精品解析：湖南省衡阳市2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集,集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集和并集运算可得结果. 【详解】由题意得,所以. 故选：C. 2. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦的长度为. 故选：D. 3. 函数是（ ） A. 奇函数，且有最大值 B. 偶函数，且有最大值 C. 奇函数，且有最大值2 D. 偶函数，且有最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式对进行化简，再结合偶函数的定义及三角函数的图象性质判断可得结果. 【详解】由题意可得,则是偶函数,且有最大值. 故选：B. 4. 2025年8月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据“四角花瓣”图形的对称性，得到四边形为正方形，求得边长为，求得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线的方程，即可求解. 【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后， 得到的三条曲线与组合而成的图形， 其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为， 根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为， 则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得. 故选：C. 5. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 6. 如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 7. 在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法运算可得，，再利用数量积的运算律计算，并由的取值范围，结合余弦函数的图象性质得到最终结果. 【详解】由题意得,, 所以 . 由,得, 所以. 故选：A. 8. 已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，，，根据垂直可得关于的方程有解，即，，结合正弦函数的值域可得，解不等式即可. 【详解】设点，， 又圆，即， 设圆上一点，， 又，且存点满足， 则， 由，， 则有解， 即，其中， 化简可得方程有解， 又， 所以不等式， 又，所以恒成立， 即不等式为， 解得，又， 所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知，双曲线，双曲线，则（ ） A. 的实轴长等于的虚轴长 B. 的虚轴长等于的实轴长 C. 的离心率等于的离心率 D. 的焦距等于的焦距 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据已知双曲线方程，结合双曲线的性质，分别求出双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和焦距，再分析选项的正误． 【详解】由题意得双曲线，则， 双曲线，则， 又，双曲线的实轴长为， 虚轴长为，焦距为，， 双曲线的实轴长为，虚轴长为， 焦距为，， ，即 的实轴长等于的虚轴长，故A正确； ，即的虚轴长等于的实轴长，故B正确； ，当且仅当时，，当时，， 双曲线的离心率不一定等于的离心率，故C错误； ，的焦距等于的焦距，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（ ） A. B. 当时, C. 存在最小值 D. 当为偶数时, 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列前项和的函数特性可判断A和B，通过举反例可判断C，设,由，整理可得，再由等差数列的通项公式和性质可得从而判断D. 【详解】设,由（）,可知二次函数的图象关于直线对称, 所以,即,A正确. 因为,所以当时,,B正确. 取,则,但不存在最小值,C错误. 若为偶数,不妨设,由,可得,即, 则,即,即,所以不成立,D错误. 故选：AB. 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，根据数量积公式，代入计算，即可判断A的正误；根据向量夹角公式，即可判断B的正误；将平面沿顺时针旋转与平面共面，当A、H、E三点共线时，有最小值，根据长度，求得最小值，即可判断C的正误；如图作辅助线，则五边形AMFEN的周长即为所求，分别求得各个长度，即可判断D的正误. 【详解】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 选项A：因， 所以，即，故A正确； 选项B：， 因为异面直线与所成角范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确； 选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示， 当A、H、E三点共线时，有最小值， 且最小值为，故C错误； 选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H， 连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE， 则五边形AMFEN的周长即为所求， 因为分别是棱的中点，， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 所以，所以，则， 所以在中，， 在中，， 同理，， 所以五边形AMFEN的周长为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题；本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和虚部的概念可得结果. 【详解】由题意得,所以的虚部为. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙三名毕业生到三个公司实习,假设每名毕业生都要去实习,且每名毕业生到三个公司中任一公司实习的概率均相等,则恰有两名毕业生到A公司实习的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用独立事件的概率乘法公式即可得解. 【详解】对于甲乙丙三人来说，去公司实习的概率均为， 不去公司实习的概率均为，且彼此之间相互独立. “恰有两名毕业生到A公司实习”代表有2人去公司实习， 有1人不去公司实习，而不去公司实习的人，可能是甲或乙或丙，共有3种情况. 综上所述，恰有两名毕业生到A公司实习的概率. 故答案为： 14. 已知正项数列满足,,则的通项公式为__________.若对任意的,关于的不等式恒成立,则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将等式两边取对数可得，利用累乘法计算求得；对于不等式，分类讨论n为偶、奇数，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 详解】将等式两边取对数， 得，得，得， 则当时，， 得，故，所以， 又满足上式，故. 因为对任意的，关于n的不等式恒成立， 所以当n为偶数时，， 得或恒成立，则或； 当n为奇数时，， 得或恒成立，则或. 故t的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. （1）求，的通项公式； （2）若数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的公差为，的公比为，根据等比中项的性质和等差数列的通项公式可求出，从而可得和的通项公式； （2）由分组求和得到并化简即可证明. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. 【小问2详解】 证明：由题意得， 所以 . 16. 如图,在四棱锥中,四边形是梯形,,,,,,,是棱的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理可得，由勾股定理证得，最后再由线面垂直的判定定理可证结果； （2）以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法先求得两平面的法向量的夹角的余弦值，再求正弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为,,所以. 因为,平面,平面,且,所以平面. 因为平面,所以. 因为,所以. 因为,所以. 因为,所以,所以,所以. 因为平面,平面,且,所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知,,两两垂直,则以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,,,, 故,,. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设二面角为,则, 故,即二面角的正弦值为. 17. 已知动点 到点的距离比到直线的距离小，设的轨迹为曲线. （1）求 的标准方程； （2）若点 的坐标为，求的最小值; （3）若过点的直线与 交于，两点，点 ，且，判断的条数，并说明理由. 【答案】（1） （2）； （3）直线的条数为3条，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）设，由两点间距离公式结合二次函数性质计算即可； （3）由题意可得在线段的垂直平分线上，设，直线的方程为，直线与曲线联立方程，由韦达定理结合中点坐标公式可得中点坐标为，分直线斜率存在与不存在两种情况求出垂直平分线所在直线方程，代入计算即可求解. 【小问1详解】 由题意可得点 到点的距离比到直线的距离小， 即点 到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 令，则， 由二次函数性质可知，当时，有最小值为； 小问3详解】 因为，所以在线段的垂直平分线上， 设，直线的方程为， 则，则，， 所以， 则， ， 所以线段的中点坐标为， 若直线斜率不存在，则线段的垂直平分线为轴， 此时不在线段的垂直平分线上，不满足题意； 若直线的斜率存在，则线段的垂直平分线的斜率为， 此时垂直平分线为， 因为点在垂直平分线上，代入可得， 化简可得，即，解得或； 经检验，均符合题意. 综上，直线的条数为3条. 18. 已知数列的前n项和为，，，且（）. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）5； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入即可得解； （2）将整理为，即，再运用构造法构造等比数列 ，即可得解； （3）利用裂项相消法求和，并分为偶数与为奇数进行讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 则. 【小问2详解】 当时，由，得， 则， 得， 当时，，也满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. 【小问3详解】 . 当n为偶数时， . 当n为奇数时， ， 故. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及点在椭圆上，利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①由已知可得直线方程，联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据点到直线距离可得面积；②设，与椭圆联立可得点坐标，同理可设，得点坐标，再根据，，三点共线，可得，即可得最值. 【小问1详解】 由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集,集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 函数（ ） A. 奇函数，且有最大值 B. 偶函数，且有最大值 C. 奇函数，且有最大值2 D. 偶函数，且有最大值2 4. 2025年8月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 已知递增等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 6. 如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（ ） A. km B. km C. km D. km 7. 在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9 已知，双曲线，双曲线，则（ ） A. 的实轴长等于的虚轴长 B. 的虚轴长等于的实轴长 C. 的离心率等于的离心率 D. 的焦距等于的焦距 10. 已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（ ） A. B. 当时, C. 存在最小值 D. 当为偶数时, 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 三、填空题；本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 的虚部为__________. 13. 甲、乙、丙三名毕业生到三个公司实习,假设每名毕业生都要去实习,且每名毕业生到三个公司中任一公司实习的概率均相等,则恰有两名毕业生到A公司实习的概率是__________. 14. 已知正项数列满足,,则的通项公式为__________.若对任意的,关于的不等式恒成立,则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. （1）求，的通项公式； （2）若数列的前n项和为，证明：. 16. 如图,在四棱锥中,四边形是梯形,,,,,,,是棱的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 已知动点 到点的距离比到直线的距离小，设的轨迹为曲线. （1）求 标准方程； （2）若点 的坐标为，求的最小值; （3）若过点的直线与 交于，两点，点 ，且，判断的条数，并说明理由. 18. 已知数列的前n项和为，，，且（）. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前n项和. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $