第六单元　圆 课件 2026年中考数学一轮专题复习（苏州）

该初中数学课件聚焦“圆的基本性质”中考核心考点，覆盖圆的概念、垂径定理、圆周角定理等新课标要求内容。结合近4年中考真题分析考点权重，如圆周角定理4年2考，综合题4年2考，并按计算题、证明题等归纳常考题型，对接中考说明，提升备考针对性。 课件亮点在于“考点精讲+真题演练+分层训练”模式，通过2024苏州25题等真题示范，如垂径定理“知二推三”技巧，培养学生几何直观与推理意识。针对圆内接四边形性质等考点，结合相似三角形构建解题思路，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效指导中考冲刺。

第六单元　圆 提升课26　与圆有关的位置关系 节前复习导图 点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 切线的性 质与判定 性质定理 判定定理 判定方法 三角形的 内切圆 定义 圆心O 性质 角度关系 与圆的位置 关系 切线长 切线长定理 1 考点精讲 2 核心考点突破 3 分层作业本 考点精讲 一、点与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)如图① 1. 点在圆外⇔d r，如点A 2. 点在圆上⇔d r，如点B 3. 点在圆内⇔d r，如点C　 图① ＞ = ＜ 返回思维导图 返回目录 二、直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d) 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d ⁠r d ⁠r d ⁠r 交点的个数 ⁠公共点 有且只有一个公共点 有 ⁠个公共点 示意图 ＞ = ＜ 没有 两 返回思维导图 返回目录 三、切线的性质与判定 1. 性质定理：圆的切线 于过切点的半径(或直径) 2. 判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3. 判定方法 (1) 直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线经过圆上一点，则 连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直； (2)直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知条件中不确定直线 与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长 垂直 返回思维导图 返回目录 四、切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 五、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长 ⁠，这一点 和圆心的连线 两条切线的夹角.如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切 点，那么PA= ，∠APO= = 　∠APB 图② 相等 平分 PB ∠BPO 返回思维导图 返回目录 六、三角形的内切圆 1. 定义：与三角形各边都相切的圆 2. 圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的 的交点) 3. 性质：三角形的内心到三角形的 ⁠的距离相等 4. 角度关系：如图③，∠BOC=90°＋∠BAC 角平分线 三条边 图③ 返回思维导图 返回目录 【满分技法】若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则S△ABC=(a＋b ＋c)r 返回思维导图 返回目录 核心考点突破 点、直线与圆的位置关系 命题点 1 例1　(九上练习改编)在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，O是BC边上的中 点.连接AO，以点O为圆心，r为半径作圆. (1)若r=3，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O的 位置关系是 ⁠； (2)若r=4.8，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O 的位置关系是 ⁠； (3)若r=8，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O的 位置关系是 ⁠. 点A在⊙O外 相离 点A在⊙O外 相切 点A在⊙O内 相交 返回目录 与切线判定有关的证明及计算(4年2考) 命题点 2 例2　(九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的 直线CD交BA的延长线于点D，且∠DCA=∠B，求证：CD是⊙O的切线. 返回目录 证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB＋∠B=90°. 又∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∵∠DCA=∠B， ∴∠DCO=∠ACO＋∠DCA=∠CAB＋∠B=90°， 即CD⊥OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. 返回目录 例3　(九上练习改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，O 为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作⊙O，求证：BC是⊙O的切线. ∟ H 证明：如图，过点O作OH⊥BC于点H， ∴∠OHB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴OH∥AC， ∵∠A=60°， ∴∠HOB=60°，∠B=30°， ∴OH=OB， ∵3AO=AB， ∴OA=OB， ∴OH=OA， ∴OH是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线. 返回目录 练习1　 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP， 垂足为点C，交⊙O于点B，连接BO并延长交PA的延长线于点D，连接PB. 证明：如图，连接OA， ∵AB⊥OP，OB=OA， ∴∠BOP=∠AOP， 在△OBP与△OAP中， (1)求证：PB为⊙O的切线； 返回目录 ∴△OBP≌△OAP(SAS)， ∵PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴∠OAP=90°， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∴OB⊥PB， ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； 返回目录 PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C. (2)若OB=3，OD=5，求OP的长. 解：∵OD=5，OA=OB=3， ∴BD=OD＋OB=8，在Rt△AOD中，AD==4， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA=PB， 在Rt△DBP中，PD2=PB2＋BD2， 即(PB＋4)2=PB2＋82，解得PB=6， ∴在Rt△OBP中，OP===3. 返回目录 练习2　(2025苏州25题10分)如图，在四边形ABCD中，BD=CD， ∠C=∠BAD. 以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE， BE. (1)求证：BC为⊙O的切线； 证明：∵BD=CD， ∴∠C=∠DBC， 又∵∠C=∠BAD， ∴∠BAD=∠DBC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD＋∠DBA=90°，∴∠DBC＋∠DBA=90°， 即∠CBA=90°， ∴AB⊥BC， ∵OB为⊙O的半径， ∴BC为⊙O的切线； 返回目录 四边形ABCD，BD=CD，∠C=∠BAD. AB为直径. (2)若AB=，sin∠AED=，求BE的长. 解：如图，过点D作DF⊥BC，垂足为F， ∟ F ∵，∴∠ABD=∠AED， ∴sin∠ABD=sin∠AED=， 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=，sin∠ABD=， ∴AD=1，BD=3， ∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴DF∥AB， 返回目录 ∴∠BDF=∠ABD，∴sin∠BDF=sin∠ABD=， 在Rt△BDF中，∠BFD=90°，BD=3，sin∠BDF=， ∴BF=， ∵BD=CD，DF⊥BC，∴BC=2BF=， ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠DAB＋∠BED=180°， ∵∠C=∠BAD，∴∠CEB=∠C，∴BE=BC=. ∟ F 返回目录 练习3　(2022苏州24题8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中 点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点，且CF=EF. 返回目录 (1)求证：CF为⊙O的切线； 证明：如图①，连接OC，OD， ∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC. ∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC. ∵∠OED=∠FEC，∴∠OED=∠FCE. ∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠DOE=90°， ∴∠DOE=90°，∴∠OED＋∠ODC=90°， 图① ∴∠FCE＋∠OCD=90°，即∠OCF=90°， ∴OC⊥CF. ∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线； 返回目录 AB是⊙O的直径， D是的中点，CF=EF. (2)连接BD，取BD的中点G，连接AG. 若CF=4，BF=2，求AG的长. 解：如图②，过点G作GH⊥AB，垂足为H， 设⊙O的半径为r，则OF=r＋2. 在Rt△OCF中，由勾股定理，得42＋r2=(r＋2)2， ∟ H 图② 解得r=3. ∵GH⊥AB，∴∠GHB=90°. ∵∠DOE=90°，∴∠GHB=∠DOE， 返回目录 ∴GH∥DO，∴=. ∵G为BD中点，∴BG=BD， ∴BH=BO=，GH=OD=， ∴AH=AB－BH=6－=， ∴AG===. 返回目录 与切线性质有关的证明及计算(2023.27涉及) 命题点 3 例4　如图，已知AD为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且∠CED=30°， 过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B，连接AC. 若BC=，求AC的长. 解：如图，连接OC， 由题意得，∠CAD=∠CED=30°， ∴∠COD=2∠CED=60°， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OCB=90°， ∴∠B=90°－∠COB=30°=∠CAD， ∴AC=BC=. 返回目录 例5　(九上例题改编)如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点 C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连 接EF，AE，AF. (1)求证：∠BAF=∠CDB； 证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥CD， ∴∠BAC=∠BAD=90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°， ∵∠BAF＋∠ABD=90°，∠CDB＋∠ABD=90°， ∴∠BAF=∠CDB； 返回目录 直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径. (2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长. 解：在Rt△ABD中，∵AB=2r=12，AD=9， ∴BD==15， 在Rt△ABC中，∵AB=12，AC=12， ∴BC==12， ∴CD=AC＋AD=21， ∵∠ABF=∠DBA，∠AFB=∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， 返回目录 ∴=，即=， 解得BF=， ∵∠BEF=∠BAF，∠BAF=∠CDB，∴∠BEF=∠CDB， ∵∠EBF=∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴=，即=， 解得EF=， 即EF的长为. 返回目录 练习4　(2025 )如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O 作AC的平行线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作⊙O的切线与BA的延 长线交于点F. (1)求证：DF∥BC； 证明：∵△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°， ∵DE∥AC，∴∠DEB=90°， ∵OD是⊙O的半径，DF是⊙O的切线， ∴∠FDO=90°，∴∠DEB=∠FDO， ∴DF∥BC； 返回目录 △ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D. (2) 若BC=8，DO=5，求AF的长. 一题多解法 解：如图，延长CA交DF于点H， H ∵∠FDO=∠CED=∠C=90°， ∴四边形CEDH是矩形， ∴∠CHD=90°，CH=DE， ∵BC=8，DO=5，∴AB=10， ∴在Rt△ABC中，AC==6， ∵O是AB的中点，DE∥AC，∴OE是△ABC的中位线， 返回目录 ∴OE=AC=3，CE=BC=4， ∴DE=OD＋OE=8， ∴CH=8， ∴AH=CH－AC=2， ∵sin F= =， ∴=， 解得AF = . H 返回目录 △ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D. 若BC=8，DO=5，求AF的长. 解法二：∵∠DEB=∠FDO=90°，∠EOB=∠DOF， ∴△EOB∽△DOF，∴=， ∵DO=BO=5，∴AB=10， 又∵BC=8，∴AC==6， ∵O是AB的中点，DE∥AC，∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=AC=3，∴=，∴OF=，∴AF=OF－OA= －5=. 返回目录 切线长和切线长定理 命题点 4 例6　(九上练习改编)如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E， F，G，且AB∥CD，连接OB，OC，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE＋CG 的长等于(　D　) A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm D 返回目录 练习5　(九上复习题改编)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切 点，AC是⊙O的直径，连接AB，若∠P=50°，则∠BAC= ⁠. 25° 返回目录 三角形的内切圆 命题点 5 例7　(九上复习题改编)如图，在△ABC中，AB＋AC=BC，AD⊥BC于点 D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值 为 　​ 　　. ​ 返回目录 $ 第六单元　圆 基础课25　圆的基本性质 章前复习思路 确定圆 的条件 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 相交 弦：垂径定理 角：圆周角定理及推论； 弦、弧、圆心角的关系 形：三角形的外接圆； 圆内接四边形； 正n边形和圆 相切 性质、判定 三角形的内切圆 ※切线长及定理 相离 圆 与圆有关的计算 轴对称性 旋转不变性 中心对称性 圆的性质 圆锥的侧面展开图是扇形 扇形的弧长和面积计算 圆锥的相关计算 阴影部分面积计算 阴影部分常转化为扇形 节前复习导图 与圆有关的概念 圆内接 四边形 垂径定理 及其推论 定理 推论 三角形的外接圆 定义 圆心 O 性质 角度关系 正多边形 与圆 中心角 边心距 周长 面积 与圆有关的性质 对称性 旋转不变性 弧、弦、弦心距、圆心角的关系 定理 推论 圆周角定理 及其推论 定理 推论 圆的基本 性质 圆的概念 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、圆的概念：在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做 圆.其中，点O叫做 ，线段OP叫做 ⁠ 二、与圆有关的概念(图①) 如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且D为弧AB的中点，连接 AC，OC，OD. (任填一个符合要求的答案) 图① 圆心 半径 返回思维导图 返回目录 (1)图中 是圆周角， ⁠是圆 心角(写出小于180°的角即可) (2)图中 是弦，其中 ⁠是最长的弦 (3)图中 是优弧， ⁠ 是劣弧 (4)图中和 ，和 ，和是等弧 ∠BAC ∠AOC(或∠BOC或∠AOD或∠BOD或∠COD) AC(或AB) AB (或或或或) (或或或或)　 ​ ​ 返回思维导图 返回目录 三、与圆有关的性质 1. 对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它 的对称轴， ⁠是它的对称中心 2. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 圆心 返回思维导图 返回目录 四、弧、弦、弦心距、圆心角的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦 心距相等 2. 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦 心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等 简记：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 (2)弧的度数等于它所对圆心角的度数 【满分技法】在同圆或等圆中，若=2则所对的圆心角(或圆周角)等于所对的圆心角(或圆周角)的2倍，但弦AB≠2CD 返回思维导图 返回目录 五、圆周角定理及其推论 1. 定理： ⁠ 2. 推论 (1) ⁠ (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦 是 ⁠ 【满分技法】 (1)一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补 (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 直角(或90°) 直径 返回思维导图 返回目录 六、垂径定理及其推论(图②) 1. 定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的弧(2022课标将 探索并证明垂径定理调整为考查内容) 2. 推论：平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 ⁠弦所对的弧 平分这条 平分这条 垂直 平分 返回思维导图 返回目录 【满分技法】根据圆的对称性，如图②所示，在以下五个结论中： (1) ；(2)  　 =；(3)AE= ；(4)AB⊥CD； (5)CD是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”， 若由(3)(5)推其他3个结论应满足AB不是直径　 图② ​ BE ​ 返回思维导图 返回目录 七、三角形的外接圆(图③) 1. 定义：经过三角形三个顶点的圆 2. 圆心O：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的 的交点) 3. 性质：三角形的外心到三角形的 ⁠的距离相等 4. 角度关系：∠BOC=2∠A，∠BOC=360°－2∠A′ 垂直平分线 三个顶点 返回思维导图 返回目录 【知识拓展】若在Rt△ABC中，a，b分别是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则外 接圆半径r= 图③ 返回思维导图 返回目录 八、圆内接四边形(图④) 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的 外接圆 2. 性质 (1)圆内接四边形的对角 ⁠ (2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的 ⁠ 【满分技法】连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形， 如图④，△ADF∽ ，△ABF∽ ⁠ 图④ 互补 内对角 △BCF △DCF 返回思维导图 返回目录 九、正多边形和圆 名称 公式 图例 中心角 正n边形的每个中心角θ为 ⁠ R：半径　r：边心距 　a：边长　θ：中心角 边心距 正n边形的边心距r= 周长 正n边形的周长l=na 面积 正n边形的面积S= rl(l为正n边形的周长) ​ ​ 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 圆周角定理及其推论(4年2考) 命题点 1 1. (九上练习改编)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接 OC，CD，BD. 若∠AOC=40°，则∠D的度数为(　D　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° D 返回目录 2. (2025苏州中学集团一模)如图，已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分 别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知 ∠A=30°30′3″，则的度数不可能是(　A　) A. 61° B. 62° C. 63° D. 64° A 返回目录 3. (2022苏州13题3分)如图，AB是 ⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接 AC，AD. 若 ∠BAC=28°，则 ∠D= ⁠°. 62 返回目录 4. (2024苏州12题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A= ⁠°. 62 返回目录 垂径定理及其推论(2023.8) 命题点 2 5. 如图，工人师傅准备用一个内径为20 cm的塑料圆管截一段引水槽，槽 口宽度AB为16 cm，点O为圆心，OC⊥AB，则槽的深度CD为(　A　) A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm A 返回目录 【解析】∵塑料圆管的内径为20 cm，∴塑料圆管的半径为10 cm，即 OA=OC=10 cm，∵OC⊥AB，∴AD=DB=AB=8 (cm)，在Rt△ADO中， 由勾股定理，得OD==6 (cm)，∴CD=OC－OD=10－6=4 (cm). 返回目录 6. (九上复习题改编)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，且 =4，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DO并延长交AC于点E，则 ∠CED度数为(　C　) A. 36° B. 44° C. 54° D. 66° C 返回目录 【解析】如图，连接OC，∵ ，∴∠AOC=4∠BOC. ∵AB是 ⊙O的直径，∴∠AOC＋∠BOC=180°，∴5∠BOC=180°， ∴∠BOC=36°，∴∠BAC=∠BOC=18°.∵CD⊥AB， ∴∠BOD=∠BOC=36°，∴∠AOE=∠BOD=36°，∴∠CED=∠AOE＋ ∠BAC=36°＋18°=54°. 返回目录 7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD(弦AB，CD位于圆心两侧)，连接 AO，CO，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，⊙O的半径为 6，若AB=6，CD=6，则∠AOC的度数为 ⁠. 105° 返回目录 【解析】∵AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴E，O，F三点共 线.∵AB=6，CD=6，OA=OC=6，∴AE=AB=3，CF=CD=3，∴在 Rt△AOE中，sin∠AOE===；在Rt△COF中， sin∠COF===，∴∠AOE=30°，∠COF=45°，∴∠AOC=180° －30°－45°=105°. 返回目录 圆内接四边形 命题点 3 8. (九上习题改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是 的中点，∠A=40°，连接BD，E为BC延长线上一点，则∠DCE的度数 为 °，∠CBD的度数为 ⁠°. 40 20 一题多解法 返回目录 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°， ∴∠BCD=180°－∠A=180°－40°=140°， ∴∠DCE=180°－∠BCD=40°. ∵C为的中点，∴CD=CB， ∴∠CBD=(180°－∠BCD)÷2=(180°－140°)÷2=20°. 返回目录 解法二：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD=180°. ∵∠DCE＋∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=40°. 如图，连接AC，∵C是，∴∠CBD=∠CAD=∠BAC=∠A=20°. 四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，∠A=40°. 返回目录 题后反思 若点A在优弧上移动，则∠A的平分线始终过C点吗？为什么？ 解：∠A的平分线始终过C点. 理由如下：如图，∵C是的中点， ∴， ∴∠CAB=∠CAD， ∴AC平分∠DAB. 返回目录 正多边形与圆 命题点 4 9. (2025苏州附中零模)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切 于A，C两点，连接AO，CO，则∠AOC的度数是 ⁠. 144° 【解析】∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点， ∴∠OAE=90°，∠OCD=90°，∴正五边形ABCDE的 每个内角度数为(5－2)×180°÷5=540°÷5=108°， ∴在五边形OAEDC中，∠AOC=540°－∠E－∠D－ ∠OAE－∠OCD=540°－108°－108°－90°－90°=144°. 返回目录 圆的性质综合题(4年2考) 命题点 5 10. (2024苏州25题10分)如图，△ABC中，AB=4，D为AB中点， ∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=，⊙O是△ACD的外接圆. (1)求BC的长； 解：∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B， ∴△BAC∽△BCD，∴=. ∵D是AB的中点，AB=4，∴AD=BD=AB=2， ∴=，解得BC=4，∴BC的长是4； 返回目录 △ABC，AB=4，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=，⊙O是 △ACD的外接圆. (2)求⊙O的半径. 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO 并延长交⊙O于点F，连接AF， ∵在Rt△AED中，cos∠ADC==， 由(1)得，AD=2， ∴=，解得DE=1， ∟ E F 返回目录 ∴在Rt△AED中，由勾股定理得， AE==， 由(1)得，△BAC∽△BCD，BC=4， ∴==， 设CD=x，则AC=x，CE=x－1， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2＋CE2=AC2， 即()2＋(x－1)2=(x)2， 整理，得x2＋2x－8=0， 解得x1=2，x2=－4(舍去)， 返回目录 ∴CD=2，AC=2. ∵CF是⊙O的直径， ∴∠CAF=90°. ∵∠AFC=∠ADC， ∴sin∠AFC=sin∠ADC， ∴=，即=， 解得CF=， ∴⊙O的半径为. 返回目录 11. (2023苏州25题改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直 径，AC=3，BC=4，CD平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点D，连接 BD，作BE⊥CD，垂足为E. (1)求证：△ACF∽△DCB； 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACF=∠DCB， ∵∠CAF=∠CDB， ∴△ACF∽△DCB； 返回目录 △ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=3，BC=4，CD平分 ∠ACB，BE⊥CD，垂足为E. (2)求证：AC＋BC=CD； 证明：如图，连接AD，过点A作AH⊥CD于点H，则 ∠AHC=∠AHD=90°， ∵BE⊥CD于点E， ∴∠BEC=∠DEB=90°， ∴∠AHD=∠DEB， ∵AB是⊙O的直径， ∟ H 返回目录 ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACH=∠BCE=∠ACB=45°，∠ADH=∠DBE=90°－∠BDE， ∴∠CAH=∠ACH=45°，∠CBE=∠BCE=45°， ∴AH=CH，BE=CE， ∴在Rt△ACH和Rt△BCE中，由勾股定理得，AC==AH， BC==CE， ∵∠AHD=∠DEB，∠ADH=∠DBE， 返回目录 ∴△AHD∽△DEB， ∵∠ACD=∠DCB， ∴， ∴AD=DB， ∵==1， ∴AH=DE， ∴AC=DE， ∴AC＋BC=DE＋CE=CD； 返回目录 △ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=3，BC=4，CD平分 ∠ACB，BE⊥CD，垂足为E. (3)求CF的长. 解：∵AC=3，BC=4，且AC＋BC=CD， ∴3＋4=CD， ∴CD=， 由(1)知，△ACF∽△DCB， ∴=， ∴CF===， ∴CF的长是. 返回目录 $ 第六单元　圆 基础课27　与圆有关的计算 节前复习导图 与圆有关 的计算 圆锥的相关计算 弧长公式 圆的周长 弧长 面积公式 圆的面积 扇形的面积 阴影部分 面积的计算 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、弧长公式 1. 圆的周长：C= ⁠ 2. 弧长：l= ⁠ 2πr ​ 二、面积公式 1. 圆的面积：S= ⁠ 2. 扇形的面积：S扇形= 　​　=rl　 r为圆(或扇形)的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长 πr2 ​ 返回思维导图 返回目录 三、圆锥的相关计算(如图) 1. r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S= ，周长C= ⁠ 2. r为圆锥底面圆的半径，n°为圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数，l既为圆锥的母线 长，又为圆锥侧面展开图扇形的半径，则n= ⁠ 3. h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋ =l2 4. 圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图扇形的 ，即2πr= ⁠ 5. 圆锥的侧面积为πrl πr2 2πr ​ h2 弧长 ​ 返回思维导图 返回目录 四、阴影部分面积计算 1. 构造和差法： S阴影=S△OBD＋S扇形DOC S阴影=S△ODC－S扇形DOE S阴影=S扇形BOE＋S△OCE－S扇形 COD 返回思维导图 返回目录 2. 转化法： 基本图形 转化 转化后图形 面积 (CD∥AB) S阴影=S扇形COD (EF⊥BC) S阴影=S扇形ECD＋S△EFC 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 与弧长有关的计算(4年2考) 命题点 1 1. (2025四市联考一模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，且∠BCD=25°.若AB=6，则的长为 　  .(结果保留π) π 返回目录 2. (2025苏州14题3分)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设 有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即 最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速 旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程 中，该轿厢所经过的路径(即)长度为 m.(结果保留π) 40π 返回目录 3. (2024苏州14题3分)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个 花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一 个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若 AB=2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π) 8π 返回目录 4. (2025 )曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞 的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意 图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆PQ带动曲轴做圆周 运动.静止时，活塞处于点Q′处，且O，P，Q′三点共线，当活塞运动到点 Q处时，完成一次进气过程，已知OP=40 mm，且完成一次进气过程，OP 扫过的扇形面积为 mm2，则完成一次进气过程中，连接点P运动的 路径长为 　​　　mm. ​ 返回目录 【解析】如解图，设QO与⊙O交于点M，完成一次进气过程，OP扫过的 扇形为扇形OPM，设∠POM=n°，∵完成一次进气过程，OP扫过的扇形 面积为 mm2，∴ ，∴点P运动的路径长为=(mm). 返回目录 圆锥的相关计算(2023.15) 命题点 2 5. (2025三区统考二模)给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如 图所示，则需要涂漆的面积为 cm2.(结果保留π) 6. (2025高新实验中学二模)圆锥的底面半径为14 cm，母线长为21 cm，则 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ⁠°. 72π 240 返回目录 7. (2023苏州15题3分)如图，在▱ABCD中，AB=＋1，BC=2， AH⊥CD，垂足为H，AH=.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB， AC，AD分别交于点 E，F，G. 若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这 个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆 锥底面圆的半径为r2，则r1－r2= 　​ 　　.(结果保留根号) ​ 返回目录 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2，AH=， AH⊥CD，∴HD=1，∴∠D=60°，∴∠DAB=120°，又∵AB=CD=＋ 1，∴CH=，∴∠ACH=45°，∴∠EAF=45°，则的长为，则r2=，则r1－r2=. 返回目录 阴影部分面积的计算 命题点 3 8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以点A为圆心，AD为半径的弧 交BC于点E，则阴影部分的面积为(　D　) A. π B. π C. 2π D. 3π D 返回目录 【解析】根据题意得，AE=AD=6，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE=90°，BC∥AD，在Rt△ABE中，∵AB=3，AE=6， ∴sin∠AEB==，∴∠AEB=30°，∴∠DAE=∠AEB=30°，∴阴影部 分的面积为=3π. 返回目录 9. (九上复习题改编)如图，在正方形ABCD中，AB=1，以 B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE. 则图中阴影 部分的面积为(　D　) 一题多解法 A. ＋ B. C. ＋ D. D 返回目录 【解析】如解图，设AB，DE交于点F，根据题意得BE=AD，在正方形 ABCD中，∠FAD=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠BEF， ∴△ADF≌△BEF，∴S阴影部分=S阴影AEF＋S△ADF=S阴影AEF＋S△BEF=S扇形 ABE==. 解图 返回目录 正方形ABCD中，AB=1， 图中阴影部分的面积. 解法二：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1， ∴BE=1，∠ABE=90°，BC=CD=1， ∴BE＋BC=CE=2， ∴S阴影部分=S扇形ABE＋S正方形ABCD－S△DCE=＋1×1－×2×1 =. 返回目录 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC 分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的 面积为(　A　) A. B. C. D. π A 返回目录 【解析】如解图，连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°， ∵AB=AC，∴BE=CE，即E是BC的中点，∵O是AC的中点，∴OE是 △ABC的中位线，∴OE∥AB，OE=AB=1，∴S△AOD=S△AED，∴S阴影部分 =S扇形AOD，∵∠AEC=90°，∴∠AEB=90°，∵∠BED=45°， ∴∠AED=45°，∴∠AOD=90°，∵OA=OE=1，∴S阴影部分=S扇形 AOD==. 返回目录 11. (九上复习题改编)(2025昆山多校联考一模)如图，在扇形AOB中，已知 ∠AOB=90°，OA=，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别 为D，E，则图中阴影部分的面积为(　B　) A. π－1 B. －1 C. π－ D. － B 返回目录 【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°， ∴四边形CDOE是矩形，如图，连接OC，∵C是的中点， ∴∠AOC=∠BOC，∵OC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE， ∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=，∴OE=1， ∴S阴影部分=S扇形AOB－S正方形CDOE=－1×1=－1. 返回目录 12. (九上复习题)如图，AB是⊙O的切线，连接OA，OB，OB交⊙O于点 C，若⊙O的半径为2，∠B=40°，则图中阴影部分的面积为 　​ 　　. ​ 返回目录 13. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，OD⊥AC，垂足为D，延 长OD与半圆O交于点E. 若AB=16，∠CAB=30°，则图中阴影部分的面积 为 　  　 . －8） ​ 返回目录 【解析】如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°， ∴∠AOC=120°，∵AB=16，∴OA=AB=8，∵OD⊥AC， ∠OAD=30°，OA=OC，∴OE为AC的垂直平分线，∴OD=4， AD=CD=4，∴AC=2AD=8，∴S阴影部分=(S扇形AOC－ S△AOC)×=(－×8×4)×=－8. 返回目录 14. (九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC与 ⊙O相切，切点为C，若∠ACD=120°，AB=2，则阴影部分的面积为 　  　　. － ​ 返回目录 【解析】如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵∠ACD=120°，∴∠BCD=120°－90°=30°，∵DC与⊙O相切，OC 是⊙O的半径，∴∠DCO=90°，∴∠BCO=60°，∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠BOC=60°，∵AB=2，∴OC=1，在Rt△OCD中，∠D=90°－ 60°=30°，∴OD=2OC=2，∴CD==，∴S阴影部分=S△OCD －S扇形BOC=××1－=－. 返回目录 15. 如图，半径是3的⊙O中，AB与⊙O相切于点B，射线AO与⊙O交于点 C，D，F是AB延长线上一点，且BF=3，连接DF，点E在⊙O上，连接 BE，∠A=30°. (1)求∠E的度数； 解：如图，连接OB，CB， ∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°，∴∠AOB=60°， ∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°， ∵， ∴∠E=∠DCB=60°； 返回目录 半径是3的⊙O，AB与⊙O相切于点B，BF=3，∠A=30°. (2)求证：DF是⊙O的切线； 证明：如图，连接OF， ∵OB=3，∠OAB=30°， ∴在Rt△OAB中，AB=OB=3， ∵BF=3，∴AB=BF， ∵OB⊥AF，∴OF=OA， ∴∠FOB=∠AOB=60°，∠OFA=∠A=30°， ∴∠DOF=∠OFA＋∠A=60°， 返回目录 ∴∠DOF=∠BOF=60°， 在△ODF和△OBF中， ， ∴△ODF≌△OBF(SAS)， ∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； 返回目录 半径是3的⊙O，AB与⊙O相切于点B，BF=3，∠A=30°. (3)求图中阴影部分的面积. 解：由(2)可得∠DOB=120°， ∴S扇形BOD=π×32=3π， 由(2)得△ODF≌△OBF， ∴DF=BF=3， ∴在Rt△ADF中，AD=DF=9. ∴S阴影部分=S△AFD－S△ABO－S扇形BOD=AD∙DF－AB∙OB－3π=×9×3－ ×3×3－3π=9－3π. 返回目录 $