福建省厦门外国语学校2025-2026学年高二上学期数学校本作业47（数列求和2）

2027届厦外高二（上）数学校本作业47——数列求和2（倒序相加，分组求和） 一、单选题 1．数列：，，，，…，，…的前n项和＝（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式是，则（ ） A． B． C．3027 D．3028 3．已知数列满足，，则（ ） A．32 B．50 C．72 D．90 4．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（ ） A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99 5．已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足：，，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 7．函数，等比数列满足，则（ ）． A．2020 B． C．2 D． 8．已知，，，．设，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答题卡】 班级_______ 座号_______ 姓名______________ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 三、填空题 11．已知为数列的前项和，，，，则___________. 12．已知，则 . 13．已知数列的前项和，则_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题 14．已知各项均为整数的数列为等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 15．已知数列的前n项和为，满足，且是2与的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．数列的前n项和为，且（） （1）若数列不是等比数列，求； （2）若，在和（）中插入k个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求的前50项和． 【强化训练】 1．【多选】已知数列满足，，若数列的前50项和为1275，则（    ） A． B． C．是常数列 D．是等差数列 2．【多选】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为_________. 4．已知数列中，，设数列满足： （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，求数列的前项和； 5．已知正项数列的前项和为，满足． (1)求数列的前项和； (2)记， 证明：． 5、 校本作业47参考答案： 1．A 【详解】依题意，得该数列的通项公式为， ∴．故选：A． 2．A解：由，得 . 3．B【详解】由已知，，，，同理，，，所以． 4．A【详解】由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为 S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101． 5．A 【详解】由已知可得，， ， .故选：A. 6．C【详解】由，，令、、、，， 可得，，两式相加可得，，， 两式相加， 进行推论归纳可得，， 所以，对任意的,，所以，数列的前项的和为. 故选：C. 7．A【详解】∵，∴． ∵数列为等比数列，且，∴． ∴， ∴由倒序求和可得． 8．B【详解】由以及，可知，，，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边同除得，即，则， 因为，则， 所以当时，，，所以，B对， 因为以及，，则， ，， ，所以，，，， 所以，不满足AD选项，， 不满足C选项，故选：B. 9．CD【详解】解：因为，，所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确；故选：CD 10．ABD【详解】因为，所以+3，所以， 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误； ，则，故D正确.故选：ABD. 11．【详解】因为，当时， 所以，，……，， ， 所以，所以，所以，所以. 12．4042【详解】由，令可得，， 且，则， 所以，函数关于点对称，即 由已知，， 又 两式相加可得， ，所以，. 故答案为：4042. 13．－76【详解】当是偶数时， ， 当是奇数时， ，所以， 14．（1）；（2）. （1）设等差数列的公差为，则①，②，由①②，得：，， 其中，不合题设舍掉.∴数列的通项公式为． （2）由（1）知， ∴． 15．(1)；(2) 【详解】（1）因为是2与的等差中项，所以，① 当时，，② ①－②得：，∴， 又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列．∴； （2）因为， 当n为偶数时， ． 当n为奇数时， ， 综上所述：数列的前n项和为． 16．（1）；（2）2694. 【详解】解法一：（1）由，得，则，所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，，从而，即. （2）因为，则，由（1）知是首项为，公比为2的等比数列，，所以.设插入的所有数构成数列，则， 因为，，，， 所以，，，…，中包含的前9项及的前41项， 所以 . 【强化训练】 1．BCD【详解】∵，，则， 又∵，，∴， 对A：可得： ， 解得，A错误； 对B：由，令，则，解得， 由，令，则，解得，B正确； 对C：∵，故， 即是常数列，C正确； 对D：∵，则， 故是以公差为16的等差数列，D正确. 故选：BCD. 2．BCD【详解】斐波那契数列：， 则，，，，，，，，，， ，，，即数列是以为周期的周期数列， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，，，， ，故C正确； 对于D，，， ，，，， ，又，，故D正确. 故选：BCD. 3．1044【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，得每组和分别为：，，，，，每组含有的项数为：1，2，3，，k，∴总共的项数为，而当时，，故该数列的前50项和为. 4．（1）证明见解析，；（2）；（3）答案见解析. 【详解】（1）证明：由已知得， 所以，， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，，所以. （2）由（1）得①， ②，①-②得，所以. （3）由（1）（2）得， 当时，， . 当时，， 当时，， 综上所述，. 5．(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得：， 等式两边同乘，得 整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列 ∴，； （2）， ∴， ， ∴，综上可证：． $