精品解析：北京市昌平区2024-2025学年上学期八年级数学期末质量测试卷

昌平区2024—2025学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 实数16的算术平方根等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 13个人中至少有两个人出生月份相同 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 2025年有366天 7. 观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中数据可知（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 8. 已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（ ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 11. 某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是_____． 12. 比较大小：_____2．（填“”、“”或“＝”） 13. 如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，且，那么的面积是_____． 14. 如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是_____． 15. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 16. 在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为_____；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为_____． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18 计算：． 19. 解方程：． 20. 如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 21. 已知：，求代数式的值． 22. 已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：． 23. 学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，A馆的文物比B馆多25个，B馆平均每个文物的讲解语音时长是A馆的1.5倍，两组同学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求A馆平均每个文物的讲解语音时长． 24. 小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… （1）请你按照小明的思路完成证明过程； （2）小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 25. 2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． （1）当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； （2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 26. 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】 （1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】 （2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 27. 已知，，点D直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． （1）如图1，补全图形，则______°； （2）过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 28. 在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． （1）下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ① ② ③ ④ （2）当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． （3）关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌平区2024—2025学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 实数16算术平方根等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：16的算术平方根为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求算术平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为这个正数的算术平方根是解题的关键． 2. 《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，由作图可得，，，得出，即可得解． 【详解】解：由作图可得：，，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 13个人中至少有两个人出生月份相同 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 2025年有366天 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意， 故选：A． 7. 观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 8. 已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（ ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 10. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【解析】 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 11. 某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，正确理解题意是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一位购物者抽得春联的可能性大小是， 故答案为：． 12. 比较大小：_____2．（填“”、“”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可． 【详解】解：∵2＝， ∴＜2， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，准确计算是解题的关键． 13. 如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，且，那么的面积是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵点C在的平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论．此类题目考查基本知识的同时，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养． 根据等腰三角形的性质，分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可． 【详解】解：若的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为； 若的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：； 故答案为：或． 15. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 16. 在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为_____；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为_____． 【答案】 ①. 16 ②. ##0.84375 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．根据题意可得商管的管长为，再把代入计算即可；根据题意分别求出b、c，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得，商管的管长为， 当时，， 根据题意，得 ， ， ∴． 故答案为：16，． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算． 【详解】解：原式 . . . 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母化为整式方程，解整式方程求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得，， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 20. 如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握几种全等三角形的判定方法是解题的关键． 先由平行得到，再由即可证明． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ． 21. 已知：，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式运算法则对原式进行化简，再把已知条件变形为化简算式可以利用的形式后代入求解即可 ． 【详解】解：原式 . 由已知可得：， 把上式代入经化简后的原式可得原式. 【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算方法与整体代入的思想方法是解题关键． 22. 已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 【详解】证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 23. 学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，A馆的文物比B馆多25个，B馆平均每个文物的讲解语音时长是A馆的1.5倍，两组同学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求A馆平均每个文物的讲解语音时长． 【答案】馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟，则馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟，根据A馆的文物比B馆多25个建立方程即可． 【详解】解：设馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟， 则馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟， 根据题意，得，解得：， 经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟． 24. 小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… （1）请你按照小明的思路完成证明过程； （2）小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应的点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）延长至点D，使得，连接，证明，再证明是等边三角形，即可求证； （2）①应用结论，2点时，，则，故，那么有勾股定理求解即可；②应用结论，，则由勾股定理得，，解方程即可． 【小问1详解】 证明：延长至点D，使得，连接，如上图2， ∵ ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，当B点在宽边上时，依据题意，，， ∴， ∴， ∵长为， ∴，这与题意矛盾，故该情况不成立； 如图，当B点在长边上时， 2点时，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②由上题知2点对应的点在长边上，故1点对应的点也在长边上，如图， 1点时，，而 ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． （1）当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； （2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 【答案】（1） （2）小聪两次购买苹果的平均价格更低，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式以及异分母异分子的大小比较，分式的混合运算的应用． （1）由费用单价数量分别表示小聪两次购买苹果的质量，再相加即可； （2）小聪两次购买苹果的平均价格：，小明两次购买苹果的平均价格：，然后作差，化简比较． 【小问1详解】 解：当时，小聪两次购买苹果的总质量为（千克）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小聪两次购买苹果的平均价格： 小明两次购买苹果的平均价格： ． ，，， ，． ． ∴， ∴， 小聪两次购买苹果的平均价格更低． 26. 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】 （1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】 （2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【答案】[探究结论]证明见解析；[应用结论]证明见解析 【解析】 【分析】[探究结论]可得，由得到，即可证明； [应用结论] 在上截取，连接，证明，再运用结论证明． 【详解】[探究结论] 证明：， ． ， ， ； [应用结论] 证明：在上截取，连接． 平分， ． ， ． ，， ． ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的三边关系等知识点，正确运用结论，构造全等三角形是解题的关键． 27. 已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． （1）如图1，补全图形，则______°； （2）过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）120 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）先补全图形，可得为等边三角形，证明，再根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质求解； （2）①连接，先证明为等边三角形，再证明，，则，故，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图形，证明同①即可． 【小问1详解】 解：补全图形，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：①，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 28. 在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． （1）下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ① ② ③ ④ （2）当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t值，______．②t的取值范围是_____． （3）关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）1（答案不唯一）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的完全平方公式的运用，理解新定义，并熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键. （1）根据“增值代数式”的定义判断即可; （2）根据“增值代数式”的定义，确定t的范围即可: （3）将M整理为，再根据（2）的思路求解即可 【小问1详解】 解：①，x的值越大，的值越小，故①不是“增值代数式”； ②，当时，的值随x值增大而增大，所以，②是“增值代数式”； ③，当时，的值随x值增大而增大，所以，③是“增值代数式”； ④，当时，的值随x值增大而减小，所以，④是“增值代数式”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：， 所以，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵代数式是“减值代数式”， ∴， ∴， ∴可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一），； 【小问3详解】 解： 对于，当时是“增值代数式”，当时是“减值代数式”， 所以，当时是“减值代数式”，当时是“增值代数式”， 又当时，代数式M是“增值代数式”， ∴， 解得，， 当时，代数式M是“减值代数式”， ∴， 解得，， 综上，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$