特训07 圆 压轴题（六大题型，浙江精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训07 圆 压轴题（六大题型，浙江精选） 题型1：圆的基本性质 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 3．（2024·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦交于点，，连结，． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点． ①求证：． ②如图，连接，若，，求，的长． 4．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点． (1)如图1，当点在线段中点时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长； (3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 5．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． (1)若，请用含的代数式表示； (2)如图②，作，垂足为，与交于点，已知，求证：. (3)如图③，在 (2) 的条件下，与 交于，，求 的值. 题型2：圆的内接四边形 6．（2023·浙江嘉兴·一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作射线CD于点E． (1)猜想的度数，并说明理由 (2)连接，若，求证：． (3)如图2，作正方形，连接交于点G．若，，求的长． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“互余三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“互余三角形” (1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，等腰直角，其中，点D是上任意一点（不与点A、B重合），则图中△______和△______是互余三角形，并求证：． (3)如图3，的半径为5，四边形是的内接四边形，且和是“互余三角形” ①求的值； ②若°，求和的周长之差． 题型3：动态问题 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1：在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，．    (1)求证：； (2)直接写出线段，，之间满足的等量关系； (3)如图2，在中，，D为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (4)如图3，已知是的直径，点C，D是上的点，且．填空： ①若，，则弦的长为 ； ②若，则当的值最大时，的半径为 ． 11．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中，， ，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)如图1，当点D移动到使时， ①连接DE，求证： ． ②求的值． (2)如图2，当点D到移动到使时，求证：． 题型4：内心有关的圆解答题 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 题型5：情景探究题 13．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧上的点，于D，于E，若，求证：点C是弧的中点． 小波同学想到的办法是：可通过证明来完成它． (1)请你们帮助小波完成证明过程： (2)解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变． 如图2，已知是的直径，点D，点E分别是半径，的中点，延长交于点F，若于D，且点C是弧的中点，求证：，请你证明． (3)拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧上一点，连接，，若，，求的半径长． 14．（2023·浙江宁波·一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1：在中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决． (1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论； (2)如图2，在中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，连接，， ①若，，求弦的长为　　； ②若，求的最大值． 题型6：二次函数与圆 16．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 17．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． (3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 圆 压轴题（六大题型，浙江精选） 题型1：圆的基本性质 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 【答案】(1)1 (2) (3)1或2 【分析】（1）连接，等弧等角，得到，三线合一，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可； （2）同法（1）求出，进而求出的长，即可得解； （3）分和，两种情况进行讨论求解． 【解析】（1）解：连接，则：， ∵点是中点，的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则：， ∵为直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， 同法（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当时，如图： ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴ ，度数均为， ， ， ， ∵， ， ； 当时，，连结， ∵， ， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，为的中点， ∵， ∴， ， ∵，为的中点， 是的中位线， ， ， ． 综上：与的面积比为1或2． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，三角形的中位线定理，综合性较强，属于中考几何常见的压轴题．熟练掌握相关定理和性质，是解题的关键． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【解析】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 3．（2024·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦交于点，，连结，． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点． ①求证：． ②如图，连接，若，，求，的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据弧与圆周角的关系得到的度数为，进而得到的度数为，再由，得到的度数为，则； （2）①连接，则，根据同弧所对的圆周角相等得到，令，则，的度数为，进而可得的度数为，则，推出，得到，由平行线的性质得到，则，即可证明，进而证明；②解：连接，证明四边形是平行四边形，得到，，则，，取的中点，连接，则，进而得到，即可证明，得到，则，过作交于点，过作交于点，则，可证明，设，可得，则，由勾股定理得到，解得：或（负值不符合题意，舍去），则，故，． 【解析】（1）解：∵， ∴的度数为， ∵是的直径， ∴的度数为：， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴的度数为； （2）①证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 令， ∴，的度数为， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：连接， 由①知：， 又∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作交于点，过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设， 由①知：， ∴，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点． (1)如图1，当点在线段中点时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长； (3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，，； 【分析】（）利用勾股定理和线段中点的性质即可求解； （）连接，由得是的直径，则，再根据点为中点证明，再通过角平分线性质和等面积法求出，最后由勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况讨论即可； 此题考查了圆周角定理，勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴在中，有勾股定理得：， ∵点是线段中点， ∴， 在中，有勾股定理得：， （2）解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 由（）得：， 设，则 ∵， ∴，解得：，即， 在中，有勾股定理得：； （3）解：分三种情况， 当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， ∴， 由（）得：，即， ∴ 设，则， ∴在中，由勾股定理得：，即，解得：， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴； 如图，当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， 在和中 ∵， ∴ ∴， 在中，有勾股定理得：； 综上可知：或或． 5．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． (1)若，请用含的代数式表示； (2)如图②，作，垂足为，与交于点，已知，求证：. (3)如图③，在 (2) 的条件下，与 交于，，求 的值. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再利用等边对等角可得，由三角形内角和即可得出结果； （2）根据角之间的数量关系可得：，设，由（1）结论得出，利用三角形内角和及对顶角相等可得，根据等量代换得出，根据等角对等边即可证明； （3）连接，根据，推出，过点作，证明，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，在与中，勾股定理得出，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示：连结， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， 设， 则 由（1）得：， ∵， ∴， 故， ∴； （3）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 过点作 ∴ ∵ ∴ 即， ∴ 在与中， ∴ ∴， 由（2） ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴是等腰直角三角形， 设 ∴ ∴ 在与中， ∴， 整理得． ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 题型2：圆的内接四边形 6．（2023·浙江嘉兴·一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作射线CD于点E． (1)猜想的度数，并说明理由 (2)连接，若，求证：． (3)如图2，作正方形，连接交于点G．若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)见解析 (3)． 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，推出，再根据圆内接四边形的性质以及邻补角的定义即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，推出，再证明，利用圆心角、弦的关系即可证明； （3）连接，证明是线段的垂直平分线，设，得到，，，利用正方形的性质求得，，证明B、E、F、C四点共圆，推出，利用勾股定理列式计算求得a的值，据此计算即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下， ∵半径，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵半径，， ∴， ∴； （3）解：连接， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴B、E、F、C四点共圆， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴(负值已舍)， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“互余三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“互余三角形” (1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，等腰直角，其中，点D是上任意一点（不与点A、B重合），则图中△______和△______是互余三角形，并求证：． (3)如图3，的半径为5，四边形是的内接四边形，且和是“互余三角形” ①求的值； ②若°，求和的周长之差． 【答案】(1)②④ (2)和是“互余三角形”，理由见解析； (3)①；② 【分析】（1）根据“互余三角形”的定义可知，矩形和正方形是“互余三角形”，既得答案； （2）过C作于H，可以得到和是“互余三角形”，在中利用勾股定理的逆定理可以得到结论； （3）①连接并延长交于E，连接，由和是“互余三角形”，可证，然后在中运用勾股定理即可求解；连接并延长交于，连接，过作于，由和是“互余三角形”可知是等腰直角三角形，解出，的值进而解题即可． 【解析】（1）根据“互余三角形”定义可知：矩形和正方形一条对角线把它分成的两个三角形，两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等， ∴矩形和正方形是“互余三角形”， 故答案为：②④； （2）和是“互余三角形”，理由如下： 过C作于H，如图2； ∵， ∴， 又∵ ∴和是“互余三角形”， ∵设A， 则， ∵， ∴， ∴ 在中， ∴， ∴ ∴； （3）①连接并延长交于E，连接，如图3： ∵和是“互余三角形”， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ∴， ∴ 在中，， ∴， 即的值为100； ②连接并延长交于，连接，过作于，如图： ∵ ， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和是“互余三角形” ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，   ∴， ∴， 在中，， 在中， ∴和的周长之差=． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形的全等三角形解决问题． 题型3：动态问题 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意求得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （3）根据题意证明出，利用勾股定理得到是等边三角形，再利用含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【解析】（1）解：证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2）解：解：连接． ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：连接． ， ∵， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质和判定，等边三角形性质及判定，含角的直角三角形三边关系． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，即可得，问题随之得解；②过点O作，垂足为点G，则，证明，即可作答； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，即有四边形是矩形，则，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，进而有，则 ．设，则，，由得，，解方程即可求解． 【解析】（1）①如图所示，连接， 由翻折可知，． ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②．理由如下， 如图所示，过点O作，垂足为点G，则，    在与中， ， ∴， ∴，且， ∴，，即， ∴， ∴． （2）如图所示，将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，    ∴四边形是矩形，即有， 根据垂径定理有， 根据（2）有：， 根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∴中，． 设，则，， 由得，， 解得：． 即． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，是解答本题的关键． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1：在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，．    (1)求证：； (2)直接写出线段，，之间满足的等量关系； (3)如图2，在中，，D为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (4)如图3，已知是的直径，点C，D是上的点，且．填空： ①若，，则弦的长为 ； ②若，则当的值最大时，的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 (4)①；② 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，，由等腰直角三角形可知，由即可证明结论； （2）再根据勾股定理得出，在中，，即可得出结论； （3）同（1）的方法得，，得出，再用勾股定理的出，，即可得出结论； （4）先根据勾股定理的出，再判断出，得出， ①将，代入中，即可得出结论； ②先求出，再将，代入，化简得出，进而求出，最后用勾股定理求出即可得出结论． 【解析】（1）解：由旋转知，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ． （2），理由如下： 由（1）知， 根据勾股定理得，， 在中，， ∴； （3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，    同（1）的方法得，， ，在中，， ， ， ， ， 根据勾股定理得，， 即：； （4）如图，过点作交的延长线于，    ， ， ， ， 根据勾股定理得，， 连接，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ①，， ， ， ， 故答案为：； ， ， ， 当时，的最大值为， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 的半径为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形性质性质，构造全等三角形是解本题的关键． 11．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中，， ，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)如图1，当点D移动到使时， ①连接DE，求证： ． ②求的值． (2)如图2，当点D到移动到使时，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①由，得，再由垂径定理得，再证明， 从而即可证明结论成立；②先由勾股定理 ，进而得，于是即可得解； （2）连接，先证明，进而由勾股定理得，再证明是等边三角形得，再证明得 ， 从而证明结论成立． 【解析】（1）解：①∵， ， ∴， ∵，CD是的直径， ∴， ∴， ∵CD是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵由（1）知 ， ∴，        ∵ ， ∴， ∴， ∴ ，      ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的两锐角互余以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． 题型4：内心有关的圆解答题 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 【答案】(1)8 (2) (3)见详解 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，三角形内角和定理． （1）在直角中，直接用勾股定理即可求出； （2）由是的内心，，，易得，故，所以； （3）连接，则，由点是的内心，易得是等腰直角三角形，则，然后利用三角形外角性质证得即可． 【解析】（1）解：∵是直径， ∴ ∴ ，， 解得： ∵ ∴； （2）∵是的内心 ∴设， ∵， ∴ 即 ∴ ∴； （3）如图，连接，则 点是的内心 ∴平分 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 , , ∴． 题型5：情景探究题 13．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧上的点，于D，于E，若，求证：点C是弧的中点． 小波同学想到的办法是：可通过证明来完成它． (1)请你们帮助小波完成证明过程： (2)解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变． 如图2，已知是的直径，点D，点E分别是半径，的中点，延长交于点F，若于D，且点C是弧的中点，求证：，请你证明． (3)拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧上一点，连接，，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径为． 【分析】（1）利用证明，即可证明，据此可证明点C是弧的中点； （2）求得，则，证明，推出，再利用圆周角定理得到，据此即可证明； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明是等边三角形，设，再证明，根据列方程可得x的值，进一步计算可得结论． 【解析】（1）证明：∵，，∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； （2）证明：∵点D，点E分别是半径，的中点， ∴， ∵于D， ∴，则， ∵点C是弧的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， 在上取点M，使得，连接，过点H作于N， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，则的半径， ∵，即， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．（2023·浙江宁波·一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 【答案】[教材呈现]：面积相等，理由见解析；[基础巩固]：；[尝试应用]：；[拓展提高]：6 【分析】 [教材呈现]根据平行线与三角形的面积公式解答即可； [基础巩固]连接，设的半径为，利用正方形的性质得，根据三角形面积公式得，同理，，可得即可求出阴影面积与圆面积的比； [尝试应用]连接，过点O作于点H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，从而可得，利用勾股定理求出，最后求得结果； [拓展提高]连接，先由垂径定理得出，，从而可得，设，则，由勾股定理求出的长，最后求得结果． 【解析】∵，，，同底等高 ∴ [基础巩固] 连接 ∵ ∴ 同理， ∴ ∴阴影面积与圆面积的比为； [尝试应用] 连接，过点O作于点H ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ，， ∴ [拓展提高] 连接 ∵为直径，于点P ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 在中，， 设半径为r， 则 解得 ∴的半径为6 【点睛】 此题考查的是平行线的性质及三角形的面积公式，垂径定理、弧、弦、圆心角的关系及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1：在中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决． (1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论； (2)如图2，在中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，连接，， ①若，，求弦的长为　　； ②若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据旋转的性质，利用得到，得到，，进而得到，利用勾股定理即可得到，再根据边之间的关系即可得到； （2）点作，且，连接、，即可构造，得到，再利用可得，利用勾股定理即可得到，再根据边之间的关系即可得到； （3）①过点作，交延长线于点，根据，可以得到为等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角，可得为等腰直角三角形，从而得到，再利用勾股定理即可求出的长度； ②由①可确定的长度，设，则，代入得到，再利用二次函数图象性质求最值即可； 【解析】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， 即：， 在中， ∵， 又∵， ∴ （2）如图，过点作，且，连接、， ∵，，， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， 即：， 在中， ∵， 又∵， ∴ （3）①如图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，且， 由勾股定理可得：， ∵是的直径，， ∴，， ∴， 即：为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即：, ∵ ∴， 故答案为： ②设，则， 由①可知： ∴， 当时，的值最大为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，二次函数求最值，构造旋转全等三角形是解决本题的关键． 题型6：二次函数与圆 16．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】(1)； (2)当为直角三角形时，的值为1或2或5； (3)经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． 【解析】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 17．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． (3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，根据平行线的性质得出，即可求解； （3）延长交轴于点，得出，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得，过点作交于点，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，则，进而即可求解． 【解析】（1）解：将点代入， 得，， 解得： ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵，则，则， 当时，， ∴，， ∴, 连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当、、三点在同一直线上， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长交轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 解得：或， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿边翻折，得到， ∴在直线上，且，， 过点作交于点， ∵， ∴，则， ∴， 以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则 设，则， ，， ∵是直径， ∴，则， ∴， 解得， ， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$