精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

七年级数学 2025．12．22 (考试时间： 120分钟 满分： 150分) 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题(共18分) 一、选择题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 计算 的结果（ ） A. B. C. D. 2. 下列基本图形中经过平移、旋转或轴对称变换后不能得到右图的是（　　） AI A. B. C. D. 3. 随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设．若现有设备的算力为(是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的倍，达到，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ） A. 等角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 6. 若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（ ） A. 可能画1条 B. 可能画3条 C. 可能画4条 D. 可能画6条 第二部分 非选择题(共132分) 二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 7. 已知， 则的补角度数是________． 8. 某网店促销，将原价a元的商品打9折后再降价20元出售，则商品的售价是______元． 9. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 10. 如图是一个多面体的表面展开图，则该多面体的名称是________． 11. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是__________． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 13. 若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是______． 14. 如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 15. 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入上行，乘数记入右行，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的a值是_______． 16. 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一新正整数m：若余数为0， 则 ；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换．例如：正整数，根据4除以3的余数为1，由，可得对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由，可得对4进行二次变换得到的数为9．若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则满足条件的n的值为________． 三、解答题(本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 已知：，． （1）求N；（用含a、b的代数式表示）； （2）比较M与N的大小． 20. 整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 （1）根据题意，得： ， 方程的解是 ； （2）求关于x的方程的解． 21. 某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． （2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 22. 阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为，(n为正整数)，符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第n个数的和，即 ，例如：一列数1，3，4， 7， 9中， ， 解决问题： 已知一列数， 8，， 16，， 32， …， （1）S9的值为 ， S10的值为 ； （2）若 求n的值． 23. 【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；(填序号) 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒． 如图，方法如下：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的高为，长为 ，宽为 （用含， 的式子表示） ； 【实践应用】 （3）春节临近，某纸箱厂需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，并且一张纸板制作一个纸盒．小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，很快画出一种设计图（如图）．但爱思考的小聪同学觉得有更好的方案，可以为厂方降低采购成本．请你画出小聪同学的设计图，标上相应的尺寸，并通过长方形纸板的面积计算说明小聪的方案为何更好． 24. 如图，小华从下午开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转度，时针每小时旋转度．请你完成小华思考的下列问题： （1）钟面上的分针旋转的速度为 度/分钟，时针旋转的速度为 度/分钟； （2）若钟面上的分针与时针重合，此时为点多少分？（保留准确结果） （3）若钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点多少分？（直接写出结果） 25. 已知：O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若．则 ________°． （2）在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 26. 如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 ，点表示的数 （用含的代数式表示）； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点? （2）若点是的中点，点是的中点．试探究点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； 在点运动过程中，有多长时间原点恰好在中的线段上?请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 2025．12．22 (考试时间： 120分钟 满分： 150分) 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题(共18分) 一、选择题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 计算 的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键． 第一部分是m个3相加，等于3乘以m；第二部分是n个4相乘，等于4的n次方，然后求和即可． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ 原式 ． 故选：A． 2. 下列基本图形中经过平移、旋转或轴对称变换后不能得到右图的是（　　） AI A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质即可得出正确结果． 【详解】A.把A中图案经过平移可得题中图形，故正确； B.把B中图案经过平移和旋转可得题中图形，故正确； C.C中图案经过经过平移、旋转或轴对称变换都得不到题中图形，故不正确； D. 把D中图案经过旋转可得题中图形，故正确； 故选C. 【点睛】本题考查平移、旋转和轴对称的性质．平移的基本性质：①平移不改变图形的形状、大小和方向；②经过平移，对应点所连的线段平行或在同一直线上，对应线段平行且相等，对应角相等．旋转的性质：①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变；②两组对应点连线的交点是旋转中心．轴对称的性质：①翻折变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3. 随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设．若现有设备的算力为(是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的倍，达到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．用现有设备的算力乘以，直接计算即可得出的值． 【详解】解：现有设备的算力为 ，新算力是现有设备的算力的倍， ． 故选：D． 4. 如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离、线段中点的定义等知识点，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 5. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ） A. 等角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】如图：先画出图形，然后再根据邻补角的性质、等量代换、同角的补角相等即可解答． 本题主要考查了对顶角的性质、邻补角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解答本题的关键．． 【详解】解：如图， ，， ． ∴论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等． 故本题选：D． 6. 若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（ ） A. 可能画1条 B. 可能画3条 C. 可能画4条 D. 可能画6条 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线， 根据四个点的位置关系讨论直线条数：当所有点共线时可画1条；当三个点共线另一个点不共线时可画4条；当没有三个点共线时可画6条，即可判断． 【详解】解：∵ 四点共线时，过任意两点画直线，所有点均在一条直线上， ∴ 只能画1条直线； ∵ 有三点共线，第四点不在此直线上时，共线三点确定一条直线，第四点与共线三点各确定一条直线， ∴ 共可画4条直线； ∵ 任意三点不共线时，每两点确定一条直线， ∴ 可画6条直线； 综上，无法画出3条直线， 故选：B． 第二部分 非选择题(共132分) 二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 7. 已知， 则的补角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．根据补角的定义，互为补角的两个角之和为，因此的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角度数是． 故答案为：． 8. 某网店促销，将原价a元的商品打9折后再降价20元出售，则商品的售价是______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列代数式． 根据题意，先计算打9折后的价格，即原价乘以0.9，再减去降价金额20元即可． 【详解】解：原价a元打9折，得元， 再降价20元，得售价为元． 故答案为：． 9. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号．由数轴可知，，，从而得到，，最后根据有理数的乘法法则即可得解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 10. 如图是一个多面体的表面展开图，则该多面体的名称是________． 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，熟练掌握常见几何体的平面展开图是解题的关键．需要注意的是：同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的；虽然不同的几何体以不同的方式展开会得到不同的图形，但组成这些图形的基本图形是一致的，常常是三角形、四边形、圆等；我们常见的棱柱主要是直棱柱（侧面垂直于底面），但一个棱柱的侧面不一定是完全相同的长方形．由该多面体的表面展开图即可直接得出答案． 【详解】解：由该多面体的表面展开图可知，该多面体的名称是：三棱柱， 故答案为：三棱柱． 11. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是__________． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握从直线外一点作直线的垂线，这点到垂足间的垂线段长度叫点到直线的距离． 根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点P到直线l的距离是3， 故答案为：3． 13. 若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解， 通过整体代换，将关于 的方程转化为关于 的方程，利用已知方程的解求解． 【详解】解：因为关于 的一元一次方程 的解为 ， 所以关于 的方程 ， 即，所以 ，解得 ． 故答案为：． 14. 如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 15. 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入上行，乘数记入右行，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的a值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】认真仔细理解题意，根据题意可得出，计算出a值． 【详解】 根据题意可得，如图所示，且设方格相应的位置为x，y，则有，，那么，，再将其都代入中， 得到， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，以及新概念的快速理解运用能力，解答的关键是根据题意列出相应的方程． 16. 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一新正整数m：若余数为0， 则 ；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换．例如：正整数，根据4除以3的余数为1，由，可得对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由，可得对4进行二次变换得到的数为9．若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则满足条件的n的值为________． 【答案】2或9 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键．由二次变换结果为1，反推第一次变换后的数只能为3，再反推n的值可能为9或2即可． 【详解】解：设第一次变换后的数为k， 则对k进行一次变换后得到1． 若k除以3的余数为0，则， 解得：； 若余数为1，则， 解得：（舍去）； 若余数为2，则， 解得：（舍去）． 故． 再对n进行一次变换得到． 若n除以3的余数为0，则， 解得：； 若余数为1，则， 解得：（舍去）； 若余数为2，则， 解得：． 故或9， 故答案为：2或9． 三、解答题(本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算减法运算即可； （2）原式利用乘法分配律计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程即可， （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 已知：，． （1）求N；（用含a、b的代数式表示）； （2）比较M与N的大小． 【答案】（1）N＝；（2） 【解析】 【分析】（1）根据，，可得N＝，然后合并同类项即可； （2）根据（1）计算的结果利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴N＝， ∴N＝； （2）∵ ， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 （1）根据题意，得： ， 方程的解是 ； （2）求关于x的方程的解． 【答案】（1），4 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程， （1）先根据表格数据求出a，b的值，然后代入解方程即可． （2）根据求出的a，b的值代入，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，， ； 当时，，即 ； ∴方程，即为， 解得：； 故答案为：，4； 【小问2详解】 解：由（1）知，，； ∴关于x的方程可化为， 解得：． 21. 某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． （2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 【答案】（1）A工程队用的天数；A工程队整治的米数 （2） 解：选择甲同学的解答过程为：， 解得， 所以A工程队整治的米数为：米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 选择乙同学的解答过程为：， 解得， 由题意可知A工程队整治的米数为60米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据所列方程可得甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数． 【小问2详解】 略 22. 阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为，(n为正整数)，符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第n个数的和，即 ，例如：一列数1，3，4， 7， 9中， ， 解决问题： 已知一列数， 8，， 16，， 32， …， （1）S9的值为 ， S10的值为 ； （2）若 求n的值． 【答案】（1）；20 （2）1011；1012 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化知识，按照“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第n个数的和，进行计算是解题关键． （1）先求出，，再按照题意求和计算即可． （2）若n为偶数，由（1）可知，再计算即可；若n为奇数，，再计算即可． 【小问1详解】 解：依题意：这一列数的奇数个数的符号为“-”，偶数个数的符号为“”， 所以第9个数为负数，第10个数为正数， 又这一列数依次为， 所以，， 故： ； ； 【小问2详解】 解：若n为偶数，由（1）可知 ， ∴， ∴． 若n为奇数， ， ∴， ∴． 答：n的值为1011或1012． 23. 【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；(填序号) 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒． 如图，方法如下：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的高为，长为 ，宽为 （用含， 的式子表示） ； 【实践应用】 （3）春节临近，某纸箱厂需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，并且一张纸板制作一个纸盒．小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，很快画出一种设计图（如图）．但爱思考的小聪同学觉得有更好的方案，可以为厂方降低采购成本．请你画出小聪同学的设计图，标上相应的尺寸，并通过长方形纸板的面积计算说明小聪的方案为何更好． 【答案】（1）；（2），； （3）小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，所需长方形纸板的面积为； 小聪同学的设计图如下： 则小聪同学制作方案所需长方形纸板的面积为 ， ， 小聪的方案更好． 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何体的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）利用正方体的表面展开图的特征解答即可； （2）根据长方体的表面展开图得出长、宽即可； （3）根据题意设计出符合要求的图形即可，然后计算出长方形纸板的面积进行比较即可． 【详解】解：（1）不能折成一个无盖正方体纸盒，能折成一个无盖正方体纸盒； 故答案为：； （2）由题意可知，该长方体纸盒的长为，宽为； 故答案为：，； （3） 略 24. 如图，小华从下午开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转度，时针每小时旋转度．请你完成小华思考的下列问题： （1）钟面上的分针旋转的速度为 度/分钟，时针旋转的速度为 度/分钟； （2）若钟面上的分针与时针重合，此时为点多少分？（保留准确结果） （3）若钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点多少分？（直接写出结果） 【答案】（1）， （2）当钟面上的分针与时针重合，此时为点分 （3）当钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点分 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据时针和分针每小时旋转的角度除以分钟，即可求解每分钟所走的角度； （2）设点分时，钟面上的分针与时针重合，分别表示出分针所旋转的角度和时针所旋转的角度，根据“分针与时针重合”列方程求解即可； （3）设点分时，钟面上的分针与时针夹角恰好为，分三种情况讨论：分针未追上时针前；分针追上并超过时针后，第一次钟面上的分针与时针夹角为时；分针追上并超过时针后，第二次钟面上的分针与时针夹角为时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：钟面上的分针旋转的速度为：（度/分钟）， 时针旋转的速度为：（度/分钟）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点分时，钟面上的分针与时针重合，则有： ， 解得， 即当钟面上的分针与时针重合，此时为点分； 【小问3详解】 解：设点分时，钟面上的分针与时针夹角恰好为， 分三种情况讨论： 分针未追上时针前，钟面上的分针与时针夹角小于，故此情况不存在； 分针追上并超过时针后，第一次钟面上的分针与时针夹角为时，则有： ， 解得， 分针追上并超过时针后，第二次钟面上的分针与时针夹角为时，则有： ， 解得，此时已点钟，不符合题意； 综上，当钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点分． 25. 已知：O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若．则 ________°． （2）在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）15 （2） （3） ，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． 【小问3详解】 略 26. 如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 ，点表示的数 （用含的代数式表示）； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点? （2）若点是的中点，点是的中点．试探究点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； 在点运动过程中，有多长时间原点恰好在中的线段上?请直接写出结果． 【答案】（1），； 点运动秒时追上点 （2）线段的长度不会发生变化，且；在点运动过程中，有秒原点恰好在线段上 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的中点，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示相关点和相关线段的长度． （1）根据两点间的距离为即可求出点表示的数，根据动点的运动速度和运动时间则可求出点表示的数； 先表示出点表示的数，然后列方程求解即可； （2）先表示出点和点表示的数，进而可得到线段的长度，从而得证； 根据题意列方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：， 点表示的数为， 根据题意，点表示的数为； 故答案为：，； 点表示的数为， 根据题意得，， 解得， 点运动秒时追上点； 【小问2详解】 解：点是的中点，点是的中点， 点表示的数为，点表示的数是， ， 线段的长度不会发生变化，且； 根据题意得，令，解得， 令，解得， （秒）， 即在点运动过程中，有秒原点恰好在线段上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $