专题08 三角函数中的特征线（题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题08 三角函数中的特征线目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【解答题破译】 题型01 中线问题 题型02 角平分线问题 题型03 垂线问题 题型04 面积、周长最值范围问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 中线问题 【例1-1】已知的内角，所对的边分别为，，，角为锐角，已知的面积为. (1)求； (2)若为上的中线，求的长度. 【例1-2】已知中，角，，的对边分别为，，，其中，. (1)求角； (2)若点在边上，且满足，，求的面积． 1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 【变式1-1】在中，内角的对边分别为，且， （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 【变式1-2】在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【变式1-3】在中，内角的对边分别为，且， （1）求角； （2）若，且边上的满足，，求的面积. 题型02 角平分线问题 【例2-1】在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【例2-2】设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 为角平分线 ①角平分线定理：； ②面积法： . 特别的，当时，. 【变式2-1】已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的平分线交边于点，且，，求的面积. 【变式2-2】已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 【变式2-3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 题型03 垂线问题 【例3-1】在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【例3-2】（25-26高三上·安徽·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 1.h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关. 【变式3-1】（湖北省黄冈市部分高中2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求边上的高. 【变式3-2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 题型04 面积、周长最值范围问题 【例4-1】在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线. (1)求， (2)若，求面积的最大值. 【例4-2】已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 【变式4-1】在中，，，分别是内角，，的对边，且，，若. (1)求的大小； (2)设，为的面积，求的取值范围. 【变式4-2】记的内角的对边分别为.已知. (1)当角最大时，求其最大值并判断的形状； (2)若的中线，求面积的最大值. 【变式4-3】已知的三个角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积． 1．（2025·四川德阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 4.记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 6.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，求面积的最大值. 7.在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且. (1)若，求面积的取值范围； (2)已知，. （i）求BC边上的高； （ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值. 8．记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数中的特征线目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【解答题破译】 题型01 中线问题 题型02 角平分线问题 题型03 垂线问题 题型04 面积、周长最值范围问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 中线问题 【例1-1】已知的内角，所对的边分别为，，，角为锐角，已知的面积为. (1)求； (2)若为上的中线，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由的面积为可得：， 因为，，解得：， 由角为锐角得， 故，解得. （2）因为为上的中线，所以， 所以， ， 解得：，所以的长度为. 【例1-2】已知中，角，，的对边分别为，，，其中，. (1)求角； (2)若点在边上，且满足，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据已知条件可得：，然后再根据正弦定理进行边化角，最后根据三角恒等变换公式进行求解即可； （2）首先根据向量的运算可得：，两边平方可得：， 再结合余弦定理求得：，，最后根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，且满足 由此可得：，代入，， 由正弦定理得：， 在三角形中，易知，所以，，所以． （2）由于，， 所以，所以， 得：，即， 由余弦定理：，化简得：， 联立两式可得：，解得：，， 所以． 1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 【变式1-1】在中，内角的对边分别为，且， （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 【详解】 （1）由，得，即. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（倍长中线法）延长中线至点，使得. 在中，， 由余弦定理得， 即，余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即.余下同法一. 法四：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 【分析】无论是那种方法均可得到两个等式，一个是余弦定理所得的等式，另一个是不同方式骏可得到同一个等价的式子，通过两个方程解. 【变式1-2】在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合化简等式得的值，代入目标分式化简求解； （2）由确定角，利用向量中点公式的平方形式建立方程求边，再用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）由及正弦定理，得． 又因为，则， 所以， 即． 又因为，则，即， 所以． （2）由（1）知，所以． 因为是的中点，所以． 则， 又，，则， 则，解得或（负值，舍去）． 所以． 【变式1-3】在中，内角的对边分别为，且， （1）求角； （2）若，且边上的满足，，求的面积. 【详解】 （1）由例1得. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 题型02 角平分线问题 【例2-1】在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 【例2-2】设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【详解】（1）由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； （2）因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 为角平分线 ①角平分线定理：； ②面积法： . 特别的，当时，. 【变式2-1】已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的平分线交边于点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理先计算与，再根据三角形内角和计算，利用正弦定理得c，由面积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，则， 所以， 因为，所以； （2）根据题意及余弦定理有， 所以， 则， 根据正弦定理有， 所以. 【变式2-2】已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可得，进而可得； （2）由角平分线定理得，在中，由余弦定理可得，进而根据可得. 【详解】（1）由得， 故，故即， 因，故 （2） 由角平分线定理得：，则， 在中，由余弦定理得：，得， 由得：， 得. 【变式2-3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得，从而可得； （2）由等面积法，利用三角形面积公式化简可得，再由基本不等式可得结果. 【详解】（1）， ， ， 化简可得，； （2） C的平分线与交于点D，， ， ， 化简可得，即， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是. 题型03 垂线问题 【例3-1】在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高. 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 【例3-2】（25-26高三上·安徽·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由余弦定理即可直接求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到，再由即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，得； （2）由（1）得， 又， 所以， 由，得， 所以，解得， 故边上的高为． 1.h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关. 【变式3-1】（湖北省黄冈市部分高中2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，从而得到； （2）由三角形面积公式得到，结合，得到，，由余弦定理得到，利用三角形面积得到方程，求出边上的高. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 故， 又，故，所以，， 因为，所以； （2）由题意得，由（1）知， 则，解得， 又，故，将代入得 ，解得，负数舍去，故， 由余弦定理得，故， 设边上的高为，则，即， 解得. 【变式3-2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得； （2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域； （3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解. 【详解】（1）因为满足恒成立， 所以， 所以，，可得，， 又，即，，所以，故， 由，，可得，即，； （2）由，可得， 所以当，即时，取得最大值， 又，，所以的取值范围是； （3）由， 化简得， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，所以， 令，，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 故长的最大值为. 题型04 面积、周长最值范围问题 【例4-1】在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线. (1)求， (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示结合正弦定理可求得，再由角的取值范围可求得角的值； （2）由余弦定理结合基本不等式求得的范围即可得面积最大值. 【详解】（1）在中，， 因为向量与向量共线，则， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）因为，由余弦定理可得，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 由三角形的面积公式可得， 所以该三角形面积的最大值为. 【例4-2】已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦的二倍角公式、正弦定理得，再利用三角形内角和为可得答案； （2）设，则，由余弦定理求出，利用，可得四边形的面积，再由两角差的正弦公式结合的范围可得答案． 【详解】（1）由，得 ， 即， 由正弦定理可得，， 所以， 故， 故， 因为， 所以，因为，所以； （2）设， 则等腰三角形的面积可表示为， 在中，由余弦定理得， 由（1）结合知为等边三角形， 得， 故四边形的面积， 因为，所以当即时，取最大值1， S取最大值为． 【变式4-1】在中，，，分别是内角，，的对边，且，，若. (1)求的大小； (2)设，为的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行向量的坐标关系及正弦定理可得，代入余弦定理整理得，即可求得角； （2）由已知条件及正弦定理可得，，结合面积公式，两角差的余弦公式化简所求式子可得，进而结合角的范围求解即可. 【详解】（1），， 根据正弦定理得，化简得， 由余弦定理，得， 又，. （2），， 由正弦定理得， ，， ， ， ，. ，，， 的取值范围是. 【变式4-2】记的内角的对边分别为.已知. (1)当角最大时，求其最大值并判断的形状； (2)若的中线，求面积的最大值. 【答案】(1)，等边三角形 (2) 【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到，再利用余弦定理及重要不等式可得，即可求出结果； （2）根据条件，利用向量的中线公式得到，再结合余弦定理得到，进而可得到，，即可求出结果. 【详解】（1）由得到， 又由余弦定理得，当且仅当取等号， 又，且在区间上单调递减，所以， 即角最大值为，又，所以为等边三角形. （2）因为，得到， 又，所以①， 又由余弦定理得②，由①②得到， 又，所以，得到，当且仅当时取等号， 此时，，由（1）知， 所以，即面积的最大值为. 【变式4-3】已知的三个角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，进而求得. （2）利用正弦定理或余弦定理，结合基本不等式或三角函数的最值等知识求得取最小值时的面积. 【详解】（1）由正弦定理得， ， ， 即， ，， 即， ，，， . （2）方法一：，，为等边三角形， ， ，，，， 在中，由余弦定理得， ， 即， 整理可得，， ， 当且仅当时取等号， 即时，取最小值， 此时 ， ． 方法二：，，为等边三角形， ， ，，， 设，， 在中，由正弦定理得， ，即， 整理可得， ， 当且仅当时，取最小值， 当取最小值时，， 在中，，， . 1．（2025·四川德阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、倍角公式化简得出即可； （2）根据以及，以及在中利用余弦定理，即可得出关于的方程组，求解即可. 【详解】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以， 所以，解得，解得或， 又，解得，于是. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出答案； （2）在中根据余弦定理得，利用基本不等式求出，即可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，且， 可得， 即，所以， 又，故. （2）在中，由余弦定理得， 化简得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，解得， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以面积的最大值为. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及正弦定理列式求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理求解. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得. （2）由（1）知，又的面积是，则， 解得，由余弦定理得， 设边上的高为，而，因此， 所以. 4.记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，在直角三角形中可得，再由两角互补其余弦值互为相反数，即可得到，再结合勾股定理，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 即， 即， 其中为斜三角形，所以，即， 则，即，所以. （2） 因为， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 且，所以， 即，解得，所以， 则. 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将角化为边，然后进行化简即可求解； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可求解边长，进而由角平分线定理求比值. 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 （2）因为，所以， 则， 所以， 又由余弦定理得，可得， 联立方程解得， 由角平线定理得 6.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得，结合余弦定理即可求出角C的大小. (2) 由（1）可知，从而可求出，结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值. 【详解】（1），， ，.又，. （2）据（1）求解知，.又，. 又，当且仅当时等号成立，， ，此时. 【点睛】方法点睛： 在解三角形时，若已知的式子中既有边又有角的正弦值，此时常考虑用正弦定理将角的正弦值用边来代替。若已知式子中含有边的平方，此时常采用余弦定理进行化简. 7.在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且. (1)若，求面积的取值范围； (2)已知，. （i）求BC边上的高； （ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理求出角，再根据已知条件结合正弦余弦定理求出，通过面积公式利用正弦定理边化角再结合角的范围即可求解； （2）（i）根据已知条件结合正余弦定理及两角和的正弦公式求出，根据结合余弦定理求出，利用正弦定理面积公式，根据等面积法求出高；（ii）利用角平分线定理，结合平面向量的基本定理求出、即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得. 因为，，所以，， 所以，又，所以. 由正弦定理得，，. 由，得， 即. 由余弦定理得，解得， 所以，， ， 因为为锐角三角形，所以且， 即，所以， 所以，所以. 故面积的取值范围为. （2）（i）因为，所以， 而，即，由正弦定理有： 所以， 其中为外接圆的半径，所以，即， 由余弦定理有：， 则，所以， 其中为BC边上的高，故. （ii）由上面可以解出，，是的平分线， 由角平分线定理有：， 则， 所以，，所以的值为. 8．记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $