第17章 第51课时 用十字相乘法分解因式（智汇课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（人教版2024）

参考答案 3.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3); 【变1】解：原式=3ab2(a2-46)=3ab(a十2b)(a-2b). (2)1-a2=(1+a)(1-a). 【例2】解：(1)a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y); 4.解：(1)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1): (2)(x3-2x2)+(-x+2)=x2(x-2)-(x-2)=(x (2)原式=xy(y-x2)=x2y(y-x)(y+x). -2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1). 5.解：(1)原式=(1000+999)×(1000-999)=1999×1=1999； 【变2】解：原式=(a+2)2-b=(a+2+b)(a+2-b). (2)原式=(99号+100号）×(9号-10号)=200× 过关训练】 (-1)=-200. 1.D2.C3.A4.D5.D 6.解：原式=(1002-992)+(982一972)+…+(4-32)+ 6.(1)(m+2n)(2m+n) (22-1)=(100+99)×(100-99)+(98+97)× 解：(2)因为每块小长方形的面积为12cm2,所以mn= (9897)+…+(4+3)×(4-3)+(2+1)× 12,因为四个正方形的面积和为50cm2,所以2m2+2n2= 50,即m2+=25,(m+n)2=m2+t+2mn=25+24= (2-1)=100+99+98+·+3+2+1=5050. 49,因为m>n>0,所以m十n=7,所有裁剪线（虚线部分） 第49课时用完全平方公式分解因式 的长度之和是：(2m+n)×2+(m+2n)×2=4m+2n+2m+ 4n=6m+6n=6(m十n)=6X7=42(cm). 〔新课学习】 1.D2.(1)93(2)3y3y 第53课时《因式分解》章末复习 〔精讲精练 【知识梳理】 【例1】6或0【例2】B 1.D 【例3】解：(1)(a-4b)2;(2)(2x+3y)2;(3)-(x-3y)2. 2.解：(1)3.xy(2x-3y);(2)5(m-m(m-2n. 〔过关训练了 3.解：(1)(a+2b)(a-2b);(2)(x+3)2. 1.A 4.解：原式=(a十1十b)(a十1-b) 2.(1)x2+2·x·2+22(x+2)2 5.解：原式=(2x-3)(x十4). (2)(2x)2-2·2x·3+32(2x-3)2 6.解：(1)原式=(x2+4)(x+2)(x一2)； (2)原式=(x+3)(x十2)(x-2). 3.解：(1)(a-6)2(2)(x十y)2(x-y)2(3)(a+1)2(a-1)2 7.解：(1)(x+4)(x-2)； 4.(1)D(2)不彻底(x-2)(3)解：(3)(x一1).（过程略） (2)正方形和长方形组成的公园面积可以看作是长(x十4)米 第50课时综合运用提公因式法、公式法分解因式 和宽(x一2)米的长方形区域的面积 8.解：存在，k=士7，士8，士13. 【新课学习】 9.解：(x十a)(x十b) 1.B2.A =2+ax+bx+ab 【精讲精练 =x2十(a十b)x十ab,等式成立， 【例1】解：(1)x4-y=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x十 因式分解得x2-5.x十6=(x-2)·(x-3). 10.解：由于4a2-12ab+96=(2a-36)2,所以(2a-b)2=(2a y)(x-y): (2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) 3b)2,所以k=2. 【例2】解：(1)3a.t+6axy十3ay=3a(2+2xy十y)=3a(x+y)2; 第54课时《因式分解》中考热点 (2)-a.d+2dx-a=-a(x2-2a.x十a)=-a(x-a)2. 【过关训练 【新课学习】 1.C2.A 1.解：(1)x2+2xy+y=(x+y)2 (2)x3+3x2y+3xy2+y 3.解：原式=2ab(a2-4ab+4b)=2ab(a-2b)2. (3)因为x十y=10,xy=20,所以x2十y=(x十y)2-2xy= 4.解：(1)原式=2a2(x2+2xy+y2)=2a2(x+y)2; 102-2×20=60, (2)原式=-b(1-2b+6)=-b(b-1)2. 所以(x-y)2=x2-2xy十y2=60-2X20=20,所以x- 5.A6.C y=士/20，因为x>y,所以x-y=/20, 第51课时用十字相乘法分解因式 所以x2-y=(x-y)(y+xy+x2)=/20X(60+20)= 【新课学习】 80/20, 1.D 由(2)得：x3+y3=(x+y)3-(3x2y+3xy2)=(x+y)3 3xy(x十y)=103-3×20×10=400, 〔精讲精练】 400 5 【例1】D 所以号 80/20-720 【变1】解：(1)原式=(x-3)(x十1)；(2)原式=(m一4)(m-3). 【变2】6【例3】(x-3)·(2x+1) 2.解：(1)(x+4(x-4)>0,原不等式可转化为+40：① 1x-4>0 过关训练 1.A2.C3.D4.解：x2+11x-26=(x+13)(x-2). 成8@ 5.(x-3)(2x十1)6.(2)①m=9或m=-8②x=5或x=8 解不等式组①得，x>4,解不等式组②得，x<一4， ③x=7或x=-4 即一元二次不等式x2一16>0的解集为x>4或x<-4. 第52课时因式分解习题课 ②原不等式可转化为任一0①成任0@ 1x-3<0 解不等式组①得，1<x<3,解不等式组②得其无解； 【精讲精练 【例1】解：(1)6ab(2a2-3b);(2)5(y-z)(x-2y). 即分式不等式<0的解集为1<<3. 19数学·八年级·上册(R) 第51裸时 用十字相乘法分解因式 新课学 ● 知识点用十字相乘法分解因式的概念 一般地，在因式分解中有一类形如二次三项式x2十（p十q)x十q的分解因式的方法叫“十字相乘 法”，因式分解二次三项式的公式为x2+(p+q)x+g=(x十p)(x十q). 2 例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 10=2×5,一次项系数7=2十5，则x2+7x+10=(x十2)(x十5)，如图所示. 1- …5 1×5+1×2=7 1.用十字相乘法将x2一5x十6分解因式，正确的是 ( A.(x+1)(x-6)B.(x-2)(x+3) C.(x十2)(x-3) D.(x-2)(x-3) 点拨：运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。 例1用十字相乘法分解因式x2 -x一6，正确的是 &易错警示 (1)符号错误.关键点：常数项 ××X 为负数时，分解的两个数符号 相反；常数项为正数时符号 相同 (2)未验证交叉和是否等于 点拨：考查用十字相乘法。 一次项系数.关键点：必须保 变1用十字相乘法分解因式： 证分解后交叉相乘之和为一 (1)x2-2x-3; (2)m2-7m+12. 次项系数。 (3)分解二次项系数与常数 项后，不能忽略二次项系数， 交叉相乘并验证和是否为一 次项系数！ (4)误判不可分解的情况.尝 点拨：掌握十字相乘法是正确解答的关键， 试对无法用十字相乘法分解 的多项式强行分解， 变2【2024秋·闸北区·期末】如果x2一5.x十m可以用十字相乘法进行因 式分解，那么m可以取的一个值是.（写出一个答案即可） 点拨：答案不唯一，因为(-2)十（一3）=一5，(-2)×（一3）=6，(x 2)(x一3)=x2-5x十6.所以可将原式用十字相乘法分解因式. 变3【2023春·炎陵县·校级期中】十字相乘法分解因式：2x2一5x一3= 点拨：因为1×2=2,1×(-3)=-3，又2×(-3)+1×1=-5，所以 可以利用十字相乘法分解因式 ●>1160 第十七章 因式分解 过关训练 心基础训练 1.下列各式，可用十字相乘法分解因式的是( ) 2.【2024秋·虹口区·期末】如果多项式x2一 A.x2-3x+2 B.x2-2x十4 5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么c的 C.x2-3x-2 D.x2+x+1 取值正确的是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 点拔：主要考查了十字相乘法分解因式，掌握x十 点拨：熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解 (p十q)x十pq型的式子的因式分解是解题关键， 题关键， 3.【2023秋·荣成市·期末】用十字相乘法将 4.用十字相乘法分解因式：x2+11x一26. x2一7x十12因式分解，正确的是 ( A.(x+1)(x-12) B.(x-2)(x+6) C.(x+3)(x-4) D.(x一3)(x一4) 点拨：运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、 点拨：此题主要考查了十字相乘法分解因式，正 尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程 确分解常数项是解题关键 能力训练 拓展训练 5.【2023秋·蒙阴县·期末】分解因式x2+3x+ 6.阅读下列材料： 2的过程可以用十字相乘的形式形象地表示： (1)将x2+2x一35分解因式，我们可以按下面 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左 的方法解答： 上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字 ①分解二次项与常数项：x2=x·x,一35= 交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求 (-5)×(+7); 代数和，使其等于一次项系数（如图）.这样，我 ②交叉相乘，验中项：7x十(-5x)=2x; 们就可以得到x2+3.x+2=(x+ ③横向写出两因式：x2+2x一35=(x 1)·(x十2).请用“十字相乘法”1×2+1×13 5)·(x+7), 分解因式：2x2-5x一3= 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方 法叫作十字相乘法。 (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解答下列方程： ①m2-m-72=0的解是 ②x2十40=13x的解是 ③x2-3x-28=0的解是 点拨：二次项系数分解为1X2,常数项分解为 (-3)×1,交叉相乘，求代数和为2×（一3）十1× 点拔：本题考查利用因式分解法解一元二次方 1=一5，等于一次项系数，掌握十字相乘法的步 程，解题的关键是掌握因式分解的方法，属于中 骤是解题的关键. 考常考题型 ●>117《0