专题01 有理数（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材北京版

该初中数学有理数期末复习讲义通过表格系统梳理11个核心考点，明确每个考点的复习目标、易错点及命题趋势，再分知识点细化定义、示例和易错点，构建清晰的知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“有理数混合运算”题型强调运算顺序与运算律，培养运算能力；“正负数应用”题型结合实际情境，体现模型意识。典例与变式题适配不同学生，助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的概念（正数、负数、有理数的定义及分类） 能准确区分正数、负数；能按不同标准（整数和分数，正有理数、0和负有理数）对有理数进行正确分类，并能举例说明 易错点： 对“0”的归属理解不清，易误认为0是正数或负数；对有理数分类标准混淆，如将小数错误归类。 命题趋势： 常以选择题或填空题形式考查，注重基本概念的辨析，结合实际生活情境举例 数轴的概念及应用（数轴的三要素、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小） 能说出数轴的三要素并正确画出数轴；能熟练地在数轴上表示给定的有理数；能利用数轴比较两个（或多个）有理数的大小，并能描述在数轴上点的位置关系 易错点： 画数轴时遗漏单位长度或方向；在数轴上表示分数或小数时位置不准确；比较负数大小时易忽略“数轴上右边的数总比左边的数大”这一规则。 命题趋势： 常结合有理数的大小比较、相反数、绝对值等知识点综合考查，数轴是重要的数形结合工具 相反数的概念及性质（相反数的定义、几何意义、符号表示、互为相反数的两数之和为0） 能说出一个数的相反数的定义及几何意义；能正确表示一个数（包括字母表示的数）的相反数；能利用互为相反数的两数之和为0进行相关计算和化简 易错点： 求含多重符号的数的相反数时易出错；对字母表示的数的相反数理解不到位，如误认为-a一定是负数。 命题趋势： 常以选择题、填空题形式直接考查，或在化简、计算中渗透考查 绝对值的概念及性质（绝对值的定义、几何意义、符号表示、绝对值的非负性、求一个数的绝对值） 能说出一个数的绝对值的定义及几何意义；能正确计算一个有理数的绝对值；能理解并运用绝对值的非负性解决简单问题 易错点： 忽略绝对值的非负性；求用字母表示的数的绝对值时，未考虑字母的取值范围而直接去绝对值符号。 命题趋势： 绝对值的非负性是考查重点，常与平方等非负性知识点结合考查；求绝对值及利用绝对值比较大小是基础考点 有理数的加法（加法法则、加法运算律：交换律、结合律） 能熟练叙述并运用有理数的加法法则进行两个及多个有理数的加法运算；能运用加法交换律和结合律简化加法运算过程，提高计算速度和准确性 易错点： 异号两数相加时，符号判断错误或绝对值相减出错；多个有理数相加时，未能合理运用运算律进行简便计算。 命题趋势： 有理数的加法是有理数运算的基础，是计算题的必考点，常与其他运算结合 有理数的减法（减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数） 能理解有理数减法法则的推导过程；能熟练运用减法法则将有理数的减法转化为加法进行计算 易错点： 直接用大数减小数，忽略符号；在连减运算中，转化为加法后符号处理错误。 命题趋势： 常与加法混合在一起考查，是有理数混合运算的重要组成部分 有理数的乘法（乘法法则、乘法运算律：交换律、结合律、分配律） 能熟练叙述并运用有理数的乘法法则进行两个及多个有理数的乘法运算；能运用乘法交换律、结合律和分配律简化乘法运算，特别是能正确运用分配律进行计算 易错点： 多个有理数相乘时，确定积的符号时易出错（忽略负因数的个数）；运用乘法分配律时，漏乘或符号错误。 命题趋势： 乘法是有理数运算的重点，分配律的应用是考查的热点，常以计算题形式出现 有理数的除法（除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除） 能理解有理数除法法则的推导过程；能熟练运用除法法则进行有理数的除法运算；能将除法转化为乘法进行计算 易错点： 忽视除数不能为0；在除法运算中符号判断错误；将除法与比、分数混淆。 命题趋势： 常与乘、加、减运算组成混合运算进行考查 有理数的乘方（乘方的定义、幂、底数、指数的概念、乘方运算的符号法则） 能理解乘方的意义，正确区分底数、指数和幂；能熟练进行有理数的乘方运算，特别是能正确确定乘方运算结果的符号 易错点： 混淆乘方的底数，如-2²与(-2)²的区别；对分数的乘方表示形式不规范，如()²误写成；忽略负数的偶次幂为正，奇次幂为负的符号法则。 命题趋势： 乘方运算是易错点，常与其他运算综合考查，是有理数混合运算的重要组成部分 有理数的混合运算（运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行） 能熟练掌握有理数混合运算的顺序，并按照运算顺序正确进行较复杂的有理数混合运算（三步及以上运算）；能合理运用运算律简化运算过程 易错点： 运算顺序混乱，特别是乘方、乘除与加减的顺序；去括号时符号处理错误；在运用运算律进行简便运算时改变了运算顺序导致错误。 命题趋势： 有理数的混合运算是期末考试的重点和难点，常以解答题形式出现，分值较高，综合性强 近似数与有效数字（近似数的概念、按要求取近似数、有效数字的概念及判断） 能理解近似数的意义；能根据要求（精确到某一位或保留几个有效数字）对一个数取近似数；能判断一个近似数的有效数字的个数 易错点： 取近似数时，对“精确到哪一位”理解不清，导致最后一位数字出错；对“四舍五入”规则掌握不牢；有效数字的判断中，忽略中间或末尾的0。 命题趋势： 常以选择题、填空题形式考查，结合实际问题中的数据处理 知识点01 正数与负数 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。 示例：+3（可省略“+”写作3）、+0.5是正数；-2、-1.3是负数。 意义：正数和负数可用来表示具有相反意义的量。 示例：若向东走5米记作+5米，则向西走3米记作-3米；若水位上升0.8米记作+0.8米，则水位下降0.5米记作-0.5米。 易错点：认为“带正号的数就是正数，带负号的数就是负数”。例如，+(-3)实际上是-3，是负数；-(+2)实际上是-2，是负数。判断一个数是否为正数或负数，不能仅看符号，要看其本质。 知识点02 有理数 定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 示例：正整数如1、2、3；0；负整数如-1、-2、-3。 分数：正分数、负分数统称为分数。 示例：正分数如、、0.25；负分数如、。 易错点：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。例如，0.3=，0.=。 无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点03 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）、单位长度（选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度要统一）。 画法： 画一条水平直线。 在直线上选取一点作为原点，用实心点表示。 规定向右为正方向，画上箭头。 根据需要选取适当的单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3，…。 与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。但数轴上的点不一定都表示有理数（还可以表示无理数）。 示例：在数轴上表示出-2，0，1.5这三个数（画图时，-2在原点左侧2个单位长度处，0在原点，1.5在原点右侧1.5个单位长度处）。 易错点： 数轴的三要素缺一不可，画数轴时容易忽略单位长度的统一或忘记标注正方向。 误认为数轴上越往右边的点表示的数越大，这是正确的，但要注意是在规定向右为正方向的前提下。 知识点04 相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 表示方法：数a的相反数是-a。这里的a可以是正数、负数或0。 示例：5的相反数是-5；-3的相反数是3；0的相反数是0。 性质：互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之亦然。 易错点：求一个数的相反数时，容易忽略数前面的符号组合。例如，-(+4)的相反数是4，因为-(+4)=-4，-4的相反数是4。 知识点05 绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 代数意义： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 用式子表示：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。 示例：|5|=5；|-3|=3；|0|=0。 性质： 绝对值具有非负性，即|a|≥0。 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 易错点： 当a是负数时，错误地认为|a|=a。例如，|-2|=-(-2)=2，而不是-2。 忽略绝对值的非负性。例如，若|x|=-x，则x≤0，而不只是x<0（当x=0时也成立）。 知识点06 有理数的大小比较 数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 法则比较法： 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 示例：比较-3和-5的大小。因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。 易错点：两个负数比较大小时，容易错误地认为绝对值大的数大。 知识点07 有理数的加法 法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+5)+(+3)=+(5+3)=8；(-4)+(-2)=-(4+2)=-6。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-2)=+(7-2)=5；(-8)+(+3)=-(8-3)=-5；(+5)+(-5)=0。 一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-6)=-6；(+4)+0=4。 运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。 示例：3+(-5)=(-5)+3=-2。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。 示例：(2+(-3))+(-4)=2+((-3)+(-4))=2+(-7)=-5。 易错点： 异号两数相加时，忘记取绝对值较大的加数的符号，或者混淆了“相加”和“相减”。例如，(-3)+5，应该取正号，并用5-3=2，结果是2，而不是-2或8。 运用加法结合律时，括号前是“+”号，括到括号里的各项不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号（此点在减法中更易出错，但加法中若有负数参与结合也需注意）。 知识点08 有理数的减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。 示例：5-3=5+(-3)=2；(-2)-(-4)=(-2)+(+4)=2；0-7=0+(-7)=-7；3-(-5)=3+5=8。 步骤： 将减号变为加号。 将减数变为它的相反数。 按照有理数加法的法则进行计算。 易错点： 减去负数时，容易忘记将减数变为它的相反数。例如，5-(-2)，错误地计算为5-2=3，正确应为5+2=7。 多个数相减时，符号容易出错。例如，3-5-(-2)=3-5+2=0，而不是3-5-2=-4。 知识点09 有理数的乘法 法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 示例：(+4)×(+3)=12；(-5)×(-2)=10；(-3)×2=-6；7×0=0。 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各因数的绝对值相乘。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24（负因数个数3个，为奇数）；(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=+(1×2×3×4)=24（负因数个数4个，为偶数）。 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 示例：(-2)×0×5=0。 运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=b×a。 示例：(-3)×4=4×(-3)=-12。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b)×c=a×(b×c)。 示例：(2×(-5))×3=2×((-5)×3)=2×(-15)=-30。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。 示例：(-4)×(3+(-2))=(-4)×3+(-4)×(-2)=-12+8=-4。 易错点： 确定积的符号时出错，特别是多个负因数相乘时，忘记数负因数的个数。例如，(-1)×(-2)×(-3)，负因数个数3个，积应为负，即-6，而不是6。 0参与乘法运算时，结果容易算错。任何数与0相乘都得0，不要忽略。 运用乘法分配律时，漏乘或符号错误。例如，-2×(1-3)，应等于-2×1 + (-2)×(-3) = -2 + 6 = 4，而不是-2×1 -3 = -5。 知识点10 有理数的除法 法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）。 法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 12÷3=12×=4（或12÷3=4，同号得正，绝对值相除12÷3=4）。 (-18)÷(-6)=18÷6=3（同号得正，绝对值相除）。 (-25)÷5=-5（异号得负，绝对值相除25÷5=5）。 0÷(-7)=0。 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数。 示例：3的倒数是；-的倒数是-；1的倒数是1；-1的倒数是-1。 易错点： 0不能作除数，这是除法运算中最基本的禁忌。 求一个负数的倒数时，容易忘记符号。例如，-4的倒数是-，而不是。 混淆除法与乘法的法则，或者在将除法转化为乘法时，忘记乘以除数的倒数。 知识点11 有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：表示3个2相乘，即2×2×2=8，其中底数是2，指数是3，幂是8。表示2个-3相乘，即(-3)×(-3)=9。 运算规律： 正数的任何次幂都是正数。 示例：=9，=8。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 示例：=-8（奇次幂）；=81（偶次幂）。 0的任何正整数次幂都是0。 示例：=0。 易错点： 与的区别：表示a的n次幂的相反数；表示n个-a相乘。例如，=-(2×2×2×2)=-16；=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16。 指数是1时通常省略不写，但计算时要明确。例如，a的1次方就是a。 知识点12 有理数的混合运算 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 示例：计算 解：原式=18 - 9×2 + (-8)÷4 （先算乘方：=9，=-8） =18 - 18 + (-2) （再算乘除：9×2=18，(-8)÷4=-2） =0 + (-2) （最后算加减：18-18=0） =-2 易错点： 运算顺序混乱，特别是乘方、乘除与加减的顺序，以及括号内外的顺序。例如，计算3+2×5时，容易先算3+2=5，再算5×5=25，正确应为3+10=13。 符号错误，在进行多个负数运算或乘方运算时，符号容易出错。例如，计算-1 - (-2)×3时，应先算乘法(-2)×3=-6，再算-1 - (-6)=-1+6=5，而不是-1 - (-2)×3=-1+2×3=5（虽然结果对，但过程中符号处理不规范容易导致其他题目出错）。 题型一 有理数概念辨析与运算中的易混易错点 解｜题｜技｜巧 1. 深刻理解核心概念：有理数的分类（整数与分数，特别注意有限小数和无限循环小数是分数）、数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、相反数（只有符号不同的两个数，0的相反数是0）、绝对值（数轴上表示数a的点到原点的距离，具有非负性，即|a|≥0）、倒数（乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数）。 2. 关注符号问题：在有理数运算中，“+”、“-”号既可以表示运算符号，也可以表示数的性质符号（正、负）。在进行加减混合运算时，可以先统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算，注意交换加数位置时要连同符号一起交换。 3. 掌握运算法则与顺序：先算乘方（如果有），再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 4. 特殊值法与反例法：对于判断题或选择题，可以通过代入特殊值（如0、1、-1、分数等）来验证结论是否成立，或举出反例来推翻错误的命题。 【典例1】下列说法正确的是（ ） A. 有理数就是正数和负数的统称 B. 最小的有理数是0 C. 数轴上原点两侧的数互为相反数 D. 绝对值等于它本身的数是非负数 【变式1】下列说法中，错误的是（ ） A. 互为相反数的两个数的绝对值相等 B. 绝对值等于本身的数只有正数 C. 互为相反数的两个数的和为0 D. 任何有理数都有相反数 【变式2】若|a| = |b|，则a与b的关系是（ ） A. a = b B. a = -b C. a = b或a = -b D. 无法确定 题型二 正数、负数、0的概念辨析及应用 解｜题｜技｜巧 1.明确正数是大于0的数，可带有正号“+”（通常省略），负数是小于0的数，必须带有负号“-”，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 2.在实际问题中，用正数和负数表示具有相反意义的量时，要先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“相反意义”包含两个要素：一是意义相反，二是都具有数量。 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅看数字前面的符号，需结合具体情境和数的实际大小，例如-a不一定是负数，当a是负数时，-a是正数。 【典例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？ +6，-21，54，0，-3.14，0.001，-999 【变式1】如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 【变式2】下列说法正确的是（ ） A.一个数不是正数就是负数 B.0是最小的正数 C. -a一定是负数 D. 若规定收入为正，则支出200元应记作-200元 题型三 数轴的概念及应用 解｜题｜技｜巧 1.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。画数轴时要正确标出这三要素。 2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不一定都是有理数（还可以表示无理数）。 3.在数轴上，右边的数总比左边的数大，所以可以利用数轴比较数的大小；互为相反数的两个数（0除外）在原点两旁，且到原点的距离相等。 【典例1】四个有理数在数轴上的对应点、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【变式2】如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（    ）    A．2 B．1 C． D． 题型四 相反数和绝对值 解｜题｜技｜巧 1.理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。求一个数的相反数，只需在这个数前面加上“-”号（若原数带负号，则去负号即可） 2.掌握绝对值的概念：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值具有非负性，即|a|≥0。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。可表示为：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a 3.灵活运用绝对值的性质解决问题：如已知一个数的绝对值求这个数，需考虑正负两种情况（0除外）；比较两个负数的大小，绝对值大的反而小；在化简含绝对值的式子时，要先判断绝对值符号内代数式的正负性 【典例1】求-5的相反数和绝对值 【变式1】已知|x|=3，求x的值。 【变式2】比较-|-2|和-(-2)的大小。 题型五 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算；同级运算，从左到右依次进行 2.熟练掌握运算法则：有理数加法法则（同号相加取相同符号并把绝对值相加，异号相加取绝对值较大数的符号并用较大绝对值减去较小绝对值）、减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法法则（同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）、除法法则（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，同号得正，异号得负） 3.合理运用运算律简化计算：加法交换律（a+b=b+a）、加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）、乘法交换律（ab=ba）、乘法结合律（(ab)c=a(bc)）、乘法分配律（a(b+c)=ab+ac），能凑整的先凑整，能化简的先化简 【典例1】计算3+(-2)×4-(-1)。 【变式1】计算+(-3)×(4-7)。 【变式2】计算(-12)÷[(-3)+(-15)÷5]。 题型六 科学计数法 解｜题｜技｜巧 1.理解科学计数法的形式：把一个数表示成a× 的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学计数法 2.确定a和n的值：当原数的绝对值大于或等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）；a是将原数的小数点向左（原数绝对值大于10时）或向右（原数绝对值小于1时）移动n位得到的数，且要满足1≤|a|<10 3.注意单位换算：在涉及实际问题时，若给出的数带有单位，要先将单位统一，再用科学计数法表示 【典例1】用科学计数法表示3600000。 【变式1】用科学计数法表示0.0000058。 【变式2】一个数用科学计数法表示为2.5×10^4，求原数 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（       ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a，b，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A． B．2 C．6 D． 4．下面计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 7．已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列说法正确的有 （    ）个， ①正数和负数统称为有理数．②相反数等于本身的数只有0．③平方等于本身的数只有0；④两个数比较大小，绝对值大的反而小．⑤近似数精确到了百位． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．清徐县的葡萄是当地特色农产品，某农户某天采摘箱葡萄，以每箱千克为标准，质量超出标准用正数表示，质量低于标准用负数表示称量记录如下． 与标准质量的偏差（单位/千克） 箱数 (1)这箱葡萄中，最重一箱比最轻一箱重______________千克； (2)葡萄价格为10元/千克，在储存中损坏了．全部卖出后的收入是多少元？ 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．数轴上点A表示的倒数，点B表示的相反数，点C表示． (1)写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A、B、C三个点； (2)若把数轴的原点取在点C处，A、B、C每两点之间的距离不变，直接写出点A表示的数：_______． 14．2025年国庆节放假八天，高速公路免费通行，某地的植物园吸引了众多游客的游览，10月1日的游客人数就已经达到了2万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化/万人 (1)游客人数最多的是10月 日； (2)10月1日的游客人数是10月2日的几分之几？ (3)10月8日的游客人数比10月1日的游客人数多了还是少了？多了（或少了）几分之几？ 15．某仓库原有商品300件，现记录了10天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，，，，，，． (1)请问经过10天，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少件商品？ (2)若商品每次进出仓库需要的人工搬运费是每件4元，求这10天总共要付多少人工搬运费？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的概念（正数、负数、有理数的定义及分类） 能准确区分正数、负数；能按不同标准（整数和分数，正有理数、0和负有理数）对有理数进行正确分类，并能举例说明 易错点： 对“0”的归属理解不清，易误认为0是正数或负数；对有理数分类标准混淆，如将小数错误归类。 命题趋势： 常以选择题或填空题形式考查，注重基本概念的辨析，结合实际生活情境举例 数轴的概念及应用（数轴的三要素、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小） 能说出数轴的三要素并正确画出数轴；能熟练地在数轴上表示给定的有理数；能利用数轴比较两个（或多个）有理数的大小，并能描述在数轴上点的位置关系 易错点： 画数轴时遗漏单位长度或方向；在数轴上表示分数或小数时位置不准确；比较负数大小时易忽略“数轴上右边的数总比左边的数大”这一规则。 命题趋势： 常结合有理数的大小比较、相反数、绝对值等知识点综合考查，数轴是重要的数形结合工具 相反数的概念及性质（相反数的定义、几何意义、符号表示、互为相反数的两数之和为0） 能说出一个数的相反数的定义及几何意义；能正确表示一个数（包括字母表示的数）的相反数；能利用互为相反数的两数之和为0进行相关计算和化简 易错点： 求含多重符号的数的相反数时易出错；对字母表示的数的相反数理解不到位，如误认为-a一定是负数。 命题趋势： 常以选择题、填空题形式直接考查，或在化简、计算中渗透考查 绝对值的概念及性质（绝对值的定义、几何意义、符号表示、绝对值的非负性、求一个数的绝对值） 能说出一个数的绝对值的定义及几何意义；能正确计算一个有理数的绝对值；能理解并运用绝对值的非负性解决简单问题 易错点： 忽略绝对值的非负性；求用字母表示的数的绝对值时，未考虑字母的取值范围而直接去绝对值符号。 命题趋势： 绝对值的非负性是考查重点，常与平方等非负性知识点结合考查；求绝对值及利用绝对值比较大小是基础考点 有理数的加法（加法法则、加法运算律：交换律、结合律） 能熟练叙述并运用有理数的加法法则进行两个及多个有理数的加法运算；能运用加法交换律和结合律简化加法运算过程，提高计算速度和准确性 易错点： 异号两数相加时，符号判断错误或绝对值相减出错；多个有理数相加时，未能合理运用运算律进行简便计算。 命题趋势： 有理数的加法是有理数运算的基础，是计算题的必考点，常与其他运算结合 有理数的减法（减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数） 能理解有理数减法法则的推导过程；能熟练运用减法法则将有理数的减法转化为加法进行计算 易错点： 直接用大数减小数，忽略符号；在连减运算中，转化为加法后符号处理错误。 命题趋势： 常与加法混合在一起考查，是有理数混合运算的重要组成部分 有理数的乘法（乘法法则、乘法运算律：交换律、结合律、分配律） 能熟练叙述并运用有理数的乘法法则进行两个及多个有理数的乘法运算；能运用乘法交换律、结合律和分配律简化乘法运算，特别是能正确运用分配律进行计算 易错点： 多个有理数相乘时，确定积的符号时易出错（忽略负因数的个数）；运用乘法分配律时，漏乘或符号错误。 命题趋势： 乘法是有理数运算的重点，分配律的应用是考查的热点，常以计算题形式出现 有理数的除法（除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除） 能理解有理数除法法则的推导过程；能熟练运用除法法则进行有理数的除法运算；能将除法转化为乘法进行计算 易错点： 忽视除数不能为0；在除法运算中符号判断错误；将除法与比、分数混淆。 命题趋势： 常与乘、加、减运算组成混合运算进行考查 有理数的乘方（乘方的定义、幂、底数、指数的概念、乘方运算的符号法则） 能理解乘方的意义，正确区分底数、指数和幂；能熟练进行有理数的乘方运算，特别是能正确确定乘方运算结果的符号 易错点： 混淆乘方的底数，如-2²与(-2)²的区别；对分数的乘方表示形式不规范，如()²误写成；忽略负数的偶次幂为正，奇次幂为负的符号法则。 命题趋势： 乘方运算是易错点，常与其他运算综合考查，是有理数混合运算的重要组成部分 有理数的混合运算（运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行） 能熟练掌握有理数混合运算的顺序，并按照运算顺序正确进行较复杂的有理数混合运算（三步及以上运算）；能合理运用运算律简化运算过程 易错点： 运算顺序混乱，特别是乘方、乘除与加减的顺序；去括号时符号处理错误；在运用运算律进行简便运算时改变了运算顺序导致错误。 命题趋势： 有理数的混合运算是期末考试的重点和难点，常以解答题形式出现，分值较高，综合性强 近似数与有效数字（近似数的概念、按要求取近似数、有效数字的概念及判断） 能理解近似数的意义；能根据要求（精确到某一位或保留几个有效数字）对一个数取近似数；能判断一个近似数的有效数字的个数 易错点： 取近似数时，对“精确到哪一位”理解不清，导致最后一位数字出错；对“四舍五入”规则掌握不牢；有效数字的判断中，忽略中间或末尾的0。 命题趋势： 常以选择题、填空题形式考查，结合实际问题中的数据处理 知识点01 正数与负数 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。 示例：+3（可省略“+”写作3）、+0.5是正数；-2、-1.3是负数。 意义：正数和负数可用来表示具有相反意义的量。 示例：若向东走5米记作+5米，则向西走3米记作-3米；若水位上升0.8米记作+0.8米，则水位下降0.5米记作-0.5米。 易错点：认为“带正号的数就是正数，带负号的数就是负数”。例如，+(-3)实际上是-3，是负数；-(+2)实际上是-2，是负数。判断一个数是否为正数或负数，不能仅看符号，要看其本质。 知识点02 有理数 定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 示例：正整数如1、2、3；0；负整数如-1、-2、-3。 分数：正分数、负分数统称为分数。 示例：正分数如、、0.25；负分数如、。 易错点：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。例如，0.3=，0.=。 无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点03 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）、单位长度（选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度要统一）。 画法： 画一条水平直线。 在直线上选取一点作为原点，用实心点表示。 规定向右为正方向，画上箭头。 根据需要选取适当的单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3，…。 与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。但数轴上的点不一定都表示有理数（还可以表示无理数）。 示例：在数轴上表示出-2，0，1.5这三个数（画图时，-2在原点左侧2个单位长度处，0在原点，1.5在原点右侧1.5个单位长度处）。 易错点： 数轴的三要素缺一不可，画数轴时容易忽略单位长度的统一或忘记标注正方向。 误认为数轴上越往右边的点表示的数越大，这是正确的，但要注意是在规定向右为正方向的前提下。 知识点04 相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 表示方法：数a的相反数是-a。这里的a可以是正数、负数或0。 示例：5的相反数是-5；-3的相反数是3；0的相反数是0。 性质：互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之亦然。 易错点：求一个数的相反数时，容易忽略数前面的符号组合。例如，-(+4)的相反数是4，因为-(+4)=-4，-4的相反数是4。 知识点05 绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 代数意义： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 用式子表示：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。 示例：|5|=5；|-3|=3；|0|=0。 性质： 绝对值具有非负性，即|a|≥0。 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 易错点： 当a是负数时，错误地认为|a|=a。例如，|-2|=-(-2)=2，而不是-2。 忽略绝对值的非负性。例如，若|x|=-x，则x≤0，而不只是x<0（当x=0时也成立）。 知识点06 有理数的大小比较 数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 法则比较法： 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 示例：比较-3和-5的大小。因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。 易错点：两个负数比较大小时，容易错误地认为绝对值大的数大。 知识点07 有理数的加法 法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+5)+(+3)=+(5+3)=8；(-4)+(-2)=-(4+2)=-6。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-2)=+(7-2)=5；(-8)+(+3)=-(8-3)=-5；(+5)+(-5)=0。 一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-6)=-6；(+4)+0=4。 运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。 示例：3+(-5)=(-5)+3=-2。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。 示例：(2+(-3))+(-4)=2+((-3)+(-4))=2+(-7)=-5。 易错点： 异号两数相加时，忘记取绝对值较大的加数的符号，或者混淆了“相加”和“相减”。例如，(-3)+5，应该取正号，并用5-3=2，结果是2，而不是-2或8。 运用加法结合律时，括号前是“+”号，括到括号里的各项不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号（此点在减法中更易出错，但加法中若有负数参与结合也需注意）。 知识点08 有理数的减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。 示例：5-3=5+(-3)=2；(-2)-(-4)=(-2)+(+4)=2；0-7=0+(-7)=-7；3-(-5)=3+5=8。 步骤： 将减号变为加号。 将减数变为它的相反数。 按照有理数加法的法则进行计算。 易错点： 减去负数时，容易忘记将减数变为它的相反数。例如，5-(-2)，错误地计算为5-2=3，正确应为5+2=7。 多个数相减时，符号容易出错。例如，3-5-(-2)=3-5+2=0，而不是3-5-2=-4。 知识点09 有理数的乘法 法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 示例：(+4)×(+3)=12；(-5)×(-2)=10；(-3)×2=-6；7×0=0。 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各因数的绝对值相乘。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24（负因数个数3个，为奇数）；(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=+(1×2×3×4)=24（负因数个数4个，为偶数）。 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 示例：(-2)×0×5=0。 运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=b×a。 示例：(-3)×4=4×(-3)=-12。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b)×c=a×(b×c)。 示例：(2×(-5))×3=2×((-5)×3)=2×(-15)=-30。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。 示例：(-4)×(3+(-2))=(-4)×3+(-4)×(-2)=-12+8=-4。 易错点： 确定积的符号时出错，特别是多个负因数相乘时，忘记数负因数的个数。例如，(-1)×(-2)×(-3)，负因数个数3个，积应为负，即-6，而不是6。 0参与乘法运算时，结果容易算错。任何数与0相乘都得0，不要忽略。 运用乘法分配律时，漏乘或符号错误。例如，-2×(1-3)，应等于-2×1 + (-2)×(-3) = -2 + 6 = 4，而不是-2×1 -3 = -5。 知识点10 有理数的除法 法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）。 法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 12÷3=12×=4（或12÷3=4，同号得正，绝对值相除12÷3=4）。 (-18)÷(-6)=18÷6=3（同号得正，绝对值相除）。 (-25)÷5=-5（异号得负，绝对值相除25÷5=5）。 0÷(-7)=0。 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数。 示例：3的倒数是；-的倒数是-；1的倒数是1；-1的倒数是-1。 易错点： 0不能作除数，这是除法运算中最基本的禁忌。 求一个负数的倒数时，容易忘记符号。例如，-4的倒数是-，而不是。 混淆除法与乘法的法则，或者在将除法转化为乘法时，忘记乘以除数的倒数。 知识点11 有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：表示3个2相乘，即2×2×2=8，其中底数是2，指数是3，幂是8。表示2个-3相乘，即(-3)×(-3)=9。 运算规律： 正数的任何次幂都是正数。 示例：=9，=8。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 示例：=-8（奇次幂）；=81（偶次幂）。 0的任何正整数次幂都是0。 示例：=0。 易错点： 与的区别：表示a的n次幂的相反数；表示n个-a相乘。例如，=-(2×2×2×2)=-16；=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16。 指数是1时通常省略不写，但计算时要明确。例如，a的1次方就是a。 知识点12 有理数的混合运算 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 示例：计算 解：原式=18 - 9×2 + (-8)÷4 （先算乘方：=9，=-8） =18 - 18 + (-2) （再算乘除：9×2=18，(-8)÷4=-2） =0 + (-2) （最后算加减：18-18=0） =-2 易错点： 运算顺序混乱，特别是乘方、乘除与加减的顺序，以及括号内外的顺序。例如，计算3+2×5时，容易先算3+2=5，再算5×5=25，正确应为3+10=13。 符号错误，在进行多个负数运算或乘方运算时，符号容易出错。例如，计算-1 - (-2)×3时，应先算乘法(-2)×3=-6，再算-1 - (-6)=-1+6=5，而不是-1 - (-2)×3=-1+2×3=5（虽然结果对，但过程中符号处理不规范容易导致其他题目出错）。 题型一 有理数概念辨析与运算中的易混易错点 解｜题｜技｜巧 1. 深刻理解核心概念：有理数的分类（整数与分数，特别注意有限小数和无限循环小数是分数）、数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、相反数（只有符号不同的两个数，0的相反数是0）、绝对值（数轴上表示数a的点到原点的距离，具有非负性，即|a|≥0）、倒数（乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数）。 2. 关注符号问题：在有理数运算中，“+”、“-”号既可以表示运算符号，也可以表示数的性质符号（正、负）。在进行加减混合运算时，可以先统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算，注意交换加数位置时要连同符号一起交换。 3. 掌握运算法则与顺序：先算乘方（如果有），再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 4. 特殊值法与反例法：对于判断题或选择题，可以通过代入特殊值（如0、1、-1、分数等）来验证结论是否成立，或举出反例来推翻错误的命题。 【典例1】下列说法正确的是（ ） A. 有理数就是正数和负数的统称 B. 最小的有理数是0 C. 数轴上原点两侧的数互为相反数 D. 绝对值等于它本身的数是非负数 分析与解答： 选项A：有理数包括正有理数、0和负有理数。A选项漏掉了0，所以错误。 选项B：有理数可以无限小，没有最小的有理数，所以B错误。 选项C：数轴上原点两侧且到原点距离相等的两个数才互为相反数。仅仅在原点两侧是不够的，例如-1和2在原点两侧，但它们不是相反数，所以C错误。 选项D：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（也是它本身），负数的绝对值是它的相反数（不是它本身）。所以绝对值等于它本身的数是正数和0，即非负数。D正确。 答案：D 【变式1】下列说法中，错误的是（ ） A. 互为相反数的两个数的绝对值相等 B. 绝对值等于本身的数只有正数 C. 互为相反数的两个数的和为0 D. 任何有理数都有相反数 分析与解答： 选项A：互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等，A正确。 选项B：绝对值等于本身的数不仅有正数，还有0，因为|0|=0，所以B错误。 选项C：互为相反数的定义就是和为0的两个数，C正确。 选项D：任何有理数a都有相反数-a，D正确。 答案：B 【变式2】若|a| = |b|，则a与b的关系是（ ） A. a = b B. a = -b C. a = b或a = -b D. 无法确定 分析与解答： 绝对值相等的两个数，它们的关系有两种情况：要么相等，要么互为相反数。例如，|3| = |3|，此时a = b；|3| = |-3|，此时a = -b。所以当|a| = |b|时，a = b或a = -b。 答案：C 题型二 正数、负数、0的概念辨析及应用 解｜题｜技｜巧 1.明确正数是大于0的数，可带有正号“+”（通常省略），负数是小于0的数，必须带有负号“-”，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 2.在实际问题中，用正数和负数表示具有相反意义的量时，要先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“相反意义”包含两个要素：一是意义相反，二是都具有数量。 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅看数字前面的符号，需结合具体情境和数的实际大小，例如-a不一定是负数，当a是负数时，-a是正数。 【典例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？ +6，-21，54，0，-3.14，0.001，-999 分析与解答： 根据正数、负数和0的定义进行判断。大于0的数是正数，所以+6、54、0.001是正数；小于0的数是 负数，所以-21、-3.14、-999是负数；0既不是正数也不是负数。 答案： 正数：+6，54，0.001；负数：-21，-3.14，-999；既不是正数也不是负数：0 【变式1】如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 分析与解答： 题目中规定向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示。所以向西走5米记作-5 米。原地不动没有移动距离，根据0的意义，记作0米。 答案： 向西走5米记作-5米，原地不动记作0米 【变式2】下列说法正确的是（ ） A.一个数不是正数就是负数 B.0是最小的正数 C. -a一定是负数 D. 若规定收入为正，则支出200元应记作-200元 分析与解答： 选项A，0既不是正数也不是负数，所以该说法错误；选项B，0不是正数，所以该说法错误；选项C， 当a是负数时，-a是正数，当a=0时，-a=0，所以该说法错误；选项D，规定收入为正，支出与收入是 相反意义的量，所以支出200元应记作-200元，该说法正确。 答案：D 题型三 数轴的概念及应用 解｜题｜技｜巧 1.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。画数轴时要正确标出这三要素。 2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不一定都是有理数（还可以表示无理数）。 3.在数轴上，右边的数总比左边的数大，所以可以利用数轴比较数的大小；互为相反数的两个数（0除外）在原点两旁，且到原点的距离相等。 【典例1】四个有理数在数轴上的对应点、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 分析与解答: 本题考查的是数轴上数的大小比较，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解题的关键．根据数轴的性 质，右边的点对应的数总比左边的点对应的数大，观察、、、的位置，即可确定最大的数对 应的点． 答案：D 【变式1】数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 分析与解答: 本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 答案：D 【变式2】如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（    ）    A．2 B．1 C． D． 分析与解答: 本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．根据数轴上，右边的数总 比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案． 解：根据数轴得：， 各选项只有符合． 答案：D 题型四 相反数和绝对值 解｜题｜技｜巧 1.理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。求一个数的相反数，只需在这个数前面加上“-”号（若原数带负号，则去负号即可） 2.掌握绝对值的概念：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值具有非负性，即|a|≥0。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。可表示为：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a 3.灵活运用绝对值的性质解决问题：如已知一个数的绝对值求这个数，需考虑正负两种情况（0除外）；比较两个负数的大小，绝对值大的反而小；在化简含绝对值的式子时，要先判断绝对值符号内代数式的正负性 【典例1】求-5的相反数和绝对值 分析与解答： 根据相反数定义，-5的相反数是-(-5)=5；根据绝对值概念，-5是负数，所以它的绝对值是它的相反数， 即|-5|=5 答案： -5的相反数是5，绝对值是5 【变式1】已知|x|=3，求x的值。 分析与解答： 因为绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数，所以x=3或x=-3 答案： x=3或x=-3 【变式2】比较-|-2|和-(-2)的大小。 分析与解答： 先分别化简，-|-2|=-2，-(-2)=2，因为正数大于负数，所以-2<2，即-|-2|<-(-2) 答案： -|-2|<-(-2) 题型五 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算；同级运算，从左到右依次进行 2.熟练掌握运算法则：有理数加法法则（同号相加取相同符号并把绝对值相加，异号相加取绝对值较大数的符号并用较大绝对值减去较小绝对值）、减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法法则（同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）、除法法则（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，同号得正，异号得负） 3.合理运用运算律简化计算：加法交换律（a+b=b+a）、加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）、乘法交换律（ab=ba）、乘法结合律（(ab)c=a(bc)）、乘法分配律（a(b+c)=ab+ac），能凑整的先凑整，能化简的先化简 【典例1】计算3+(-2)×4-(-1)。 分析与解答： 按照运算顺序，先算乘法，(-2)×4=-8，原式变为3-8-(-1)；再算减法，3-8=-5，-(-1)=1，最后算-5+1=-4 答案：-4 【变式1】计算+(-3)×(4-7)。 分析与解答： 先算乘方，=-8；再算括号里的，4-7=-3；然后算乘法，(-3)×(-3)=9；最后算加法，-8+9=1 答案：1 【变式2】计算(-12)÷[(-3)+(-15)÷5]。 分析与解答： 先算中括号里的除法，(-15)÷5=-3；再算中括号里的加法，(-3)+(-3)=-6；最后算括号外的除法，(-12)÷(-6)=2 答案：2 题型六 科学计数法 解｜题｜技｜巧 1.理解科学计数法的形式：把一个数表示成a× 的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学计数法 2.确定a和n的值：当原数的绝对值大于或等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）；a是将原数的小数点向左（原数绝对值大于10时）或向右（原数绝对值小于1时）移动n位得到的数，且要满足1≤|a|<10 3.注意单位换算：在涉及实际问题时，若给出的数带有单位，要先将单位统一，再用科学计数法表示 【典例1】用科学计数法表示3600000。 分析与解答： 3600000的整数位数是7位，所以n=7-1=6，a=3.6，即3600000=3.6× 答案：3.6× 【变式1】用科学计数法表示0.0000058。 分析与解答： 原数绝对值小于1，左起第一个非零数字前有6个零，所以n=-6，a=5.8，即0.0000058=5.8× 答案：5.8× 【变式2】一个数用科学计数法表示为2.5×10^4，求原数 分析与解答： n=4是正整数，将2.5的小数点向右移动4位，得到25000 答案：25000 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：2404亿． 故选：A ． 2．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a，b，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算及数轴上有理数的表示是解题的关键；由数轴可知，，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知， ， 故A，B，C错误，D正确 故选：D． 3．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清数值转换机中的运算是解本题的关键；把的值代入数值转换机中计算即可确定出结果． 【详解】解：把代入 故选C． 4．下面计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，分别利用有理数的减法，乘除法和乘方运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握新定义法则． 根据新运算“Θ”的定义，先计算内部运算，再计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法运算法则；由绝对值的意义，和各有两种取值，但根据可知和异号，因此只有两种可能组合，分别计算即可得到结果． 【详解】解：，或， ，或， 又，和异号． 当，时，， 当，时，， 的值为或． 故选：C． 7．已知数，，在数轴上的位置如图所示，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：由数轴图可知， ，，， ∴①③④错误，②正确，正确结论只有1个． 故选：A． 8．下列说法正确的有 （    ）个， ①正数和负数统称为有理数．②相反数等于本身的数只有0．③平方等于本身的数只有0；④两个数比较大小，绝对值大的反而小．⑤近似数精确到了百位． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数相关的定义，包括有理数的分类，相反数的性质，平方的性质，有理数大小比较规则及科学记数法与近似数．根据相关的定义概念逐一分析每个说法是否正确即可． 【详解】解：①：有理数分为正有理数、0和负有理数，说法①不正确； ②：相反数等于本身的数只有0，说法②正确； ③：平方等于本身的数除了0以外还有1，说法③不正确； ④：当两个数为负数比较大小时，绝对值大的反而小，但当两个数为正数比较大小时，绝对值大的反而大，说法④不正确； ⑤：近似数，其中1.20的最后一位0对应万位而不是百位，说法⑤错误， 综上所述，说法正确只有②， 故选：A． 9．若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘方，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再据此逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 综上，①不成立，②和③成立， 故选：D． 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括运算顺序、乘方和符号处理．选项A错误，因为未先乘除后加减；选项B错误，因为除法和乘法顺序导致结果错误；选项C正确，根据的乘方性质；选项D错误，因为负号处理不当． 【详解】解： A．，计算错误． B．，计算错误． C．，计算正确． D．，计算错误． 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．清徐县的葡萄是当地特色农产品，某农户某天采摘箱葡萄，以每箱千克为标准，质量超出标准用正数表示，质量低于标准用负数表示称量记录如下． 与标准质量的偏差（单位/千克） 箱数 (1)这箱葡萄中，最重一箱比最轻一箱重______________千克； (2)葡萄价格为10元/千克，在储存中损坏了．全部卖出后的收入是多少元？ 【答案】(1) (2)全部卖出后的收入是元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）用最大的减去最小的即可求解； （2）将表格中的数据相加，和为正，表示总计超过标准质量，和为负，则表示总计不足标准质量，然后再根据题意列出算式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 答：最重一箱比最轻一箱重千克； 故答案为：． （2）解：（千克） （元） 答：全部卖出后的收入是5930.1元 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)11 (2)1 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．数轴上点A表示的倒数，点B表示的相反数，点C表示． (1)写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A、B、C三个点； (2)若把数轴的原点取在点C处，A、B、C每两点之间的距离不变，直接写出点A表示的数：_______． 【答案】(1)A表示，B表示3，C表示4，图见解析 (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，倒数，相反数和有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据倒数，相反数的定义，乘方的法则，求出A、B，C表示的数，然后在数轴上表示出各数即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的倒数，点B表示的相反数，点C表示， ∴点A表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为， 在数轴上表示出各数，如图所示： （2）解：由（1）可知，点在点的左侧，且， ∴当把数轴的原点取在点C处时，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：． 14．2025年国庆节放假八天，高速公路免费通行，某地的植物园吸引了众多游客的游览，10月1日的游客人数就已经达到了2万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化/万人 (1)游客人数最多的是10月 日； (2)10月1日的游客人数是10月2日的几分之几？ (3)10月8日的游客人数比10月1日的游客人数多了还是少了？多了（或少了）几分之几？ 【答案】(1)4 (2) (3)少了； 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数混合运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意分别计算出10月2日至10月8日的人数，再比较即可； （2）用10月1日的游客人数除以10月2日的游客人数即可； （3）先用10月8日的游客人数减去10月1日的游客人数得出多了（或少了）多少，再用除法计算即可． 【详解】（1）解：10月2日的游客人数：（万）， 10月3日的游客人数：（万）， 10月4日的游客人数：（万）， 10月5日的游客人数：（万）， 10月6日的游客人数：（万）， 10月7日的游客人数：（万）， 10月8日的游客人数：（万）， ∴游客人数最多的是10月4日． （2）． ∴10月1日的游客人数是10月2日的． （3）（万）， ， ∴10月8日的游客人数比10月1日的游客人数少了0.5万人，少了． 15．某仓库原有商品300件，现记录了10天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，，，，，，． (1)请问经过10天，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少件商品？ (2)若商品每次进出仓库需要的人工搬运费是每件4元，求这10天总共要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)增加了27件，此时仓库还有327件商品 (2)868元 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． （1）把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有327件； （2）把这些数的绝对值相加，然后再乘以4进行计算即可解答． 【详解】（1）解：（件）， （件） 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了27件，此时仓库还有327件商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付868元搬运费． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $