专题12 相似三角形与解直角三角形（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题12 相似三角形与解直角三角形 考点01 相似三角形的判定与性质 考点02 锐角三角函数 考点03 相似三角形、解直角三角形相关的实际应用 考点04 相似三角形综合问题探究 考点01 相似三角形的判定与性质 1．如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，若与的面积比为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 5．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 6．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 7．如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 8．已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为 ； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为 ． 9．如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 10．如图，和的顶点重合，，． (1)若，，求的长； (2)连接，，求证：． 11．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 12．在中，，，点的对应点落在边上，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长． 考点02 锐角三角函数 1．下列三角函数的值为有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，如果，那么的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 5．Rt中，，，，则 ． 6．如图，在中，，D为斜边的中点，连接．已知，，则的长为 ． 7．如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点的值为 ． 8．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在点处，若的延长线恰好过点，则的值为 ． 9．计算： (1) ； (2)． 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； (2)在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； (3)在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 11．如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 考点03 相似三角形、解直角三角形相关的实际应用 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 2．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（   ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 4．2025年8月8日是我国第17个“全民健身日”，当我们在地面锻炼、挥洒汗水时，“太空出差”的航天员在中国空间站里也会进行运动健身．如图，这是航天员进行站立式的俯卧撑锻炼的示意图，为墙面，为航天员的身体（一直为伸直的状态），为头部，为脚部，为肩膀，为手部，且米．手臂伸直时的长度为米．设的度数为，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 5．一人乘雪橇沿坡比为的斜坡滑下，如果他滑行了13米，那么他下降的高度为 米． 6．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为 ．（结果用根号表示）． 7．如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为 ． 8．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．已知，，则 （用含有的代数式表示）． 9．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ． 10．如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 11．万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处． 2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且． 3.在点处测得塔顶的俯角为． 4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 12．如图，这是小西同学的姐姐在直播时所用的手机支架，立杆，，是可以绕点A旋转的支杆，长为，是可调节长度的活动悬杆，，，且点D到底盘的距离为，图中所有点均在同一平面内，求的长．（精确到．参考数据：，，） 13．小林家有一根20分米长的竹竿倾斜悬挂在树上，最低点离地面的高度为16分米，如图1，当太阳直射时（图中虚线为太阳光线），竹竿的影长为16分米． (1)竹竿最高点离地面的高度为______分米． (2)如图2，某一时刻在太阳光的照射下（图中虚线为太阳光线），竹竿在地面上投影为，此时测量影长正好为20分米，求证：． (3)如图3，晚上在路灯（路灯在点的正上方）的照射下（图中虚线为路灯光线），竹竿在地面上的投影为，若，请求出路灯距地面的高度． 考点04 相似三角形综合问题探究 1．如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，的直角顶点落在正方形的边上，直角边、分别交、于点、，斜边经过点，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 5．已知四边形是矩形，，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接，如图，过点E作交于点N． ①若，那么的长 ； ②将沿翻折，点C恰好落在边上，那么的长为 ． 6．如图，正方形中，点是的中点，连接，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．以为边长作正方形，连接并延长，分别交于点，，连接．则的值为 ． 7．如图，四边形是矩形，点是对角线上一个动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点；已知，，设的长为： （1）当时， ； （2）连接，若的面积为S，则S的最小值是 ． 8．在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E．，，和的延长线相交于点M．与交于点I． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，连接，若N是的中点，连接，，求证：． 9．如图，在中，为直径，，为半圆的中点，过点作圆的切线，连接并延长，交于点，连接，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若为的中点，连接，圆的半径为2，求的长． 10．如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点G，若，，求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 相似三角形与解直角三角形 考点01 相似三角形的判定与性质 考点02 锐角三角函数 考点03 相似三角形、解直角三角形相关的实际应用 考点04 相似三角形综合问题探究 考点01 相似三角形的判定与性质 1．如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合可得，可用两角对应相等的两个三角形相似证明，故本选项不符合题意； C、添加，则可得，其中、不在同一三角形中，、也不在同一三角形中，此比例式不成立，不能证明，本选项符合题意； D、添加，则可得，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∵AC=2，AD=1， 解得DB=3． 故选C． 3．如图，，若与的面积比为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，即相似三角形面积比等于相似比的平方来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 5．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 6．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键． 根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：6． 7．如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 【答案】/ 【分析】过点E作交于G，可得，所以，得到，再根据，得，得到，即可求解． 【详解】解：如下图，过点E作交于G， 是的中线， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为 ； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】（1）设，证明，得到，列式计算即可； （2）过点E作于点F，设，，先由，求得，然后证明，求得，所以， 再由求得，即可列方程，并整理得，最后根据一元二次方程根的判别式即可求得答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ． 故答案为：1． （2）过点E作于点F， 设，，则， 由（1）可知， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 由可得， ， 由可得， 整理得， 点有且仅有一个， ， 解得， ， ， 即． 故答案为：． 9．如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，和的顶点重合，，． (1)若，，求的长； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角的和差关系转化，掌握三角形相似的判定方法是解题关键． （1）先证明，再利用相似三角形对应边成比例计算的长； （2）通过角的和差计算得到，结合第一问的相似比例，用两边成比例且夹角相等判定． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ． 答：的长为． （2）证明：， ， ， ， ， ． 11．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【详解】（1）解： ， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．在中，，，点的对应点落在边上，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得，，即可求证；         （2）过点作的垂线，交于点，根据全等得，则，可得，得，，，推出，即可求解． 【详解】（1）.证明：（1）， ，， 又， （2）过点作的垂线，交于点， ， 又 ， ，，， 又，，， ，， 又， ， 考点02 锐角三角函数 1．下列三角函数的值为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数的判断． 通过计算各选项的三角函数值，判断是否为有理数即可． 【详解】解：A．，是无理数； B．，是无理数； C．，是有理数； D．，是无理数； 故选：C． 2．如图，在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，熟记余弦的定义是解题的关键；先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：在中，．，， 则， ， 故选：B． 3．在中，，如果，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，根据勾股定理求出的长，再根据余弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 4．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，将所求角放在直角三角形中是解答的关键． 取格点D，在中，由勾股定理和正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接、，设小正方形的边长为1， 由网格特点，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．Rt中，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知正弦值求边长．根据正弦的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值，即，代入已知条件进行求解，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ 即， 解得． 故答案为：8 6．如图，在中，，D为斜边的中点，连接．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理． 作，证明，求出，根据求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为斜边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．连接，设小正方形的边长为1．利用相似三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：连接．设小正方形的边长为1． 则是等腰直角三角形， ， ， ，．， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在点处，若的延长线恰好过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键． 先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ∴， ， 故答案为：． 9．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 计算即可； （2）根据计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； (2)在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； (3)在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理与网格，锐角三角函数中的正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）根据，作直角三角形，使得，即可求解； （2）作，即可； （3）在（2）的基础上作的中点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（答案不唯一）： （2）如图所示，即为所求（答案不唯一）： （3）如图所示，即为所求（答案不唯一）： ∵，，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的正切值： （1）证明，列出比例式进行计算即可； （2）根据相似三角形的性质，求出的值，根据，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵，， ∴． 考点03 相似三角形、解直角三角形相关的实际应用 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 2．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 3．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（   ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，利用正弦定义求出即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，，， ∴， ∴， ∴档案盒的厚度为， 故选：C． 4．2025年8月8日是我国第17个“全民健身日”，当我们在地面锻炼、挥洒汗水时，“太空出差”的航天员在中国空间站里也会进行运动健身．如图，这是航天员进行站立式的俯卧撑锻炼的示意图，为墙面，为航天员的身体（一直为伸直的状态），为头部，为脚部，为肩膀，为手部，且米．手臂伸直时的长度为米．设的度数为，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三线合一定理，过点B作于G，过点F作于H，由三线合一定理可得米，，利用勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，再解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，过点F作于H， ∵米，， ∴米，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，故C错误，符合题意； 在中，， ∴，， ， ∴，，，故A、B、D都正确，不符合题意； 故选：C． 5．一人乘雪橇沿坡比为的斜坡滑下，如果他滑行了13米，那么他下降的高度为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了坡度比，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质． 根据坡度比，假设下降的高度为h米，则水平距离为米，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为h米，则水平距离为米， 根据勾股定理，得： 解得（负值已舍）， 故答案为：5． 6．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为 ．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ∴． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， ∴是等腰直角三角形（）， 在中，， 即， 解得：． 又∵垂直平分（反射对称性）， ∴， 对于的光线： 在中，， 即， ∴， 同理，垂直平分， ∴． ∴． 故答案为：． 8．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．已知，，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比．证明，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． 9．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 10．如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)梯子顶端距离地面的最大高度约为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用． （1）根据正弦的定义求出即可； （2）根据余弦的定义分别求出、时，的长度，判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知：当时，梯子顶端距离地面的高度最大， 在中，， ∵， ∴（）， 答：梯子顶端距离地面的最大高度约为； （2）解：能，理由如下：当时，（）， 当时，（）， ∵， ∴当梯子底端距离墙面时，人能够安全使用这个梯子． 11．万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处． 2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且． 3.在点处测得塔顶的俯角为． 4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 【答案】的高度为米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 12．如图，这是小西同学的姐姐在直播时所用的手机支架，立杆，，是可以绕点A旋转的支杆，长为，是可调节长度的活动悬杆，，，且点D到底盘的距离为，图中所有点均在同一平面内，求的长．（精确到．参考数据：，，） 【答案】的长约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 过D作于E，过C作于F，延长交于G，先证明四边形是矩形得到，，进而得到，，在和中，解直角三角形即可解答． 【详解】解：过D作于E，过C作于F，延长交于G，如图所示： 则，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意，， 则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 答：的长约为． 13．小林家有一根20分米长的竹竿倾斜悬挂在树上，最低点离地面的高度为16分米，如图1，当太阳直射时（图中虚线为太阳光线），竹竿的影长为16分米． (1)竹竿最高点离地面的高度为______分米． (2)如图2，某一时刻在太阳光的照射下（图中虚线为太阳光线），竹竿在地面上投影为，此时测量影长正好为20分米，求证：． (3)如图3，晚上在路灯（路灯在点的正上方）的照射下（图中虚线为路灯光线），竹竿在地面上的投影为，若，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)28 (2)见解析 (3)分米 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等边对等角、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）如图1：过A作，则是矩形，由题意可得：分米，分米，分米，，由勾股定理可得分米，再根据线段的和差求得的长即可解答； （2）如图2：过A作交于J，则，是平行四边形，由题意可得：分米， 进而得到分米，由等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图：过点A作于点S，由题意可得：分米，分米， 由（1）可得分米，进而得到分米，再证明，最后运用相似三角形的性质列比例式求得的长即可． 【详解】（1）解：如图1：过A作，则是矩形，由题意可得：分米，分米，分米， ∵ ∴分米， ∴分米，即竹竿最高点离地面的高度为28分米． 故答案为：28． （2）解：如图2：过A作交于J，则，是平行四边形， 由题意可得：分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴， ∴． （3）解：如图，∵路灯P在点B正上方． ∴P、B、F三点在同一直线上，且， 即 如图：过点A作于点S，由题意可得：分米，分米， 由（1）可得分米， ∵， ∴分米， ∴分米， ∵， ∴， ∴，即，解得：分米． 答：路灯P距地面高度为分米． 考点04 相似三角形综合问题探究 1．如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，图形类规律探索，通过计算第一个正方形的面积，并利用相似三角形性质得到后续正方形边长与面积的比例关系，从而推导出第个正方形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴正方形的面积， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴第二个正方形面积， 同理，， ∴， ， 依此类推，对于正方形 ，其面积， 由正方形为，可得， ∴， 故选：． 3．如图，的直角顶点落在正方形的边上，直角边、分别交、于点、，斜边经过点，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，连接，则，根据正方形的性质得到，，，通过证明得到，，则有，通过证明四边形是平行四边形，得到，得出和都是等腰直角三角形，则，，再通过证明，求出和的长，进而得到的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 则， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，运用正方形的对称性是解答本题的关键．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，周长最小，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接， 连接，与、分别交于点、． 由对称知识可知，，，周长， 此时，周长最小 由对称性可知，，，， ， 为等腰直角三角形，， 周长最小值，当最短时，周长最小． 连接． ，且， ， ， ，， ∴， 在与中，，， ， ， ， ， 取中点． 点在以为直径的圆上运动，当、、三点在同一直线上时，最短． 此时，，， ∴， 此时，周长最小值． 故选：A． 5．已知四边形是矩形，，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接，如图，过点E作交于点N． ①若，那么的长 ； ②将沿翻折，点C恰好落在边上，那么的长为 ． 【答案】 3 4或 【分析】①求出，证明，得出，即可得出结果； ②过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明 ，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，，求出，，由，即可得出结果； 【详解】解：①， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：3； ②过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ，， ，， ， 解得：或， 或． 故答案为：4或． 6．如图，正方形中，点是的中点，连接，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．以为边长作正方形，连接并延长，分别交于点，，连接．则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，根据勾股定理可得，根据四边形是正方形，可得，根据，可得，所以，设，则，，求出的值，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， 设正方形的边长为，是的中点， ，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ，， ． ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，四边形是矩形，点是对角线上一个动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点；已知，，设的长为： （1）当时， ； （2）连接，若的面积为S，则S的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，锐角三角函数，二次函数的性质，关键是灵活应用知识点解题； 过点作于点，延长交于点，可得，利用相似三角形的性质和三角函数用含的代数式表示出，进而求得与的函数关系式，最后求得最小值． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，．　 故答案为：；． 8．在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E．，，和的延长线相交于点M．与交于点I． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，连接，若N是的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3)证明详见解析 【分析】（1）结合题干易得，和都是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可得．利用等角的余角相等，可得，于是命题得证； （2）在（1）的基础上，利用对顶角相等，可得，从而，进一步得到，于是； （3）延长交于点H，在（2）的基础上，易得，加上N是的中点，可以证出．因此，点N是直角斜边上的中点，根据直角三角形的性质，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形, ∴， 同理，也是等腰直角三角形，， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，变形得，， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵N是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在直角中，点N是斜边上的中点， ∴． 9．如图，在中，为直径，，为半圆的中点，过点作圆的切线，连接并延长，交于点，连接，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若为的中点，连接，圆的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接，易得，则是等腰直角三角形可得，由切线的性质可得，再根据角的和差即可解答； （2）先根据圆的相关性质可得，再根据圆的内接四边形的性质以及邻补角互补可得，从而证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图2，连接，，先求得，再证明是等腰直角三角形，解直角三角形可得，再证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接． 为半圆的中点， ， 是等腰直角三角形， ． 是的切线， ， ． （2）证明：为的直径，，为半圆的中点， ，， ． 由（1）得， ， ． ，，，四点共圆， ． ， ． 在和中， ， ， ． （3）解：如图2，连接，， 圆的半径为2，为的中点， ， 又∵， ∴在中，． 为半圆的中点， 是等腰直角三角形， ． ∵ ∴， ∵ ， ，即， ． 10．如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点G，若，，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）2或 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕B顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当P在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当P在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案.． 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点P与线段的中点O重合， ∴，； 故答案为：，； （2）， 理由：如图，把绕B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点E在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当P在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当P在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为2或． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $