期末专题01 三角形的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题01三角形的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、判断三边是否能构成三角形 类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解 类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数 压轴专练 典例详解 类型一、判断三边是否能构成三角形 核心技巧：排序后验证“最小两边之和>最大边”。 分点说明： 1.排序比较：将三边长按升序排列，设为a≤b≤c。 2.单一验证：只需判断α+b>c是否成立。若成立，则必然满足三角形边长定理（任意两边之和大 于第三边)。 3.排除特例：若任一边长≤0，则直接判定不构成三角形。 关键点：此方法将三次比较简化为一次计算，是最高效的解题步骤。 例1.(25-26八年级上全国期末)下列各组线段中，能构成三角形的是() A.6,8,10B.4,3,7 C.3,5,9 D.4,5,9 【变式1-1】(25-26八年级上·全国·期末)下列四组数中，能组成三角形的是() A.2,2,4 B.1,1,3 C.1,2,3 D.3,4,5 【变式1-2】(25-26八年级上·全国·期末)下列长度的三条线段能组成三角形的为() A.3,4,8 B.5,6,11 C.7,8,14 D.2,4,2 【变式1-3】(25-26八年级上·河北邢台·期末)将一根14cm长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 围成三角形的是() A.9cm:2cm:3cm B.3.5cm:3.5cm:7cm C.3cm:8cm:3cm D.5cm:5cm:4cm 类型二、己知三角形的两边长，求第三边的取值范围 核心技巧：运用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”构造不等式组。* 分点说明： 1.设未知边：设已知两边长为a、b(a≤b),第三边为c。 2.列不等式： 下限：c>a-b(即b-a) -上限：c〈a+b 3.合并结果：取值范围为a-b<c<a+b 关键点：无需单独排序，直接用己知两边计算差与和即可确定范围。特别注意端点不能取等号（若取等 号，则三边共线，不构成三角形)。 例2.(24-25七年级下·陕西咸阳期末)已知a,b,c是△ABC的三边，其中a=2,b=5,且c为奇数， 则c的值为一 【变式2-1】(24-25七年级下·辽宁盘锦·期末)设△ABC的三边分别为a,b,c,其中a,b满足 a+b-14+(a-b+2=0 则最长边c的取值范围是一 【变式2-2】(24-25七年级下·重庆·期末)已知一个三角形一边长为7Cm,另一边长为3Cm,第三边是最 长边且为偶数，则此三角形的周长为一Cm. 【变式2-3】(24-25七年级下·北京海淀·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三 角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为_ 类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 *核心技巧：利用网格的坐标和格点，将几何问题转化为坐标计算。** 分点说明： 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.**找中点*：中线连接顶点与对边中点，利用中点坐标公式求格点中点。 2.*作高线*：过顶点作对边所在直线的垂线，可依据网格特性取垂直方向格点，或利用“两直线斜率 乘积为-1”计算垂足坐标。 3.**求面积*：用“割补法”（矩形面积减周围直角三角形）或“铅垂高法”（水平宽×铅垂高÷2)。 *关键点*：善用网格的垂直与平行特性快速定位点和线；面积计算优先选割补法，直观且不易出错。 例3.(23-24七年级下·河南郑州期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的 顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用 虚线表示，画图结果用实线表示)· (I)画出△ABC关于AC对称的△ACD(点B的对应点是点D); (2)画出△ABC的重心O: (3)直接写出四边形ABCD的面积 【变式3-1】(24-25八年级上·湖北武汉期末)如图是由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点 叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线 不得超过三条， 图1 图2 (I)在图1中，画△ABC的中线CD: (2)在(I)的基础上，在边BC上画点E,连接AE,使∠BAE=∠ABE: (3)在图2中，画△ABC的高CF: (4)在(3)的基础上，在射线CF上，画点G,连接AG,使AG=AC 【变式3-2】(23-24八年级上·吉林松原·期末)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形 的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图. 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)在图①中画一个△ABC,使△ABC的面积是10： (2)在图②中画一个△ABD,使△ABD是轴对称图形： (3)在图③中画一个△ABE,点E在格点上，且∠E大于90° 【变式3-3】(23-24七年级下·安徽合肥·期末)如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(三角形 ABC的各顶点都在格点上) (I)画出三角形ABC中AB边上的高CD (2)将三角形ABC先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形ABC'. (3)连接AA,BB,求四边形'ABB的面积. 类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解 *核心技巧：抓住三种特殊线的本质（平分线段、垂直对边、平分内角），并结合等面积、全等/相 似、比例关系解题。* 分点说明： 1.**中线*：常利用“中点”性质，或通过倍长中线构造全等三角形和平行四边形。 2.*高线*：关注垂直关系和直角三角形性质；结合等面积法建立边与高的方程。 3.*角平分线*：优先联想“角平分线定理”（边比例关系）或向两边作垂线构造全等。 *关键点*：解题时先判断题目涉及哪一种或哪几种线，直接关联其核心性质和常用辅助线模型。 例4.(24-25七年级下·河南南阳·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B B 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是 (2)如图2，在△ABC中，AB=3,BC=6,则△ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值. 【变式4-1】(24-25七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，DB=90°，AB=4,BC=6,点D是 BC边的中点，AD=5,点P从点C出发，沿折线CD-DA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度.连结 AP、CP.设点P运动的时间为t(s)· B D 直接写出△48C的面积c为 (2)用含t的代数式表示PD的长 当CP-写时，求，的值。 4当38m=25m时，求'的值 【变式4-2】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. B D (I)已知AB-AC=5cm,△ABD的周长为25cm,求△ADC的周长： 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在△AEB中作AE边上的高： (3)若△ABC的面积为40，AE=5,则点B到AE边的距离为多少？ 【变式4-3】(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB于点D, 求CD的长； (2)如图2，在△ABC中，AB=4,BC=2,求△ABC的高CD与AE的比： (3)如图3，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP, DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=IO,求DE+DF的值 B 图1 图2 图3 类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数 *核心技巧：灵活运用“内角和180°”与“外角等于不相邻两内角之和”。** 分点说明： 1. **定内角*：若己知部分内角，直接用内角和为180°求未知内角。 2.*用外角*：当图形涉及多个三角形或内外角关系时，将日标角转化为某个三角形的外角来求解， 常能简化计算。 3.*结合补角*：外角与其相邻内角互补（和为180°），可进行角度转换。 *关键点*：先观察目标角是三角形的内角还是外角，或与它们有直接关系（如对顶角、补角），优先 选用外角性质常能一步到位。 例5.(24-25七年级下·全国·期末)如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=64°，∠C=56° B (I)求∠ADC的度数： (2)若DE⊥AC于E,求∠ADE的度数 【变式5-1】(24-25八年级上·河南平顶山期末)如图，在△ABC中，点D在BC上，∠BDA=∠BAC, 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF∥AD,交BC于点F. B (I)求证：∠BAD=∠C; (2)若∠C=20°，∠BAC=110°，求∠BEF的度数. 【变式5-2】(24-25八年级上·吉林期末)在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P, B 0 0 图1 图2 图3 (I)如图1，试探究∠A与∠BPC的数量关系： (2)如图2，作△ABC BO CO 外角的平分线，交于点.请分别写出 0与∠BPC,∠2与∠A的数最关系， 不需要证明； .△CQE (3)如图3，延长线段 CP QB B交于点E.在1 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用 (1)和(2)中的相关结论求∠A的度数 【变式5-3】(23-24七年级下·海南海口·期末)在△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC,点P是直线 C上的一点，PE1D于点E,交直线B于点R,交直线4C于点G.设Bc=,∠4CB=y B B D E 图1.1 图1.2 图1.3 G (I)如图1.1，当点P在线段BC的延长线上时. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若∠ABC=38°，∠ACB=82°，求∠PFA、∠BPF和∠AGP的度数： ②求∠BPF和∠AGP的度数（用含有x、y的代数式表示）； (2)如图1.2，如图1.3，当点P分别在线段DC和BD上时，判断(1)②中的结论是否成立，若不成立， 请写出正确的结论. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)已知一个三角形的两边长分别为4cm和9cm,则第三边的长度可能 是() A.5cm B.7cm C.13cm D.15cm 2.(25-26八年级上：内蒙古·期末)下列四个图形中，线段AD是△ABC的高的是() B A. B 3.(23-24七年级下·河北秦皇岛·期末)如图，△ABC中，D为BC中点，E为AC中点.若△ABC面积为 8,则△DCE面积为() 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.3 C.2 D.1 4.(24-25七年级下·河北沧州期末)如图，在三角形ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，∠B=30°，D是 射线BA上的动点，连接CD,过点D作DE⊥射线CA于点E,点F在边BC上(F不与点B,C重合)， 作FM∥CD交射线BA于点M,若∠CDE=50°，下列关于甲、乙的说法判断正确的是() 甲：当点D在线段AB上时，∠FMA=60°： 乙：当点D在射线BA上时，DCFM的度数为40°或130° A.只有甲的正确 B.只有乙的正确 C.两人的都正确 D.两人的都不正确 5.(23-24七年级下·河北石家庄·期末)如图所示，△ABC的中线AD和BE相交于点O,两块空白部分的 面积分别用和S表示，两块阴影部分的面积分别用S和3表示，则下列四个判断中：O6,可，5， @55,,5:国5=：④85 ,正确的有() S 0S2 B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(24-25七年级下·甘肃武威·期末)如图，DE1AB,∠A=30°，∠D=55°，则∠ACB的度数为 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(24-25七年级上·江苏宿迁期末)如图，在△ABC中，AD L BC,AE平分∠BAC,若 ∠1=30°，∠2=20°，则∠B=一· 2 ED 8.(2425七年级下·贵州遵义·期末)如图，将三角形纸片ABC的一角沿着DE折叠，使点C的对应点F 落在∠ABC靠近AB的三等分线BG上，且DF∥AC,∠C=70°，∠ABC=66°，则∠EFG的度数为一 G A 9.(24-25八年级下·河南郑州期末)“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗 棂中蕴含了许多数学元素.如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案.若 ∠1+∠3+∠5=168°，则∠2+∠4+∠6=_度. 5 图① 图② 10.(24-25七年级下-四川乐山期末)1.设△1BC的面积为”，如图1将边BC、4C分别2等分， BE 10/15 期末专题01 三角形的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、判断三边是否能构成三角形 类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解 类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数 压轴专练 类型一、判断三边是否能构成三角形 核心技巧：排序后验证“最小两边之和＞最大边”。 分点说明： 1. 排序比较：将三边长按升序排列，设为a ≤ b ≤ c。 2. 单一验证：只需判断 a + b > c 是否成立。若成立，则必然满足三角形边长定理（任意两边之和大于第三边）。 3. 排除特例：若任一边长 ≤ 0，则直接判定不构成三角形。 关键点：此方法将三次比较简化为一次计算，是最高效的解题步骤。 例1．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过逐项计算两短边之和是否大于最长边进行判断． 【详解】解：A、，能构成三角形； B、，不能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列四组数中，能组成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小，即两个较小边的和较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．利用三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 核心技巧：运用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”构造不等式组。** 分点说明： 1. 设未知边：设已知两边长为a、b（a≤b），第三边为c。 2. 列不等式： - 下限：c > |a - b| （即b - a） - 上限：c < a + b 3. 合并结果：取值范围为 |a - b| < c < a + b 关键点：无需单独排序，直接用已知两边计算差与和即可确定范围。特别注意端点不能取等号（若取等号，则三边共线，不构成三角形）。 例2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 【变式2-3】（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 **核心技巧：利用网格的坐标和格点，将几何问题转化为坐标计算。** 分点说明： 1. **找中点**：中线连接顶点与对边中点，利用中点坐标公式求格点中点。 2. **作高线**：过顶点作对边所在直线的垂线，可依据网格特性取垂直方向格点，或利用“两直线斜率乘积为-1”计算垂足坐标。 3. **求面积**：用“割补法”（矩形面积减周围直角三角形）或“铅垂高法”（水平宽×铅垂高÷2）。 **关键点**：善用网格的垂直与平行特性快速定位点和线；面积计算优先选割补法，直观且不易出错。 例3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）作线段的垂直平分线交于点即可； （3）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图2中，线段即为所求； （4）如图2中，线段即为所求． 【变式3-2】（23-24八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使的面积是10； (2)在图②中画一个，使是轴对称图形； (3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）利用三角形面积公式，在B点右边4格处取C点，则满足条件； （2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则满足条件； （3）把B点右边1格处取E点，则满足条件． 【详解】（1）如图，即为所求；   ． （2）如图，即为所求；    （3）如图，，即为所求；    【变式3-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（三角形的各顶点都在格点上） (1)画出三角形中边上的高． (2)将三角形先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形． (3)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了在网格中作三角形的高，平移，面积； （1）过作交的延长线于，即可求解； （2）按要求进行平移，即可求解； （3）由即可求解； 掌握高的作法及平移的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 由（1）（2）得： ， ， ， ． 类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解 **核心技巧：抓住三种特殊线的本质（平分线段、垂直对边、平分内角），并结合等面积、全等/相似、比例关系解题。** 分点说明： 1. **中线**：常利用“中点”性质，或通过倍长中线构造全等三角形和平行四边形。 2. **高线**：关注垂直关系和直角三角形性质；结合等面积法建立边与高的方程。 3. **角平分线**：优先联想“角平分线定理”（边比例关系）或向两边作垂线构造全等。 **关键点**：解题时先判断题目涉及哪一种或哪几种线，直接关联其核心性质和常用辅助线模型。 例4．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）分在上，分别表示出的长，即可求解； （3）根据，则在上，代入（2）的式子，即可求解； （4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【变式4-2】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【变式4-3】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数 **核心技巧：灵活运用“内角和180°”与“外角等于不相邻两内角之和”。** 分点说明： 1. **定内角**：若已知部分内角，直接用内角和为180°求未知内角。 2. **用外角**：当图形涉及多个三角形或内外角关系时，将目标角转化为某个三角形的外角来求解，常能简化计算。 3. **结合补角**：外角与其相邻内角互补（和为180°），可进行角度转换。 **关键点**：先观察目标角是三角形的内角还是外角，或与它们有直接关系（如对顶角、补角），优先选用外角性质常能一步到位。 例5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 【变式5-3】（23-24七年级下·海南海口·期末）在中，，平分，点P是直线上的一点，于点E，交直线于点F，交直线于点G．设，． (1)如图1．1，当点P在线段的延长线上时． ①若，，求、和的度数； ②求和的度数（用含有、的代数式表示）； (2)如图1．2，如图1．3，当点P分别在线段和上时，判断（1）②中的结论是否成立，若不成立，请写出正确的结论． 【答案】(1)①；；；②；； (2)不成立，； 【分析】①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，再结合，以及直角三角形的性质、三角形外角的性质，可得、的度数，然后根据三角形外角的性质，可得的度数，即可求解；②根据三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，再结合，以及直角三角形的性质、三角形外角的性质，可得、的度数，然后根据三角形外角的性质，可得的度数，即可求解； （2）仿照（1）的解答方法，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴；； ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴，； ∵， ∴； （2）解：不成立，；， 当点P在线段上时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴，； ∵， ∴； 当点P在线段上时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴，； ∵， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 三角形两边之和大于第三边， ，即， 又三角形两边之差小于第三边， ，即， ， 选项中只有在此范围内， 故选：． 2．（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．利用三角形中线的性质计算即可． 【详解】解：面积为8，D为中点， ， E为中点， ， 故选C． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（　　） 甲：当点D在线段上时，； 乙：当点D在射线上时，的度数为或． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键在于分类讨论． 对于甲，先根据三角形内角和定理求出，再由平行得到，即可判断；对于乙：分两种情况讨论，利用平行线的判定与性质求解即可判断． 【详解】解：当点D在线段上时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲说法错误； 当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点在线段延长线上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上，当点D在射线上时，的度数为或，故乙说法错误， 故选：D． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积．根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论． 【详解】解：∵的中线和相交于点， ∴， ∴， ∴，， 但得不到；故①③正确，②④错误； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解∶ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 度． 【答案】348 【分析】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵多边形的外角和为，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推． (1) (用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则 (用含有和的代数式进行表示)． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，即可解答． （1）连接，先求出，推导出，继而得到，则，即可解答； (2)连接，先推导出，得到，则，得到，即可解答． 【详解】解：(1)连接如图 ∵点将、分别2等分， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． (2)如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为点，点在边上，连接，若． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）结合三角形高的定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”求解即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 13．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：； ∵为的中线， ∴的面积． 14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 16．（24-25七年级下·吉林四平·期末）【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 (1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． (2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是关键． （1）连结，根据三角形内角和定理可得，，两式相加得，再根据，即可求得答案； （2）图③中，连结，设与相交于点M，先证明，再根据三角形内角和定理，即可推得结论；图④中，连结，设与相交于点M，同理可得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）证明：连结， ，， ， ， ， ， ； （2）解：图③中，连结，设与相交于点M， ，且， ， 又， ， ． 故答案为：． 图④中，连结，设与相交于点M， 根据图③的相关推理，同理可得， 根据阅读材料部分“四边形的内角和转化为和的内角和，即为”，可知，在图④中，， ， ． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，，是的“三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； (3)如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)40 (2)90 (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； （2）解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； （3）解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“远三分线”． 【理解应用】 （1）如图1，点D，E在上，若，，则_________°； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点O分别交、于点P、Q，请求出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据得到，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）利用分别是近三分线和近三分线，求得，然后再利用三角形的内角和定理即可求解； （3）在中，利用三角形的内角和定理求，再利用分别是的远三分线和远三分线，求得，进而在中利用内角和定理求，结合，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：、分别是近三分线和近三分线， ，， ， ， ， ， 在中，， ； （3）解：在中，，， ． 、分别是的远三分线和远三分线， ， ， 在中，， ， ； ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $