期末专题06 线段上的动点问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06线段上的动点问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 类型二、线段上动点的定值问题 类型三、线段上动点的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 核心技巧：化动为静，分段列方程。 1.代数建模：以线段端点为原点，用含时间t的代数式表示动点坐标。例如，点P从A向B以速度ⅴ运 动，则P点位置可设为AP=vt(需考虑方向)。 2.分段处理：若动点有往返、变速或相遇，按时间节点分段，确保每段运动方向与速度不变。 3.建立方程：根据题目条件（如两点距离为某值、相遇等）列出方程，并验算解是否在该分段的时间范 围内。 例1.(24-25七年级上陕西商洛·期末)如图，点C在线段AB上，AC=3,BC=11,动点P从点A出友， 沿线段AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2 个单位长度的速度向终点A匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为秒 A→PC Q←一B (1)当点P与点Q相遇时，求t的值， (2)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值. (3)当PC+QB=2.5时，求t的值， 【变式1-1】(24-25七年级上甘肃兰州期末)如图，已知点A,点B是直线1上的两点，且AB=6cm,点 P和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为lcm/s,点P、Q分别从点A、B同时 出发在直线1上运动，运动时间为(s) A B 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请回答下列问题： (1①)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2Cm时，求出t的值. 【变式1-2】(24-25七年级上河北唐山期末)如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数 c,其中b是最大的负整数，a,c满足a+2+(c-4)=0,请回答下列问题： AB (1)a=,b= ,C= (②)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为 (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以 每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t秒 ①t为何值，点Q追上点P? ②是否存在t值，使得PB=2QB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 类型二、线段上动点的定值问题 核心技巧：设元表量，证明含参表达式的化简结果为常数。 1.合理设元：选择关键动点的起始位置或运动时间为参数（如t或比例k),用其表示所有相关动点的位 置。 2.代数表达：将需要证明为定值的量（如距离之和、之差，或线段乘积比）用所设参数完整表达出来。 3. 化简求恒：对得到的代数式进行化简（常涉及合并同类项、约分等）。若能消去所有参数，得到具体 常数，即证得为定值。 关键：化简过程需细致，常利用线段和差关系或速度比例进行整体代换。 例2.(24-25七年级上·贵州期末)A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4， 且AB=10.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (I)当t=1时，AP的长为-，点P表示的有理数为_： (2)当PB=2时，求t的值： (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MN的长， 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-1】(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点 C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单 位长度的速度向左匀速运动.设点C运动时间为t秒(t>0). B (1)①A,B两点之间的距离为 ，线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系. (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. 【变式2-2】(24-25七年级上·安徽安庆期末)如图，己知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点， 且AB=10,动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为1秒 (t>0). B A 01 6r (1)数轴上点B对应的数是 ,点P对应的数是（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间 点P可以追上点⑨？ (3)M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，请说 明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长. 类型三、线段上动点的新定义型问题 核心技巧：紧扣定义，转化为常规模型。 1.翻译定义：准确理解新定义（如“倍点”、“闪动点”）的规则，并用数学语言（方程、不等式或轨迹） 将其表述出来。 2.建立模型：将新定义下的点所满足的条件，转化为关于动点位置（如设距离为x)或时间t的方程/关 系式。这本质上是将新问题“翻译”成已知的行程或定值问题。 3.分类求解：根据动点的不同位置或运动阶段，结合转化后的方程进行讨论和求解，并验证结果是否符 合新定义的前提条件。 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 关键：切勿被新颖术语迷惑，核心仍是寻找动点坐标或线段长度之间的等量关系。 例3.(24-25七年级上浙江台州期末)定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则d4c=m,例 如AB=6,AC=3,则d4Bc=2 0 P -2 4 图1 A B 图2 B 备用图 (1)如图1,0为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则do0= (2)如图2，已知线段AB=12cm，点P从点A出发向右运动，点？从点B出发向左运动，若点P运动速度为 1cm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示dPg和dos ②当t为何值时，d0s-ds=2 1 ③若线段P四的中点为M，直接写出d4M=,时t的值. 3 【变式3-1】(24-25七年级上·江苏苏州期末)【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段 AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的巧点”. (1)线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）： (2)若AB=I2cm,点C是线段AB的巧点，则AC最长为 cm; 【解决问题】 (3)如图②，已知AB=12cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；点Q从点B出 发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移 动的时间为t(s.当t为何值时，P为A、Q的巧点？说明理由. 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 图① A B 图② A B 图②备用图 A B 图②备用图 【变式3-2】(24-25七年级上·辽宁盘锦期末)点C是直线AB上一动点，当CA=2CB时，我们称点C是 点A与点B的衍生点，记作C(A&B), A1 C B 【定义理解】 问题(1)若点C在线段AB上时，A表示-3，B表示6时，则C(A&B)表示的数是-， 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段AC,BC的中点M,N,发现线段CM、CN、AB之间存在 着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上时；② 点C在线段AB的延长线上时. 问题(2)请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN,AB之间满足的数量关系，并说 明理由； 【拓展提升】 问题(3)若点C在线段AB上，线段AB=20cm,BC=8Cm,动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P 以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以3cms的速度沿BA向左运动，到达A点后立即返回，终 点是B.当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生 点 压轴专练 一、单选题 1.(2425七年级上全国期末)定义：如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB,AC和BC,若 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“美点”.如图2，已知 AB=24cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发沿AB相向运动，速度分别为2cm/s,lcm/s,当点P到 达点B时，运动停止.设点P的运动时间为s,当点P恰好是线段AQ的“美点”时，t最大值与最小值的差 为() A B 图1 A P O B 图2 A. B.6 c. 48 5 D. 二、填空题 2.(24-25七年级上·江苏淮安·期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB运动， M为AP的中点，N为BP的中点. ①运动4s后，PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变；③2BM-BP的值不变；④当 AN=6PM时，运动时间为2.4s. 以上说法正确的是」 AM P B 三、解答题 3.(23-24七年级上福建福州期末)如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度 沿射线AB运动，M为AP的中点.点P的运动时间为x秒. M P B A B 备用图 (①)若x=5时，求BM的长： (②)当P在线段AB上运动时，2BM-PB是定值吗？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级上河南许昌·期末)如图，已知线段a,b,作线段AB,使得AB=a+b. L a b L (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）： (2)若AB=24,动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿直线AB向右匀速运动，同时动点N从点 B出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线AB向左匀速运动，设运动时间为1秒 ①当MN=6时，求t的值； ②若点C为AM的中点，点D为BN的中点，当点M在线段AB上运动时，且点M在点N的左侧时，试猜 想线段MN与CD之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由. 5.(23-24七年级上山西临汾期末)已知数轴上有A、B两个点. (如图1，若4B=a,M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且4C-3 CB4,则AC=,CB MC= (用含a的代数式表示)： B B 图1 图2 备用图 (2)如图2，若A、B、C三点对应的数分别为-40，-10,20. ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，己知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单 位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，求运动3秒以后线段MN的 长 ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点 Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设 点P的运动时间为t).当PQ两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为 6.(24-25七年级上·辽宁铁岭·期末)已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线段 AB的“五美点”. 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的五美点”，则AC= ； 【解决问题】 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图，E在射线0M上，0E=12, OD K F E M 0 E M (备用图) ①若点D、F均为线段OE的“五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线OM向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个 单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、 E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程. 8/8 期末专题06 线段上的动点问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 类型二、线段上动点的定值问题 类型三、线段上动点的新定义型问题 压轴专练 类型一、线段上动点的行程问题 核心技巧：化动为静，分段列方程。 1. 代数建模：以线段端点为原点，用含时间t的代数式表示动点坐标。例如，点P从A向B以速度 v运动，则P点位置可设为AP = vt（需考虑方向）。 2. 分段处理：若动点有往返、变速或相遇，按时间节点分段，确保每段运动方向与速度不变。 3. 建立方程：根据题目条件（如两点距离为某值、相遇等）列出方程，并验算解是否在该分段的时间范围内。 例1．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 类型二、线段上动点的定值问题 核心技巧：设元表量，证明含参表达式的化简结果为常数。 1. 合理设元：选择关键动点的起始位置或运动时间为参数（如t或比例k），用其表示所有相关动点的位置。 2. 代数表达：将需要证明为定值的量（如距离之和、之差，或线段乘积比）用所设参数完整表达出来。 3. 化简求恒：对得到的代数式进行化简（常涉及合并同类项、约分等）。若能消去所有参数，得到具体常数，即证得为定值。 关键：化简过程需细致，常利用线段和差关系或速度比例进行整体代换。 例2．（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 【变式2-1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 类型三、线段上动点的新定义型问题 核心技巧：紧扣定义，转化为常规模型。 1. 翻译定义：准确理解新定义（如“倍点”、“闪动点”）的规则，并用数学语言（方程、不等式或轨迹）将其表述出来。 2. 建立模型：将新定义下的点所满足的条件，转化为关于动点位置（如设距离为x）或时间t 的方程/关系式。这本质上是将新问题“翻译”成已知的行程或定值问题。 3. 分类求解：根据动点的不同位置或运动阶段，结合转化后的方程进行讨论和求解，并验证结果是否符合新定义的前提条件。 关键：切勿被新颖术语迷惑，核心仍是寻找动点坐标或线段长度之间的等量关系。 例3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分四种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，四是，则，求得，可知t的最大值为，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或或AQ=2PQ， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为，最小值为， ∴（秒）， 故选：D． 二、填空题 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 4．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图，已知线段，，作线段，使得． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②若点为的中点，点为的中点，当点在线段上运动时，且点在点的左侧时，试猜想线段与之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)①或；② 【分析】（）画射线，依次在射线上截取，，则，即为所求； （）①由题意得，，再分点相遇前和点相遇后两种情况，分别列出方程解答即可求解；②根据题意画出图形，根据线段中点定义和和差关系表示出线段与，进而即可求解； 本题考查了画一条线段等于已知线段，线段的中点，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①由题意得，，， 当点相遇前时，则， 解得； 当点相遇后时，则， 解得； 综上，当 时，的值为或； ②，理由如下： 如图，由①知，，， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 即． 5．（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 【答案】(1) (2)①39；②18秒、36秒和54秒 【分析】本题考查了数轴上的点与实数的关系、两点的距离等知识，熟练掌握数轴与实数的特点是解题的关键． （1）根据比例关系和中点等即可计算出答案； （2）根据点的运动规律找出对应表示的数，分情况讨论由两点的距离由题意列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 设，则 即 是的中点 （2）①点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，当运动3秒后，点分别运动了个单位长度 三点对应的数分别为，， 当两点同时向左运动3秒后，两点对应的数分别为，点向右运动运动3秒后对应的数为 点M为线段的中点，点N为线段的中点 故M对应的数为，M对应的数为 ． ②由题意可得： 当点移动秒时，此时不动，，满足题意； 点表示的数为，点表示的数为 当点在点左侧时，由题意有 解得 当点在点右侧时，由题意有 解得 综上所述：当时， 故的取值为18秒、36秒和54秒． 6．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $