常见的等量关系有：路程 = 速度×时间；相遇问题中，双方所走路程之和等于总路程；追及问题中，快者路程等于慢者路程加上初始距离等。 易错点：容易忽略题目中的隐含条件，导致找不到正确的等量关系。例如，工程问题中，通常将工作总量看作单位“1”，这是一个重要的隐含条件。 设：设未知数，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数（当直接设未知数难以列出方程时）。设未知数时要带单位。 示例：若问题是“求甲车的速度是多少千米/小时？”，可直接设甲车的速度为x千米/小时。 易错点：设未知数时忘记写单位，或者单位不统一。 列：根据找出的等量关系列出方程。列方程时，等式两边的量要具有相同的单位。 示例：已知小明以5千米/小时的速度走了t小时，路程为15千米，根据路程 = 速度×时间，可列出方程。 易错点：列方程时，等量关系找错，或者将不同单位的量直接相加、减，导致方程错误。例如，若速度单位是千米/小时，时间单位是分钟，需先统一单位再列方程。 解：解所列的一元一次方程，求出未知数的值。 易错点：解方程过程中出现计算错误，如去分母漏乘、去括号符号错误、移项不变号、合并同类项错误、系数化为1时除错等。 验：检验方程的解是否符合实际问题的意义（即检验解的合理性），而不仅仅是检验是否为方程的解。 示例：若求得的人数为负数或小数（非整数），而人数必须是正整数，则该解不符合实际意义，说明列方程或解方程过程有误。 易错点：只检验方程的解是否正确，而忽略其是否符合实际情况。 答：写出答案，包括单位名称。 易错点：忘记写单位，或者答案与所设未知数不符。例如，设的是间接未知数，最后要转化为直接问的量再作答。 题型一 一元一次方程的概念 解｜题｜技｜巧 1. 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。判断时需满足三个条件：①整式方程；②一个未知数；③未知数次数为1。 2. 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，检验一个数是否为方程的解，需将其代入方程两边，看是否相等。 3. 对于含有字母系数的方程，需根据一元一次方程的定义确定字母的取值范围，即未知数系数不为0，且未知数最高次数为1。 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A.. C. D. 【变式1】若关于x的方程是一元一次方程，则k的取值范围是______。 【变式2】检验是不是方程的解。 题型二 等式的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1. 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即若，则。 2. 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即若，则；若，(c ≠ 0)，则。 3. 应用等式性质解方程时，要注意等式两边同时进行相同运算，除以一个数时，除数不能为0。 【典例1】运用等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么. 如果，那么 【变式1】用等式性质解下列方程： 【变式2】已知，下列变形不一定成立的是（ ） A. B. C.. 题型三 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 1. 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，具体解题时可根据方程特点灵活调整步骤。 2. 去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分数线有括号作用，去分母后分子部分要加括号。 3. 去括号时，要根据去括号法则和乘法分配律进行，注意符号变化；移项要变号，不移项的项不变号；合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；系数化为1时，方程两边除以未知数的系数，注意符号。 【典例1】解方程： 【变式1】解方程： 【变式2】解方程： 题型四 一元一次方程的应用 解｜题｜技｜巧 1. 知数）、列（根据等量关系列方程）、解（解方程）、验（检验方程的解是否符合实际意义）、答（写出答案）。 2. 常见的实际问题类型及等量关系： · 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：两者路程和=总路程；追及问题：快者路程 - 慢者路程=追及路程。 · 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，通常设总工作量为1。 · 利润问题：利润=售价 - 进价，利润率，售价=进价×(1 + 利润率)。 · 数字问题：两位数=十位数字×10 + 个位数字；三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。 · 调配问题：调配前后总量不变，根据调配后的数量关系列方程。 3. 设未知数时，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数，根据题目特点选择合适的设法。 【典例1】A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ 【变式1】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数。 题型五 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 1.理解题意，明确题目中数量之间的关系，确定用哪个字母表示哪个量 2.根据题目中的运算关系，将文字语言转化为含有字母的式子 3.注意书写规范，数字与字母相乘时数字在前，字母在后，乘号可省略；字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示；除法运算一般写成分数形式 【典例1】设某数为x，用含x的代数式表示“比某数的3倍多5的数”。 【变式1】一个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，用含a、b的代数式表示这个长方形的周长。 【变式2】小明今年m岁，爸爸的年龄比小明年龄的3倍还大5岁，用含m的代数式表示爸爸今年的年龄。 题型六 整式的识别 解｜题｜技｜巧 1.整式包括单项式和多项式，单项式是数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式 2.多项式是几个单项式的和，多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 3.判断一个式子是否为整式，关键看式子中是否含有除法运算，以及除式中是否含有字母，若含有字母则不是整式；同时，整式中不能含有开方运算和字母在分母的情况 【典例1】下列各式中，哪些是整式？①x + 1 ②③④ ⑤ 0 ⑥ 【变式1】下列说法正确的是（ ） A.单项式的系数是-2 B.0不是单项式 C.是二次三项式 D.是整式 【变式2】指出下列整式中的单项式和多项式：①-5 ②a ③ ④⑤ 题型7 单项式的系数与次数 解｜题｜技｜巧 1.单项式的系数是指单项式中的数字因数，包括前面的符号；如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数就是1或-1（当系数为1时通常省略不写，系数为-1时，只保留“-”号） 2.单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和，计算时要注意是所有字母的指数相加，不能遗漏字母的指数，常数项（单独的一个数）的次数是0 【典例1】指出单项式的系数和次数。 【变式1】单项式的系数和次数分别是多少？ 【变式2】若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值。 题型八 多项式的项、次数与常数项 解｜题｜技｜巧 1.多项式中的每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式就有几项，多项式的项包括它前面的符号 2.多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，确定多项式的次数时，先分别求出每一项的次数，然后找出次数最高的项，其次数就是多项式的次数 3.多项式中不含字母的项叫做常数项 【典例1】指出多项式的项、次数和常数项。 【变式1】多项式是几次几项式？并指出最高次项。 【变式2】已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值。 题型九 同类项的识别与合并 解｜题｜技｜巧 1.同类项的识别：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。判断同类项时，只与字母和字母的指数有关，与系数和字母的顺序无关 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 【典例1】下列各组中的两项是不是同类项？①与②与 ③-3与5) ④与 【变式1】合并同类项： 【变式2】若与是同类项，求m + n的值。 题型十 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 1.整式的加减实质就是合并同类项，一般步骤是：先去括号，再合并同类项 2.去括号法则：如果括号前面是“+”号，去掉括号和前面的“+”号，括号里各项的符号都不变；如果括号前面是“-”号，去掉括号和前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变 3.在进行整式加减运算时，要注意运算顺序，有括号先算括号里的，同级运算从左到右依次进行 【典例1】计算： 【变式1】计算： 【变式2】先化简，再求值：，其中，。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．多项式的最高次项的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，5 D．，3 2．甲、乙两地之间的公路全长千米，汽车都从甲地开往乙地，如果汽车行驶速度为，汽车的行驶速度比汽车的行驶速度快，则汽车比汽车可以早到（   ）小时． A． B． C． D． 3．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 4．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．甲乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加速后可以早到（   ）小时． A． B． C． D． 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 8．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 9．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 10．如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，是小明家住宅的建筑平面图（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域． (1)请用含的代数式表示小明家住宅的建筑面积； (2)若，求小明家住宅的建筑面积． 12．已知a、互为相反数，、互为倒数，，是平方等于的数． (1)求，，，的值； (2)求的值． 13．解方程：． 14．解方程： (1)； (2)． 15．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $