专题02 实数和二次根式（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学讲义以“实数和二次根式”为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，构建起“概念-性质-运算-应用”的知识体系。知识点部分按实数定义、平方根与立方根、二次根式等模块分层讲解，配合易错点提示，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-技巧-变式”的三阶训练设计，如“二次根式的概念及有意义的条件”题型中，通过典例分析被开方数取值范围，变式延伸至分式中二次根式的条件，培养抽象能力与推理意识。分层练习涵盖基础通关、重难突破和综合拓展，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生自主复习效率。

专题02 实数和二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数的概念（有理数、无理数、实数的定义及分类） 能准确区分有理数和无理数，并能对实数进行正确分类 易错点：带根号的数不一定是无理数（如）；π的相关运算易出错；分类时易混淆数的属性 实数的相反数、绝对值、倒数 会求任意实数的相反数、绝对值和倒数，并理解其几何意义 命题趋势：常与数轴结合考查，强调数形结合思想；绝对值的非负性是重要考点 实数与数轴的关系 理解实数与数轴上的点一一对应，会用数轴比较实数大小 易错点：在数轴上表示无理数的位置不准确；比较多个实数大小时易遗漏符号 平方根、算术平方根、立方根的概念及性质 能正确理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握其性质（如正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；正数、负数、0都有唯一立方根） 易错点：混淆平方根与算术平方根的符号表示及取值范围；忽略平方根的双重性；对立方根的符号规律掌握不牢 平方根、立方根的运算 能熟练进行平方根、立方根的开方运算，并能解决简单的实际问题 命题趋势：常结合方程求解（如已知一个数的平方或立方求原数）；运算结果要注意化简 二次根式的概念（形如（a≥0）的式子） 能准确判断一个式子是否为二次根式，并能确定二次根式有意义的条件（被开方数为非负数） 易错点：忽略二次根式有意义的条件，尤其是在分式分母中含有二次根式时 二次根式的乘除运算（=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）） 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算，并能将结果化为最简二次根式 易错点：运算过程中忽略被开方数的取值范围；结果未化简为最简二次根式 二次根式的加减运算（先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式） 能正确进行二次根式的加减运算，掌握合并同类二次根式的方法 易错点：未将二次根式化为最简二次根式就进行加减运算；混淆同类二次根式与同类项的概念 二次根式的混合运算（包含加减乘除及乘方等多种运算） 能熟练进行二次根式的混合运算，注意运算顺序和运算律的应用 命题趋势：混合运算是期末考查的重点和难点，常结合实数的其他运算综合考查；运算过程要细心，注意符号和运算顺序 最简二次根式的概念（被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式） 能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式，并能将非最简二次根式化为最简二次根式 易错点：对“被开方数不含分母”和“不含能开得尽方的因数或因式”这两个条件理解不透彻，化简不彻底 利用实数、二次根式解决实际问题 能运用实数和二次根式的相关知识解决生活中的简单实际问题，如长度、面积的计算等 命题趋势：注重数学与生活的联系，考查学生的应用意识和解决问题的能力；关键是将实际问题转化为数学问题 知识点01 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 有理数：整数和分数统称为有理数。任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 示例：5（整数）、-3（整数）、=0.5（有限小数）、=0.（无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 示例：、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。 易错点：带根号的数不一定是无理数，如是有理数；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 知识点02 平方根 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。即如果，那么x叫做a的平方根。 示例：因为，所以9的平方根是。 表示方法：正数a的平方根表示为，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0。 负数没有平方根。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。表示为。 示例：9的算术平方根是3，即；0的算术平方根是0，即。 易错点：表示a的算术平方根，是非负数，即，且（被开方数非负）。例如，而不是；无意义。 知识点03 立方根 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果，那么x叫做a的立方根。 示例：因为，所以8的立方根是2；因为，所以-8的立方根是-2。 表示方法：数(a)的立方根表示为，读作“三次根号(a)”，其中(a)叫做被开方数，3叫做根指数。 性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 0的立方根是0。 易错点：立方根的根指数3不能省略；任何实数都有且只有一个立方根。例如，而不是无意义。 知识点04 实数的运算 实数的大小比较 法则： 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 对于含有根号的数比较大小，可将根号外的数移入根号内再比较被开方数大小（适用于同次根式），或通过平方、立方等方法转化为有理数比较。 示例：比较和的大小。，，因为，所以。 实数的运算律和运算法则 实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算（除数不为0，开偶次方时被开方数非负）的结果仍是实数，并且有理数的一切运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）和运算法则在实数范围内仍然适用。 示例：（加法交换律）；（乘法交换律）；（乘法分配律）。 知识点05 二次根式的性质 性质1：。 示例：；；。 性质2：。 示例：；；，当时，等于(x-1)，当x<1时，等于(1-x)。 性质3：（积的算术平方根等于算术平方根的积）。 示例：；。 性质4：（商的算术平方根等于算术平方根的商）。 示例：；。 易错点：不一定等于a，它等于a的绝对值，即|a|。例如，而不是-2。 知识点06 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母。 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例：、、是最简二次根式；（被开方数含能开得尽方的因数4）、（被开方数含分母）不是最简二次根式。 知识点07 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 示例：、、是同类二次根式；与（被开方数不同）不是同类二次根式；与是同类二次根式（先化简）。 易错点：判断同类二次根式前，必须先将二次根式化为最简二次根式。 二次根式的运算 二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（合并方法与合并同类项类似，即把系数相加减，根号和被开方数不变）。 示例：；。 二次根式的乘法：。 示例：；。 二次根式的除法：。 示例：；。 易错点：二次根式加减时，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式不能合并。例如不能合并。 题型一 平方根与算数平方根的概念及性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 明确平方根与算术平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 2. 利用平方根的性质解题：若（），则；算术平方根具有非负性，即（）。 3. 对于涉及平方根的化简或计算，先确定被开方数的取值范围，再进行后续操作。 【典例1】求下列各数的平方根和算术平方根： （1）16 （2） （3）0.0081 【变式1】若，求x + y的值。 【变式2】若一个正数的两个平方根分别是2a - 1和-a + 2，求这个正数。 题型二 立方根的概念及性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 理解立方根的定义：如果，那么(x)叫做(a)的立方根，记作。任何实数都有且只有一个立方根。 2. 掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；。 3. 求一个数的立方根时，可通过立方运算来检验结果是否正确。 【典例1】求下列各数的立方根： （1）-8 （2）（3）0.125 【变式1】求下列各式的值： （1）（2）（3） 【变式2】若，，求x + y的平方根。 题型三 实数的概念及分类 解｜题｜技｜巧 1. 明确实数的定义：有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数是无限不循环小数。 2. 掌握实数的分类方法：可按定义分为有理数和无理数；按大小分为正实数、0、负实数。 3. 判断一个数是否为无理数，关键看其是否是无限不循环小数，常见的无理数形式有：开方开不尽的数（如，等）、含有的数（如，等）、无限不循环小数（如0.1010010001...等）。 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合里： ，(-3)，0，，，(3.14159)，，，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合：{ ...} 无理数集合：{ ...} 正实数集合：{ ...} 负实数集合：{ ...} 【变式1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，(0)，，(3.14)，，(0.1010010001) 【变式2】判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）无限小数都是无理数。（2）带根号的数都是无理数。（3）实数不是有理数就是无理数。 题型四 二次根式的概念及有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，其中(a)叫做被开方数。 2. 二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，即。若二次根式在分母中，则被开方数还需大于0（因为分母不能为0）。 3. 对于含有多个二次根式的代数式，要使整个代数式有意义，需保证每个二次根式的被开方数都非负。 【典例1】当x取何值时，下列二次根式有意义？ （1）（2）（3） 【变式1】若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当x = -2时，二次根式的值。 【变式2】若代数式有意义，求x的取值范围。 题型五 二次根式的性质与化简 解｜题｜技｜巧 1. 掌握二次根式的核心性质：，即非负数的平方的算术平方根等于它本身，负数的平方的算术平方根等于它的相反数，化简时需先判断被开方数底数的正负性。 2. 对于被开方数是多项式的情况，先通过因式分解将其转化为乘积形式，再利用（，）进行化简，注意分解后每个因式都需保证非负。 3. 化简结果必须是最简二次根式，即被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，若被开方数是分数或分式，需先利用商的算术平方根性质（，(b>0)）化为分母有理化的形式再化简。 【典例1】化简。 【变式1】化简(x < 2)。 【变式2】化简。 题型六 二次根式的加减法 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式加减法的前提是将每个二次根式都化为最简二次根式，这是合并同类二次根式的基础，只有最简二次根式才能判断是否为同类二次根式。 2. 同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，合并同类二次根式时，将它们的系数相加减，被开方数和根指数保持不变，非同类二次根式不能合并。 3. 在进行加减运算时，若有括号，先去括号，再按照从左到右的顺序依次将同类二次根式进行合并，注意去括号时符号的变化规则。 【典例1】计算。 【变式1】计算。 【变式2】计算。 题型七 二次根式的乘除法 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式乘法法则：（，），计算时先将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，再将结果化为最简二次根式；若有带分数，需先化为假分数再进行计算。 2. 二次根式除法法则：（，(b>0)），同样先将系数相除，被开方数相除，结果化为最简二次根式，也可先将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，再按乘法法则计算。 3. 对于含有根号的单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘，可类比整式乘法法则进行，运用分配律展开，再将结果化简，注意运算过程中始终保持被开方数的非负性。 【典例1】计算。 【变式1】计算。 【变式2】计算。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列实数中最大的是（   ） A．3.14 B． C． D． 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 7．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 8．下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 10．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．计算： (1) (2) 12．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 13．（1）计算：； （2）化简：． 14．已知 (1)求x，y的值； (2)求的值． 15．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数和二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数的概念（有理数、无理数、实数的定义及分类） 能准确区分有理数和无理数，并能对实数进行正确分类 易错点：带根号的数不一定是无理数（如）；π的相关运算易出错；分类时易混淆数的属性 实数的相反数、绝对值、倒数 会求任意实数的相反数、绝对值和倒数，并理解其几何意义 命题趋势：常与数轴结合考查，强调数形结合思想；绝对值的非负性是重要考点 实数与数轴的关系 理解实数与数轴上的点一一对应，会用数轴比较实数大小 易错点：在数轴上表示无理数的位置不准确；比较多个实数大小时易遗漏符号 平方根、算术平方根、立方根的概念及性质 能正确理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握其性质（如正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；正数、负数、0都有唯一立方根） 易错点：混淆平方根与算术平方根的符号表示及取值范围；忽略平方根的双重性；对立方根的符号规律掌握不牢 平方根、立方根的运算 能熟练进行平方根、立方根的开方运算，并能解决简单的实际问题 命题趋势：常结合方程求解（如已知一个数的平方或立方求原数）；运算结果要注意化简 二次根式的概念（形如（a≥0）的式子） 能准确判断一个式子是否为二次根式，并能确定二次根式有意义的条件（被开方数为非负数） 易错点：忽略二次根式有意义的条件，尤其是在分式分母中含有二次根式时 二次根式的乘除运算（=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）） 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算，并能将结果化为最简二次根式 易错点：运算过程中忽略被开方数的取值范围；结果未化简为最简二次根式 二次根式的加减运算（先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式） 能正确进行二次根式的加减运算，掌握合并同类二次根式的方法 易错点：未将二次根式化为最简二次根式就进行加减运算；混淆同类二次根式与同类项的概念 二次根式的混合运算（包含加减乘除及乘方等多种运算） 能熟练进行二次根式的混合运算，注意运算顺序和运算律的应用 命题趋势：混合运算是期末考查的重点和难点，常结合实数的其他运算综合考查；运算过程要细心，注意符号和运算顺序 最简二次根式的概念（被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式） 能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式，并能将非最简二次根式化为最简二次根式 易错点：对“被开方数不含分母”和“不含能开得尽方的因数或因式”这两个条件理解不透彻，化简不彻底 利用实数、二次根式解决实际问题 能运用实数和二次根式的相关知识解决生活中的简单实际问题，如长度、面积的计算等 命题趋势：注重数学与生活的联系，考查学生的应用意识和解决问题的能力；关键是将实际问题转化为数学问题 知识点01 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 有理数：整数和分数统称为有理数。任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。 示例：5（整数）、-3（整数）、=0.5（有限小数）、=0.（无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 示例：、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。 易错点：带根号的数不一定是无理数，如是有理数；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 知识点02 平方根 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。即如果，那么x叫做a的平方根。 示例：因为，所以9的平方根是。 表示方法：正数a的平方根表示为，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0。 负数没有平方根。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。表示为。 示例：9的算术平方根是3，即；0的算术平方根是0，即。 易错点：表示a的算术平方根，是非负数，即，且（被开方数非负）。例如，而不是；无意义。 知识点03 立方根 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果，那么x叫做a的立方根。 示例：因为，所以8的立方根是2；因为，所以-8的立方根是-2。 表示方法：数(a)的立方根表示为，读作“三次根号(a)”，其中(a)叫做被开方数，3叫做根指数。 性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 0的立方根是0。 易错点：立方根的根指数3不能省略；任何实数都有且只有一个立方根。例如，而不是无意义。 知识点04 实数的运算 实数的大小比较 法则： 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 对于含有根号的数比较大小，可将根号外的数移入根号内再比较被开方数大小（适用于同次根式），或通过平方、立方等方法转化为有理数比较。 示例：比较和的大小。，，因为，所以。 实数的运算律和运算法则 实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算（除数不为0，开偶次方时被开方数非负）的结果仍是实数，并且有理数的一切运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）和运算法则在实数范围内仍然适用。 示例：（加法交换律）；（乘法交换律）；（乘法分配律）。 知识点05 二次根式的性质 性质1：。 示例：；；。 性质2：。 示例：；；，当时，等于(x-1)，当x<1时，等于(1-x)。 性质3：（积的算术平方根等于算术平方根的积）。 示例：；。 性质4：（商的算术平方根等于算术平方根的商）。 示例：；。 易错点：不一定等于a，它等于a的绝对值，即|a|。例如，而不是-2。 知识点06 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母。 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例：、、是最简二次根式；（被开方数含能开得尽方的因数4）、（被开方数含分母）不是最简二次根式。 知识点07 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 示例：、、是同类二次根式；与（被开方数不同）不是同类二次根式；与是同类二次根式（先化简）。 易错点：判断同类二次根式前，必须先将二次根式化为最简二次根式。 二次根式的运算 二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（合并方法与合并同类项类似，即把系数相加减，根号和被开方数不变）。 示例：；。 二次根式的乘法：。 示例：；。 二次根式的除法：。 示例：；。 易错点：二次根式加减时，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式不能合并。例如不能合并。 题型一 平方根与算数平方根的概念及性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 明确平方根与算术平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 2. 利用平方根的性质解题：若（），则；算术平方根具有非负性，即（）。 3. 对于涉及平方根的化简或计算，先确定被开方数的取值范围，再进行后续操作。 【典例1】求下列各数的平方根和算术平方根： （1）16 （2） （3）0.0081 分析与解答： （1）因为，所以16的平方根是，算术平方根是4。 答案：平方根：；算术平方根：4 （2）因为，所以的平方根是，算术平方根是。 答案：平方根：；算术平方根： （3）因为，所以0.0081的平方根是，算术平方根是0.09。 答案：平方根：；算术平方根：0.09 【变式1】若，求x + y的值。 分析与解答： 因为算术平方根，平方数，且它们的和为0，所以且。 由得，即；由得，即。 所以。 答案：(-1) 【变式2】若一个正数的两个平方根分别是2a - 1和-a + 2，求这个正数。 分析与解答： 因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以。 化简得，即，解得。 则，所以这个正数是。 答案：9 题型二 立方根的概念及性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 理解立方根的定义：如果，那么(x)叫做(a)的立方根，记作。任何实数都有且只有一个立方根。 2. 掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；。 3. 求一个数的立方根时，可通过立方运算来检验结果是否正确。 【典例1】求下列各数的立方根： （1）-8 （2）（3）0.125 分析与解答： （1）因为，所以-8的立方根是-2，即。 答案：(-2) （2）因为，所以的立方根是，即。 答案： （3）因为，所以0.125的立方根是0.5，即。 答案：0.5 【变式1】求下列各式的值： （1）（2）（3） 分析与解答： （1），因为。 答案：-3 （2），因为，所以，则。 答案： （3）先计算被开方数：，因为，所以，即。 答案： 【变式2】若，，求x + y的平方根。 分析与解答： 由可得；由可得。 则，17的平方根是。 答案： 题型三 实数的概念及分类 解｜题｜技｜巧 1. 明确实数的定义：有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数是无限不循环小数。 2. 掌握实数的分类方法：可按定义分为有理数和无理数；按大小分为正实数、0、负实数。 3. 判断一个数是否为无理数，关键看其是否是无限不循环小数，常见的无理数形式有：开方开不尽的数（如，等）、含有的数（如，等）、无限不循环小数（如0.1010010001...等）。 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合里： ，(-3)，0，，，(3.14159)，，，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合：{ ...} 无理数集合：{ ...} 正实数集合：{ ...} 负实数集合：{ ...} 分析与解答： 先对部分数进行化简：，。 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数，所以有理数集合为：(-3)，0，，，(3.14159)，，； 无理数是无限不循环小数，所以无理数集合为：，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数，所以正实数集合为：，，，(3.14159)，，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数，所以负实数集合为：(-3)，。 答案：有理数集合：(-3)，0，，，(3.14159)，，； 无理数集合：，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1）； 正实数集合：，，，(3.14159)，，，(1.2121121112...)（每两个2之间依次多一个1）； 负实数集合：(-3)， 【变式1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，(0)，，(3.14)，，(0.1010010001) 分析与解答： ，是开方开不尽的数，为无理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是开方开不尽的数，为无理数；0.1010010001是有限小数，属于有理数。 所以有理数有：，0，，3.14，0.1010010001；无理数有：，。 答案：有理数：，0，，3.14，0.1010010001；无理数：， 【变式2】判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）无限小数都是无理数。（2）带根号的数都是无理数。（3）实数不是有理数就是无理数。 分析与解答： （1）错误。无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。例如是无限循环小数，是有理数。 （2）错误。带根号的数不一定都是无理数，如，等，这些数开方后是整数，属于有理数。只有开方开不尽的带根号的数才是无理数。 （3）正确。因为实数的定义就是有理数和无理数的统称，所以实数不是有理数就是无理数。 答案：（1）错误，理由：无限循环小数是有理数；（2）错误，理由：如是有理数；（3）正确，理由：实数由有理数和无理数组成。 题型四 二次根式的概念及有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，其中(a)叫做被开方数。 2. 二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，即。若二次根式在分母中，则被开方数还需大于0（因为分母不能为0）。 3. 对于含有多个二次根式的代数式，要使整个代数式有意义，需保证每个二次根式的被开方数都非负。 【典例1】当x取何值时，下列二次根式有意义？ （1）（2）（3） 分析与解答： （1）要使有意义，则，解得。 答案： （2）要使有意义，分母(2x + 1)不能为0，且被开方数。因为分子1是正数，所以分母(2x + 1 > 0)，解得。 答案： （3）因为，所以，即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义。 答案：x为任意实数 【变式1】若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当x = -2时，二次根式的值。 分析与解答： 要使有意义，则，解得。 当时，。 答案：x的取值范围：；当x = -2时，值为 【变式2】若代数式有意义，求x的取值范围。 分析与解答： 要使代数式有意义，需满足二次根式有意义且分母不为0。 二次根式有意义：，即；分母不为0：，即。 所以x的取值范围是且。 答案：且 题型五 二次根式的性质与化简 解｜题｜技｜巧 1. 掌握二次根式的核心性质：，即非负数的平方的算术平方根等于它本身，负数的平方的算术平方根等于它的相反数，化简时需先判断被开方数底数的正负性。 2. 对于被开方数是多项式的情况，先通过因式分解将其转化为乘积形式，再利用（，）进行化简，注意分解后每个因式都需保证非负。 3. 化简结果必须是最简二次根式，即被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，若被开方数是分数或分式，需先利用商的算术平方根性质（，(b>0)）化为分母有理化的形式再化简。 【典例1】化简。 分析与解答： 根据二次根式的性质，这里，所以。 答案：3 【变式1】化简(x < 2)。 分析与解答： 先将被开方数因式分解，，所以原式。因为已知x < 2，即x - 2 < 0，所以。 答案：2 - x 【变式2】化简。 分析与解答： 先对被开方数进行约分，，则原式。 答案： 题型六 二次根式的加减法 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式加减法的前提是将每个二次根式都化为最简二次根式，这是合并同类二次根式的基础，只有最简二次根式才能判断是否为同类二次根式。 2. 同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，合并同类二次根式时，将它们的系数相加减，被开方数和根指数保持不变，非同类二次根式不能合并。 3. 在进行加减运算时，若有括号，先去括号，再按照从左到右的顺序依次将同类二次根式进行合并，注意去括号时符号的变化规则。 【典例1】计算。 分析与解答： 先将各二次根式化为最简二次根式：，。则原式。 答案： 【变式1】计算。 分析与解答： 分别化简各二次根式：，所以；，所以；。则原式。 答案： 【变式2】计算。 分析与解答： 先去括号，原式。再将各二次根式化为最简二次根式：，，。代入可得：。 答案： 题型七 二次根式的乘除法 解｜题｜技｜巧 1. 二次根式乘法法则：（，），计算时先将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，再将结果化为最简二次根式；若有带分数，需先化为假分数再进行计算。 2. 二次根式除法法则：（，(b>0)），同样先将系数相除，被开方数相除，结果化为最简二次根式，也可先将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，再按乘法法则计算。 3. 对于含有根号的单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘，可类比整式乘法法则进行，运用分配律展开，再将结果化简，注意运算过程中始终保持被开方数的非负性。 【典例1】计算。 分析与解答： 根据乘法法则，。 答案： 【变式1】计算。 分析与解答： 将除法转化为乘法，即，系数相乘得(2×3 = 6)，被开方数相乘得，所以原式。 答案： 【变式2】计算。 分析与解答： 可利用平方差公式，这里，，所以原式。 答案：-1 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列实数中最大的是（   ） A．3.14 B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查实数的大小比较及算术平方根，熟练掌握实数的大小比较及算术平方根是解题的关键；通过计算各选项的近似值，比较大小即可． 【分析】解：∵，，， ∴， ∴最大， 故选B． 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 3．下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵   是无理数，∴ 是无理数； ∵ 是分数，∴   是有理数； ∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∴ 无理数有 3 个， 故选：B． 4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法法则、除法法则以及合并同类项是解决问题的关键． 直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根、无理数的性质以及数轴与数的对应关系． 根据定义逐一判断即可． 【详解】解：1的平方根是，故A错误； 两个无理数的和可能是有理数，如与的和为0，故B错误； ，则的立方根是，故C正确； 数轴上的点与实数一一对应，有理数不能覆盖所有点，故D错误； 故选：C． 8．下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，解答此题时要注意是无理数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案． 【详解】解：在实数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数有，（每两个“2”之间依次多一个“1”，共2个． 故选：B． 9．下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 10．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根．根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后求其立方根． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 平方根分别为 和， ∴ 这个正数为， ∴ 64 的立方根为（因为 ）． 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算除法，最后计算减法即可得解； （2）利用平方差公式计算即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 12．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 13．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】 （1） （2） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式，解决本题的关键是根据运算法则计算． 根据平方根的定义、乘方的定义把各部分计算出来，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； 根据平方差公式和完全平方公式把被除式化简，再根据多项式除以单项式的法则进行计算． 【详解】解： ； 解： ． 14．已知 (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，求解得出的值，再代入求出的值． （2）将、的值代入式子，分别化简每一项二次根式，再进行计算． 【详解】（1）解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； （2）解：将，代入式子： ． 15．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算； （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是 故答案为：． （2）∵，设的小数部分为x， ∴ ∴ 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $