专题02 全等三角形的经典模型10大模型（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题02 全等三角形的经典模型10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平移模型 1 题型二、轴对称模型 2 题型三、旋转模型 3 题型四、一线三等角模型 5 题型五、垂直模型 6 题型六、手拉手模型 8 题型七、半角模型 8 题型八、倍长中线模型 8 题型九、对角互补模型 9 题型十、角平分线模型 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 1．如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）． 2．如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ． 3．如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到三角形，连接，则三角形的面积为 ．    4．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 题型二、轴对称模型 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 5．（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：    (1)． (2)． 6．学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 7．【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 8．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    题型三、旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 9．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 10．如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 11．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 12．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 题型四、一线三等角模型 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 14．【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 15．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 16．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 题型五、垂直模型 17．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 18．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 19．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    20．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六、手拉手模型 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 21．如图，已知和是两个全等的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，，两线交于点，交于点，交于点，则下列结论正确的有（ ）个． ①；②；③；④是等边三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 22．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 23．如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 24．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    题型七、半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 25．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 26．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 27．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 28．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    题型八、倍长中线模型 29．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 30．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 31．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 32．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 题型九、对角互补模型 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 33．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 34．（1）如图①， 正方形中， E， F分别为上两点，， 探究之间的数量关系， 小明是这么思考的： 延长， 截取， 连接， 易证，从而得到，再由证明，从而得结论： ； （2）【一般探究】如图②，四边形中，，与互补， E， F分别是上两点，且满足 探究之间的数量关系； （3）【实际应用】如图③， 四边形中，， 直接写出四边形的面积为 ． 35．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 36．（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 题型十、角平分线模型 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 37．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 38．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 39．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 40．如图，中，，角平分线，交于点O． (1)求的度数； (2)点F在上，，请说明； (3)，，三条线段之间有怎样的数量关系，请说明理由． 1．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 2．如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 3．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ．    4．如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 5．如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 6．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 7．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 8．【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 9．已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 10．如图1，在中，为直角．点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧做正方形． (1)如图1，则______． (2)若． ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2．问、有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 11．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 12．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 13．如图，在中，，，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于，在线段上截取，连接交于． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断线段与之间的数量关系，并证明． 14．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 15．如图，在中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的经典模型10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平移模型 1 题型二、轴对称模型 2 题型三、旋转模型 3 题型四、一线三等角模型 5 题型五、垂直模型 6 题型六、手拉手模型 8 题型七、半角模型 8 题型八、倍长中线模型 8 题型九、对角互补模型 9 题型十、角平分线模型 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 1．如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】解：沿直角边所在直线向右平移得到， ∴， ∴，，，而与不一定相等， ∴①②③⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 2．如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ． 【答案】BD与EF互相平分 【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可． 【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90° ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL）， ∴ED=BF． 设EF与BD交于点G， 由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF， ∴∠EDG=∠GBF， ∵∠EGD=∠FGB，ED=BF， ∴△DEG≌△BFG， ∴EG=FG，DG=BG， ∴BD与EF互相平分． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题． 3．如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到三角形，连接，则三角形的面积为 ．    【答案】6 【分析】根据平移前后的几何性质，由三角形面积公式即可容易求得. 【详解】根据题意，因为， 容易知； 又的高于的高相等，均为， 故. 故答案为：6. 【点睛】本题考查平移的性质，以及三角形面积的计算，属基础题. 4．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 题型二、轴对称模型 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 5．（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可以证得； （2）利用全等三角形的对边相等即可证明． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 6．学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 7．【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 8．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 题型三、旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 9．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 11．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 12．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 题型四、一线三等角模型 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 14．【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或5． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①过点E作交的延长线于点F，证明，再证明，即可得出结论；②过点E作交的延长线于点F，由①得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 15．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 16．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型五、垂直模型 17．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由，可得，，则，证明，即可得解； （2）同理可证；则，，计算求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点，证明得到，得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 18．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到； （3）证明，则，，由即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 即， 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 19．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 20．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）50（3）见解析（4） 【分析】本题考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据证明； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求S的值； （3）作于M，于N，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． （4）分三种情况，①当时，；②当时，，③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴； ∴，． （2）∵， 由（1）得：， ∴， ∴ ， 故答案为：50； （3）证明：根据题意知，，且于点F，与直线交于点G，如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，， 如图，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②当时，， 如图，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵、， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③当时，， 如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵、， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 题型六、手拉手模型 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 21．如图，已知和是两个全等的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，，两线交于点，交于点，交于点，则下列结论正确的有（ ）个． ①；②；③；④是等边三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD，∠ACE=60°， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确 ∴， ∵∠CMB=∠FMA， ∴∠BCM=∠AFM=60°， ∴∠MFN=120°，故②正确， 在△CAN和△BCM中 ∴△CAN≌△BCM(ASA)，故③错误， ∴MC=NC， ∵∠ACE=60°， ∴△MNC是等边三角形，故④正确 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定与性质逐一判定五条结论的成立与否是解题的关键． 22．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， 在△CQB与△CPA中， ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE， 故C正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ， 故B正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故D错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故A正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量． 23．如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用“边角边”即可证明全等． （2）利用（1）中全等三角形的性质可得：，再根据“八字型”证明即可． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． 24．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）度，相等；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，进而判断出的度数为即可． （3）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出BE＝AD，，进而判断出的度数为即可；最后根据，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：度，相等． （3）解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七、半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 25．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 26．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 27．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型八、倍长中线模型 29．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 30．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 31．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）由全等三角形的判定可得出答案； （2）延长至，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案； （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：延长至点，使． 在和中， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ． ， ， ． （3）解：，，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， 是的中线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ，． 32．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型九、对角互补模型 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 33．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 34．（1）如图①， 正方形中， E， F分别为上两点，， 探究之间的数量关系， 小明是这么思考的： 延长， 截取， 连接， 易证，从而得到，再由证明，从而得结论： ； （2）【一般探究】如图②，四边形中，，与互补， E， F分别是上两点，且满足 探究之间的数量关系； （3）【实际应用】如图③， 四边形中，， 直接写出四边形的面积为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，四边形的内角和，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． （1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ， ∵与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 35．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 【答案】（1）60，100，15；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，由此即可得出、、的值． （2）根据表格猜想：．延长到E， 使，连接，则可得，进而可得， ，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可得出y于x之间的关系式． （3）延长到E， 使，连接．由（2）得，则，进而可得．由，可得，．则可得，，进而可得，可得的值，即可得的值． 【详解】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5， ， ， ． 故答案为：60，100，15， （2）根据表格猜想：． 证明：如图2， 延长到E， 使，连接， 则， 又， ， 又， ， ，， ， ． 在中，， ， ． （3）如图， 延长到E， 使，连接． 由（2）得， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键． 36．（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）的周长为10 【分析】（1）证明得到，，，从而证明，可得，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得出结论； （3）延长到点G，截取，连接，证明，可得，，再由，，从而证明，故，再根据的周长为：即可求出结果． 【详解】解：（1）证明：如图1，，，， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接，如下图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 题型十、角平分线模型 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 37．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 【详解】（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 38．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明，结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图 是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 39．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 40．如图，中，，角平分线，交于点O． (1)求的度数； (2)点F在上，，请说明； (3)，，三条线段之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识， （1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可； （2）只要证明，可得，进而可证，由此可得； （3）利用（2）中结论即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ， ； （2）解：证明：∵和分别平分和， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 由（2）可知， ， ∵， ， ∴． 1．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，结合和三角形的内角和定理，求出的度数，进行求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ．    【答案】25 【分析】延长交于，由证明，得出，得出，，即可得出答案． 【详解】解：延长交于，如下图，    ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，证明三角形全等得出是解题的关键． 4．如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，由对顶角相等可得，可得出，最后由可得结论； （2）延长交于点F，先证明，可得，再证明可得再证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：理由如下： 如图，延长交于点F， ， 在和中 ， ， 在和中 ， 5．如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 6．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 7．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证明即可得证． ②根据，利用全等的性质证明即可； （2）根据证明即可得证． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 8．【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为，证明见详解 【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答． 【详解】（1）解：， 理由如下：延长至点使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：以上结论不成立，应为， 理由如下：延长至G，使 由（1）可知，， ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 10．如图1，在中，为直角．点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧做正方形． (1)如图1，则______． (2)若． ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2．问、有怎样的关系？并说明理由． ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论． 【答案】(1) (2)①；②成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到是解题的关键．也考查了正方形的性质． （1）利用同角的余角相等即可求解； （2）①利用证明，则可得，进而易得； ②利用证明，则可得，进而易得． 【详解】（1）解：在与正方形中， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，； ∵四边形是正方形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ②仍然有：； 理由如下： 与①同理：， ∴； ∴， 即． 11．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）猜想：、，证明如下： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴，平分， ∴，， ∴，． 12．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形． （1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解； （2）通过证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为； （2），理由如下， 延长到Q使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下， 在下图中，延长到Q使得，连接， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上：． 13．如图，在中，，，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于，在线段上截取，连接交于． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（）根据题意作图即可； （）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明； （）过点作交的延长线于点，则，证明，结合已知条件，证明，即可得到； 本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】（1）如图所示： （2）证明：， ， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 14．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 15．如图，在中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出，根据可以证明； （2）根据三角形三边关系得出，即可得出，根据，，求出结果即可． 【详解】（1）证明：延长至点E，使，连接， ∵D为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $