10.2分式的基本性质（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“分式的基本性质”核心知识点，承接分式概念，明确分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式时分式值不变的性质，为后续约分、通分运算奠定基础，通过定义、表达式、核心要点及注意事项构建学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标，设计判断变形、条件探究等四类分层练习题，结合思维导图梳理知识，培养学生推理意识与数学语言表达能力，课中助力教师分层教学，课后学生可针对性练习，弥补知识盲点，提升分式变形与应用能力。

10.2分式的基本性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 数学表达式：对于分式（），若C为不等于0的整式，则有，。 核心要点：分子分母需同时进行相同运算；所乘（或除以）的整式必须不为0；分式的值保持不变。 作用：是分式约分和通分的理论依据；用于分式的化简与变形，使分式运算更简便。 注意事项：强调“不为0的整式”，若，则分式无意义；运算时分子分母整体都要乘除，不能只对部分项进行操作。 型 习 练 题 判断变形是否正确 1．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 4．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 求使分式变形成立的条件 6．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 7．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 8．若，则M为（   ） A． B． C． D． 9．若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 10．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 利用基本性质判断分式值的变化 11．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 12．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 13．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 14．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．缩小到原数的 D．变为原来的 15．将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 最简分式 16．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 17．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 19．下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 20．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2分式的基本性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 数学表达式：对于分式（），若C为不等于0的整式，则有，。 核心要点：分子分母需同时进行相同运算；所乘（或除以）的整式必须不为0；分式的值保持不变。 作用：是分式约分和通分的理论依据；用于分式的化简与变形，使分式运算更简便。 注意事项：强调“不为0的整式”，若，则分式无意义；运算时分子分母整体都要乘除，不能只对部分项进行操作。 型 习 练 题 判断变形是否正确 1．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 2．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母同时变化时保持比例不变是解题的关键． 根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的值不变． 【详解】解：∵ （分子分母同除以3）， ∴ A选项的值一定与 相等； 对于B、C、D选项，可通过反例验证： 如取 ，则 ，但B选项 ； C选项 ； D选项 ，故B、C、D不一定相等． 故选：A． 4．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，符合分式的基本性质，D正确； 故选：D． 求使分式变形成立的条件 6．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 7．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 8．若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 9．若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键． 10．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 利用基本性质判断分式值的变化 11．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分式的值不变．本题中分母乘4，因此分子也需乘4才能使分式的值保持不变． 【详解】解：∵原分式为，分母乘4后变为， ∴要使分式的值不变，分子也需乘4，即分子变为， ∴分子应该乘4． 故选C． 12．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，即， 又∵， ∴； 故选：C． 13．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 将，都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵ 和都扩大3倍， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值扩大3倍， 故选：B． 14．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．缩小到原数的 D．变为原来的 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键，将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵和都扩大到原来的 2 倍， ∴ 新分式为 ， ∵ 原分式为 ， ∴ 新分式 ，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 15．将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为的数（或式子），分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判定求解． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，故本选项不符合题意； B、，分式值改变了，故本选项不符合题意； C、，分式值没有改变，本选项符合题意； D、，分式值改变了，故本选项不符合题意； 故选：C． 最简分式 16．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 17．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 18．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 19．下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 20．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，解题关键是利用平方差公式进行因式分解．用平方差先把分子因式分解，再和分母约分即可得解． 【详解】解：． 故选：A ． 学科网（北京）股份有限公司 $