专题10 二次函数（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题10 二次函数 考点01 二次函数表达式及图象 考点02 二次函数的性质与数学应用 考点03 二次函数的实际应用 考点04 二次函数综合问题探究 考点01 二次函数表达式及图象 1．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．① B．②③ C．①②④ D．①④ 4．如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的二次项系数是 ，常数项是 ． 6．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 7．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ． 8．如图，在正方形中，点B，D的坐标分别为，点C在抛物线的图象上，则b的值为 ． 9．已知抛物线与轴的交点为，（在的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，是否存在某个值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与轴交于两点（在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴的动点，是轴上的动点． (1)求面积； (2)当取何值时，是等腰三角形？ (3)当点运动到何处时，点三点在同一条直线上？ 考点02 二次函数的性质与数学应用 1．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．开口方向向下，函数的最大值为14 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的对称轴是 2．已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（　　） ①；②；③；④当时，y随x的增大而增大． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 6．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则 ． 7．已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是 ； （2）若恒成立，则的取值范围是 ． 8．已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与轴必有两个交点． (2)当时，函数有最小值为2，求的值． 9．已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)______，______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)直线l（不与直线重合）：在直线上方且平行于直线，若直线l与抛物线有两个交点，d的取值范围是______． 考点03 二次函数的实际应用 1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 2．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 3．一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 5．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．22 B．21 C．16 D．12 6．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来． 7．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为 元． 8．用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为 ． 9．如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在时，水面宽，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面．则当水面宽为时，水位上升了 m． 10．如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为 ． 11．某电商平台销售一款秋衣，每套售价90元，每星期可卖300套，为促销，该店决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30套，已知该款秋衣每套成本70元，平台规定售价不得低于成本价．设该款秋衣每套售价x元，每星期的销量为y套，每星期的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）； (2)求w与x之间的函数解析式，并求当每套售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 12．为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与的函数解析式； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 13．小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 14．乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）； (2)函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式； (3)技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围． 考点04 二次函数综合问题探究 1．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．二次函数的图象与x轴交于，两点，若，且，记，则（   ） A．s有最小值，没有最大值 B．s有最小值，没有最大值 C．s有最小值，有最大值6 D．s有最小值，有最大值6 3．如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 函数的“不动点”为和 二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； 若二次函数的图象上存在两个“不动点”，若，则； 已知二次函数，直线，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，则的值为或．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，则值为 ； （2）直线与该抛物线交于、两点，若，则的取值范围是 ． 7．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），则的坐标为 ．当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 8．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 9．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 11．已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图像的对称轴． (2)若函数图像与轴的两个交点分别为点（点在原点的左侧），且． ①求的值． ②若，两点在该二次函数图像上，且，求的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数 考点01 二次函数表达式及图象 考点02 二次函数的性质与数学应用 考点03 二次函数的实际应用 考点04 二次函数综合问题探究 考点01 二次函数表达式及图象 1．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．关键是熟练掌握平移规律． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为， ∴ 所得函数解析式为 ， 故选：A． 3．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．① B．②③ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得出，，，从而得出，即可判断①②，由图象可得，当时，，即，即可判断③；由图象可得，当时，，结合二次函数的对称性可得，当时，，即可判断④；从而得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，，故①正确，②错误； 由图象可得，当时，，即，故③错误； 由图象可得，当时，， 由二次函数的对称性可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故选：D． 4．如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 5．二次函数的二次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 6．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数的一般式通过配方法化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 7．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由对称轴及对称轴公式可判断结论②；由抛物线与轴的交点可判断结论④；抛物线的对称轴直线，过点，可判断出另一个交点为，即可判断结论③；由对称轴和当时，的值，即可判断结论④． 【详解】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴， ，，， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故②正确； 抛物线的对称轴直线，过点， 另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 当时，， ， ， ，即，故④正确． 故答案为：②③④． 8．如图，在正方形中，点B，D的坐标分别为，点C在抛物线的图象上，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，利用正方形的性质，同角的余角相等，通过证明，列方程组求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值． 【详解】解：过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，如图所示： ， ∴和都是直角三角形， 设点C的坐标为， ∵点B，D的坐标分别为， ， ∵四边形是正方形， ， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ∴， 解此方程组得：， ∴点C的坐标为， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．已知抛物线与轴的交点为，（在的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，是否存在某个值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)存在， 【分析】（1）将代入，化简可得抛物线的解析式为，根据二次函数的性质得到顶点，令时得出，求出，，由，，可判断是等腰直角三角形； （2）当时，得到，由点在点的右边及点在轴的正半轴上，得出，令时得出，由点在轴的负半轴上得出，根据为等腰三角形得出，依此列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，即， ∴顶点， 令，得，解得，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，存在某个的值，使得为等腰三角形， ∵当时，，即， ∴，， ∵点在点的右边， ∴，， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∵当时，，点在轴的负半轴上， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 整理得， 解得或， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， 故存在为等腰三角形的，此时． 10．如图，已知抛物线与轴交于两点（在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴的动点，是轴上的动点． (1)求面积； (2)当取何值时，是等腰三角形？ (3)当点运动到何处时，点三点在同一条直线上？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)点在点时，点三点在同一条直线上 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数的性质； （1）分别令，解方程得出的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）勾股定理求得的长，进而分三种情况讨论，求得点的坐标，即可求解； （3）先待定系数法求得直线的解析式，进而根据配方法求得顶点式，进而得出的坐标，将其代入直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得： ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是轴的动点，是等腰三角形 当时，或 当时， ∵， ∴，则 当时， 解得： ∴， 综上所述，或或或 ∴或或或 （3）解： 设直线的解析式为，代入， 解得： ∴直线的解析式为 ∵， ∴ ∴当点三点在同一条直线时，在上， ∴ 解得： ∴，此时重合，即点在点时，点三点在同一条直线上 考点02 二次函数的性质与数学应用 1．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．开口方向向下，函数的最大值为14 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的对称轴是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 通过计算抛物线与y轴交点、开口方向、顶点坐标和对称轴，判断各选项正误． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ , , ； A：当时，， ∴ 与y轴交点为 ，故A正确，不符合题意； B：∵， ∴ 开口向下， 顶点横坐标， 纵坐标， ∴ 最大值为14，故B正确，不符合题意； C：∵ 对称轴，开口向下， ∴当 时，y随x增大而减小；但当 时，y随x增大而增大， ∴ 选项C说法错误，符合题意； D：由B中计算，对称轴为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由于得二次函数开口向下，对称轴为，点B在对称轴上，函数值最大；点A和点C到对称轴的距离分别为3和2，距离越远函数值越小，因此，即可作答． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下，在对称轴处取得最大值． ∵点在对称轴上， ∴最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 令，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C错误，从而得到答案． 【详解】解：A、令， ∵二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即， 选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 4．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（　　） ①；②；③；④当时，y随x的增大而增大． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键． 根据图像可知二次函数开口向下，与轴有两个不同的交点，对称轴在轴左侧，据此逐一分析即可． 【详解】解：由图像可知，、 则， 故①错误； 抛物线与x轴有两个不同的交点，令得 则判别式， 故②错误； 当时，，即， 故③正确； 由图象可知，图像开口向下，在对称轴左侧， y随x的增大而增大， 故④正确， 因此，正确的有③④， 故选：C． 5．已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大， ∴，y取得最小值， ∴， 解得，不满足． 当时，，y取得最小值， ∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小， ∴，y取得最小值， ∴． 解得，满足． 综上，． 故答案为：． 6．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 25．已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是 ； （2）若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质并能灵活运用是解决此题的关键， （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）令得，得出方程两根，然后根据二次函数的图象及性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵函数， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为， ∵当时，；当时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为， 故答案为：； （2）令得， ∴，， 如图，结合函数图象知，时，， ∵当时，恒成立， ∴且， ∴， 故答案为：． 8．已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与轴必有两个交点． (2)当时，函数有最小值为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为或4 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据对称轴位置的三种情况，结合函数讨论最小值2时m的值； 【详解】（1）证明：， 当时， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）解：二次函数的对称轴为， 且， ∴抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时， 即时，函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， 整理得：， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值， 顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数：， 即， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 9．已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令时，则有，解得：， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， ∴当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)______，______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)直线l（不与直线重合）：在直线上方且平行于直线，若直线l与抛物线有两个交点，d的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合，二次函数与一元二次方程综合． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，，再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）将代入，得到，将，代入求出，根据在直线上方且平行于直线，得到，根据直线l与抛物线有两个交点，得到方程的判别式，求解判别式即可． 【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴，， 即． 将代入，得：， 解得：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则该抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； 故答案为：； （3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； 故答案为：； （4）解：对于，令，则， ∴． 将，代入得： ， 解得：， 即， ∵在直线上方且平行于直线， ∴， 即， ∵直线l与抛物线有两个交点， ∴方程的判别式， 整理得， 即， 解得：， 综上所述，． 故答案为：． 考点03 二次函数的实际应用 1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， 二次函数的最大值为， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故选B． 2．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，设抛物线的解析式为，由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可求解，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可得，，， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴门高为， 故选：． 3．一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 4．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值． 【详解】解：令，则， 解得或（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为， 故选：A． 5．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．22 B．21 C．16 D．12 【答案】D 【分析】首先由求出点的坐标为   ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：D． 6．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 7．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为 元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 8．用长为的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算，正确地列出函数关系式是解决问题的关键． 设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 由矩形面积公式得：， ∵， ∴当时，最大值为． 故答案为：． 9．如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在时，水面宽，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面．则当水面宽为时，水位上升了 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．建立适当的直角坐标系是解题关键． 建立适当的直角坐标系，确定抛物线的解析式，再结合水面宽为时，把代入进行计算，即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系： 可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 将点代入得：，解得：， ∴， ∵水面宽为， 即， 令，则， 即：则当水面宽为3m时，水位上升了m， 故答案为：． 10．如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、函数关系式及等腰三角形的性质的综合运用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和矩形的性质，要充分利用数形结合思想．根据等腰三角形的性质和矩形的性质推出，从而可推出矩形一边长，从而根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 11．某电商平台销售一款秋衣，每套售价90元，每星期可卖300套，为促销，该店决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30套，已知该款秋衣每套成本70元，平台规定售价不得低于成本价．设该款秋衣每套售价x元，每星期的销量为y套，每星期的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）； (2)求w与x之间的函数解析式，并求当每套售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，当每套售价定为85元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用． （1）根据降价与销量的关系求一次函数解析式； （2）利用利润公式得到二次函数解析式，化为顶点式求最大值． 【详解】（1）解：根据题意，售价为元时，降价元，销量增加套， 因此； （2）解：， ∵ ， ∴当时，取最大值6750， 答：当每套售价定为85元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． 12．为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与的函数解析式； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 【答案】(1) (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； （3）解：， 当时，有最大值． 13．小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 【答案】(1)抛物线， (2)n的值为 (3)4和5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， （2）将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． （3）解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 14．乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）； (2)函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式； (3)技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围． 【答案】(1)所作图形见解析；抛物线 (2) (3)击球高度的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及画函数图像，求解析式和抛物线的平移的应用，解题关键在于熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）根据表格描点，然后用平滑的曲线顺次连接，画出图像，进而可判断其图象的性质； （2）根据表格确定对称轴，进而确定顶点坐标，然后设顶点式的解析式，根据待定系数法求解即可； （3）当时，抛物线的解析式为，设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为，然后表示出平移后的解析式，再根据平移后恰好经过点和点，分别求得对应的值即可． 【详解】（1）解：描出各点，图象如下图即为所求： 由图可知，乒乓球的运行路线近似是一条抛物线； 故答案为：抛物线； （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为， 则平移后的抛物线的解析式为， 当乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，即平移后抛物线经过点， 代入解析式，得， 解得； 当乒乓球刚过球网时，即平移后抛物线经过点， ，球网高为， ， 代入解析式，得 解得； 答：为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，击球高度的取值范围为． 考点04 二次函数综合问题探究 1．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ∴； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，故①正确； ，在对称轴右侧，， ，故②错误； 当时，y最大，即对于任意实数t有， ，故③正确； ， ， 若，则， ，故④正确； 抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， 抛物线与x轴的另个交点是， 把代入得，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得，， ， 顶点坐标为， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又与时，关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故⑤正确； 故选：C． 2．二次函数的图象与x轴交于，两点，若，且，记，则（   ） A．s有最小值，没有最大值 B．s有最小值，没有最大值 C．s有最小值，有最大值6 D．s有最小值，有最大值6 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 由已知结合根与系数的关系得，，进而得，，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 、是方程的两个根， ，， 又∵， ， ， ， ，， 当时，s取最小值，最小值为，s没有最大值， 故选：A． 3．如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数图像的识别，平移的性质，当时，，当时，设平移后分别交于G、J，可证明是等边三角形，得到，过点G作于H，利用勾股定理求出的长，根据可求出对应的函数解析式；同理可求出当时对应的函数解析式，当时，，据此可得答案． 【详解】解：当时，两个三角形没有重叠的部分（只有点E是重叠点），则， 当时，设平移后分别交于G、J， ∵和都是等边三角形， ∴， 由平移的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， 如图所示，过点G作于H， ∴， ∴， ∴，这是开口向上的抛物线； 当时，设平移后分别交于G、J， 同理可证明是等边三角形， ∴同理可得，这是开口向上的抛物线； 当时，两个三角形没有重叠的部分（只有点F是重叠点），则， ∴符合题意的函数图像是A选项中的函数图像， 故选：A． 4．二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为， ∴，且二次函数图象的开口向下， 把代入二次函数得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴，即二次函数顶点坐标为， ∵， ∴当时，，即， ∴方程的两根的关系为：， ∴， ∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为； 当时，是二次函数图象的顶点，即； ∵当时，总有， ∴或时，的最小值为； ∴的取值范围为：， 故选：C． 5．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 函数的“不动点”为和 二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； 若二次函数的图象上存在两个“不动点”，若，则； 已知二次函数，直线，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，则的值为或．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数的性质，解方程组，一元二次方程根与系数的关系，根据“不动点”的定义，即函数与的交点，需逐一验证四个结论的正确性，结论通过联立方程求解不动点，判断错误；结论通过一次函数的不动点代入二次函数求参数，判断正确；结论通过联立方程和距离公式求参数，判断错误；结论通过翻折后新函数与的交点个数求参数，判断错误，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵“不动点”是函数与的交点， 联立和，得，即， 解得或， ∴不动点为和，故原结论错误，不符合题意； 一次函数与联立，得， 解得， ∴不动点为， 代入二次函数，得， 解得，故原结论正确，符合题意； 联立和，得，即， 设不动点， ，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得，故原结论错误，不符合题意； 当直线经过点时，如图， 令时，则， 则， 把代入得，， 解得：或（舍去）， 当直线与翻折部分只有一个交点时，如图， 翻折后的抛物线解析式为，与联立得 ∴，整理得， 则，解得：； ∴翻折后新函数与有个交点时，或， ∴结论错误，不符合题意； 综上，仅结论正确，正确结论个数为， 故选：． 6．已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，则值为 ； （2）直线与该抛物线交于、两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握顶点纵坐标公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）抛物线顶点在轴上，说明顶点纵坐标为，利用顶点纵坐标公式求解； （2）联立直线与抛物线方程，结合根与系数的关系得到，代入条件化简求的范围． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点在轴上， ∴顶点纵坐标（其中，，）， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵ 联立与， ∴， ∴， 直线与抛物线有两个交点，则方程的判别式。对于任意给定的，总可以找到合适的使得该不等式成立，故此条件对的取值范围不构成限制， ∵方程的根为，由根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），则的坐标为 ．当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题；解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图所示：    当时，， 解得，， 则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线与新图象有个交点时，的取值范围为， 故答案为：；． 8．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 9．综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 10．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为4或2 (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质． （1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 令，则， ， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则， 则直线， 过点作轴交于，    设，则， ， ， ∴点的横坐标为4或2； （3）解：设直线与轴交于点，      则， ， ∴， ， ， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ． 11．已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图像的对称轴． (2)若函数图像与轴的两个交点分别为点（点在原点的左侧），且． ①求的值． ②若，两点在该二次函数图像上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（）根据对称轴方程解答即可； （）①令，则，设方程的两个根分别为，且，由根和系数的关系得，，又由已知得，即可得，，进而即可求解；由①得二次函数，可得当时，，，进而得到且，，解不等式即可求解； 本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴， 即二次函数图像的对称轴为直线； （2）解：①令，则，设方程的两个根分别为，且， 由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得； ②∵， ∴二次函数， 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，，两点在该二次函数图像上，且， ∴且，， ∴． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $