专题11 圆、直线与圆（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题11 圆、直线与圆 考点01 圆基本知识 考点02 圆周角及其性质 考点03 弧长及扇形面积 考点04 切线及其性质 考点05 圆综合问题探究 考点01 圆基本知识 1．已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 3．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 4．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ． 6．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 7．如图，是的割线，和它的延长线分别交于和，如果，，，那么的半径长为 ． 8．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则的半径为 米． 9．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 10．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 11．综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 考点02 圆周角及其性质 1．如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的内接锐角三角形，是的直径．若，和，则和满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 5．如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 6．如图，是⊙O的直径，，，则的度数为 ． 7．如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为 ． 8．如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 9．如图，已知是半圆上的一个三等分点，是的中点，是半径上的动点，若的半径为，求的最小值． 10．图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，标出圆心； (2)在图中，的外接圆上找出一点，使得； (3)在图中，的外接圆上找出一点，使得． 11．如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． (1)求证：． (2)连接，若，求的度数． 12．如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． (1)求证：． (2)若，求证：为等边三角形． 考点03 弧长及扇形面积 1．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ． 6．如图，四边形是长方形，以为直径的半圆与边只有一个交点，且，则阴影部分的面积为 ． 7．如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 8．如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则的长是 ． 9．如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 10．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 考点04 切线及其性质 1．如图，是的直径，与相切于点，若，，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 3．如图，已知与相切于点，是的直径，当，时，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ． 6．如图，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，设正方形的边长为，长为，则与的函数关系式为 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 8．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 9．如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． (1)的半径为________． (2)求证：是的切线． (3)求图中两阴影部分面积的和． 考点05 圆综合问题探究 1．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图像如图所示，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，，，，O为边上的一点，以为半径的半圆O交于点D、交于点E．过点D作半圆O的切线交边于点F，且，则的长为 ． 5．已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是 ． 7．如图以为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，F为弧上的中点，连结交于点E，作于点D，连结，若为的角平分线，则 ； ． 8．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 9．如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 10．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆、直线与圆 考点01 圆基本知识 考点02 圆周角及其性质 考点03 弧长及扇形面积 考点04 切线及其性质 考点05 圆综合问题探究 考点01 圆基本知识 1．已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 2．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的弦的性质． 根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径．已知半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10． ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11． 故选：D． 3．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理求出的长即可求解， 【详解】解：根据题意由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球半径， ∴， 在中， ， ∴， 故选：C． 4．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 5．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 6．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 7．如图，是的割线，和它的延长线分别交于和，如果，，，那么的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的割线相关性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理计算圆的半径． 通过作，结合垂径定理得到的长度，进而求出；再利用垂径定理先后求出（即圆的半径）． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∵是的弦， ， ， ， ． ∴的半径长为． 故答案为：8． 8．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则的半径为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．连接交于点，连接，根据题意得米，，利用垂径定理得出，再利用勾股定理建立方程即可解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接， 则米，， 所以点M为的中点． 因为米， 所以米， 令的半径为米， 在中，， 解得， 所以的半径为5米． 故答案为：5． 9．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作中垂线与边交于点即为所求．可证明是直角三角形，由垂直平分线的性质可知，则，可证，则，所以，则即为所求； （2）根据方格作的垂直平分线，其交点即为点，根据垂直平分线的性质可证，所以即为所求． 【详解】（1）解：作中垂线与斜边交于点即为所求； 由勾股定理可知：， ， ∴是直角三角形， 作中垂线与斜边交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求； （2）解：作垂直平分线的交点即为所求； ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故点即为所求． 10．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【答案】(1) (2)选择方案一，见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． （2）解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一． 考点02 圆周角及其性质 1．如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 2．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故选：D． 3．如图，是的内接锐角三角形，是的直径．若，和，则和满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理． 连接，根据圆周角定理得到，进而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 5．如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】71度/ 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 设，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为：． 6．如图，是⊙O的直径，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，由题意得：，然后根据平行线的性质得到； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴． 故答案为： 7．如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质；连接，，证出是等边三角形，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，连接 ，，，交于， ∵的内接正六边形为正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中； 同理证得是等边三角形，，，， 在中； ； 故答案为． 8．如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 9．如图，已知是半圆上的一个三等分点，是的中点，是半径上的动点，若的半径为，求的最小值． 【答案】的最小值为 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧与圆心角的关系等知识点，确定点P的位置是解题的关键． 如图：作点B关于的对称点E，连接，先说明当A、P、E共线时，此时最小，最小值为；再说明，得，进而得到，再根据勾股定理求出，即可得出的最小值． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点E，根据圆的对称性，则E必在圆上，连接， ∴，，， ∴， ∴当A、P、E共线时，此时最小，最小值为， ∵是半圆上的一个三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 10．图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，标出圆心； (2)在图中，的外接圆上找出一点，使得； (3)在图中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （）作中点即可； （）过作即可； （）作垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）解：点即为所求； ； （3）解：如图，点即为所求． 11．如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． (1)求证：． (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定； （1）连接，根据等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换可得则，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据三角形的外角可得，根据是的直径，得出，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∴ 又∵是的直径， ∴， ∴ 12．如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． (1)求证：． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一的性质以及圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质与判定； （1）连接，由为直径，可证得，根据，利用三线合一即可得证； （2）根据已知可得，根据圆内接四边形对角互补可得，进而得出是等边三角形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 考点03 弧长及扇形面积 1．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 2．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 3．如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正六边形的性质求得，， ，得出是等边三角形，从而可得，再根据含有度角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理求得，从而可求得，再求出，然后利用圆面积减去即可． 【详解】解：镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，如图，连接，，过点O作于点H，    ∵六边形是正六边形， ∴， ，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及轴对称的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； 连接，根据轴对称基本性质得到，进而可得到为等边三角形，再通过勾股定理算出的长度，进而可求出的长． 【详解】解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 5．如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 6．如图，四边形是长方形，以为直径的半圆与边只有一个交点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式，通过构造辅助线证明三角形全等，将阴影面积转化为扇形面积是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，可证四边形、都是矩形，可得，，进而得，因此，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形、都是长方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 7．如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，连接，由，为弧的中点，得，由是直径，则有，所以，由勾股定理得，然后通过即可求解，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，弧长的计算，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别求出各段弧的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意可知：的半径为，的半径为，的半径为，的半径为，…， ∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， ∴的半径为，即， 的半径为，即， 的半径为，即， …， ∴的半径为：， ∴的半径为：， ∴的长为：， 故答案为：． 9．如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析； (2)在旋转过程中点扫过路径的长为． 【分析】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 10．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 考点04 切线及其性质 1．如图，是的直径，与相切于点，若，，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质． 根据圆的切线的性质得到，再解求出，即可求解半径． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为， 故选：A． 2．如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理；由切线的性质构造直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴． 设半径为， 在中， ， 解得． 所以的半径等于． 故选：C． 3．如图，已知与相切于点，是的直径，当，时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质．由与相切于点，可得，再结合，证明，根据平行线的性质可得，又由，可得，即可求得的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 5．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 6．如图，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，设正方形的边长为，长为，则与的函数关系式为 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由正方形的性质可得，根据切线长定理有，，则，，再根据勾股定理可得，代入数值整理即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵过点作半圆的切线，与半圆相切于点，长为， ∴根据切线长定理有，， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， 即， 整理可得：， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【答案】4或8或12 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③仅与轴相切，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时，    点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时，    ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与轴相切于点，则    ， ， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒或秒时，与坐标轴相切， 故答案为：或或． 8．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题属于几何综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数等性质． （1）利用全等三角形的判定与性质，即可证得是的切线； （2）结合，联立勾股定理，解出半径的长度，观察边长的关系，可得的大小，通过角度计算得出的大小，即弧所对的圆心角，根据弧长公式可得弧的长度． 【详解】（1）证明：连接，如下图： 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为R，则， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴弧的长为． 9．如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的半径为 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据已知条件证明，得到，即可得证； （2）作于点，则，得到，设，，则，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ，，且， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：作于点，则， ， ， ， 设，，则， 在中，，即：， ， ， 的半径为5． 10．如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． (1)的半径为________． (2)求证：是的切线． (3)求图中两阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)见解析 (3). 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质与判定，求扇形面积； （1）根据切线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，结合题意即可得出 （2）证明四边形是正方形，进而可得，且是的半径，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：∵以点为圆心的半圆与边相切于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即的半径为； 故答案为：． （2）证明：∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴是的半径， ∴是的切线． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ． 考点05 圆综合问题探究 1．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图像如图所示，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，二次函数的几何应用，勾股定理等，连接，作于，于，则，，，，由已知可得，即得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图像可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于，于，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图像可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴， 故选：． 2．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 3．如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 由垂径定理，得到，，故①③正确，证明，故②正确，推导出，得到，继而证明，得到，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，与相交于点D，， ∴， ∴，故①③正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，①②③④全部正确． 故选D． 4．如图，在中，，，，O为边上的一点，以为半径的半圆O交于点D、交于点E．过点D作半圆O的切线交边于点F，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】设半径为r，过O作交于M，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，．先证明是等边三角形，得到．在等腰三角形中，可得，，则可得．由求出r的值，进而可得的长． 本题主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设半径为r，过O作交于M，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点D作半圆O的切线交边于点F， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵,，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 5．已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，有，进而求得，再通过勾股定理求得，易证得是等边三角形，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点， ∴根据折叠的性质有：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上， ∵， ∴， ∴，，，…， 即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图以为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，F为弧上的中点，连结交于点E，作于点D，连结，若为的角平分线，则 ； ． 【答案】 8 【分析】连接，，设与交于点P，过点F作交直径于点H，根据垂径定理可得，再证明是等腰直角三角形得，则，进而在中，由勾股定理可求出的长；先由三角形的面积求出，再由垂径定理得，，则，然后证明，进而可得的长． 【详解】解：如图，连接，，设与交于点P，过点F作交直径于点H， ∵是半圆的直径，点F是弧上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F是弧上的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8，． 8．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于，于，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； （3）解：过点作于，于，如图所示： 则， ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点， ∴， ， 是的平分线， 又， ， ∴矩形是正方形， 设， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 9．如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由可得，再由直径所对的角是直角有，由，可得，最后根据切线的判定定理求解即可； （2）在中，根据勾股定理可得，由可证得，根据相似三角形的性质有，即，设，，可得，由此求解即可； （3）连接，设，根据圆的性质，平行线的判定与相似三角形的判定可证得，由则有，，，，因此，在中，根据勾股定理可得，最后联立两式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 又， ， 即且是的半径， 是的切线； （2）在中，， 且， ， ， 设，， 则， ， 解得， ； （3）连接，设， 是的直径， 又， ， ， ，则，，，， ① 在中，， ② 将②代入①式得． 10．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②的最小值为． 【分析】（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案. （2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可； ②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴. （2）解：①∵是的直径，弦，， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴， 取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上， 连接， ∴当三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 23 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $