专题03 三角形（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学三角形期末复习讲义通过“核心考点-复习目标-考情规律”表格与知识框架图系统构建知识体系，涵盖三角形概念、全等判定、等腰与直角三角形性质等15个考点，用对比表格厘清易混点，标注易错点，助力学生形成结构化认知。 讲义亮点在于“题型-技巧-典例”分层设计，如勾股定理解决红莲移动问题培养模型意识，等腰三角形三线合一证明强化推理能力，配套基础、重难、综合练习适配不同学生，教师可精准教学，有效提升复习效率与数学思维。

专题03 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的概念与分类 能准确描述三角形的定义，会按边和角对三角形进行正确分类，并能判断给定三角形的类型 易错点：三角形按边分类中，等腰三角形与等边三角形的关系易混淆；按角分类时，锐角三角形与直角三角形、钝角三角形的界限不清。 三角形的三边关系 能熟练运用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”判断三条线段能否组成三角形，并能解决相关的边长取值范围及周长计算问题 命题趋势：常结合不等式或代数式求值考查；易错点：忽略“任意”二字，只验证其中一组两边之和大于第三边。 三角形的内角和定理及推论 能理解并掌握三角形内角和为180°，能运用内角和定理求三角形中未知角的度数，掌握直角三角形两锐角互余的性质 常考题型：已知三角形两个角的度数，求第三个角；或已知三角形一个角及另外两个角的关系，求各角。 三角形的外角性质 能理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角），并能运用性质解决角度计算和比较问题 易错点：混淆三角形的内角和外角，错误运用外角性质；在复杂图形中准确识别外角是解题关键。 三角形的高、中线、角平分线 能准确画出三角形的高、中线、角平分线，理解它们的定义和性质（如：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心；三角形的角平分线分得的两个角相等），并能运用这些性质解决简单问题 考情规律：常以作图题形式考查，或结合三角形面积（高）、线段相等（中线）、角相等（角平分线）进行综合考查。易错点：钝角三角形高的画法及位置。 全等三角形的概念与性质 能理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），能准确找出全等三角形的对应边和对应角 是后续学习全等三角形判定的基础，性质的直接应用在选择题和填空题中常见，关键在于准确识别对应关系。 全等三角形的判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL） 能熟练掌握并运用“边边边”(SSS)、“边角边”(SAS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)判定两个三角形全等，对于直角三角形，还能运用“斜边、直角边”(HL)判定定理 期末重点考查内容，常结合证明线段相等、角相等、线段平行或垂直等进行综合证明。易错点：“SSA”不能判定三角形全等；SAS判定中角必须是两边的夹角。 等腰三角形的性质 能理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质（等边对等角；等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合——“三线合一”），并能运用性质解决角度计算和线段证明问题 命题趋势：“三线合一”性质是考查重点，常作为证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据。 等腰三角形的判定 能掌握等腰三角形的判定方法（等角对等边），并能运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形 常与三角形内角和定理、角平分线性质等结合考查，证明线段相等。 等边三角形的性质与判定 能理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质（三边相等，三个角都等于60°）和判定方法（三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 常结合等腰三角形的性质和判定进行综合考查，在计算题和证明题中均有出现。 直角三角形的性质（含勾股定理） 能掌握直角三角形的性质（两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）进行直角三角形边长的计算 勾股定理是核心考点，应用广泛，可用于已知两边求第三边，或已知三边长度判断是否为直角三角形（勾股定理逆定理）。 直角三角形的判定（含勾股定理逆定理） 能掌握直角三角形的判定方法（有一个角是直角的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形） 勾股定理逆定理常与三角形三边关系结合考查，判断三角形的形状。 尺规作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、已知三边/两边及其夹角/两角及其夹边作三角形） 能运用尺规完成基本作图，并能写出作图的主要步骤；能利用基本作图解决简单的实际问题 期末必考题型之一，重点考查作图的规范性和对作图原理的理解，有时会要求保留作图痕迹并说明作图结果。 逆命题与逆定理 能理解命题的概念，会区分命题的题设和结论，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假；理解逆定理的概念 易错点：写出的逆命题不完整或题设结论混淆；对定理与其逆定理的关系理解不清。一般以选择题或填空题形式考查。 轴对称的概念与性质 能理解轴对称的定义，掌握轴对称的性质（对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等），能判断一个图形是否是轴对称图形，并找出其对称轴 常与全等三角形、等腰三角形等知识结合考查，利用轴对称性质解决图形变换和证明问题。 轴对称图形 能识别常见的轴对称图形，并能画出它们的对称轴；理解轴对称图形与轴对称的区别与联系 多以选择题或填空题形式考查对常见图形对称性的识别。 用坐标表示轴对称 能在平面直角坐标系中，写出一个已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标；能利用坐标变化规律解决与轴对称相关的问题 结合平面直角坐标系考查，是数形结合思想的体现，难度不大，但需细心。 知识点01 三角形的概念与分类 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 示例：日常生活中的屋顶框架、自行车车架等都包含三角形结构。 三角形的分类 -按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 -按边分类：不等边三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（有两条边相等）、等边三角形（三条边都相等，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 知识点02 三角形的性质 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 示例：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。 易错点：误认为任意多边形的内角和都是180°，实际上只有三角形内角和是180°。 三角形外角性质 - 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 - 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 示例：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，若∠A=40°，∠B=60°，则∠ACD=∠A+∠B=100°。 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 示例：判断三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm能否组成三角形，因为3+4>5，3+5>4，4+5>3，且5-3<4，5-4<3，4-3<5，所以能组成三角形。 易错点：忽略“任意”二字，只验证其中一组两边之和大于第三边。 知识点03 三角形中的主要线段 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 示例：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD=DC，且AG=2GD（G为重心）。 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 示例：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD，且内心到AB、BC、AC的距离相等。 三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 性质：三角形的三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 示例：在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，则∠ADB=∠ADC=90°。 易错点：钝角三角形的高有两条在三角形外部，容易画错。 知识点04 全等三角形 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 示例：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 知识点05 全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。 SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。 易错点：误用“SSA”判定三角形全等，“SSA”不一定能判定三角形全等。 3ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF（ASA）。 AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 示例：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 知识点06 等腰三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质 - 等腰三角形的两腰相等。 - 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 - 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 示例：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=∠C=÷2=50°。 易错点：“三线合一”中的三线是指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，而不是腰上的中线或高。 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 示例：在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。 知识点07 直角三角形 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 直角三角形的性质 - 直角三角形的两个锐角互余。 - 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 - 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，则AB=2BC=10cm。 直角三角形的判定 - 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 - 有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点08 逆命题逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 示例：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”。 易错点：误认为所有命题都有逆命题且逆命题一定是真命题，实际上原命题为真，其逆命题不一定为真。 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 示例：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。 知识点09 轴对称和轴对称图形 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 示例：等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴。 轴对称的性质 - 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 - 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 - 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 知识点10 勾股定理 勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c==5。 易错点：应用勾股定理时，忽略直角三角形这个前提条件。 勾股定理的应用：主要用于已知直角三角形的两边求第三边，或者判断一个三角形是否为直角三角形。 知识点11 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 示例：判断△ABC的三边长分别为5，12，13是否为直角三角形，因为5²+12²=13²，所以△ABC是直角三角形。21 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 示例：3，4，5；6，8，10；5，12，13等都是勾股数。 题型一 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 1. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长时，第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和 2. 当已知三条线段长度判断能否组成三角形时，只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可 3. 在解决等腰三角形边长问题时，需分情况讨论哪条边为腰，同时要满足三角形三边关系，排除不符合条件的情况 【典例1】若三角形的两边长分别为3和5，求第三边x的取值范围 分析与解答： 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。5-3=2，5+3=8，所以第三边x的取值范围是2<x<8 答案：2<x<8 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，4cm，8cm C. 5cm，6cm，10cm D. 5cm，6cm，12cm 分析与解答： 选项A中，1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；选项B中，3+4=7<8，不满足；选项C中，5+6=11>10，6-5=1<10，满足三角形三边关系；选项D中，5+6=11<12，不满足。所以能组成三角形的是选项C 答案：C 【变式2】若等腰三角形的两边长分别为4和9，求其周长 分析与解答： 分两种情况讨论：①当腰长为4时，三边长分别为4，4，9，因为4+4=8<9，不满足三角形三边关系，舍去；②当腰长为9时，三边长分别为9，9，4，9+4=13>9，9-4=5<9，满足三边关系，此时周长为9+9+4=22 答案：22 题型二 三角形内角和定理及推论的应用 解｜题｜技｜巧 1. 三角形内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 3. 在求三角形角度时，若出现角平分线、高线等条件，可结合这些性质找到角之间的关系，再利用内角和定理求解 4. 对于含多个三角形的复杂图形，可通过公共角、对顶角等建立不同三角形内角之间的联系 【典例1】在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求∠C的度数 分析与解答： 根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90° 答案：90° 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，求∠B的度数 分析与解答： 因为直角三角形的两个锐角互余，∠C=90°，所以∠A+∠B=90°，∠B=90°-∠A=90°-40°=50° 答案：50° 题型三 全等三角形的判定与性质综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 全等三角形的判定方法有：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形） 2. 利用全等三角形的性质可以得到对应边相等、对应角相等，在证明线段或角相等时，常通过证明三角形全等来实现 3. 证明三角形全等时，要先观察图形，找出已知条件和隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），再根据判定方法选择合适的条件 4. 当图形中存在多个全等三角形时，要注意它们之间的联系，有时需要通过多次证明全等解决问题 【典例1】如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，，添加时，根据判定，故不符合题意； B．，，添加时，根据判定，故不符合题意； C．，，添加时，不能由判定，故符合题意； D．，，添加时，根据判定，故不符合题意； 答案：C． 【变式1】如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理处理． 【详解】解：．，无法得到，本选项符合题意； ．，根据可得到，本本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； 答案：A 【变式2】如图，在中，点在边上，，，添加下列条件能判断的是（     ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定对各选项判断作答即可． 【详解】解：在中，点在边上，， A. ，不是对应角，不能判断，故该选项不符合题意；     B. ，不是对应边，不能判断，故该选项不符合题意；         C. ，不能判断，故该选项不符合题意；     D. ，根据，能判断，故该选项符合题意； 答案：D 题型四 等腰三角形的性质与判定 解｜题｜技｜巧 1. 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角） 2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一），在解题中，若已知其中一个条件，可得出另外两个条件 3. 等角对等边，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，可用来判定等腰三角形 4. 在解决等腰三角形问题时，常作底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线，利用三线合一的性质构造全等三角形或直角三角形 【典例1】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析与解答： 题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 答案：C 【变式1】如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 分析与解答： 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 答案：B 【变式2】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 分析与解答： 本题考查等边三角形的判定条件、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的定义和判定是解题的关键． 根据等边三角形的定义和判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 三个角都相等的三角形一定是等边三角形，故A选项不符合题意； B．有两个角等于的三角形，那么第三个角也为，一定是等边三角形，故B选项不符合题意； C．一边上的高也是该边上的中线，则该三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形，故C选项符合题意； D．有一个角等于的等腰三角形，则其他两个角也均为，一定是等边三角形，故D选项不符合题意． 答案：C 题型五 勾股定理及其逆定理的应用 解｜题｜技｜巧 1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（其中a、b为直角边，c为斜边） 2. 勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 3. 利用勾股定理可以已知直角三角形两边长求第三边长，在应用时要先确定哪条边是斜边 4. 勾股定理逆定理常用于判断一个三角形是否为直角三角形，也可用于解决与直角相关的实际问题 【典例1】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 分析与解答： 本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 答案：D 【变式1】如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 分析与解答： 本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，进而得到的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得：（米）， 则（米）， 即木马上升的高度为1米． 答案：A 【变式2】以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．8，15，17 C．7，24，25 D．4，5，6 分析与解答： 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 通过勾股定理逆定理判断，检查每组数中最大数的平方是否等于另外两个数的平方和，若相等则能构成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A、∵，∴ 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴ 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴ 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴ 不能构成直角三角形，故此选项符合题意。 答案：D 题型六 轴对称和轴对称图形的性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段相等，对应角相等 2. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 3. 在解决最短路径问题时，常利用轴对称的性质，将折线转化为直线，根据两点之间线段最短求解 4. 对于轴对称图形，可利用其对称性找到相等的线段和角，简化计算或证明过程 【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查了轴对称图形识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； 答案：D 【变式1】中华文明，源远流长；中华文字，寓意深广．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．国 B．家 C．昌 D．盛 分析与解答： 本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两考的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）． 根据轴对称图形的定义，依次判断各选项中的汉字是否符合条件． 【详解】解：A、国：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形； B、家：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形； C、昌：沿中间水平直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形； D、盛：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形． 答案：C 【变式2】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上，连接和．则关于和的关系，下面表述正确的是（    ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，两个图形的对应线段，对应角，分别相等，由此即可解决问题． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴， ∴，故选项A正确， 无法得到和的数量关系，故选项B，C，D错误． 答案： A 题型七 逆命题与逆定理 解｜题｜技｜巧 1. 交换一个命题的题设和结论，所得到的命题就是原命题的逆命题，每个命题都有逆命题，但原命题正确，其逆命题不一定正确 2. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理 3. 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 4. 在区分逆命题和逆定理时，要注意逆定理是经过证明的真命题，而逆命题不一定是真命题 【典例1】写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假 分析与解答： 原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”。这个逆命题是真命题，是我们学过的平行线的判定定理 答案：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题 【变式1】下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. B. 全等三角形的对应角相等 C. C. 直角三角形的两个锐角互余 D. D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 分析与解答： 选项A的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，有逆定理； 选项B的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题（如两个大小不同的等边三角形对应角相等，但不全等），所以没有逆定理； 选项C的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，有逆定理； 选项D的逆命题是“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，是真命题，有逆定理。所以没有逆定理的是选项B 答案：B 【变式2】判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由 分析与解答： 原命题的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。这个逆命题是假命题，例如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角 答案：假命题，理由见分析 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用直尺和圆规作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质是解题的关键．连结，，由作图可知，，，，即可根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质，即可证明，即可判断答案． 【详解】解：连结，， 由作图可知，，，， ， ． 故选：D． 3．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，熟练掌握逆命题的概念是解题的关键． 逆命题是将原命题的条件和结论互换，需判断互换后的命题是否成立即可． 【详解】解：选项A：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A逆命题不成立； 选项B：原命题“直角三角形的两锐角互余”成立，逆命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”成立，根据三角形内角和是，两角互余则第三角为，故B逆命题成立； 选项C：原命题“等边三角形的三条边相等”成立，逆命题“三边相等的三角形是等边三角形”成立，符合等边三角形的定义，故C逆命题成立； 选项D：原命题“两直线平行，内错角相等”成立，逆命题“内错角相等，两直线平行”成立，为平行线判定定理，故D逆命题成立； 故选：A． 4．某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：当该勘探站到这三个埋藏点A，B，C的距离都相等时，则该勘探站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 5．在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过等式变形得出三边关系，从而判断直角的位置． 先将等式化简为，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且为直角（勾股定理的逆定理）． 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，，添加时，根据判定，故不符合题意； B．，，添加时，根据判定，故不符合题意； C．，，添加时，不能由判定，故符合题意； D．，，添加时，根据判定，故不符合题意； 故选：C． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 8．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 9．如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理处理． 【详解】解：．，无法得到，本选项符合题意； ．，根据可得到，本本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； 故选：． 10．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，、相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． 先证明得到，进而证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）由平行线的性质可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得，即可证明结论； （2）先证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 在和中， ∵， ∴， ∴． 13．如图，点，均在内部，请用尺规作图法在内部求作一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规基本作图−作角平分线 、作线段的垂直平分线，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，作的平分线和线段的垂直平分线，两线相交于点P，即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求， ． 14．如图，平分，于，于，且． (1)证明：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据角平分线的性质得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义推出，根据等角对等边可得，进而勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：平分，于，于， ，， 在和中， ， ， ． （2）平分， ， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ． 15．如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键： （1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可； （2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证． 【详解】（1）解：是，证明如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴； ∴是直角三角形； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的概念与分类 能准确描述三角形的定义，会按边和角对三角形进行正确分类，并能判断给定三角形的类型 易错点：三角形按边分类中，等腰三角形与等边三角形的关系易混淆；按角分类时，锐角三角形与直角三角形、钝角三角形的界限不清。 三角形的三边关系 能熟练运用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”判断三条线段能否组成三角形，并能解决相关的边长取值范围及周长计算问题 命题趋势：常结合不等式或代数式求值考查；易错点：忽略“任意”二字，只验证其中一组两边之和大于第三边。 三角形的内角和定理及推论 能理解并掌握三角形内角和为180°，能运用内角和定理求三角形中未知角的度数，掌握直角三角形两锐角互余的性质 常考题型：已知三角形两个角的度数，求第三个角；或已知三角形一个角及另外两个角的关系，求各角。 三角形的外角性质 能理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角），并能运用性质解决角度计算和比较问题 易错点：混淆三角形的内角和外角，错误运用外角性质；在复杂图形中准确识别外角是解题关键。 三角形的高、中线、角平分线 能准确画出三角形的高、中线、角平分线，理解它们的定义和性质（如：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心；三角形的角平分线分得的两个角相等），并能运用这些性质解决简单问题 考情规律：常以作图题形式考查，或结合三角形面积（高）、线段相等（中线）、角相等（角平分线）进行综合考查。易错点：钝角三角形高的画法及位置。 全等三角形的概念与性质 能理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），能准确找出全等三角形的对应边和对应角 是后续学习全等三角形判定的基础，性质的直接应用在选择题和填空题中常见，关键在于准确识别对应关系。 全等三角形的判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL） 能熟练掌握并运用“边边边”(SSS)、“边角边”(SAS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)判定两个三角形全等，对于直角三角形，还能运用“斜边、直角边”(HL)判定定理 期末重点考查内容，常结合证明线段相等、角相等、线段平行或垂直等进行综合证明。易错点：“SSA”不能判定三角形全等；SAS判定中角必须是两边的夹角。 等腰三角形的性质 能理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质（等边对等角；等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合——“三线合一”），并能运用性质解决角度计算和线段证明问题 命题趋势：“三线合一”性质是考查重点，常作为证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据。 等腰三角形的判定 能掌握等腰三角形的判定方法（等角对等边），并能运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形 常与三角形内角和定理、角平分线性质等结合考查，证明线段相等。 等边三角形的性质与判定 能理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质（三边相等，三个角都等于60°）和判定方法（三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 常结合等腰三角形的性质和判定进行综合考查，在计算题和证明题中均有出现。 直角三角形的性质（含勾股定理） 能掌握直角三角形的性质（两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）进行直角三角形边长的计算 勾股定理是核心考点，应用广泛，可用于已知两边求第三边，或已知三边长度判断是否为直角三角形（勾股定理逆定理）。 直角三角形的判定（含勾股定理逆定理） 能掌握直角三角形的判定方法（有一个角是直角的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形） 勾股定理逆定理常与三角形三边关系结合考查，判断三角形的形状。 尺规作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、已知三边/两边及其夹角/两角及其夹边作三角形） 能运用尺规完成基本作图，并能写出作图的主要步骤；能利用基本作图解决简单的实际问题 期末必考题型之一，重点考查作图的规范性和对作图原理的理解，有时会要求保留作图痕迹并说明作图结果。 逆命题与逆定理 能理解命题的概念，会区分命题的题设和结论，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假；理解逆定理的概念 易错点：写出的逆命题不完整或题设结论混淆；对定理与其逆定理的关系理解不清。一般以选择题或填空题形式考查。 轴对称的概念与性质 能理解轴对称的定义，掌握轴对称的性质（对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等），能判断一个图形是否是轴对称图形，并找出其对称轴 常与全等三角形、等腰三角形等知识结合考查，利用轴对称性质解决图形变换和证明问题。 轴对称图形 能识别常见的轴对称图形，并能画出它们的对称轴；理解轴对称图形与轴对称的区别与联系 多以选择题或填空题形式考查对常见图形对称性的识别。 用坐标表示轴对称 能在平面直角坐标系中，写出一个已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标；能利用坐标变化规律解决与轴对称相关的问题 结合平面直角坐标系考查，是数形结合思想的体现，难度不大，但需细心。 知识点01 三角形的概念与分类 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 示例：日常生活中的屋顶框架、自行车车架等都包含三角形结构。 三角形的分类 -按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 -按边分类：不等边三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（有两条边相等）、等边三角形（三条边都相等，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 知识点02 三角形的性质 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 示例：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。 易错点：误认为任意多边形的内角和都是180°，实际上只有三角形内角和是180°。 三角形外角性质 - 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 - 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 示例：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，若∠A=40°，∠B=60°，则∠ACD=∠A+∠B=100°。 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 示例：判断三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm能否组成三角形，因为3+4>5，3+5>4，4+5>3，且5-3<4，5-4<3，4-3<5，所以能组成三角形。 易错点：忽略“任意”二字，只验证其中一组两边之和大于第三边。 知识点03 三角形中的主要线段 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 示例：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD=DC，且AG=2GD（G为重心）。 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 示例：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD，且内心到AB、BC、AC的距离相等。 三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 性质：三角形的三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 示例：在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，则∠ADB=∠ADC=90°。 易错点：钝角三角形的高有两条在三角形外部，容易画错。 知识点04 全等三角形 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 示例：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 知识点05 全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。 SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。 易错点：误用“SSA”判定三角形全等，“SSA”不一定能判定三角形全等。 3ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF（ASA）。 AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 示例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 示例：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 知识点06 等腰三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质 - 等腰三角形的两腰相等。 - 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 - 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 示例：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=∠C=÷2=50°。 易错点：“三线合一”中的三线是指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，而不是腰上的中线或高。 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 示例：在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。 知识点07 直角三角形 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 直角三角形的性质 - 直角三角形的两个锐角互余。 - 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 - 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，则AB=2BC=10cm。 直角三角形的判定 - 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 - 有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点08 逆命题逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 示例：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”。 易错点：误认为所有命题都有逆命题且逆命题一定是真命题，实际上原命题为真，其逆命题不一定为真。 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 示例：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。 知识点09 轴对称和轴对称图形 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 示例：等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴。 轴对称的性质 - 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 - 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 - 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 知识点10 勾股定理 勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c==5。 易错点：应用勾股定理时，忽略直角三角形这个前提条件。 勾股定理的应用：主要用于已知直角三角形的两边求第三边，或者判断一个三角形是否为直角三角形。 知识点11 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 示例：判断△ABC的三边长分别为5，12，13是否为直角三角形，因为5²+12²=13²，所以△ABC是直角三角形。21 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 示例：3，4，5；6，8，10；5，12，13等都是勾股数。 题型一 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 1. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长时，第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和 2. 当已知三条线段长度判断能否组成三角形时，只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可 3. 在解决等腰三角形边长问题时，需分情况讨论哪条边为腰，同时要满足三角形三边关系，排除不符合条件的情况 【典例1】若三角形的两边长分别为3和5，求第三边x的取值范围 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，4cm，8cm C. 5cm，6cm，10cm D. 5cm，6cm，12cm 【变式2】若等腰三角形的两边长分别为4和9，求其周长 题型二 三角形内角和定理及推论的应用 解｜题｜技｜巧 1. 三角形内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 3. 在求三角形角度时，若出现角平分线、高线等条件，可结合这些性质找到角之间的关系，再利用内角和定理求解 4. 对于含多个三角形的复杂图形，可通过公共角、对顶角等建立不同三角形内角之间的联系 【典例1】在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求∠C的度数 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，求∠B的度数 题型三 全等三角形的判定与性质综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 全等三角形的判定方法有：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形） 2. 利用全等三角形的性质可以得到对应边相等、对应角相等，在证明线段或角相等时，常通过证明三角形全等来实现 3. 证明三角形全等时，要先观察图形，找出已知条件和隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），再根据判定方法选择合适的条件 4. 当图形中存在多个全等三角形时，要注意它们之间的联系，有时需要通过多次证明全等解决问题 【典例1】如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点在边上，，，添加下列条件能判断的是（     ） A． B． C． D． 题型四 等腰三角形的性质与判定 解｜题｜技｜巧 1. 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角） 2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一），在解题中，若已知其中一个条件，可得出另外两个条件 3. 等角对等边，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，可用来判定等腰三角形 4. 在解决等腰三角形问题时，常作底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线，利用三线合一的性质构造全等三角形或直角三角形 【典例1】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 【变式2】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 题型五 勾股定理及其逆定理的应用 解｜题｜技｜巧 1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（其中a、b为直角边，c为斜边） 2. 勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 3. 利用勾股定理可以已知直角三角形两边长求第三边长，在应用时要先确定哪条边是斜边 4. 勾股定理逆定理常用于判断一个三角形是否为直角三角形，也可用于解决与直角相关的实际问题 【典例1】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 【变式1】如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式2】以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．8，15，17 C．7，24，25 D．4，5，6 题型六 轴对称和轴对称图形的性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段相等，对应角相等 2. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 3. 在解决最短路径问题时，常利用轴对称的性质，将折线转化为直线，根据两点之间线段最短求解 4. 对于轴对称图形，可利用其对称性找到相等的线段和角，简化计算或证明过程 【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】中华文明，源远流长；中华文字，寓意深广．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．国 B．家 C．昌 D．盛 【变式2】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上，连接和．则关于和的关系，下面表述正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 逆命题与逆定理 解｜题｜技｜巧 1. 交换一个命题的题设和结论，所得到的命题就是原命题的逆命题，每个命题都有逆命题，但原命题正确，其逆命题不一定正确 2. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理 3. 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 4. 在区分逆命题和逆定理时，要注意逆定理是经过证明的真命题，而逆命题不一定是真命题 【典例1】写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假 【变式1】下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. B. 全等三角形的对应角相等 C. C. 直角三角形的两个锐角互余 D. D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式2】判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 4．某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 5．在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 8．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 9．如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，、相交于点O，，．求证：． 12．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 13．如图，点，均在内部，请用尺规作图法在内部求作一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，平分，于，于，且． (1)证明：； (2)若，，，求的面积． 15．如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $