5.6《问题解决策略：逐步确定》 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 问题解决策略：逐步确定 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.经历借助“逐步确定”策略解决问题的过程，了解这一策略的意义、适用情境和一般步骤. 2.积累利用“逐步确定”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 在七年级的问题解决专题中,我们已经学习过归纳、直观分析、特殊化、转化四种问题解决策略.但有一些问题的解决并不能直接转化为过去解决过的问题,也不易从特殊情况发现思路或归纳结论. 问题：当一些问题涉及的条件比较多时.我们要怎么办？ 4 问题构建 问题背景: 今有物不知其数：三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 问题1：本章的学习过程中,我们接触了不少古代计算题,你能尝试把文言文转化为便于同学们理解的叙述吗？所求物品的个数应同时满足哪些条件？ 文言文信息 便于理解的 数学理解后文字表达 三三数之余二 三个三个的数，最后会剩下两个 所求物品的个数除以3，余数是2 五五数之余三 五个五个的数，最后会剩下三个 所求物品的个数除以5，余数是3 七七数之余二 七个七个的数，最后会剩下两个 所求物品的个数除以7，余数是2 问题构建 问题2：解决这个问题你有什么困难？ 所求物品的个数需要同时满足三个条件，但要一下子满足三个条件是困难的. 追问：同时满足三个条件不好研究，可以先满足一个条件计算吗？ ①除以3余2： 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38，…… ②除以5余3： 8,13,18,23,28,33,38,43,48,53…… ③除以7余2: 9,16,23,30,37,44,51,58,65，…… 我们发现：23是同时满足三个条件的最小正整数，所以，物品最少有23个. 问题构建 问题3:通过解决上述问题,你对“逐步确定”的策略有怎样的认识？ 乔治・波利亚是 20 世纪极具影响力的数学家、数学教育家与数学解题方法论专家，被誉为 “现代数学解题理论的奠基人” 《怎样解题》该书是全球最畅销的数学教育书籍之一，首次系统提出 “数学解题的四步流程” 第一步：理解问题：明确已知条件、未知量、限制条件，用自己的话重述问题； 第二步：制定计划：联想过往经验,尝试用画图、列方程、特殊化等方法搭建思路； 第三步：执行计划：逐步推进解题过程,检查每一步的合理性,若卡壳则返回第二步调整计划； 第四步：回顾反思：验证答案是否正确,思考是否有更简洁的解法,能否将方法迁移到其他问题（即 “举一反三”）. 波利亚 理解问题 拟定计划 实施计划 回顾反思 协作破冰 问题4:在以往的学习中,还有哪些问题可以采用 “逐步确定” 的策略来解决？ 1.本章的学习过程中，得出二元一次方程组的解的概念之前，采用列举法比对寻找方程组的解，运用了“逐步确定”策略. 2.图象法求解二元一次方程组的解，先根据第一个方程确定范围，再通过第二个方程缩小范围(交点). 3.探索三角形全等的条件，从一个条件开始，逐步过渡到三个条件得出三角形全等的判定方法. 问题构建 问题5：有的同学认为，逐步确定与列举法没什么区别，你同意这种观点吗？为什么？ 对比维度 逐步确定策略 枚举法 操作逻辑 分步骤：先满足部分条件→缩小范围→再满足下一个条件→进一步缩小范围,循环至所有条件满足 一步式：先确定所有可能结果→逐个验证是否符合全部条件 筛选依据 每一步均以 “未满足的单个 / 部分条件” 为筛选标准 始终以 “所有条件的集合” 为验证标准 计算量 / 效率 效率高,计算量小：每轮筛选都会排除大量不符合条件的结果,最终需验证的结果极少 效率低,计算量大：需遍历全部潜在结果,尤其当范围大时（如结果范围是 1-1000）,排查量剧增 适用场景 条件较多、潜在结果范围广的复杂问题 潜在结果范围极小、可快速遍历的简单问题（如结果范围是 1-10） 对 “条件” 的依赖程度 高度依赖条件的 “可分步性” 不依赖条件拆分,直接用所有条件验证单个结果 协作破冰 例1：若四位数能被 15 整除,则这个数最小是多少？ 问题6：一个数能被15整除，就必然能被15的因数整数，你会想到哪些因数研究？ 3和5 追问1：一个数被5整除，需要满足怎样的特征？ b=0,5 追问2：一个数被3整除，需要满足怎样的特征？ 9+3的倍数 协作破冰 问题背景：若四位数能被 15 整除,则这个数最小是多少？ 四位数 2 5 9285 5 5 9585 8 5 9885 1 0 9180 4 0 9480 7 0 9780 观察上表可得：这个数最小是9180. 教师示范 例2：如图,在梯形ABCD中,AB=CD,AD=10,BC=30.梯形内有一点P,使得.试描述点P的位置，并说明理由. 问题7：点P的位置需要满足几个条件？ 条件1：点P位于梯形的内部 条件2： 条件3： 追问：梯形ABCD中，AB=CD，这个条件对梯形的形状有怎样的影响？它有怎样的特殊性质？ 等腰梯形，它是轴对称图形，上下底中点连线所在的直线是它的对称轴. 教师示范 如右图所示,满足条件1,图形发生怎样的变化？ 点P在对称轴上，由轴对称的性质可得：条件2直接成立. 教师示范 点P是线段EF上任意一点，BC=30,AD=10, BC=3AD 要使，两个三角形面积相等，△APD的底是△BPC的底的，那么△APD的高一定是△BPC的高的3倍， 所以PE=3PF，点P的确定位置如右图所示. 巩固拓展 韩信点兵：韩信命令士兵3人一排列队,结果多出2名士兵；接着又命令士兵5人一排,这次多出3名士兵;随后他再次下令,让士兵7人一排,结果还是多出2名士兵. 设一共有士兵，三人一排有排，五人一排有排，7人一排有排，由题意得： 问题8：上面的方程组有怎样的特征，你能尝试不用“逐步确定”策略以外的方法求解吗？ 巩固拓展 方法一、在3个方程两边同时加上82得： 对3个方程右边进行变形： 观察可得: ()一定是3,5,7的最小公倍数，3×5×7=105， 所以 =23， 这样就算出的最小数. 巩固拓展 方法二、将原方程组转化为3组方程组，每组只满足两个数被整除，不能整除的选择最小余数1，你能尝试写出这三组方程组吗？ 下面方法请大家欣赏中国古代数学家的智慧，供大家课后自主学习研究. 巩固拓展 若x满足5和7的倍数，如果是5×7=35，代入后，不是整数，舍去；如果是5×7×2=70，代入后 若满足3和7的倍数，3×7等于21，代入后=4. 若满足3和5的倍数，3×5等于15，代入后 巩固拓展 接下来仿照方法一书写得到三组方程组 因为3,5,7的最小公倍数是105 第一组满足： 第二组满足： 第三组满足： 令 =2()+3()+2() =233+105 (……) 当=-2时，S=23 以上方法称之为“单因子构建凑成法”，在古代称之为“孙子-华方法”，当余数任意改变时，可作为通性通法，具有普适性. 当堂检测 1.有“数学溪流”和“思悟数学”两个公众号，“数学溪流”每2天更 新一次，“思悟数学”每3天更新一次.某月1日两个公众号同时更 新后，则本月两个公众号第一次同时更新的日期是___日. 7 20 当堂检测 2.在 的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除 的数中最大的一个，求这个数． 解：能被15整除就是同时能被3和5整除，所以个位是0或5. 设百位是，则当个位是0时，能被3整除，此时 最大为 7，此时这个数为3 720； 当个位为5时，能被3整除，此时 最大为8，此时这个数 为3 825. 因为 ， 所以这个四位数最大为3 825. 当堂检测 3.如图，已知 和线段，，用直尺和圆规作 ，使 ，， ，这样的三角形能作几个？（不写作法， 保留作图痕迹） 当堂检测 解：这样的三角形能作2个． 如图，和 即为所求． 反思总结 1.逐步确定策略解决问题的一般步骤是什么？. 2.列举法与逐步确定策略有什么区别与联系？ 3.生活中处理一些事情时，有没有逐步确定策略的体现？你能举例说明吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本140页 第3,4题 二、素养类作业 课下拓展阅读波利亚《如何解题》 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $