专题01 分式（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学分式专题复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标与考情规律，将分式概念、基本性质、运算及方程应用等知识点分层细化，结合易错点解析构建知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，包含概念辨析、化简求值、方程应用等题型及变式训练，通过解题技巧总结培养运算能力与推理意识，如分式方程应用题强化模型意识。分层练习支持不同学生提升，助力教师实施精准化复习教学。

专题01 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 能准确判断一个代数式是否为分式，会确定使分式有意义、无意义及分式值为零的条件 易错点：忽略分母不能为零的条件；求分式值为零时，易忽略分子为零且分母不为零的双重条件 分式的基本性质 能运用分式的基本性质进行分式的约分和通分，理解最简分式的概念 命题趋势：常结合分式的化简求值考查约分、通分，强调对基本性质的灵活应用 分式的乘除运算 能熟练进行分式的乘法和除法运算，并将结果化为最简分式 易错点：运算过程中符号错误；因式分解不彻底导致约分不完全 分式的加减运算 能正确进行同分母分式的加减运算和异分母分式的加减运算 考情规律：异分母分式加减运算中，找最简公分母是难点，容易出现漏乘或公分母确定错误 分式的混合运算 能按照运算顺序正确进行分式的混合运算（包括分式与整式的混合运算） 命题趋势：常与实数的运算、整式的乘法公式结合考查，注重运算顺序和符号法则的应用 分式方程的概念及解法 能识别分式方程，会用去分母法解可化为一元一次方程的分式方程，并检验方程的解 易错点：忘记验根；去分母时漏乘不含分母的项；化分式方程为整式方程后求解错误 分式方程的应用 能根据实际问题中的等量关系列出分式方程解决简单的实际问题 考情规律：常考行程问题、工程问题、利润问题等；易错点是找不准等量关系或解完方程后未检验解的合理性 分式化简求值 能对分式进行化简，并根据给定条件（或自选合适的数）代入求值 命题趋势：常结合分式的混合运算、因式分解考查，代入求值时易忽略使原分式有意义的条件 知识点01 分式的概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 示例：、、都是分式；而、是整式，因为它们的分母中不含字母。 易错点：判断一个式子是否为分式，关键在于分母是否含有字母，而不是式子是否是分数形式或是否有分数线。例如，是分式（分母含字母x），而是整式（π是常数，分母不含字母）。 分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件是：分母B≠0。 分式无意义的条件是：分母B=0。 示例：分式，当x-2≠0即x≠2时，分式有意义；当x=2时，分式无意义。 分式的值为零的条件： 分式的值为零，需要同时满足两个条件：①分子A=0；②分母B≠0。 示例：若分式的值为零，则且x+2≠0。由得x=2或x=-2；由x+2≠0得x≠-2。所以x=2时，分式的值为零。若只考虑分子为零，忽略分母不为零，则会错误地认为x=±2时分式值都为零。 知识点02 分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为：，（其中C是不等于0的整式）。 示例：（c≠0）；（这里C=3xy≠0）。 易错点：运用分式基本性质时，必须强调“同乘（或除以）一个不等于0的整式”，若C=0，则性质不成立。例如，不能由得到。 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 用式子表示为：。 示例：，，。在应用时，可将分式的符号、分子的符号、分母的符号看作三个符号，任意改变其中两个，分式的值不变。 知识点03 分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果是最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 约分步骤： ① 找出分子和分母的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂）。 ② 将分子和分母同时除以公因式。 示例：约分。系数12和18的最大公约数是6；相同字母a的最低次幂是，b的最低次幂是；c和d没有公因式。所以公因式是。约分后得。 易错点：约分不彻底，例如将约分为是正确的（因为分子，分母，公因式是(x+1)），若约分为而不继续约去(x+1)则是错误的。 知识点04 分式的通分 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 通分步骤： ① 确定最简公分母（系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母连同它的指数都作为最简公分母的因式）。 ② 将每个分式的分子和分母都乘相应的整式，使分母都化为最简公分母。 示例：通分和。 最简公分母的系数是2和3的最小公倍数6；字母x的最高次幂是，y的最高次幂是，还有字母z。所以最简公分母是。 ；。 易错点：确定最简公分母时容易遗漏分母中的某些因式或取错字母的次数。例如，通分和，先将分母因式分解：，已是因式形式。最简公分母应为(x+2)(x-2)，而不是(x+2)或只取(x+2)。 知识点05 分式的乘除 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 用式子表示为：。 示例：计算（先约分再相乘更简便：）。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示为：。 示例：计算（将x-2看作，颠倒分子分母后相乘，再约分化简）。 易错点：分式除法中，容易忘记将除式的分子分母颠倒位置就直接相乘。例如，错误地计算，正确应为。 知识点06 分式的加减 同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示为：。 示例：计算；。 易错点：分子是多项式时，相减要注意添括号，避免符号错误。例如，计算，应为，若写成则是错误的。 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 用式子表示为：。 示例：计算；计算（先因式分解找最简公分母，再通分，分子相减时注意括号）。 知识点07 分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。同级运算从左到右依次进行。 示例：计算（先算括号内的减法，再算除法，注意约分化简）。 易错点：运算顺序容易出错，或在运用分配律时出现错误（分式混合运算中，除法没有分配律）。例如，计算，应先算括号内的加法：，再算除法：。若错误地使用分配律：，则结果错误。 知识点08 分式方程 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 示例：、是分式方程；而、是整式方程，因为它们的分母中不含未知数。 分式方程的解法： 步骤：①去分母：在方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则是原分式方程的增根，必须舍去。 示例：解方程。 最简公分母是x(x-1)。 方程两边乘x(x-1)得：。 解整式方程：，，，x=3。 验根：当x=3时，x(x-1)=3×(3-1)=6≠0，所以x=3是原分式方程的根。 易错点： 去分母时，漏乘不含分母的项。例如，解方程，最简公分母是(x-1)。方程两边乘(x-1)得（注意1也要乘(x-1)），若写成则漏乘了。 忘记验根。增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，必须舍去。例如，解方程，两边乘(x-2)(x+2)得，解得x=2。验根时，x=2使最简公分母(x-2)(x+2)=0，所以x=2是增根，原分式方程无解。若不验根，会错误地认为x=2是方程的根。 分式方程的应用： 步骤：与列整式方程解应用题类似，包括：①审题，设未知数；②找出等量关系；③列分式方程；④解方程并验根（既要检验是否为分式方程的增根，也要检验是否符合实际意义）；⑤写出答案。 示例：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲的速度是乙的速度的倍，经过2小时两人相遇。若A、B两地相距100千米，求乙的速度。 解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时。 根据路程=速度×时间，两人2小时行驶的路程之和为100千米，可列方程：。 题型一 分式的概念及有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1. 分式的定义：形如（A、B是整式，B中含有字母且）的式子叫分式。 2. 分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。 【典例1】下列式子中，哪些是分式？ ，，，， 【变式1】若分式有意义，则 x 的取值范围是？ 【变式2】若分式的值为0，则 x)的值是？ 题型二 分式的基本性质及化简 解｜题｜技｜巧 1. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，即，（(M) 是不为0的整式）。 2. 约分：约去分子和分母的公因式，化为最简分式；通分：根据分式性质，将异分母分式化为同分母分式，找最简公分母（各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）。 【典例】化简分式 【变式】不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数。 题型三 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小→中→大）。 2.加减法：同分母分式直接加减分子，异分母分式先通分再加减；乘除法：分子分母分别相乘（除），再约分；乘方：分子分母分别乘方。 【典例3】计算： 【变式】计算： 题型四 分式方程及应用 解｜题｜技｜巧 1. 解分式方程的步骤：去分母（两边乘最简公分母，化为整式方程）→ 解整式方程 → 验根（代入最简公分母，若为0则是增根，需舍去）。 2. 应用题关键：找等量关系，设未知数，列分式方程，检验（既要验根，也要符合实际意义）。 【典例】解方程： 【变式】甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工100个零件与乙加工80个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 3．将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 4．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 7．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 8．阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．解分式方程 (1)； (2)． 12．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 13．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 14．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 15．某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． (1)求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ (2)该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 能准确判断一个代数式是否为分式，会确定使分式有意义、无意义及分式值为零的条件 易错点：忽略分母不能为零的条件；求分式值为零时，易忽略分子为零且分母不为零的双重条件 分式的基本性质 能运用分式的基本性质进行分式的约分和通分，理解最简分式的概念 命题趋势：常结合分式的化简求值考查约分、通分，强调对基本性质的灵活应用 分式的乘除运算 能熟练进行分式的乘法和除法运算，并将结果化为最简分式 易错点：运算过程中符号错误；因式分解不彻底导致约分不完全 分式的加减运算 能正确进行同分母分式的加减运算和异分母分式的加减运算 考情规律：异分母分式加减运算中，找最简公分母是难点，容易出现漏乘或公分母确定错误 分式的混合运算 能按照运算顺序正确进行分式的混合运算（包括分式与整式的混合运算） 命题趋势：常与实数的运算、整式的乘法公式结合考查，注重运算顺序和符号法则的应用 分式方程的概念及解法 能识别分式方程，会用去分母法解可化为一元一次方程的分式方程，并检验方程的解 易错点：忘记验根；去分母时漏乘不含分母的项；化分式方程为整式方程后求解错误 分式方程的应用 能根据实际问题中的等量关系列出分式方程解决简单的实际问题 考情规律：常考行程问题、工程问题、利润问题等；易错点是找不准等量关系或解完方程后未检验解的合理性 分式化简求值 能对分式进行化简，并根据给定条件（或自选合适的数）代入求值 命题趋势：常结合分式的混合运算、因式分解考查，代入求值时易忽略使原分式有意义的条件 知识点01 分式的概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 示例：、、都是分式；而、是整式，因为它们的分母中不含字母。 易错点：判断一个式子是否为分式，关键在于分母是否含有字母，而不是式子是否是分数形式或是否有分数线。例如，是分式（分母含字母x），而是整式（π是常数，分母不含字母）。 分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件是：分母B≠0。 分式无意义的条件是：分母B=0。 示例：分式，当x-2≠0即x≠2时，分式有意义；当x=2时，分式无意义。 分式的值为零的条件： 分式的值为零，需要同时满足两个条件：①分子A=0；②分母B≠0。 示例：若分式的值为零，则且x+2≠0。由得x=2或x=-2；由x+2≠0得x≠-2。所以x=2时，分式的值为零。若只考虑分子为零，忽略分母不为零，则会错误地认为x=±2时分式值都为零。 知识点02 分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为：，（其中C是不等于0的整式）。 示例：（c≠0）；（这里C=3xy≠0）。 易错点：运用分式基本性质时，必须强调“同乘（或除以）一个不等于0的整式”，若C=0，则性质不成立。例如，不能由得到。 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 用式子表示为：。 示例：，，。在应用时，可将分式的符号、分子的符号、分母的符号看作三个符号，任意改变其中两个，分式的值不变。 知识点03 分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果是最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 约分步骤： ① 找出分子和分母的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂）。 ② 将分子和分母同时除以公因式。 示例：约分。系数12和18的最大公约数是6；相同字母a的最低次幂是，b的最低次幂是；c和d没有公因式。所以公因式是。约分后得。 易错点：约分不彻底，例如将约分为是正确的（因为分子，分母，公因式是(x+1)），若约分为而不继续约去(x+1)则是错误的。 知识点04 分式的通分 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 通分步骤： ① 确定最简公分母（系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母连同它的指数都作为最简公分母的因式）。 ② 将每个分式的分子和分母都乘相应的整式，使分母都化为最简公分母。 示例：通分和。 最简公分母的系数是2和3的最小公倍数6；字母x的最高次幂是，y的最高次幂是，还有字母z。所以最简公分母是。 ；。 易错点：确定最简公分母时容易遗漏分母中的某些因式或取错字母的次数。例如，通分和，先将分母因式分解：，已是因式形式。最简公分母应为(x+2)(x-2)，而不是(x+2)或只取(x+2)。 知识点05 分式的乘除 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 用式子表示为：。 示例：计算（先约分再相乘更简便：）。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示为：。 示例：计算（将x-2看作，颠倒分子分母后相乘，再约分化简）。 易错点：分式除法中，容易忘记将除式的分子分母颠倒位置就直接相乘。例如，错误地计算，正确应为。 知识点06 分式的加减 同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示为：。 示例：计算；。 易错点：分子是多项式时，相减要注意添括号，避免符号错误。例如，计算，应为，若写成则是错误的。 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 用式子表示为：。 示例：计算；计算（先因式分解找最简公分母，再通分，分子相减时注意括号）。 知识点07 分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。同级运算从左到右依次进行。 示例：计算（先算括号内的减法，再算除法，注意约分化简）。 易错点：运算顺序容易出错，或在运用分配律时出现错误（分式混合运算中，除法没有分配律）。例如，计算，应先算括号内的加法：，再算除法：。若错误地使用分配律：，则结果错误。 知识点08 分式方程 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 示例：、是分式方程；而、是整式方程，因为它们的分母中不含未知数。 分式方程的解法： 步骤：①去分母：在方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则是原分式方程的增根，必须舍去。 示例：解方程。 最简公分母是x(x-1)。 方程两边乘x(x-1)得：。 解整式方程：，，，x=3。 验根：当x=3时，x(x-1)=3×(3-1)=6≠0，所以x=3是原分式方程的根。 易错点： 去分母时，漏乘不含分母的项。例如，解方程，最简公分母是(x-1)。方程两边乘(x-1)得（注意1也要乘(x-1)），若写成则漏乘了。 忘记验根。增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，必须舍去。例如，解方程，两边乘(x-2)(x+2)得，解得x=2。验根时，x=2使最简公分母(x-2)(x+2)=0，所以x=2是增根，原分式方程无解。若不验根，会错误地认为x=2是方程的根。 分式方程的应用： 步骤：与列整式方程解应用题类似，包括：①审题，设未知数；②找出等量关系；③列分式方程；④解方程并验根（既要检验是否为分式方程的增根，也要检验是否符合实际意义）；⑤写出答案。 示例：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲的速度是乙的速度的倍，经过2小时两人相遇。若A、B两地相距100千米，求乙的速度。 解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时。 根据路程=速度×时间，两人2小时行驶的路程之和为100千米，可列方程：。 题型一 分式的概念及有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1. 分式的定义：形如（A、B是整式，B中含有字母且）的式子叫分式。 2. 分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。 【典例1】下列式子中，哪些是分式？ ，，，， 分析与解答： 根据分式定义，分母含字母的式子是分式。 ：分母含字母 (x)，是分式； ：分母为常数3，是整式； ：分母为常数5，是整式； ：分母含字母 (x)，是分式； ：分母含字母 (x)，是分式（注意：虽可化简为 (x)，但原式分母含字母，仍为分式）。 答案：，， 【变式1】若分式有意义，则 x 的取值范围是？ 分析与解答： 分式有意义需分母不为0，即，解得。 答案： 【变式2】若分式的值为0，则 x)的值是？ 分析与解答： 分式值为0需分子为0且分母不为0。 分子，解得 或 ； 分母，即，故 。 答案： 题型二 分式的基本性质及化简 解｜题｜技｜巧 1. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，即，（(M) 是不为0的整式）。 2. 约分：约去分子和分母的公因式，化为最简分式；通分：根据分式性质，将异分母分式化为同分母分式，找最简公分母（各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）。 【典例】化简分式 分析与解答： 先因式分解分子分母，再约去公因式。 分子：； 分母：； 约分：。 答案： 【变式】不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数。 分析与解答： 分子分母同乘10（消除小数点）： 。 答案： 题型三 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小→中→大）。 2.加减法：同分母分式直接加减分子，异分母分式先通分再加减；乘除法：分子分母分别相乘（除），再约分；乘方：分子分母分别乘方。 【典例3】计算： 分析与解答： 先算括号内减法，再算除法。 通分括号内：分母， ； 除法变乘法：。 答案：1 【变式】计算： 分析与解答： 括号内通分后，利用平方差公式化简。 括号内：； 乘法运算：。 答案： 题型四 分式方程及应用 解｜题｜技｜巧 1. 解分式方程的步骤：去分母（两边乘最简公分母，化为整式方程）→ 解整式方程 → 验根（代入最简公分母，若为0则是增根，需舍去）。 2. 应用题关键：找等量关系，设未知数，列分式方程，检验（既要验根，也要符合实际意义）。 【典例】解方程： 分析与解答： 去分母最简公分母为 (x - 1)(x + 1)： 解得： 验根：当 时，，故 是原方程的解。 答案： 【变式】甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工100个零件与乙加工80个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 分析与解答： 设乙每小时加工 x个，则甲每小时加工 (x + 2) 个，根据时间相等列方程： 去分母： 验根： 时，分母不为0，且符合实际意义。 甲每小时加工：（个） 答案：甲每小时加工10个，乙每小时加工8个。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的概念，解题的关键是判断分子与分母是否存在公因式（含可因式分解的多项式）． 依次分析各选项分子分母是否有公因式，能约分的不是最简分式，不能约分的是最简分式． 【详解】解：A、，分子分母有公因式2，可约分为，此选项不符合题意； B、，分子分母无公因式，不能约分，此选项符合题意； C、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意； D、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意； 故选：B． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，由得到，再将变形为，然后代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 即， 两边同乘得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 3．将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍， ∴新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选C． 4．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程．实际施工效率比原计划提高了，即实际每天施工长度为米．原计划施工天数为天，实际施工天数为天，实际比原计划提前15天完成，因此实际天数等于原计划天数减15天，由此列出方程．即可作答． 【详解】解：∵计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，且设原计划每天改造管网x米 ∴， 故选：B 5．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程 ，得到 ，但需满足分母不为零，即 ，从而 ，然后根据各选项条件判断． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 7．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 8．阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵时分式无意义， ∴， 即， 将，代入得：， 解得：， 将，代入，则分式为：． 将代入得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 将代入得：， 解得：， 则C结论错误， 故选：C． 9．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． （1）方程两边同时乘以即可求解； （2）方程两边同时乘以即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解． 12．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 13．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 14．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 【答案】(1)超市第一次购进水果的单价是每千克10元 (2)总获利为元 【分析】本题考查分式方程解应用题、有理数混合运算解应用题，读懂题意，准确列出方程及代数式求解是解决问题的关键． （1）设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元．根据数量关系：第二次购进水果数量第一次购进水果数量， 列分式方程求解即可得到答案； （2）按照题意，分别得到两次购进水果数量，进而确定按15元每千克出售的水果，然后分别计算总销售额、总成本，再由利润总销售额总成本即可得到答案． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元； （2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）； 则两次一共购进水果：（千克）； 按15元每千克出售的水果有：（千克）， 则总销售额为：（元）， 总成本为：（元）， 总获利为：（元）． 15．某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． (1)求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ (2)该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 【答案】(1)简装版单价25元，精装版单价40元 (2)最多能购进精装版13本 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是正确理解题意，根据题中的数量关系建立方程或不等式，注意分式方程的结果要检验． （1）设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元，根据购买数量相等列方程求解； （2）通过设精装版数量为未知数，根据总费用不超过1200元列不等式求解． 【详解】（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元． 根据题意，． 解得：，经检验是原方程的解，且符合实际； 因此，简装版单价为元，精装版单价为元． （2）设购进精装版本，则购进简装版本． 总进货费用为元． 根据总进货费用不超过1200元，得不等式： 解得： 由于为整数，因此． 故最多能购进精装版本． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $