精品解析：河南省信阳市罗山县实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

罗山县实验中学2025-2026九年级上期12月质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 3. 已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. 1 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（ ） A. 摸出标记数字为偶数的小球 B. 摸出标记数字比3大的小球 C. 摸出标记数字比2小的小球 D. 摸出标记数字为奇数的小球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示信息，根据频率估算概率的方法是解题的关键． 根据图示可得频率稳定在，根据概率的计算进行判定即可． 【详解】解：由图示可得频率稳定在， 不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球， ∴摸出偶数的概率为，摸出奇数的概率为， A、摸出标记数字为偶数的小球，故原选项不符合题意； B、摸出标记数字比3大的小球的概率为，故原选项不符合题意； C、摸出标记数字比2小的小球的概率为，符合题意； D、摸出标记数字为奇数的小球，故原选项不符合题意； 故选：C ． 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 6. 如图，将绕点A 按逆时针方向旋转，得到，若点在线段 BC 的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对B、D进行判断；根据反比例函数的性质对A、C进行判断． 【详解】解：， 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 当时，， 点不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大 故C选项正确，符合题意； 若点都在函数图象上， ，， ， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ） A. 24 B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则结合对称轴的性质进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为， 把看成了， 所画图象的对称轴为， 两条对称轴关于y轴对称， 所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象， ，即． 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律变化、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由旋转的性质可得，，，得出，同理可得，旋转秒后点的对应点的坐标为，旋转秒后点的对应点的坐标为，旋转秒后点的对应点的坐标为，旋转秒后点的对应点的坐标为，…，由此可见，点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现，结合即可得解． 【详解】解：如图，令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴，， ∴， 同理可得，旋转秒后点的对应点的坐标为， 旋转秒后点的对应点的坐标为， 旋转秒后点的对应点的坐标为， 旋转秒后点的对应点的坐标为， …， 由此可见，点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现， ∵， ∴旋转2025秒后点D的对应点的坐标为， 故选：B． 10. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质与判定，函数图象的应用．根据函数图象可知当时，取得最大值，即圆的直径为，求得运动速度，当时，，则，根据路程除以速度等于时间求值即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，的值，即弦长为， 当时，取得最大值，即圆的直径为，则半径为3， ， ， 圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动， 则的运动速度是， 当时，，即， ， 是等边三角形， 则， 的路程为， ． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个函数，使得当自变量时，函数随的增大而增大，这个函数的解析式可以是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，可写出一个k>0的一次函数． 【详解】解：这个函数的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查函数的性质，掌握二次函数、一次函数等函数的性质是解题的关键． 12. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 在中，，则，根据垂直平分线的性质得出，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，进而在中，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∵由线段绕点顺时针旋转得到， ∴， 在中，， 当为直角边时，， 当为斜边时，， 故答案为：2或． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. 解下列方程 （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、平方差公式的应用）．解题的关键是根据方程特点选择合适的分解方法，将二次方程转化为一次方程求解． （1）通过拆分中间项进行因式分解，将方程化为，求解一次方程； （2）移项后利用平方差公式分解为，求解一次方程． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得． 【小问2详解】 解： 则或 解得． 17. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式、利用树状图或列表法求概率， （1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用甲和乙两位同学不坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种， ∴甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 19. 如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，且．是下半圆弧的中点，连接交于． （1）求证：与相切． （2），，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ， ， 是的直径， ， ∵，， ，即， 为的切线． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了证明圆的切线、等边对等角、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1，连接，由等边对等角可得，再根据圆周角定理可得，再根据圆周角定理可得、，进而得到即可证明结论； （2）如图2，连接，先说明，设，，则 ，可证明可得①；再根据勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质列比例式可得，即②，再联立①②联立求得x的值，进而求得的长度即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接； 为的直径， ； 又∵是下半圆弧的中点， ， ； 设，，则 ，， ， ，即 ①； 由勾股定理得：， ∴，即， ， ， ∵， ， ， ， ②， 联立①、②并解得：， ， 的半径为6． 20. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 21. 春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； （2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 【答案】（1） （2）3把 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出顶点M的坐标，设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出函数值为时对应的x的值，再结合椅子宽度即可求解． 【小问1详解】 解：，， 结合所建直角坐标系，可得，， 顶点M的坐标为， 设抛物线函数关系式为：， 将代入解析式，得：， 解得， 抛物线函数关系式为； 【小问2详解】 解：，， 令， 解得，， ，， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为3把． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 【答案】（1） 解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） 解：四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E是线段的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）6或． 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由得到，然后结合旋转的性质得到，证明出点A，，三点共线，然后得到；当点在线段下方时，首先由和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，，三点共线， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点在线段下方时， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，当时，点与点之间的距离为6或． 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗山县实验中学2025-2026九年级上期12月质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. 1 C. D. 2或 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（ ） A. 摸出标记数字为偶数的小球 B. 摸出标记数字比3大的小球 C. 摸出标记数字比2小的小球 D. 摸出标记数字为奇数的小球 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 6. 如图，将绕点A 按逆时针方向旋转，得到，若点在线段 BC 的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 8. 一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ） A. 24 B. C. D. 12 9. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个函数，使得当自变量时，函数随的增大而增大，这个函数的解析式可以是______． 12. 点与点关于原点对称，则________． 13. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. 解下列方程 （1）; （2）. 17. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 19. 如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，且．是下半圆弧的中点，连接交于． （1）求证：与相切． （2），，求的半径． 20. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 21. 春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； （2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $