第二章 一元一次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第二章一元一次方程单元卷，以文化传承与现实情境为载体，覆盖方程概念、解法及应用，梯度设计适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程定义、同类项、等式性质等|第7题引用《张丘建算经》古题，渗透文化传承| |填空题|6/18|几何图形应用、实际生产问题|第16题新能源电池生产问题，体现科技前沿情境| |解答题|8/52|方程应用、定义新运算|第24题数轴“联盟点”创新题型，培养推理意识与应用能力|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B C A B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．6 13．5 14．8 15． 和3 16． 200 500 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分） 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．（5分） 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．（5分） 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴，， ∴， ∴ ． 20．（6分） 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 21．（6分） 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，代数式的值为2， ∴， ∵当时，代数式的值为3， ∴， ∴； 故答案为：7；1；；2； （2）解：∵当时，；当时，，且， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 22．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2026； （2）解：∵， ∵， ∴原式； 故答案为：； （3）解：∵在“幻圆”中横线与小圆的四个数字加起来的和均相等， ∴，即， 整理可得， ∴装饰木条总长度为． 故答案为：6． 23．（6分） 【详解】（1）方程与方程是“美好方程”， 理由：解方程得， 解方程得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴方程的解为， 将代入得， 解得：． 24．（8分） 【详解】（1）解：，，， 故符合题意； ， 故不符合题意； ，， 故不符合题意； ，，， 故符合题意； 综上所述，是点A，B的“联盟点”的是，； （2）解：①设点P表示的数为x， ∵P在点A与点B之间， ∴，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，点P表示的数为10或0； ②设点P表示的数为x， ∵点P在点B的右侧， ∴，， 当P为A、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当A为P、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当B为A、P联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为35； 当B为P、A联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为80； 综上所述，点P表示的数是50或35或80． 2/5 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 9．幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（　　） A．5 B．3 C．1 D． 10．把一个底面半径是5厘米，高10厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形（如下图），切开后，再拼起来，得到一个近似的长方体．拼成后这个长方体的表面积与原来的圆柱体表面积相比，结果（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程的解满足，则y的值是________． 12．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为____________． 13．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 14．如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 15．将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 16．某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分）解一元一次方程： (1)； (2)． 18．（5分）已知代数式的值为5，求的值． 19．（5分）若单项式与单项式的和仍是单项式，求的值． 20．（6分）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 21．（6分）在下面的表格中给出了当取不同数值时，整式与分别所得的值，例如，当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，请写出的值． ___________，___________，___________，n=___________； (2)当时，；当时，；且直接写出的值． 22．（8分）整体代换是数学中常用的思想方法，例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决问题： (1)如果，那么__________； (2)如果，那么__________； (3)如图，图1是根据“幻方”设计出的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字和字母．图2是一扇窗户，其上部是半圆，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，设小长方形的长为米，宽为米，半圆的半径也为米．利用图1中得到的与之间的关系，可求出图2中装饰木条总长度（取3）约为__________米． 23．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 24．（8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数1，点B表示的数3，下列各数，2，4，5所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数，点B表示的数20，P为数轴上一个动点． ①若点P在点A与点B之间，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数 ． 4/6 3/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的概念判断，一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B. ，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，满足只含1个未知数，未知数次数为1，且为整式方程，是一元一次方程，符合题意； D. ，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意． 2．如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，且相同字母的指数相等列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相等， ∴两个单项式中的指数均为，的指数相等， ∴可列方程，移项、合并同类项得，解得． 3．已知是方程的一个解，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】把代入，可得关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 4．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 5．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 6．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先整理方程得到x关于k的表达式. 再根据x为正整数、k为整数，确定k的可能取值． 【详解】，解得， ∵为正整数，∴， ∴， 又∵为正整数，k为整数， ∴是4的正因数， ∴或或， ∴或或，共3个符合条件的整数值． 7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设清酒斗，根据清酒、醑酒分别消耗的谷子总量等于持有的30斗谷子来列方程． 【详解】∵设清酒斗，共换得5斗酒， ∴醑酒的数量为斗， ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，持粟30斗， ∴斗清酒花费斗谷子，斗醑酒花费斗谷子， ∴可列方程为， 故选：A． 8．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，关键是弄懂符号的含义． 根据题意分和两种情况讨论，建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 解得， 但不满足，故舍去； 当时，， ∴， 解得， ∴方程的解为． 故选：B． 9．幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（　　） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第一列和对角线上的数字和相等，可得，解之即可． 【详解】解：根据题意，第一列和对角线上的数字和相等， 得 解得， 故选：C． 10．把一个底面半径是5厘米，高10厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形（如下图），切开后，再拼起来，得到一个近似的长方体．拼成后这个长方体的表面积与原来的圆柱体表面积相比，结果（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算及切拼成长方体后的表面积变化，熟练掌握圆柱和长方体的表面积公式，以及切拼后新增面的来源是解题的关键．先分别计算圆柱的表面积和切拼后近似长方体的表面积，再对比两者大小，判断变化情况． 【详解】解：圆柱的表面积： （平方厘米）， ∵长方体的长，宽，高 （平方厘米）， ∵，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程的解满足，则y的值是________． 【答案】 【分析】求出第一个一元一次方程的解，再将解代入，计算即可得到的值． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 将代入，得， 解得，． 12．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为____________． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设小长方形的长为，则宽为，，根据图示1个小长方形的长个小长方形的宽，列出一元一次方程，解方程再计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴图中阴影部分面积之和为：． 故答案为：6． 13．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：， ， ． 14．如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 【答案】 8 【分析】设连续的正方形摆了个，根据正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，可以用含的代数式表示六边形的个数，根据图形规律，分别表示出摆个正方形和对应个数六边形所需的小木棍数量，利用总根数为86建立一元一次方程求解即可. 【详解】解：设连续的正方形摆了个， ∵正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多， ∴六边形的个数为； 观察图形可知，摆个正方形需要小木棍根，摆个六边形需要小木棍根 根据题意，得， 解得； 故连续的正方形摆了8个. 15．将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 【答案】 和3 【分析】（1）先计算这8个数的总和为4，再得到每一组四个数的和为2，据此求出与表示的这两个数的和即可； （2）根据题意可得，由（1）知，，则可能的组合是、或、，设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为，利用横直径，求出、表示的数，再利用竖直径，求出、表示的这两个数的和为1，从而确定可能表示的数． 【详解】解：（1）根据题意得：这8个数的总和为： 大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，大圆和小圆上数的总和、两条直径上数的总和都是这8个数总和， 每一组四个数的和为 ； （2）由题意得，已经使用的数是，1，4，剩余待填的5个数为：，，0，2，3， 由（1）知， 可能的组合是、或、， 设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为， 则， ， ， 当时，，不在剩余数中， 故此时情况不存在； 当时，， ， ， ， 当时，， 当时，， 表示的数的所有可能值为和． 16．某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 200 500 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（8分）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤并正确计算是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．（5分）已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．（5分）若单项式与单项式的和仍是单项式，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，已知同类项求指数中字母或代数式的值，其他问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据两个单项式的和仍是单项式，列出关于待求字母的方程求解，再代入待求代数式中求值． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴，， ∴， ∴ ． 20．（6分）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 【答案】应当建设慢充桩150台，快充桩50台 【分析】设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 21．（6分）在下面的表格中给出了当取不同数值时，整式与分别所得的值，例如，当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，请写出的值． ___________，___________，___________，n=___________； (2)当时，；当时，；且直接写出的值． 【答案】(1)7；1；；2 (2)2014 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给式子和数据进行求解即可； （2）根据可得，再根据（1）所求得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，代数式的值为2， ∴， ∵当时，代数式的值为3， ∴， ∴； 故答案为：7；1；；2； （2）解：∵当时，；当时，，且， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 22．（8分）整体代换是数学中常用的思想方法，例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决问题： (1)如果，那么__________； (2)如果，那么__________； (3)如图，图1是根据“幻方”设计出的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字和字母．图2是一扇窗户，其上部是半圆，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，设小长方形的长为米，宽为米，半圆的半径也为米．利用图1中得到的与之间的关系，可求出图2中装饰木条总长度（取3）约为__________米． 【答案】(1)2026 (2) (3)6 【分析】本题考查了整体代换的思想，解决本题的关键是化简并整理代数式． （1）整体求解，再代入求解即可； （2）先对进行化简，再将代入求解即可； （3）先根据“幻圆”求出与之间的关系，再用与表示出装饰木条总长度，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2026； （2）解：∵， ∵， ∴原式； 故答案为：； （3）解：∵在“幻圆”中横线与小圆的四个数字加起来的和均相等， ∴，即， 整理可得， ∴装饰木条总长度为． 故答案为：6． 23．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1) 方程与方程是“美好方程”， 理由：解方程得， 解方程得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程解的关系． （1）分别求解两方程，判断解之和是否为1即可； （2）先求解，根据“美好方程”的定义得到的解，代入中求解m即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴方程的解为， 将代入得， 解得：． 24．（8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数1，点B表示的数3，下列各数，2，4，5所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数，点B表示的数20，P为数轴上一个动点． ①若点P在点A与点B之间，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数 ． 【答案】(1)， (2)①点P表示的数为10或0；②50或35或80 【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可； （2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， 故符合题意； ， 故不符合题意； ，， 故不符合题意； ，，， 故符合题意； 综上所述，是点A，B的“联盟点”的是，； （2）解：①设点P表示的数为x， ∵P在点A与点B之间， ∴，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，点P表示的数为10或0； ②设点P表示的数为x， ∵点P在点B的右侧， ∴，， 当P为A、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当A为P、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当B为A、P联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为35； 当B为P、A联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为80； 综上所述，点P表示的数是50或35或80． 16/18 17/18 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 9．幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（　　） A．5 B．3 C．1 D． 10．把一个底面半径是5厘米，高10厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形（如下图），切开后，再拼起来，得到一个近似的长方体．拼成后这个长方体的表面积与原来的圆柱体表面积相比，结果（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若方程的解满足，则y的值是________． 12．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为____________． 13．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 14．如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 15．将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 16．某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（8分）解一元一次方程： (1)； (2)． 18．（5分）已知代数式的值为5，求的值． 19．（5分）若单项式与单项式的和仍是单项式，求的值． 20．（6分）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 21．（6分）在下面的表格中给出了当取不同数值时，整式与分别所得的值，例如，当时，． x … 0 1 2 … … a 5 3 b … … 1 2 3 … (1)根据表中信息，请写出的值． ___________，___________，___________，n=___________； (2)当时，；当时，；且直接写出的值． 22．（8分）整体代换是数学中常用的思想方法，例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决问题： (1)如果，那么__________； (2)如果，那么__________； (3)如图，图1是根据“幻方”设计出的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字和字母．图2是一扇窗户，其上部是半圆，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，设小长方形的长为米，宽为米，半圆的半径也为米．利用图1中得到的与之间的关系，可求出图2中装饰木条总长度（取3）约为__________米． 23．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 24．（8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数1，点B表示的数3，下列各数，2，4，5所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数，点B表示的数20，P为数轴上一个动点． ①若点P在点A与点B之间，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $