期末专题07 平行线的性质和判定的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

期末专题07 平行线的性质和判定的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质解决旋转问题 类型三、由平行线的判定与性质解决平行线中的拐角问题 类型四、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型五、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型六、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 压轴专练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结（2点） 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从线的关系推角的关系。 解题技巧（2点） 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，点、、分别在的三条边上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合已知证明即可； （2）根据平行线的性质，结合角的平分线解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 类型二、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结（2点） 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关系，求解问题。 解题技巧（2点） 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推导。 例2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是光线位于初始位置时的平面示意图，其中、是直线上的两个发射点，已知初始时，，现光线绕点以2度/秒的速度顺时针旋转，同时光线绕点以2.5度/秒的速度逆时针旋转，若旋转秒后与第一次平行，则此时的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，解题的关键是根据时，得出．根据当时，，建立等式即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒后，， 由题意得：， ， 解得：， 故答案为：20． 【变式2-1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，与交于点H．将线段绕点B以的速度逆时针旋转得到线段，同时线段绕点H以的速度顺时针旋转得到线段，当N，A，B三点第一次共线时，线段均停止转动，设旋转时间为．当时，t的值为 ． 【答案】10或40 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分解析中，两种情况，根据平行线的性质得到建立方程讨论求解即可． 【详解】解：依题意得，，， 如图所示，当时，则， ∴， 解得； 如图所示，当时，则， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为10或40， 故答案为：10或40． 【变式2-2】（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 【答案】或或 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 设当光线旋转时间为秒时，．根据运动情形分种情况①当时，延长交于点，②当时，延长交于点，③当时，延长交于点，结合平行线的性质及一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至， 则光线到所用时间为：， 光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边，且光线先转45秒， 则光线到所用时间为：， 设当光线旋转时间为秒时，． ①当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得， ②当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； ③当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，或或， 故答案为：或或． 类型三、由平行线的判定与性质解决平行线中的拐角问题 方法总结： 1. 判定引路：遇拐点作平行线（平行公理推论），转化为“三线八角”模型。 2. 性质应用：由平行得角关系（同位角、内错角等），结合三角形内角和或对顶角求解。 解题技巧： 1. 快速建模：识别拐角类型（如“M型”“铅笔型”），直接套用结论（如拐点处角度和为定值）。 2. 辅助线归一：过拐点作已知直线的平行线，将复杂角拆分为基本角，简化计算。 例3．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 【变式3-1】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·期末）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 类型四、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结（2点） 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧（2点） 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点B作，，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：． 理由如下： 过点B作，，二线交于点G， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知：如图，，点P是射线上一动点（与点C、点D不重合），分别平分和交射线于点E、F． (1)当时，求的度数； (2)随着点P的移动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由． (3)若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到，进而得出，进而完成解答； （3）同理（1）求出，根据，易证，再根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北·期末）已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【详解】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 类型五、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结（2点） 1. 性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定值。 2. 判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧（2点） 1. 锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2. 排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 【变式5-2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 类型六、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结（2点） 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线判定，通过角的关系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的已知角，通过等量代换或互补关系求未知角。 解题技巧（2点） 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义； （1）由得出，再利用，，即可得出的度数； （2）由得，又因为，所以，再利用得出，所以平分. 【详解】（1）解：∵是含有的直角三角板，是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【变式6-1】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可． 【详解】解：存在． ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ； ③当时，如图3，过点作， ，， ， ，， ， ； ④当时，如图4， ， ， ； ⑤当时，如图5， ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是或或或或． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，掌握分类讨论是解题的关键． （1）过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； （3）分情况进行讨论：当，当，当，当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵，含角的直角三角尺， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：30 6．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） °； （2）若，则 °(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质. （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．      【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据平行线的性质得，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可证明； （2）过点E作，根据平行线的性质得，，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）①解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明： 如图1所示，过点F作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行，， ∴， ∴， ∴． ∴与所成锐角的度数为． 11．（25-26八年级上·全国·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, （3）解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 13．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得； 对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案； 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案. 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下： ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 【探究】， 理由如下： 过E向右作, ∵, ∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴. ∵ 180°， 即 综上可知，,或 14．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图（）把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图（），________ (2)如图（），现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 请直接写出________（结果用含的代数式表示）； 若比的一半多，求的值． (3)如图（），现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．当时，求出此时的值． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质以及含角的直角三角形的角度计算以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （）利用平行线的性质，含角的直角三角形的角度进行计算即可； （）利用平行线的性质，含的直角三角形的角度计算进行计算即可； （）根据等量关系列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵是含的直角三角板，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ∵比的一半多， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动， ∴， 解得, ∵， ∴符合题意， 故此时的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题07平行线的性质和判定的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质解决旋转问题 类型三、由平行线的判定与性质解决平行线中的拐角问题 类型四、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型五、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型六、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 压轴专练 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结(2点) 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关系 推线的关系。 2.性质用平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从线 的关系推角的关系。 解题技巧(2点) 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1，(24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末)如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上， DF∥AC,∠1+∠2=180° 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B D (I)求证：DE∥AB: (2)若∠C=70°，DF平分∠BDE,求∠B的度数. 【变式1-1】(24-25七年级下·浙江宁波期末)如图，AB∥DG,∠1+∠2=180° (I)判定AD与EF的位置关系，并说明理由： (2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=142°，求∠B的度数. 【变式1-2】(24-25七年级下·陕西商洛·期末)【问题提出】 (I)如图1，直线AB,CD被直线AC所截，AE平分∠BAC交CD于点E,∠CAE=∠AEC,判断AB与 CD是否平行，并说明理由. 【问题解决】 (2)如图2，AB,AC,CD是三条主路，AB∥CD,超市的入口E在主路CD上，三角形ACE区域是 一个大型购物中心，且AE平分∠BAC,小路GF∥CD,EF为一条特色小吃街，EF⊥AE,已知 ∠BAC=4∠F,求特色小吃街EF与主路CD的夹角∠FED的度数. 图2 类型二、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结(2点) 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与 其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关 系，求解问题。 解题技巧(2点) 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推 导。 例2.(24-25七年级下·湖南永州·期末)为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激 光灯，图2是光线位于初始位置时的平面示意图，其中C、D是直线AB上的两个发射点，已知初始时 ∠ACE=50°，∠CDF=140°，现光线EC绕点C以2度/秒的速度顺时针旋转，同时光线FD绕点D以2.5 度/秒的速度逆时针旋转，若旋转t秒后EC与FD第一次平行，则此时t的值为一· 图1 图2 【变式2-1】(24-25七年级下·贵州黔东南·期末)如图所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC边 放置于长方形直尺DEFG的EF边上，AB与DG交于点H.将线段BF绕点B以2°Is的速度逆时针旋转得 到线段BM,同时线段HA绕点H以4°/s的速度顺时针旋转得到线段HN,当N,A,B三点第一次共线时， 线段BF,HA均停止转动，设旋转时间为ts.当BM∥H时，t的值为一 309 G 【变式2-2】(24-25七年级下·江西宜春·期末)五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主 题灯光秀盛大上演.在赣江边两条笔直且平行的观景栈道AB,CD上分别设有P,Q两盏激光灯（如图）， 若光线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向 OD 每秒的速度旋转至Q”边就停止旋转，此时光线P8也停止旋转.若光线QC先转45秒，光线P8才开始 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转动.当光线PB旋转时间为秒时， PB,∥QC B B D 类型三、由平行线的判定与性质解决平行线中的拐角问题 方法总结： 1.判定引路：遇拐点作平行线（平行公理推论），转化为“三线八角”模型。 2.性质应用：由平行得角关系（同位角、内错角等），结合三角形内角和或对顶角求解。 解题技巧： 1.快速建模：识别拐角类型（如“M型”“铅笔型”），直接套用结论（如拐点处角度和为定值）。 2.辅助线归一：过拐点作已知直线的平行线，将复杂角拆分为基本角，简化计算。 例3.(24-25七年级上·黑龙江牡丹江期末)已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. B G 图1 图2 图3 (如图1，己知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，猜想∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由， (③)如图3，在(2)的条件下，点E在射线AB的反向延长线上，过点E作EF∥PC,∠PEG=∠PEF, 点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH,交PC于点H.若∠APC=30°，∠PAB=II0°，∠PEH的度数 为 ABICD 【变式3-1】(24-25七年级下·甘肃平凉·期末)已知 81CD,点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE 的角平分线相交于点F. 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，若∠1=60°，∠2=70°，求∠F的度数， (2)求证：2∠F=360°-∠E (3)如图2，若∠E=m°，∠PBF=n∠ABP,∠PDF=n∠CDP,求∠P的度数（用m,n的代数式表示）· 【变式3-2】(25-26八年级上·全国·期末)综合探究. 李想同学将△1BC放置在这两条平行线上展开探究，其中△1BC 1∥12 已知1 的三边与两条平行线分别交 于点D,E,F,G. D … B 图2 图3 (1)【特例探究】如图1，∠C=90°. ①∠CED+∠CGF=.°： ②若LCED与∠CGF的平分线相交于点P,则∠EPG=°： (2)【一般探索】 ∠C=a∠EPG=B. 如图2， ①若∠DEP<CED,GP-<COF,求n与B的关系： 3 ②若∠DEP=∠CED,∠FGP-∠CGF(n之2且n为整数)，则a与B的关系为： (3)【拓展应用】 如图3，∠C=a,∠CD与∠CGF的平分线相交于点P, ∠RED,∠PGF P∠PED 与 的平分线相交于点， 360°-∠C 与∠PGF的平分线相交于点B,,以此类推，则∠EP,G的值是多少？（直接写出结果） 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结(2点) 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平 行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推 角。 解题技巧(2点) 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将己知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角一→线”的顺向思维，求角用“线→角的逆向思维，按需切换。 例4.(23-24七年级下·湖北武汉·期末)点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD E E 图1 图2 (I)如图1，连接AE,若∠AED=∠A+∠D,求证：AB∥CD: (2)在(I)的结论下，若过点A的直线MA∥ED,如图2，点E在线段BC上，猜想并验证∠MAB与 ∠CDE的数量关系. ABIICD 【变式4-1】(24-25七年级下·辽宁大连期末)已知：如图， ,点P是射线DC上一动点（与点 C、点D不重合)，BE、BF分别平分∠DBP和∠ABP交射线DC于点E、F. A CF D E D (I)当∠D=50°时，求∠EBF的度数： (2)随着点P的移动，∠BPD与∠BFD之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变， 请说明理由. (3)若∠D=a,∠ABE=∠DBF,求∠BPD的度数（用含的式子表示）. 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN∥P 【变式4-2】(24-25七年级下·湖北期末)已知直线 ,点A在N上，点B在PO上 B 图1 图2 (I)如图1，点C在MN上方，连AC、BC,求证：∠CBP-∠CAM=∠C: ②如图2，点C在N与P2之间，连4C、8c,延长4C交PP PO 于点D,点S在直线上 ∠SAC∠PBC∠ACB∠ASQ ①当点S在点D的左边时，则 之间有何数量关系？请说明理由： ②当点S在点D的右边时，直接写出∠S1C、∠PBC、∠4CB∠AS 之间的数量关系. 类型五、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结(2点) 1.性质推导定值：已知平行线，用平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定 值。 2.判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联己知角，确定角度不变值。 解题技巧(2点) 1.锁定不变条件：圈出题目中“始终平行“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2.排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例5.(23-24七年级下山东临沂·期末)已知AB∥CD,点M,N分别是AB、CD上的点，点G在AB、 CD之间，连接MG、NG A M B A M B G 图1 图2 (I)如图1.若GM⊥GN,已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H.求∠MHN的度数： (2)如图2.若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP,NC平分∠TNP,已知∠BMT=40°.证明： ∠MTN-∠P为定值. 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN∥PQ ABC 【变式5-1】(24-25七年级下·浙江杭州·期末)如图，已知 ，小楚将一块直角三角板的点 A放置在直线PQ上，点B在直线PO与直线MN之间，边AC与直线MN相交于点D,边BC与直线MN相 交于点E,其中∠CAB=90°，∠B=60° B (1)若 ∠CDM=68° ∠BAQ ,求 的度数： (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变. ∠B.AQ=∠NEB ①当 时，求∠DAP 度数； ②说明∠DAP与∠NEB的差是定值 【变式5-2】(24-25七年级下·浙江台州·期末)三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中 ∠ABC=30°∠DFE=45°MW∥P 2,点4，C在直线上，点E,F在直线上.固定三角板MBC PO 将三角板DEF向右平移. C N M NB PE p 图1 图2 图3 (I)如图2，当点B落在线段DF上时，求∠ABD的度数： B (2)在三角 DEF平移过程中，连接BD,记∠ABD为“，∠BDF 为 BC 0-B ①如图1，当点D在直线左侧时， 的值是否为定值，若是定值，请求出这个值：若不是定值，请 说明理由. ②如图3，继续向右平移三角板DEF,当点B在直线DE左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由. 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结(2点) 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度(30°、45°、60°、90°)，结合平行线判定，通过角的 关系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的已知角，通过等量代换或互补关系求未知 角。 解题技巧(2点) 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例6.(24-25七年级下·云南丽江·期末)动手操作可提升思维能力.如图，将含30°的直角三角板DEF和 含45°的直角三角板ABC按不同的方式摆放，可解决下列几何问题 图1 图2 (I)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若AF∥BC,求∠CAD的度数 (2)如图2，含45°角的三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF,求证：BC平分 ∠ABF 【变式6-1】(24-25七年级下·黑龙江七台河·期末)【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小 组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”.将一副三角板 中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45° ),当∠ACE<18O°且点E在直线AC的上方时，将三角形ACD固定不动，改变三角形BCE的位置，但始 终保持两个三角板的顶点C重合. 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若 存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式6-2】(24-25七年级下·安徽合肥·期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小 的“窗口”.比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题。 ∠C=∠F=90°，∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60° 如图1是一副三角尺， 图 图2 C(F) B 图3 图4 ()如图2，将三角尺ABC的顶点A与三角尺DEF的顶点F重合，使点C落在AE的延长线上，AB与DE 相交于点G,求∠BGD的度数： (2)如图3，将三角尺ABC的直角顶点C放在直线MN上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线MN 上，DF与AB相交于点P,求∠DEM-∠DPB的度数； (3)如图4，将三角尺DEF放置固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶 点C,F重合.当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当AB∥EC 时，∠ACE=135°，请你直接写出∠ACE除135°外，其他所有可能的度数. 10/16