期末复习06二元一次方程组期末冲刺必备讲义(1)(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学二元一次方程组期末复习讲义通过知识框架图系统梳理核心知识点，涵盖二元一次方程的定义、方程组解法、解的情况判定等内容，并用对比表格呈现代入消元法与加减消元法的适用场景及步骤，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“典例+跟踪专练”的分层题型设计，如结合《算法统宗》分银子问题培养数学眼光，通过解的情况求参数题强化推理意识，压轴题提升综合应用能力。方法指导注重运算策略，助力不同学生掌握技能，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

期末复习06二元一次方程组期末冲刺必备讲义(1) 核心知识 点梳理 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程组 3.解二元一次方程组 4.二元一次方程组的解的情况 常考题型 精讲精炼 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解的概念 3.由二元一次方程组的解求参数 4.结合实际问题列二元一次方程组 5.代入消元法 6.加减消元法 7.依据二元一次方程组的解的情况求参数 8.借助二元一次方程组求一次函数解析式 9.两直线的交点与二元一次方程组的解的关系 10.三元一次方程组的定义及解 11.三元一次方程组的实际应用 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.二元一次方程】 1.定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。 关键词：两个未知数、次数都是 1、整式方程。 示例：x + y = 5，2a - 3b = 7，m = 4n。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一个二元一次方程有无数个解。 【知识点02.二元一次方程组】 1.定义：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 方程组中核心是含两个未知数，且每个方程均为二元一次方程或可整理为二元一次方程。 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 核心特征：二元一次方程组的解有三种情况——唯一解、无解、无数个解。 检验方法：将一对数值分别代入方程组的每个方程，若同时满足所有方程，则为方程组的解。 【知识点03.解二元一次方程组】 核心思路：通过消元法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。 一.代入消元法 适用场景：方程组中某一个方程的未知数系数为1或-1，便于整理为含一个未知数的代数式。 基本步骤： 1.变形：从方程组中选系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示； 2.代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值； 5.写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 二.加减消元法 适用场景：方程组中同一个未知数的系数相反、相等，或成倍数关系，便于通过变形使系数绝对值相等。 基本步骤： 1.变形：利用等式基本性质，将两个方程两边分别乘适当的数，使某一个未知数的系数绝对值相等； 2.加减：将两个方程两边相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值； 5.写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 三.方法选择策略 优先用代入消元法：方程中含系数为1或-1的未知数，便于整理代数式； 优先用加减消元法：同一未知数系数易化为相等或相反，计算更简便； 灵活变形：系数无明显特征时，任选一种方法，核心是简化计算，避免复杂分数。 【知识点04.二元一次方程组的解的情况】 二元一次方程组的解有三种可能情况：唯一解、无解、无穷多解。 一、基本概念 标准形式：​​ 解的定义：满足两个方程的有序数对(x,y) 二、解的判定方法 1. 代数判定法（系数比法） 通过比较系数比例关系判断解的情况： 唯一解：≠（两直线相交） 无解：=≠（两直线平行） 无穷多解：==（两直线重合） 2. 图像判定法 唯一解：两条直线有一个交点 无解：两条直线平行无交点 无穷多解：两条直线完全重合 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、的次数为二次，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是二元一次方程，故该选项符合题意； D、只有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3或1/1或3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数均为1，且y的系数不能为0列式计算即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义，x的指数必须等于1，即， 解得或； 当时，； 当时，； 因此，k的值为3或1． 故答案为：3或1． 【跟踪专练2】已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 【题型2.二元一次方程的解的概念】 【典例】若是关于x、y的方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将和代入方程，得到关于的一元一次方程，然后求解的值，即可作答． 【详解】解：将，代入方程，得， 移项得， 解得． 故答案为 4． 【跟踪专练1】今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 【跟踪专练2】如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解和代数式求值． 将解代入方程得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：8． 【题型3.由二元一次方程组的解求参数】 【典例】已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】若是方程组的解，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是将方程组的解代入方程组． 把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出答案． 【详解】解：把代入方程组得： ， 解得：， 则， 故答案为：7 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 【详解】解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 【题型4.结合实际问题列二元一次方程组】 【典例】我国明代数学专著《算法统宗》中有一道题，其大意为客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据每人7两，还剩4两；每人9两，则差8两，列出方程组即可． 【详解】解：客人为x人，银子为y两，由题意可得：； 故答案为： 【跟踪专练1】《算法统宗》里记载：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意，“一房七客多七客”表示总客数y比多7，即；“一房九客一房空”表示总客数y等于9倍间房的客数，即，由此列出方程组． 【详解】解：设客房有x间，房客有y人． ∵ 一房七客多七客， ∴， ∵ 一房九客一房空， ∴， ∴ 方程组为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组． 设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h， 依题意，得： 故答案为： 【题型5.代入消元法】 【典例】已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 【跟踪专练1】将方程组转化为关于的一元一次方程，得 ，整理并解该方程，得 ，将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解题方法，通过代入消元法来进行消元转化，解题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，进而求解． 通过代入消元法，消去一个未知数，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程从而求解． 【详解】将方程组转化为关于的一元一次方程，得， 整理并解该方程，得， 将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为：． 故答案为：，，． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 【题型6.加减消元法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过将两个方程相加，得到 ，从而求出 ． 【详解】解：原方程组为， 将两个方程相加，得 ，即， 两边同时除以5，得． 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组． 通过将点坐标代入函数解析式，建立方程组，并利用相减消元法求解k的值． 【详解】将点，代入得： 得：， 即， 解得． 故答案为：． 【题型7.依据二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故选：D． 【跟踪专练1】已知方程组的解满足，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用整体代换的思想，通过对原方程组进行线性组合（方程②方程①），得到与已知条件形式相同的表达式，进而建立关于k的方程求解． 【详解】解：， ②①，得， 即， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：2． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 【题型8.借助二元一次方程组求一次函数解析式】 【典例】把二元一次方程化为一次函数的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程与一次函数的转换；运用等式的性质变形即可． 通过移项和系数化简，将二元一次方程变形为一次函数形式． 【详解】解：由原方程， 移项得：， 两边同时除以得：， 即． 故答案为． 【跟踪专练1】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 先根据点，，求出一次函数的解析式为，再逐一验证各选项的正误即可． 【详解】解：∵图象经过点，， ∴分别代入得：， 解得：， ∴一次函数为． 对于A：当时，， ∴图象经过点(0，1)，正确． 对于B：∵， ∴y随x增大而减小，正确． 对于C：与的k值相同，且可由向下平移2个单位得到，正确． 对于D：当时，， ∴图象不经过第三象限，错误． 故选D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的表达式求法及函数差在给定区间上的最值问题，能根据题意表示出是解题的关键． 先求出直线AB的函数表达式，再表示出，最后根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：将点代入得， ，解得， 所以直线的表达式为， 则． 设函数 ∵， ∴根据函数图像的性质，当时，取最大值为：． 故答案为：． 【题型9.两直线的交点与二元一次方程组的解的关系】 【典例】已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象交于点P，则点P位于第 象限． 【答案】 四 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，联立两函数解析式，解方程组求交点坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴点P的坐标为 ， ∴点P位于第四象限． 故答案为：四． 【跟踪专练2】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 【题型10.三元一次方程组的定义及解】 【典例】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 【跟踪专练2】已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过消元法求出的表达式，根据解为整数及为正整数，确定是的约数，从而求出的值。 【详解】解：解方程组：， 得：， 得：， 即， ∴， ∵解为整数， ∴为整数，是5的约数， 即或， 解得：；；；； 又∵是正整数， ∴， 当时，， 将代入得， 解得：， ∴均为整数，符合条件， 故答案为：． 【题型11.三元一次方程组的实际应用】 【典例】甲、乙、丙三数的和为25，甲、乙两数之和比丙大5，乙比丙小3．若设甲为x，乙为y，丙为z，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列三元一次方程组解应用题，通过“甲、乙、丙三数的和为25”.“甲、乙两数之和比丙大5”，“乙比丙小3”三个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，得： 故答案为： .【跟踪专练1】已知，，同时满足，，，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，通过联立①③方程消元解出x和y关于m的式子，代入另一个方程求解m的值即可． 【详解】由题意得： 得， 得， ∴ 将，代入②得， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为 ． 【答案】671 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，等量关系为：个位上的数字+百位上的数字=十位上的数字；百位上的数字个位数字+十位上的数字；个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字，把相关数值代入可得各位上的数字，三位数百位上的数字十位上的数字+个位数字，把相关数值代入计算可得． 【详解】设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．由题意得 把①代入③得， 把代入①得， 代入②得 联立④⑤得， ∴， ∴这个三位数是671． 故答案为：671． . 1．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 2．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 4．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的对应关系是解题的关键．先根据函数图象的交点坐标确定方程组的解，再将解代入方程组求出、的值，最后计算． 【详解】解：由图象可知，方程组的解为． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 所以． 故选：D． 5．某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为张，根据小长方形和正六边形正好配套列出二元一次方程即可得到答案； 【详解】解：由题可得：， 整理得：， ∵都为正整数； ∴只要取14的倍数即可； 故选：A． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】取每个方程的倒数，将原分式方程组转化为关于、、的方程组，然后求解该方程组得到的值，进而求出． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握取倒数转化方程组是解题的关键． 【详解】解：由，得； 由，得； 由，得； 设，，， 则方程组变形为： 将三个方程相加： 故 减去第一个方程： 减去第二个方程： 因此， 所以， 故答案为：． 7．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖 粒． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式、三元一次方程组的应用，设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒，根据互赠的规则可得：第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒，根据互赠后每人恰好各有粒，可列三元一次方程组，解方程组求出原来甲、乙分别有粒和粒，相加即为原来甲、乙共有糖粒的数量． 【详解】解：设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒， 第一次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第二次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 互送后每人恰好各有粒， 可得：， 整理可得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入， 可得：， 解得：， ， 原来甲、乙共有糖粒． 故答案为：． 8．对于关于x、y的方程（为常数），若c，则称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的1次重构方程；取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的2次重构方程……若方程组的解为，则记为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有（    ） ①方程的1次重构系数； ②已知方程为递增方程，若，则； ③已知m为整数，方程为递增方程，若无论n取何值，均为整数，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，新定义，二元一次方程组的应用，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解n次重构方程以及方程组的解为，则记为A的n次重构系数，再结合每个选项的条件进行详细分析，找到规律，总结，再整理化简式子，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 依题意，1次重构后方程为， 故 把整理得 把代入 解得 解得， 把代入，得 ∴方程组的解为 ∴， 故①正确； ∵方程为递增方程 ∴， 解得 则 1次重构后方程为， 则 则得 整理得， 则 依题意，2次重构后方程为， 则 则得 整理得， 则 依题意，3次重构后方程为， 则 则得 整理得， 依次类推得 n次重构后得 即 则 ∵ ∴ 则且 ∴且 解得 ∵为正整数 则 故②是符合题意的； ③已知m为整数，方程为递增方程， ∴ ∴ 解得 ∵m为整数， ∴ 则 ∵无论n取何值，均为整数 ∴为整数 把代入，得不是整数，故舍去； 把代入，得不是整数，故舍去； 把代入，得是整数， 把代入，得是整数， 故无论n取何值，均为整数，则是错误的， 故选：B． 9．如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查将几何问题代数化的解决方式，一次函数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．建立适当的平面直角坐标系，得出，即可求的解析式，联立求得P点坐标，用勾股定理即可求长 【详解】解：∵，， ∴， 建立如图所示的平面直角坐标系， ∴ 设的解析式为，代入， ，解得， ∴解析式为， 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 联立， 解得， ∴， 作轴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 10．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 11．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组以及三元一次方程组，采用合理的解方程方法是解题的关键． （1）采用代入消元法解该方程即可； （2）采用加减消元法解该方程即可； （3）采用代入消元法解该方程即可； （4）采用加减消元法解该方程即可； 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 化简得，解得， 将代入得， 故方程组的解为． （2）解：， 由得， 化简得，解得， 将代入得， 故方程组的解为． （3）解：， 由得， 由得， 将、代入， 得， 解得， 将代入，得， 将代入，得， 故方程组的解为． （4）解：， 由得， 化简得， 由得， 化简得， 由得， 化简得，解得， 将代入得， 解得， 将、代入得， 故方程组的解为． 12．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 13.．已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 14．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)存在；点P的纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线与的交点，可判定这两直线垂直，再设，由面积关系求得，再由建立方程即可求解； （3）在上取点D，使，连接，过点D作于点E，则，由，则，由（2）知，得，通过计算知，利用面积关系得，从而求得；设，则，从而得，解方程求得a，从而求解． 【详解】（1）解：把，分别代入中，得， 解得：， ∴直线l的表达式为： （2）解：设直线l与直线交于点C，如图， 联立与，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，而， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在点P，使得； 如图，在上取点D，使，连接，过点D作于点E， ∵由（2）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 设，则， ∴， 解方程得或， 则或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，求两直线的交点，勾股定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06二元一次方程组期末冲刺必备讲义(1) 核心知识 点梳理 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程组 3.解二元一次方程组 4.二元一次方程组的解的情况 常考题型 精讲精炼 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解的概念 3.由二元一次方程组的解求参数 4.结合实际问题列二元一次方程组 5.代入消元法 6.加减消元法 7.依据二元一次方程组的解的情况求参数 8.借助二元一次方程组求一次函数解析式 9.两直线的交点与二元一次方程组的解的关系 10.三元一次方程组的定义及解 11.三元一次方程组的实际应用 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.二元一次方程】 1.定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。 关键词：两个未知数、次数都是 1、整式方程。 示例：x + y = 5，2a - 3b = 7，m = 4n。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一个二元一次方程有无数个解。 【知识点02.二元一次方程组】 1.定义：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 方程组中核心是含两个未知数，且每个方程均为二元一次方程或可整理为二元一次方程。 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 核心特征：二元一次方程组的解有三种情况——唯一解、无解、无数个解。 检验方法：将一对数值分别代入方程组的每个方程，若同时满足所有方程，则为方程组的解。 【知识点03.解二元一次方程组】 核心思路：通过消元法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。 一.代入消元法 适用场景：方程组中某一个方程的未知数系数为1或-1，便于整理为含一个未知数的代数式。 基本步骤： 1.变形：从方程组中选系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示； 2.代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值； 5.写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 二.加减消元法 适用场景：方程组中同一个未知数的系数相反、相等，或成倍数关系，便于通过变形使系数绝对值相等。 基本步骤： 1.变形：利用等式基本性质，将两个方程两边分别乘适当的数，使某一个未知数的系数绝对值相等； 2.加减：将两个方程两边相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值； 5.写解：将两个未知数的值用大括号联立，即为方程组的解。 三.方法选择策略 优先用代入消元法：方程中含系数为1或-1的未知数，便于整理代数式； 优先用加减消元法：同一未知数系数易化为相等或相反，计算更简便； 灵活变形：系数无明显特征时，任选一种方法，核心是简化计算，避免复杂分数。 【知识点04.二元一次方程组的解的情况】 二元一次方程组的解有三种可能情况：唯一解、无解、无穷多解。 一、基本概念 标准形式：​​ 解的定义：满足两个方程的有序数对(x,y) 二、解的判定方法 1. 代数判定法（系数比法） 通过比较系数比例关系判断解的情况： 唯一解：≠（两直线相交） 无解：=≠（两直线平行） 无穷多解：==（两直线重合） 2. 图像判定法 唯一解：两条直线有一个交点 无解：两条直线平行无交点 无穷多解：两条直线完全重合 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【跟踪专练2】已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【题型2.二元一次方程的解的概念】 【典例】若是关于x、y的方程的一个解，则m的值为 ． 【跟踪专练1】今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【跟踪专练2】如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【题型3.由二元一次方程组的解求参数】 【典例】已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【跟踪专练1】若是方程组的解，则 ． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【题型4.结合实际问题列二元一次方程组】 【典例】我国明代数学专著《算法统宗》中有一道题，其大意为客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组： ． 【跟踪专练1】《算法统宗》里记载：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组： ． 【题型5.代入消元法】 【典例】已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将方程组转化为关于的一元一次方程，得 ，整理并解该方程，得 ，将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为 ． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【题型6.加减消元法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 【题型7.依据二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【跟踪专练1】已知方程组的解满足，则k的值是 ． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【题型8.借助二元一次方程组求一次函数解析式】 【典例】把二元一次方程化为一次函数的形式 ． 【跟踪专练1】已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ． 【题型9.两直线的交点与二元一次方程组的解的关系】 【典例】已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象交于点P，则点P位于第 象限． 【跟踪专练2】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【题型10.三元一次方程组的定义及解】 【典例】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是方程组的解，则 ． 【跟踪专练2】已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是 ． 【题型11.三元一次方程组的实际应用】 【典例】甲、乙、丙三数的和为25，甲、乙两数之和比丙大5，乙比丙小3．若设甲为x，乙为y，丙为z，则可列方程组为 ． 【跟踪专练1】已知，，同时满足，，，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【跟踪专练2】有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为 ． . 1．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 2．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 4．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 5．某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 6．已知，则 ． 7．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖 粒． 8．对于关于x、y的方程（为常数），若c，则称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的1次重构方程；取中任意两数之和，记为，且，得到新的递增方程，并称为A的2次重构方程……若方程组的解为，则记为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有（    ） ①方程的1次重构系数； ②已知方程为递增方程，若，则； ③已知m为整数，方程为递增方程，若无论n取何值，均为整数，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 10．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 11．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 12．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 13.．已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 14．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 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