期末专题05 几何图形的初步的九类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

期末专题05 几何图形的初步的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、正方体的展开图 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 类型四、画直线、射线、线段 类型五、与线段中点有关的计算问题 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 类型七、与角平分线有关的计算问题 类型八、一副三角板中的有关计算问题 类型九、线段、角有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、正方体的展开图 核心技巧：牢记类型，巧用“目字法” 1. 记大类：共11种，分“141”、“231”、“222”、“33”四类基础型。 2. 避“田七”：同一行（列）出现四个面相连成“田”字形，或出现“凹”、“凸”结构的“七”字形，则无法拼成正方体。 3. 快判断：找相对面。若展开图中，两个面中间只隔一个面（呈“目”字形），则它们是相对面，不会相邻。 【例1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，去掉1个小正方形，使所得图形为正方体表面的展开图，则去掉小正方形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可判断； 【详解】解如图 根据正方体表面展开图的特征可知， 从这7个小正方形去掉⑤，可以折叠成正方体， 去掉⑥，可以折叠成正方体， 去掉⑦，可以折叠成正方体， 共有3种方法， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列图形经过折叠可以得到正方体的是（   ） A．①②③⑤ B．①③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，熟记正方体的11种展开图，是解题的关键． 根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：图形经过折叠后可以得到正方体的是：①③⑤． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山西长治·期末）如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．12 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再根据相对面上的两个数互为相反数，求出a、b的值，然后代入代数式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·广东惠州·期末）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了立方体的展开图，根据原正方体带图案的三个面相交于一点一一判断即可得出答案． 【详解】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合， 且D折叠后带有星星的图案的和圆的图案成对立面，所以能得到的图形是C选项． 故选C． 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 核心技巧：还原立体，对应关系 1. 识模型，巧还原：根据展开图特征（如6个矩形为长方体，扇形与圆为圆锥），通过折痕想象立体形状。 2. 抓关键，找数据：将展开图中的边、弧长、半径与立体图形的棱长、高、底面周长等关键量一一对应，标出已知数。 3. 用公式，准确算：结合几何体的表面积（所有面之和）、体积公式（如长方体V=abc，圆锥V=1/3πr²h）代入数据计算。注意圆锥侧面积是扇形面积。 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据展开图求几何体的表面积和体积，熟练掌握圆柱体的表面积和体积的计算公式，圆锥的体积的计算公式是解题的关键： （1）由展开图可知，几何体为圆柱体，根据圆柱体的表面积等于展开图的侧面积加上两个底面圆的面积，进行计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式进行计算即可； （3）根据圆柱体和圆锥的体积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，几何体为底面直径为4，高为5的圆柱体， ∴表面积为：； （2）圆柱体的体积为： （3）圆锥体的体积为圆柱体体积的，即为． 故答案为： 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)，，或 (2)长方体包装盒得体积是 【分析】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 【变式2】（23-24七年级上·四川广元·期末）如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 【变式3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子．我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？请选择________ A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大 (4)当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【答案】(1)，， (2)588，576 (3)C (4)3，588 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式及代数式求值，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）根据（1）中的方法，将a，b的值达人计算即可； （3）根据表格中数值的变化关系可得答案； （4）由于b是整数，可由表格中数据的变化的对应值可得答案． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积； 故答案为：，，； （2）解：当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）解：由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）解：由于b是整数，由表格中的数据的对应值可知，当时，容积最大是， 故答案为：3，588． 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 核心技巧：分层投影，锁定轮廓 1. 辨方向，分层次：明确主视、左视、俯视的观察方向，在草图上将几何体沿该方向分层。 2. 画外框，定轮廓：对每一层，只画能直接看到的面，被遮挡的线用虚线。主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。 3. 验虚实，合整体：检查相邻层间是否有遮挡关系，确保可见线为实线，不可见轮廓为虚线，最终三视图应满足“长对正、高平齐、宽相等”。 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积（包括底面）是_______． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）这个几何体的表面积， 故答案为：26． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）先确定几何体从正面、左面和上面看到的形状图，再画出图形即可； （2）结合堆砌图形的形状与从上面与左边看到的图形，再确定能够添加的位置和数量即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，该几何体从正面、左面和上面看到的形状图 （2）在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，则要在几何体的第二排，从上面看的图形所示的2个位置放正方块，最多放4个，如图所示： 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是______（包含底部）； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加______个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查从不同方向看立体图形，掌握立体图形的特点，表面积的计算方法是解题的关键． （1）根据立体图形的特点画图示即可； （2）根据立体图形表面积的计算方法计算即可； （3）由图示特点进行分析即可； （4）由图示特点进行分析即可． 【详解】（1）解：几何体的三视图如下， （2）解：从下往上，第一层的表面积为：， 第二层的表面积为：， 第三层的表面积为：， ∴几何体的表面积为：； （3）解：根据（1）中的图示，保证从上面看的图和从左面看的图不变，可以在如图所示的位置各增加一个， ∴最多可以增加4个小正方形， 故答案为：4； （4）根据（1）中的图示，要保证三个视图都不变，最多可以在（3）中1的位置增加1个小正方形， 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面） (2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】此题考查了从不同方向看几何体等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可； （2）由题意知，第一列最多需要2个小立方体，第二列最多需要3个小立方体，第三列最多需要4个小立方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下： （2）解：若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要（个）小立方体． 故答案为：9． 类型四、画直线、射线、线段 画图解题三步法： 1. 审清题意，区分类型：直线无端点，射线一端无限延伸，线段有明确两端点； 2. 规范作图，标注符号：用直尺画线，清晰标注端点字母（如点A、B），直线与射线在无限延伸端画箭头； 3. 结合条件分析：利用“两点确定一条直线”等公理，注意交点、延长线等关键细节。 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、射线、线段的特点及点与直线的关系是解题的关键． （1）①根据射线的特点作图；②根据线段的特点作图； （2）根据“两点之间，线段最短”作图． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； （2）点P即为所求． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)两点之间线段最短 【分析】本题考查了尺规作图． （1）①分别根据线段、射线、直线的定义作图即可； ②以C为圆心，为半径，在射线上取F，以F为圆心，为半径，在射线上取D即可； （2）根据两点之间线段最短作出线段、的交点P即可． 【详解】（1）①如图，线段，射线，直线即为所求； ②如图，点D即为所求； （2）如图2中，点P即为所求．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，已知A，B，C，D四个点，根据要求完成下列各小题． (1)画线段和； (2)用尺规在线段的延长线上作线段； (3)找一点P，使点P既在直线上，又在直线上； (4)在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，角的概念理解，作线段（尺规作图），两点之间线段最短等知识点，熟练掌握相关定义和作图技能是解题的关键． （1）根据线段、角的定义画图即可； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点E，则线段即为所求作； （3）作直线、，则两条直线的交点即为所求作； （4）根据“两点之间线段最短”进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，线段和即为所求作． （2）作图如图，线段即为所求作． （3）作图如图， 点P即为所求作． （4）∵两点之间线段最短， ∴． 故答案为：，两点之间线段最短． 类型五、与线段中点有关的计算问题 核心技巧：数形结合，方程思想 1. 标注已知，绘图定位：画出线段并明确标注已知点、中点及长度关系。 2. 设元表示，建立方程：常设未知线段长为x，用含x的代数式表示所有相关线段长，特别是以中点为界的各段。 3. 依据等量，列式求解：利用中点定义（AM=MB=½AB），或整体与部分的和差关系（如AC+CB=AB）列出方程求解。 【例5】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，为线段上一点，为的中点，，． (1)求的长； (2)若点在线段上，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的中点和线段的和差计算． （1）由题目条件可得，再根据中点的定义可得； （2）分两种情况讨论：当点E在上，当点E在上，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴； （2）解：∵D为的中点， ∴， 当点E在上， ∵，， ∴；    当点E在上， ∵，， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，若，，且． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长； (3)若点在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的数量问题，线段中点的性质以及线段的和差计算，掌握线段的计算方法是解题的关键． （1）根据线段的定义数出结果即可； （2）根据非负数的性质，先求得．，再求，根据，即可求解； （3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可． 【详解】（1）解：解：图中共有，共6条线段， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴． 因为点为线段的中点， ∴， ∵， ∴ （3）解：∵，， ， 当点在点 的右侧时，， 当点在点的左侧时，， 综上所述，或． 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图1，点B，C在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)比较线段的长短：若，则_______；（填：“”、“”或“”） (3)如图2，点B，C在线段上，点M是的中点，点N是的中点． ①若，，求的长度； ②若，，求的长度（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】(1)6 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据线段的定义解答即可； （2）根据题意，，由，进而得出答案； （3）①根据已知，，可得：，再根据点M是的中点，点N是的中点，由线段的中点定义可得：，，进而可得：，进而得出答案； ②由①可知，，再根据点M是的中点，点N是的中点，由线段的中点定义可得：，，再根据，进而得出答案． 【详解】（1）解：图中有线段，线段，线段，线段，线段，线段共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵， ∴ ； ②∵，， ∴． 由①可得：， ∴． 【变式3】如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 点是线段的中点， ； （2）①由题意得， ， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ； ②线段的长度不变，； 由①得，； ， 线段的长度不变，． 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 核心技巧：紧扣定义，代数建模 1. 依定义列式：设未知角为x，则它的余角为(90°-x)，补角为(180°-x)。 2. 找等量列方程：仔细审题，将题目描述的关系（如“一个角比它的补角大20°”）转化为等式，例如：x - (180° - x) = 20。 3. 求解并检验：解方程求出x，再计算出所求的余角或补角。最后检查是否满足题意（如角度是否在0°~180°范围内）。 【例6】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若一个角的余角比这个角的3倍多，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角的定义，设这个角为，则这个角的余角为，根据一个角的余角比这个角的3倍多列方程解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为， ， 解得：， 答：这个角的度数是． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 【答案】 【分析】设这个角为，根据锐角的三分之一与余角和补角的和等于平角建立方程，解答即可． 本题考查了余角，补角，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，根据题意，得， 解得． 故这个角是． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的性质，余角的定义是解题的关键． （）根据补角的性质，可得，根据解方程，可得答案； （）根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得； （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余． 类型七、与角平分线有关的计算问题 核心技巧：借助定义，分析位置 1. 明确定义画图形：依题画图，明确角平分线将大角分为两个小角相等（∠AOC=∠COB=½∠AOB）。 2. 设元表示各角：常设小角为x，用含x的式子表示相关角的大小。 3. 寻找等量建方程：利用已知角度关系（如某几个角的和、差、倍数关系）列出关于x的方程求解，或用整体法直接计算。 【例7】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 【变式3】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 类型八、一副三角板中的有关计算问题 核心技巧：熟知角度，组合分析 1. 记角度：明确一副三角板各角度数：等腰直角三角板（45°,45°,90°）；另一块（30°,60°,90°）。 2. 画图拼合：按题意画出三角板拼接图，标出所有已知角和拼合形成的角。 3. 加减计算：所求角通常是几个已知角的和或差，如15°=45°-30°，105°=60°+45°。注意射线位置，防止误算。 【例8】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键； （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 类型九、线段、角有关的新定义型问题 核心技巧：紧扣新规，类比转化 1. 读定义，找模型：仔细阅读新定义（如“双中点线段”、“倍角”），提取其核心规则与操作步骤。 2. 化新为熟，画示意图：将新定义中的元素（新点、新角）用图形表示出来，关联到熟悉的线段、中点、角平分线等基本模型。 3. 套规则，列式算：严格按照新定义的运算法则或关系，建立方程或进行推理计算，得出结论。 【例9】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）探究新知： 已知点C在线段上，若三条线段中，有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“倍分点” （1）一条线段的中点 这条线段的“倍分点”（填“是”或“不是”）； （2）已知线段，点P是线段的的“倍分点”，则 （用含a的代数式表示出所有可能的结果）． 深入研究： 如图，一条直线上有线段，长为，点P从点M出发以每秒的速度向右出发，运动时间为t秒． （3）当t为何值时，点N为线段的“倍分点”； （4）如果同时点Q从点N出发，以每秒的速度向右运动，当P为的“倍分点”时，直接写出t的值． 【答案】（1）是 （2）或或 （3）t值为9或12或18 （4）t的值为或4或6 【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的应用，线段的和差计算，关键是根据新定义正确分情况讨论列出方程解答． （1）由中点可知，这条线段等于中点分出的线段的2倍，进而得出结论； （2）根据“倍分点”的定义，分三种不同情况当时，当时，当时，可表示的长； （3）分三种情况列出方程解答便可：； （4）分情况讨论：，分别列出方程解答． 【详解】解：（1）由线段的中点定义，可得线段的中点是“倍分点”； 故答案为：是； （2）当时， ∵， ∴ ∴； 当时， ∵， ∴ ∴； 当时， ∴； 故答案为：或或； （3）①当时， ， 解得：， ②当时，， 解得：， ③当时，， 解得：． 综合以上可得t值为9或12或18． （4）由题意得：，， ∴， 当时，， 解得：； 当时， ∴， 解得； 当时， ， 解得， 当P为的“倍分点”时，t的值为或4或6． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求； (2)将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分， ①判断和的数量关系，并说明理由； ②图中的差余角有哪些？请说明理由； (3)将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，据此建立方程求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进一步由平角的定义得到，据此可得结论；②由（2）①的结论得到，根据，得到，据此可得结论； （3）分在左侧，在右侧，在下方三种情况，根据差余角的定义得到，再根据角之间的关系导角求解即可． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴； ②的差余角有，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的差余角有； （3）解：如图3-1所示，当在左侧时， ∵是的差余角， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3-2所示，当在右侧时， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当在下方时， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 一、单选题 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 故选：B． 2．（25-26六年级上·全国·期末）如图是一个正方体的展开图，每个面上都有一个汉字，折叠成正方体后，与“负”相对的面上的汉字是（　　） A．增 B．效 C．提 D．质 【答案】B 【分析】本题考查的是正方体展开图，熟练掌握正方体展开图中相对面的判断方法是解题的关键．根据正方体展开图“相对的面不相邻”的特点，分析各个面的位置关系，进而确定与“负”相对的面． 【详解】正方体展开图中，相对的面在折叠后不会相邻。通过观察图形结构，可直接判断出“效”与“负”是相对的面． 故选：B． 3．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段，，则线段的长是（   ） A．7 B．3 C．10 D．7或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差计算，根据题意画出图形，分两种情况：①C在线段的延长线上；②C在线段上，然后由线段和差即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论如下： ①如图，C在线段的延长线上， ∴， ②如图，C在线段上， ∴， 综上可知：线段的长是7或3， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·青海海西·期末）如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算、余角、邻补角等知识点， 先根据余角求出的度数，再利用邻补角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·河北唐山·期末）钟面上的时间走到时分，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．钟面上有个大格，每个大格是，4时分时，时针指向4和5之间，分针指向6，时针和分针之间有1个大格和个大格，即可求出时针和分针的夹角． 【详解】解：分针指向，时针指向4和5之间， 时针和分针之间有1个大格和个大格 ． 此时时针与分针的夹角是， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角的计算，平角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示是一个几何体，画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给的几何体，分别画出对应的从正面、左面、上面看到的几何体的形状图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分，且． (1)求的度数； (2)过点作射线OP，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的关系，是解题的关键： （1）角平分线得到，根据结合平角的定义，求出的度数，对顶角得到的度数即可； （2）分在内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， 当在内部时，则：， 当在外部时，则：． 13．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，平面上有，，，四个点，请根据下列语句作图： (1)画直线与射线相交于点； (2)画线段与线段交于点； (3)图中_____点到，，，四点的距离之和最小，理由是_____ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)Q，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据两点之间线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线与射线相交于点P，点P即为所求； （2）解：线段与线段交于点Q，点Q即为所求； （3）解：图中Q点到，，，四点的距离之和最小，理由是：两点之间线段最短． 故答案为：Q，两点之间线段最短． 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·福建厦门·期末）小安假期到某厂参加社会实践，发现该厂有一批长为，宽为的白纸板，可做有盖包装盒．工厂用一块白纸板制作一个包装盒，常见的一种设计方案：如图所示，在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），四边形为盒子底盖，再截取作为顶盖，然后拼成一个长方体包装盒（不考虑连接的重叠部分）． (1)当时，求这种包装盒的容积； (2)工厂需要将一款包装盒竖着放进大箱子里，大箱子的长为，宽为，高为．为了方便大箱子的使用，在大箱子中叠放4层或5层的包装盒，并且要求按同一方向、无缝隙的装满整个大箱子（不考虑包装盒的厚度）．请你设计这款包装盒，若符合要求，计算包装盒的长、宽、高；若不符合要求，说明理由． 【答案】(1)这种包装盒的容积为1134 (2)这款包装盒的长为8，宽为7，高为20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； 对于（1），根据拼接的性质得，再设，依题意列出方程，求出，，，然后根据体积公式得出答案； 对于（2），分两种情况：第一种将包装盒叠放5层；第二种将包装盒叠放4层，分别求出包装盒的长，宽，高，再根据要求从判断即可. 【详解】（1）解：通过拼接可得， ∵， ∴设，依题意可得： 解得 ∴，， 则， 包装盒的容积（）.   答：这种包装盒的容积为1134； （2）解：第一种将包装盒叠放5层， ∵竖着放入包装盒 ∴包装盒高度， 则宽，长. ∵大箱子的长为，宽为, ①；, ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. ②, ∴满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子； 第二种将包装盒叠放4层， ∵竖着放入包装盒 ∴包装盒高度， 则宽，长，   ∵大箱子的长为，宽为， ①， ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. ②， ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. 综上所述：这款包装盒的长为，宽为，高为. 16．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数； (2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止． ①当时，求t的值； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题考查的是角平分线的定义及角的计算， （1）根据题意得，根据角的和差关系计算得出结论即可； （2）根据角平分线定义得出，再结合旋转速度求出时间即可； （3）①分两种情况：当相遇前或当相遇后，分别求出时间即可；②分两种情况：当在异侧时或当在同侧时，分别先求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ， ， ； （2）解：平分，， ， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， 解得：， 故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ， 分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时， 解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图： 由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图： 由题意得：， ， ； 综上所述，． 17．（24-25七年级上·福建福州·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)， (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据“，”再结合点、点在数轴上的位置，即可求出点、点表示的数； （2）根据点、点运动方式表示出点、点坐标，再根据中点坐标公式表示出点坐标，最后根据两点之间距离公式表示出线段的长度，还可根据“当两点相遇时停止运动”求出时间的范围； （3）先根据点位置求出点坐标，再根据两点之间距离公式表示出长度，在讨论长度时需要分类讨论点与点的位置关系，最后把三条线段长度代入即可列出方程，解出． 【详解】（1）解：， 点在点的右侧，且 故答案为：， （2）点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动， 点坐标为： 点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， 点坐标为： 点为线段的中点， 点坐标为： 当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动 线段的长度 （3）点在线段上，且， ，，点坐标为： 由（2）可知，点坐标为：，且在点左边， 当点在点右边时，即， 解得 当点不在点右边时，即， 解得 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点之间距离公式和两点之间中点坐标公式．解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，在表示两点之间距离时需要对两个点的位置关系进行分类讨论． 18．（24-25七年级上·山东青岛·期末）综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）①；②或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，一元一次方程的应用，角平分线的性质，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题的关键． （1）根据，进行求解即可． （2）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可； （3）根据不同时间，运动的位置的不同，利用角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵射线在内部，，， ∴， 当和第一次重合时： ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴，则， 当和重合时，，即，解得， 当到达时，即，此时， 当和第二次重合时： 由题意得，， ∴， ∵， ∴，解得， 当和停止运动时，，即， 以这几个节点展开进行分类讨论： 当时： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得． 综上所述，为或或或． （3）①∵以点每秒旋转的速度逆时针旋转，， ∴当到达时，即，此时， 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述，． ②当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05几何图形的初步的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、正方体的展开图 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 类型四、画直线、射线、线段 类型五、与线段中点有关的计算问题 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 类型七、与角平分线有关的计算问题 类型八、一副三角板中的有关计算问题 类型九、线段、角有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、正方体的展开图 核心技巧：牢记类型，巧用“目字法” 1.记大类：共11种，分“141”、“231”、“222”、“33”四类基础型。 2.避“田七”：同一行（列）出现四个面相连成“田”字形，或出现“凹”、“凸”结构的“七”字形， 则无法拼成正方体。 3.快判断：找相对面。若展开图中，两个面中间只隔一个面（呈“目”字形），则它们是相对面，不会 相邻。 【例1】(24-25七年级上四川成都期末)如图，去掉1个小正方形，使所得图形为正方体表面的展开图， 则去掉小正方形的方法有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【变式1】(24-25七年级上·内蒙古赤峰期末)下列图形经过折叠可以得到正方体的是() 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ ④ ⑤ A.①②③⑤ B.①③⑤ C.②④ D.①③④⑤ 【变式2】(24-25七年级上山西长治·期末)如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数 字互为相反数，则a+b的值为() 4 -3 -5 2a-7 -4 b-2 A.-1 B.0 C.12 D.2 【变式3】(24-25七年级上广东惠州期末)将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图 形是() 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 核心技巧：还原立体，对应关系 1.识模型，巧还原：根据展开图特征（如6个矩形为长方体，扇形与圆为圆锥），通过折痕想象立体形 状。 2.抓关键，找数据：将展开图中的边、弧长、半径与立体图形的棱长、高、底面周长等关键量一一对应 标出己知数。 3.用公式，准确算：结合几何体的表面积（所有面之和）、体积公式（如长方体V=abc,圆锥V=1/3rr2h) 代入数据计算。注意圆锥侧面积是扇形面积。 【例2】(24-25七年级下·上海崇明期末)如图所示是一个几何体的表面展开图. 2/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 (1)求该几何体的表面积（结果保留n) (2)求该几何体的体积（结果保留刀）. (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是_· 【变式1】(24-25七年级上山东日照·期末)小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2 是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多 4cm. 6cm 长 414cm 图1 图2 (1)设长方体的宽为xcm,则长为cm,高为cm(都用含x的代数式表示)； (2)求长方体包装盒的体积. 【变式2】(23-24七年级上·四川广元期末)如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是 宽的2倍， 高 ② 57cm 宽 ③ ⑤ ⑥ ① ④ 长 (①)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面_相 对，面②与面_相对：（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为20cm,求这个长方体包装盒的体积. 3/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25七年级上河南洛阳·期末)综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子.我 们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做 成一个无盖的长方体盒子. (I)如果原正方形纸片的边长为acm,剪去的正方形的边长为bcm,则折成的无盖长方体盒子的高为 cm,底面积为 cm2,请你用含a,b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm'. (2)如果a=20cm,剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取 1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,l0cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结 果填入如表： b/cm 2 3 4 5 6 > 8 0 10 容积 324 512 500 384 252 128 36 0 c (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ 请选择 A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大 (4)当b= 时(b为整数)，所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是 cm3. 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 核心技巧：分层投影，锁定轮廓 1.辨方向，分层次：明确主视、左视、俯视的观察方向，在草图上将几何体沿该方向分层。 2。画外框，定轮廓：对每一层，只画能直接看到的面，被遮挡的线用虚线。主、俯视图长对正，主、左 视图高平齐，俯、左视图宽相等。 3.验虚实，合整体：检查相邻层间是否有遮挡关系，确保可见线为实线，不可见轮廓为虚线，最终三视 图应满足“长对正、高平齐、宽相等”。 【例3】(24-25七年级上广东深圳期末)如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立 方块的棱长均为lcm. 4/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 从左面看 从上面看 从正面看 ()请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图： (2)这个几何体的表面积（包括底面）是 cm2. 【变式1】(24-25七年级上·四川成都期末)用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体 从正面看 从左面看 从上面看 ()请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添 加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来 【变式2】(23-24七年级上·江苏徐州期末)如图是用10个棱长是1cm,大小相同的小正方体搭成的几何体. 从正面看 从左面看 从上面看 (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）. (2)这个几何体的表面积是 cm2(包含底部)； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加个小正方体： (4如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体 【变式3】(24-25七年级上辽宁丹东·期末)由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1. 正前方 从正面看 从左面看 从上面看 图1 图2 5/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图.（一个网格为小立方体 的一个面) (②)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的 形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要 个小立方体. 类型四、画直线、射线、线段 画图解题三步法： 1. 审清题意，区分类型：直线无端点，射线一端无限延伸，线段有明确两端点： 2.规范作图，标注符号：用直尺画线，清晰标注端点字母（如点A、B),直线与射线在无限延伸端画箭 头 3.结合条件分析：利用“两点确定一条直线”等公理，注意交点、延长线等关键细节。 【例4】(24-25七年级上·全国期末)如图，A,B,C,D四个点在同一平面内，根据下列语句画图. B C. (I)画射线AC,直线AD; (②)延长AB至点E,使得AB=BE; (3)连接CD与AB交于点F. 【变式1】(24-25七年级上福建莆田·期末)如图，在平面上有A,B,C,D四个点，根据下列语句画图. P A。 C B (I)①作射线DA;②作线段BD: (②)在(1)的基础上，请在线段BD上画出一点P,使点P到4，C两点的距离之和最短 【变式2】(24-25七年级上·贵州遵义·期末)尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法， 保留作图痕迹. 6/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B B C 图1 图2 (1)如图1，已知平面内的三个点A,B,C. ①画线段AB,射线BC,直线AC; ②在射线BC上作点D,使得CD=AB+AC; (②)如图2，在四边形ABCD内取一点P,使得PA+PB+PC+PD之和最小，你的依据是 【变式3】(24-25七年级上河北邢台·期末)如图，已知A,B,C,D四个点，根据要求完成下列各小题. A。 D B (I)画线段AB和∠CDB: (②)用尺规在线段BA的延长线上作线段BE=2AB; (3)找一点P,使点P既在直线DE上，又在直线BC上； (4)在(1)、(2)、(3)的基础上，线段BE+BP与EP的大小关系为 ,理由是 类型五、与线段中点有关的计算问题 核心技巧：数形结合，方程思想 1.标注已知，绘图定位：画出线段并明确标注已知点、中点及长度关系。 2.设元表示，建立方程：常设未知线段长为x,用含x的代数式表示所有相关线段长，特别是以中点为 界的各段。 3.依据等量，列式求解：利用中点定义(AM=MB=AB),或整体与部分的和差关系（如AC+CB=AB)列出方 程求解。 【例5】(24-25七年级下新彊克拉玛依期末)如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=10cm, AD =7cm. A C D B (I)求CD的长： (2)若点E在线段AB上，且CE=2cm,求BE的长. 【变式1】(24-25七年级上·河南漯河·期末)如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，若 7/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC acm BD =bcm ,a-6+(b-2)2=0. A C B D (1)图中共有 条线段： (2)求线段AD的长： (3)若点E在直线AD上，且EA=2cm,求线段BE的长 【变式2】(24-25七年级上·山东济宁期末)如图1，点B,C在线段AD上. B D 图1 M N B C D 图2 (1)图中共有 条线段： (2)比较线段的长短：若AB=CD,则AC BD;（填：“>”、“<”或“=”) (3)如图2，点B,C在线段AD上，点M是AB的中点，点N是CD的中点. ①若AD=20,BC=12,求MN的长度； ②若AD=a,BC=b,求MN的长度（用含有a,b的代数式表示） 【变式3】如图，点C从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段AB向点B运动，当点C到达点B时 停止运动.已知AB=10,点D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒. A C D B (I)当t=2时，求线段AC,BD的长. (2)在运动过程中，若AC的中点为E. ①用含t的代数式表示线段AE,BD的长. ②请问线段DE的长度是否变化？若不变，求线段DE的长；若变化，说明理由. 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 核心技巧：紧扣定义，代数建模 1.依定义列式：设未知角为x,则它的余角为(90°x),补角为(180°-x) 2.找等量列方程：仔细审题，将题目描述的关系（如“一个角比它的补角大20°”）转化为等式，例如： x-(180°-x)=20。 3.求解并检验：解方程求出x,再计算出所求的余角或补角。最后检查是否满足题意（如角度是否在0 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 ~180°范围内)。 【例6】(24-25七年级上陕西渭南期末)若一个角的余角比这个角的3倍多10°，求这个角的度数， 【变式1】(25-26七年级上全国期末)已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B的度数的3倍还多30°， 求∠B的度数， 【变式2】(24-25七年级上·吉林期末)一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角， 则这个角的为多少度？ 【变式3】(24-25七年级上全国期末)设∠w、∠B度数分别为2n-1)°和68-n°，且∠a、∠B都是4？ 的补角，解答下列问题： (1)试求的值： (2)∠a与∠B能否互余，为什么？ 类型七、与角平分线有关的计算问题 核心技巧：借助定义，分析位置 1. 明确定义画图形：依题画图，明确角平分线将大角分为两个小角相等（∠AOC=∠COB=∠AOB)。 2. 设元表示各角：常设小角为x,用含x的式子表示相关角的大小。 3. 寻找等量建方程：利用已知角度关系（如某几个角的和、差、倍数关系）列出关于x的方程求解，或 用整体法直接计算。 【例7】(24-25七年级上·云南红河期末)如图，0为直线AB上一点，∠40C=60°，0D平分∠A0C, ∠D0E=90°. C A B (I)求出∠BOD的度数； (2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由. 【变式1】(25-26七年级上江苏徐州期末)如图，直线AB与CD相交于点O,OF,0D分别是∠AOE, ∠BOE的平分线. D B 9/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)写出∠D0E的补角： (②)试说明：∠AOC和∠E0F互为余角， 【变式2】(25-26七年级上·全国期末)已知O为直线AB上的一点，∠C0E是直角，0F平分∠A0E. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C0F=34°，则∠B0E= ;若∠C0F=m°，则∠B0E= ;∠BOE与∠COF的 数量关系为 2)在图2中，若LC0F=75°，在LB0E的内部是否存在一条射线0D,使得2B0D与∠A0F的和等于 BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，(1)中∠B0E与∠C0F的数量关系是否仍然成立？请 说明理由，若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系 【变式3】(24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末)综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、 得出结论，是我们常用的几何探究方式.如图1，O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC.数 学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： D B A o -B 图1 备用图 【观察计算】(1)如图1，当∠A0C=30°，求∠D0E的度数； 【类比猜想】(2)在图1中，当LA0C=a(0°<a<180),试猜想∠D0E的度数（用含的代数式表示）， 并证明你的猜想； 【拓展探究】(3)在(2)的基础上，将∠COD绕着顶点O顺时针旋转，使得∠C0D的两条边中至少有一条 边在直线AB的下方，探究∠AOC和LDOE之间的数量关系，请直接写出你的结论。 类型八、一副三角板中的有关计算问题 核心技巧：熟知角度，组合分析 10/20