专题03 二次根式（期末复习专项训练，11大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题03 二次根式 题型1二次根式有意义的条件（常考点） 题型7 二次根式混合运算 题型2 二次根式化简求值 题型8 带根号的分式化简求值（易错点） 题型3 最简二次根式 题型9 代数式化简求值 题型4 二次根式乘除混合运算 题型10 比较二次根式大小 题型5 同类二次根式 题型11 二次根式的应用（难点） 题型6 二次根式加减运算 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 3．使代数式有意义的x的取值范围是 ． 题型二 二次根式化简求值（共5小题） 4．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 5．当时，的值为（    ） A．1 B． C． D．a 6．化简： ；当时， ． 7．已知，求代数式的值． 8．已知，化简= ． 题型三 最简二次根式（共3小题） 9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 10．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型四 二次根式乘除混合运算（共3小题） 12．计算：． 13．计算： 14．计算：． 题型五 同类二次根式（共3小题） 15．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 16．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 17．已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 题型六 二次根式的加减运算（共3小题） 18．计算：． 19．计算：． 20．计算：． 题型七 二次根式混合运算（共4小题） 21．计算：． 22．计算 (1) (2) 23．计算： (1)： (2)． 24．计算： (1)； (2)． 题型八 带根号的分式化简求值（共3小题） 25．先化简，再求值：，其中． 26．先化简，再求值：，其中． 27．先化简，再求值：，其中． 题型九 代数式化简求值（共3小题） 28．已知，求代数式的值． 29．已知，，求代数式的值． 30．已知 ，求代数式 的值． 题型十 比较二次根式的大小（共3小题） 31．比较大小：（1） 5；（2） . 32．写出一个比大且比小的整数 ． 33．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 题型十一 二次根式的应用（共3小题） 34．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 35．快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 36．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，.                    (1)求△ABC的面积； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长. 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式 题型1二次根式有意义的条件（常考点） 题型7 二次根式混合运算 题型2 二次根式化简求值 题型8 带根号的分式化简求值（易错点） 题型3 最简二次根式 题型9 代数式化简求值 题型4 二次根式乘除混合运算 题型10 比较二次根式大小 题型5 同类二次根式 题型11 二次根式的应用（难点） 题型6 二次根式加减运算 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：． 解这个不等式：． 故选：B． 2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 3．使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 题型二 二次根式化简求值（共5小题） 4．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次根式的性质逐项检验即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．当时，的值为（    ） A．1 B． C． D．a 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握这一性质． 根据二次根式的性质，结合的条件，对进行化简求值． 【详解】解：， ， 故选∶B． 6．化简： ；当时， ． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 根据即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3，． 7．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． 把代入变形后的结果，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ． 8．已知，化简= ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为1． 题型三 最简二次根式（共3小题） 9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D. 10．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：．故不是最简二次根式． 选项B：．故不是最简二次根式． 选项C：．故不是最简二次根式． 选项D：．被开方数，无完全平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 故选D． 题型四 二次根式乘除混合运算（共3小题） 12．计算：． 【答案】10 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．计算： 【答案】 【分析】先将除法转为乘法，再根据二次根式的乘法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法．注意乘法运算律的运用． 14．计算：． 【答案】 【分析】按照从左至右的运算顺序先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法运算即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘法与除法的运算法则及混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 题型五 同类二次根式（共3小题） 15．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并． 【详解】解：A：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； B：，被开方数为，与相同，可以合并，故该选项符合题意； C：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； D：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意． 故选：B． 16．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 先化简各选项，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意，故A错误； B、，符合题意，故B正确； C、，不符合题意，故C错误； D、，不符合题意，故D错误； 故选：B． 17．已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算． 题型六 二次根式的加减运算（共3小题） 18．计算：． 【答案】 【分析】去括号，去绝对值，计算即可． 本题考查了实数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型七 二次根式混合运算（共4小题） 21．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和算术平方根的运算，熟练掌握平方差公式以及算术平方根的计算是解题的关键． 本题可利用平方差公式对进行化简，再计算，最后进行减法运算得出结果． 【详解】解： ． 22．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据最简二次根式的定义，对每个式子化简后再合并同类二次根式即可； （2）二次根式化简为最简二次根式，利用平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：． （2）． 23．计算： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先运算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何化简二次根式、平方差公式和完全平方公式． （1）先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型八 带根号的分式化简求值（共3小题） 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时：原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算异分母分式加减法，再化简，最后代入字母的值计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确掌握异分母分式的加减法计算法则是解题的关键． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的混合运算化简代数式，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 题型九 代数式化简求值（共3小题） 28．已知，求代数式的值． 【答案】7． 【分析】根据二次根式的运算解答即可． 本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】解：； 当时， 原式． 29．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 30．已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 题型十 比较二次根式的大小（共3小题） 31．比较大小：（1） 5；（2） . 【答案】 <, > 【分析】（1）首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出与5的大小关系． （2）首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出与的大小关系． 【详解】解：（1） ，， ∵, ∴. （2），， ∵，，， ∴ ∴. 故答案为：＜；＞. 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每个数的平方的大小． 32．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3（或4） 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴比大且比小的整数是3或4， 故答案为：3（或4）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 33．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 【答案】> 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 题型十一 二次根式的应用（共3小题） 34．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 【答案】 【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可． 【详解】8 12＝== 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 35．快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】应选择中底面型号的纸箱 【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为，进而估算出，由此即可得到答案． 【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下： ∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，， ∴甲、乙两件礼品的边长分别为， ∴甲、乙两件礼品的边长之和为， ∵， ∴， ∴只有中型号和大型号两个型号可供选择， ∵， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键． 36．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，.                    (1)求△ABC的面积； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长. 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据，S＝计算即可；（2）根据三角形面积公式求出CD的长即可. 【详解】(1)根据题意 ．     ∴ ．     (2)∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力以及三角形面积公式，利用海伦——秦九韶公式求出题中三角形的面积是解题的关键. 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $