第十七章 因式分解 单元测试卷 2025--2026学年人教版八年级数学上册

新人教八年级数学第十七章因式分解单元测试卷（带详解） （时间100分钟，满分120分） 一、单选题(共10题；共30分) 1．（3分）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　)。 A． B． C． D． 2．（3分）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如果 ， 那么 （　　） A．， 从左到右是因式分解 B．， 从左到右是因式分解 C．， 从左到右是整式的乘法 D．， 从左到右是整式的乘法 6．（3分）如果二次三项式 是一个完全平方式， 那么 的值是（　　） A．7 B． C．49 D． 7．（3分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）下列因式分解正确的是(　　) A． B． C． D． 9．（3分）若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）若（和不相等），那么式子的值为（　　） A．2022 B． C．2023 D． 二、填空题(共5题；共15分) 11．（3分）因式分解：　 　． 12．（3分）因式分解：　 　． 13．（3分）因式分解： 　 　． 14．（3分）多项式分解因式为　 　. 15．（3分）已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是　 　． 三、解答题(共8题；共75分) 16．（8分）分解因式： （1）（4分） （2）（4分） 17．（10分）分解因式： （1）（3分） ． （2）（3分） ． （3） （1分） ． （4）（3分） ． 18．（9分）分解因式： （1）（4分） （2）（5分） 19．（9分） （1）（4分）已知二次三项式2x2 +9x-k中有一个因式是2x-1，求另一个因式以及k的值． （2）（5分）已知当x=-2时，多项式x3- 3x2-4x+m的值为0．试将这个多项式分解因式． 20．（9分）观察下列式子，你得出了什么结论?你能证明你的结论吗? 21．（9分）（解题方法型阅读理解）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，把它的后两项分成一组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+n)，从而得到(m+n)(a+b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a( m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法分解因式： （1）（3分）ab-ac+bc-b2． （2）（3分）m2-mn+mx-nx． （3）（3分）x2y2-2x2y-4y+8． 22．（10分）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状； （2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 23．（11分）材料一： 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为 “连续合数”， 如 ， 因此 这三个数都是“连续合数”． 材料二： 对于一个三位自然数， 如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和， 则称这个三位数为 “行知数”．例如： 在自然数 231 和 132 中， ， 则 231 和 132 都是“行知数”； 在自然数 396 和 693 中， ， 则 396 和 693 都是 “行知数”． （1）（3分） 请判断： 36　 　“连续合数”．（填“是”或“不是”） （2）（4分）证明： 任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍． （3）（4分） 已知三位数 （其中 为整数， 且 ） 既是 “连续合数”， 又是 “行知数”， 求所有符合条件的三位数的值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； B．，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意； C．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； D．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】A，D都不能用完全平方公式进行分解，B可以用平方差公式，C不能用平方差公式，即可得出答案。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：不能分解因式，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确. 故答案为：D. 【分析】先判断能否分解因式，将能分解因式的多项式分别分解因式，再判断正误. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 选项A中6a2b4就是一个单项式，∴选项A错误； 选项B中，是把两个整式的积写成多项式的形式，和因式分解弄反了。∴选项B错误； 选项C中，等号右边的2x（x-2）+1，是一个多项式和1 的和的形式，而不是几个因式的积的形式。 ∴选项C 错误。 选项D中，是把一个多项式写成两个整式的积的形式，符合因式分解的概念.∴选项D正确. 故答案为：D. 【分析】根据因式分解的定义判断即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵（x+5）（x-5）=x2-25，x2+k=（x+5）（x-5）. ∴x2+k=x2-25. ∴k=-25. ∵从左到右是把一个多项式化为几个因式的积的形式，符合因式分解的定义， ∴从左到右是因式分解. 故正确答案选：B. 【分析】由（x+5）（x-5）=x2-25，x2+k=（x+5）（x-5）.所以可以得到：x2+k=x2-25.所以k=-25. 然后我们可以看出：从左到右是把一个多项式化为几个因式的积的形式，符合因式分解的定义，所以从左到右是因式分解. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 二次三项式 x2-14x+m 是一个完全平方式， x2-14x+49=（x-7）2. ∴m=49. 故选：C. 【分析】由二次三项式 x2-14x+m 是一个完全平方式， 可以知道m的值等于一次项系数一半的平方，即 x2-14x+49.所以可以得到当m=49时，x2-14x+m可以变形为x2-14x+49即（x-7）2. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意； 对于B，对该代数式的变形中不属于因式分解，原代数式也不能进一步因式分解，故B错误，不符合题意； 对于C，在实数范围内也无法进一步进行因式分解，故C错误，不符合题意； 对于D，，故D正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据因式分解的定义，利用公式法或提公因式法完成因式分解逐一对选项进行判断即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确； B、∵，∴B不正确； C、∵，∴C不正确； D、∵，∴D正确； 故答案为：D. 【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）和因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）逐个分析求解即可. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：由，得或或， 假设m=2，n=3；或m=2，n=-3；或m=-3，n=-2 A，，以上三种情况都正确，故本选项正确，符合题意； B、，假设，，则，故本选项不符合题意； C、，假设，，则，故本选项不符合题意； D、，假设，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断饥渴。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022， 可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m， ∴ (m+n)(m-n)=n-m， ∵m≠n， ∴ m+n=-1， ∵ m2=n+2022，n2= m + 2022， ∴ m2-n =2022，n2-m = 2022， ∴ m3-2mn+n3 =m3 -mn-mn+n3 =m(m2-n)+n(n2-m) = 2022m +2022n = 2022(m +n) =2020 x(-1) =-2022. 故答案为：B. 【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：． 【分析】本题考查了因式分解，先根据整式的乘法展开，然后利用完全平方公式进行分解即可求解． 解题关键在于识别原式可以简化为完全平方公式的形式，然后应用公式完成因式分解. 12．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：． 【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可. 13．【答案】ab(a+1)(a-1) 【解析】【解答】解：原式 ． 故答案为：ab(a+1)(a-1)． 【分析】利用提公因式法和公式法，因式分解得到答案即可。 14．【答案】x（x+5） 【解析】【解答】解：x2+5x=x（x+5）. 故答案为：x（x+5）. 【分析】根据提公因式法因式分解进行计算即可. 15．【答案】15 【解析】【解答】解：， ∴a2-12aa+36+b2-6b+9=0 ， ，， ，为等腰三角形的边长， 等腰三角形的第三条边的边长为6， 当第三条边的边长为6时，的周长为：， 故答案为：15． 【分析】利用拆项的方法把已知等式拆成两个完全平方式的和形式，由偶数次幂的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得，，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系判断出等腰三角形△ABC的第三条边的边长为6，从而根据三角形周长计算方法计算可得答案. 16．【答案】（1）解： ； （2）解： ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）提公因数，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案. （2）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案. （1）解： ； （2）解： 17．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【解析】【分析】（1）将改写成，以及改写成，然后运用平方差公式进行因式分解；（2）将改写成，然后结合平方差公式进行因式分解，并注意对每个因式合并同类项；（3）、先运用提公因式（公因式2mn）法进行因式分解，对余项再结合平方差公式再次分解以保证结果分解彻底； （4）分解过程中连续运用两次公式法（平方差公式）. 18．【答案】（1）解：； （2）解：. 【解析】【分析】（1）此题中，多项式各项都有公因式4ab，故利用提取公因式法直接分解即可； （2）此题中，多项式首项符号是负号，故先利用添括号法则将多项式放到一个带负号的括号内，进而发现多项式各项都有公因式x，故利用提取公因式法直接分解即可. 19．【答案】（1）解：设另一个因式为 ， 则 ， 解得 ∴ 另一个因式为 的值为 5 . （2）解：把 代入 x3- 3x2-4x+m =0，得(－2)3－3×(－2)2－4×(－2)+m=0， 解得：， 当 时， 原式 . 【解析】【分析】（1）设另一个因式为 ，可得，将等号右边利用整式乘法去括号，利用等式的恒等性可得关于k和n的方程，求解即可； （2）把 代入 x3- 3x2-4x+m=0，得 ， 再把m=12代入x3- 3x2-4x+m分解因式即可. 20．【答案】解： 当n=1时， 12 + 12 × 22+ 22 = ( 1 + 1 + 1 )2 当n=2时， 22 + 22 × 32 + 32 = ( 4 + 2 + 1 )2 当n=3时， 32 + 32 × 42+ 42 = ( 9 + 3 + 1 )2 左边均为 n2 + n2 ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 )2 ，右边则为 ( n2 + n + 1 )2， 因此，结论为：对任意正整数 n ，有 ： 证明结论：展开左边=n2 + ( n4 + 2 n3 + n2 ) + ( n2 + 2 n + 1 ) =n4 + 2 n3 + ( n2 + n2 + n2) + 2 n + 1 = n4 + 2 n3+ 3 n2 + 2 n + 1 展开右边( n2 + n + 1 )2 = n4 + 2 n3 + 3 n2 + 2 n + 1 ∴左边=右边. 故原式成立 . 【解析】【分析】 通过分析左边的结构和右边的平方形式，可以推测出结论为：，并展开验证左右两边的相等性，解答即可. 21．【答案】（1）解：ab-ac+bc-b2 =a(b-c)-b(b-c)， =（a-b)（b-c）. （2）解：m2-mn+mx-nx， =m(m-n)+x(m-n)， =(m+x)(m-n). （3）解：x2y2-2x2y-4y+8 =x2y(y-2)-4(y-2) =(y-2)(x2y-4). 【解析】【分析】（1）根据题意先将 ab-ac+bc-b2 提出公因式得出a(b-c)+b(c-b)=a(b-c)-b(b-c)，然后再提公因式（b-c）即可得到（a-b）（b-c）即可； （2）先提取公因式m和x得m(m-n)+x(m-n，再提取公因式(m-n)即可求解； （3）先将多项式x2y2-2x2y-4y+8的前两项分成一组，并提出公因式x2y，后两项分成一组提出公因式4，从而得到x2y（y-2）-4（y-2），然后再提出公因式（y-2）得到（x2y-4）（y-2）即可. 22．【答案】（1）解：∵ ∴， 故， 解得：， ∴是等边三角形； （2）证明： ， 设， ， ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求出，再求出，最后证明求解即可； （2）根据题意先求出 原式， 再求出也为正整数，最后求解即可。 23．【答案】（1）是 （2）证明 ： 设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为 (其中 表示自然数)， 为自然数， 是奇数， 任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍． （3）证明： “连续合数”是 4 的奇数倍， 是 4 的奇数倍， 为奇数． 由题意， 得 ，且 ， ， ， 且 为整数， 或 4． 当 时， 则 或 为奇数， 此时 ； 当 时， 为奇数， 此时 ． 综上所述，所有符合条件的三位数为 132，220 ． 【解析】【解答】解：（1）、由题意得，因此36是“连续合数”. 故答案为：是. 【分析】（1）根据新定义，验证36能否表示为两个连续偶数的平方差即可（实际上）； （2）根据新定义，可设这两个连续偶数为2n，2n+2，然后列式整理即可； （3）设三位数abc=100a+10b+c，根据题意得b=a+c，再分情况讨论即可求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $