精品解析：浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题

2025学年第一学期金华市卓越联盟12月阶段性联考 高一年级数学 试题命题人：浦江县第三中学；审题人：磐安中学汤溪中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】由终边相同，即可判断. 【详解】， 故终边相同， 又，第一象限的角， 所以是第一象限的角， 故选：A 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义计算即可得. 【详解】由，故. 故选：B. 3. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得“，”是真命题，分、两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】由题可得“，”是真命题， 当时，不等式为，显然成立； 当时，则，解得， 综上，实数取值范围为. 故选：C. 4. 已知实数，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】构建，结合函数单调性解不等式，进而分析充分、必要条件. 【详解】因为在定义域内单调递减， 可知函数在定义域内单调递减， 若，即，可得， 所以等价于； 又因为在定义域内单调递增， 若，即，可得， 所以等价于； 综上所述：等价于， 所以“”是“”成立的充要条件. 故选：B. 5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 6. 已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件建立不等式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得， 则至少需要6年，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论、、、，结合一次函数、指数函数的单调性判断的单调性、值域，结合存在最小值确定参数范围. 【详解】当时，在上单调递减，最小值为， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递减， 所以在上单调递减，则， 所以，即时，存在最小值， 当时，在上单调递减，最小值为， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递增， 所以在上单调递增，则， 所以，即时，存在最小值， 当时，在上为常数函数， 此时在上单调递增且值域为，在上单调递增， 所以在上单调递增，则，显然无最小值， 当时，在上单调递增， 当时，，显然不可能存在最小值， 综上，存最小值，则. 故选：D 8. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的性质可知与有相同的单调区间及相同的对称轴，将转化到同一个单调区间即可比较函数值的大小. 【详解】对于方程，其根的判别式， 所以无实数解，恒成立，即的定义域为. 根据复合函数的性质可知的图象与的图象有相同的对称轴， 且在上单调递减，在上单调递增. 而，所以. 因，所以，即， 所以， 所以，即， 所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数恒过定点，故A错误； 对于B，函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C错误； 对于D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减， 则，故D正确. 故选：BD. 10. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. ，使得有解 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】由 令，当，可得，即， 当，可得，即， 作出函数图象如下： 由图象可知最小正周期为，A错误， 是图象的一条对称轴，B正确， 在区间上单调递增，再结合函数周期， 所以在区间上单调递增，C正确， 由图象可知函数最小值为， 又，由在单调递增， 可得：， 所以，使得有解，D正确， 故选：BCD 11. 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 方程在的各根之和为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可知，函数的关于原点对称且周期为4，又即可判断A；结合周期函数性质代入计算可得B；根据函数在区间上单调递减，利用不等式即可证明C正确；结合函数奇偶性、单调性，可表示出在、、、与上的根，结合其在上的根的范围即可得D. 【详解】对于A，由是定义在上的奇函数，则， 又，所以， 即，所以， 即是以为周期的周期函数； 又由为奇函数，则，则，， 又由，则，即， 则有，，综合可得，A正确； 对于B，由，则， 则 ，B正确； 对于C，，所以， 又， 可得在上是减函数，又，， 则，故， 又由，则， 所以必存在，使得，即，，C正确； 对于D，由C知，在上是减函数，且，， 故在上是增函数，， 又，则，即， 故在上有一根，设为，则， 由为偶函数，则在上有一根，且为， 由，则， 故是以为周期的周期函数， 又，则，故关于对称， 又是以为周期的周期函数，则关于对称， 故在上有一根，且为， 又是以为周期的周期函数， 故在上有一根，且为， 在上有一根，且为； 故， 由，则，D错误. 故选：ABC. 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域求法求函数定义域. 【详解】由题设，可得，则的定义域为. 故答案为： 13. 若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到的取值范围，代入等式化简，由基本不等式求得最小值. 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 当时，∴， ∴当，时，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，讨论不同取值得到不同的不等式组，分离常数后通过函数在对应区间上的单调性求得不等式右边最值，由不等式恒成立得到的取值范围.然后将求得的区间取交集即为本题结果. 【详解】当时，，即， ∴恒成立， 取不等式左边得恒成立， 令函数，则二次函数开口向下，且对称轴为， ∴，∴； 取不等式右边得恒成立， 令函数，二次函数开口向上，且对称轴为， ∴，∴即. 当时，，即， ∴， 取不等式左边得恒成立， 令， 由双勾函数的单调性可知， ∴，∴ 取不等式右边得恒成立， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号，∵，∴，即. ∵.∴. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简求值； （2）根据对数的运算性质化简求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的条件，得，解不等式即可； （2）由题意，得，分集合是否为空集，根据子集关系进行求解即可. 【小问1详解】 由题得，即，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， ①当即时，解得，满足题意； ②当即时，解得， 又，所以， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围. 17. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； （2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】（1） （2），4秒 【解析】 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【小问1详解】 由，得， ， ， 又由，则， 故. 【小问2详解】 水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 18. 已知函数，函数，其中. （1）请探究与之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程； （2）求函数的零点； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1），证明见解析 （2）零点为0 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过平方差公式探究与、的关系； （2）利用（1）的结论代入函数，求解零点； （3）将、代入不等式，结合函数性质分情况讨论求解. 【小问1详解】 由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，代入得：， 又， 代入得：， 所以，解得：舍去 ，故的零点为0； 【小问3详解】 因为， ， ， ， 即， 当，不等式的解集为； 当，不等式的解集为； 当，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 19. 已知，函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求的值域； （3）若存在，使，求的取值范围. 【答案】（1）函数在单调递减，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义判断证明； （2）当时，，换元令，结合函数单调性求出值域； （3）令，问题转化为存在使之成立. 令，则存在为方程的解，分和讨论求解. 【小问1详解】 在上单调递减，证明如下： 当时，，任取， 则， ，，则， 所以，可得， 在单调递减. 【小问2详解】 当时，，令， 则， 因为在上单调递增，可知， 故，即的值域为. 【小问3详解】 令，即存在使之成立. 令，则存在为方程的解. ①当时，，不符合题目要求，不成立. ②当时，原方程同解于，令，则， 所以，存在使之成立. 设，原问题转化为存在使成立. 当时，函数变为，显然不合题意； 当，即时，函数在和上单调递增， 易知为奇函数且有两个零点为和，如图， 所以当时，必有，可得： 或当，即时，符合题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期金华市卓越联盟12月阶段性联考 高一年级数学 试题命题人：浦江县第三中学；审题人：磐安中学汤溪中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 7. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，则（ ） A. B. C D. 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 10. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. ，使得有解 11. 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 方程在的各根之和为，则 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数定义域为，则的定义域为__________. 13. 若，，则的最小值为__________. 14. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； （2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 18 已知函数，函数，其中. （1）请探究与之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程； （2）求函数的零点； （3）解关于的不等式：. 19. 已知，函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求的值域； （3）若存在，使，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $