第六单元　圆课件 2026年中考数学一轮专题复习（浙江）

让天下学子共享优质教育！ 第六单元　圆 第23练　直线与圆的位置关系 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.[2024·山西]如图，已知△ABC，以AB为直 径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连结 OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为(　　　) A.30° B.40° C.45° D.50° D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.如图，AC是☉O的切线，B为切点，连结OA，OC.若∠A= 30°，AB=2，BC=3，则OC的长度为(　　　) A.3 B.2 C. D.6 C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结OB. ∵AC是☉O的切线，∴OB⊥AC， ∴∠ABO=∠CBO=90°. 又∵∠A=30°，AB=2， ∴OB=AB=2. 又∵BC=3，∴OC=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[2024·福建]如图，已知点A，B在☉O上， ∠AOB=72°，直线MN与☉O相切，切点为 C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　　) A.18° B.30° C.36° D.72° A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵C为的中点，∠AOB=72°， ∴∠AOC=∠BOC=36°. 又∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=72°. ∵直线MN与☉O相切于点C， ∴∠OCM=90°，∴∠ACM=∠OCM－∠ACO=18°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[2025·福建]如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC，且交☉O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为(　　　) A.30° B.45° C.60° D.75° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结OA，OB. ∵PA与☉O相切于点A，∴OA⊥PA， ∴∠AOP=90°－∠P=90°－30°=60°. ∵AB∥PC，∴∠OAB=∠AOP=60°. ∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠BOC=180°－∠AOP－∠AOB=60°. ∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP=60°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[金华中考]如图，木工用角尺的短边紧靠☉O于点A，长边与☉O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm，CB=8 cm，则☉O的半径为(　　　) A. cm B. cm C. cm D. cm B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D. 由题意，得OB⊥BC，AC⊥BC， ∴四边形ACBD是矩形， ∴AD=BC=8 cm，BD=AC=6 cm. 设☉O的半径为r(cm). 在Rt△AOD中，OA2=AD2＋OD2， 即r2=82＋(r－6)2，解得r=， 即☉O的半径为 cm. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(3分)[2025·安徽]如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P=50°，则∠PAB的度数为　 　°.  20 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结OB. ∵PB与☉O相切于点B， ∴PB⊥OB，∴∠OBP=90°. 又∵∠P=50°， ∴∠POB=90°－∠P=40°， ∴∠PAB=∠POB=20°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(3分)[跨学科][2025·北京]如图，☉O是 地球的示意图，其中AB表示赤道，CD， EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线 GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的度数为　　°.  43 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵∠DOB=∠FOB=23.5°， ∴∠DOF=∠DOB＋∠FOB=47°. 又∵GD∥HF， ∴∠OFH=180°－∠DOF=133°. ∵FI是☉O的切线， ∴OF⊥FI，∴∠OFI=90°， ∴∠IFH=133°－∠OFI =43°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(3分)[2025·龙东地区]如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，若∠BAC=35°，则∠P的度数为　 　°.  70 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵PA，PB是圆O的切线， ∴PA=PB. ∵AC是☉O的直径， ∴∠PAC=90°， ∴∠PBA=∠PAB=90°－∠BAC=90°－35°=55°， ∴∠P=180°－∠PBA－∠PAB=70°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(8分)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O相交于E，F两点. (1)(4分)求证：AB与半圆O相切. (2)(4分)若CD=4，CF=2，求半圆O的半径. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)如答图，连结OD，OA，作OH⊥AB于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与☉O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OH⊥AB，∴OH=OD， ∴OH为半圆O的半径， ∴AB与半圆O相切. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由(1)知OD⊥AC. 在Rt△OCD中，CD=4，OC=OF＋CF=OD＋2，OD2＋CD2=OC2， ∴OD2＋42=(OD＋2)2， ∴OD=3，即半圆O的半径为3. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(3分)[宁波中考]如图，☉O的半径OA=2，B是☉O上的动点(不与点A重合)，过点B作☉O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　 　.  2或2 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结OB. ∵BC是☉O的切线，∴∠OBC=90°. 又∵BC=OA=OB， ∴△OBC是等腰直角三角形. 分三种情况讨论： ①当∠AOC=90°时，如答图1， 此时OC=OB=2， ∴AC==2； 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②当∠OAC=90°时，如答图2， 同理，△OBC是等腰直角三角形， ∴OC=OB=2； ③当∠OCA=90°时，易知OA＞OC，即OA＞ 2，不合题意. 综上所述，斜边长为2或2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(8分)如图，已知AC为☉O的直径，直线 PA与☉O相切于点A，直线PD经过☉O上的 点B，且∠CBD=∠CAB，连结OP交AB于 点M.求证： (1)(4分)PD是☉O的切线. (2)(4分)AM2=OM·PM. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：(1)如答图，连结OB. ∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC. ∵AC是☉O的直径，∴∠CBA=90°， ∴∠CAB＋∠OCB=90°. 又∵∠CBD=∠CAB， ∴∠CBD＋∠OBC=90°， ∴∠OBD=90°，∴PD是☉O的切线. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由(1)知，PD是☉O的切线. 又∵直线PA与☉O相切， ∴OA⊥AP，PO垂直平分AB， ∴∠AMP=∠AMO=90°， ∴∠APM＋∠PAM=90°. ∵∠OAP=90°，∴∠PAM＋∠OAM=90°， ∴∠APM=∠OAM，∴△OAM∽△APM， ∴，∴AM2=OM·PM. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(8分)[2025·甘肃]如图，四边形ABCO的顶点 A，B，C在☉O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与 弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点， ∠BCD=∠AOB. (1)(4分)求证：CD是☉O的切线. (2)(4分)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解：(1)∵OA=OC=OB， ∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB. 又∵∠BAO=∠BCO， ∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=∠COB，∴. 如答图，连结CE. ∵BE是☉O的直径， ∴∠OCE＋∠OCB=90°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵OE=OC，∴∠E=∠OCE. 又∵∠E=∠AOB，∠BCD=∠AOB， ∴∠BCD=∠E=∠ECO， ∴∠DCO=∠DCB＋∠BCO=90°， ∴CD是☉O的切线. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC=OC=OB，AC⊥OB，OF=OB=OE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°， ∴∠E=∠BOC=30°. ∵EF=3， ∴OF=1，OE=2， ∴OC=2. 又∵∠DOC=60°， ∴CD=OC·tan 60°=2×=2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(10分)[2024·陕西]如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连结BC，BD，分别与☉O相交于点E，F，连结EF，AF. (1)(4分)求证：∠BAF=∠CDB. (2)(6分)若☉O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)∵直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径， ∴AB⊥CD，∴∠BAC=∠BAD=90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB=90°， ∴∠BAF＋∠ABD=90°，∠CDB＋∠ABD=90°， ∴∠BAF=∠CDB. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在Rt△ABD中，∵AB=2r=12，AD=9， ∴BD==15. 在Rt△ABC中，∵AB=12，AC=12， ∴BC==12. ∵∠ABF=∠DBA，∠AFB=∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， ∴BF∶BA=BA∶BD，即BF∶12=12∶15， 解得BF=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵∠BEF=∠BAF，∠BAF=∠CDB， ∴∠BEF=∠CDB. 又∵∠EBF=∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴EF∶CD=BF∶BC，即EF∶21=∶12， 解得EF=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(10分)[2025·北京]如图，过点P作☉O的两条 切线，切点分别为A，B，连结OA，OB，OP， 取OP的中点C，连结AC并延长，交☉O于点D， 连结BD. (1)(4分)求证：∠ADB=∠AOP. (2)(6分)延长OP，交DB的延长线于点E.若AP=10，tan∠AOP =，求DE的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)∵AP，BP分别切☉O于点A，B， ∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°. 又∵PO是公共边， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)， ∴∠AOP=∠BOP，∴∠AOP=∠AOB=∠ADB. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)如答图，延长AO，交☉O于点F，连结DF，则∠ADF=90°. 由(1)知PA⊥OA. 又∵C为OP的中点， ∴PC=OC，∴AC=OC=OP. 又∵AP=10，tan∠AOP=， ∴AO==20，OP==10，AC=OC=OP=5，AF=2AO=40. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵AC=OC，∴∠CAO=∠AOC. 又∵∠PAO=∠ADF=90°，∴， ∴DA=×40=16，CD=DA－AC=11. ∵∠AOP=∠ADB，∠ACO=∠ECD， ∴△ACO∽△ECD，∴， ∴DE=×20=44. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $让天下学子共享优质教育！ 第六单元　圆 第24练　与圆有关的计算 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1.[2025·绥化]在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　　　) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.如图，圆锥底面圆半径为7 cm，高为24 cm， 则它侧面展开图的面积为(　　　) A. cm2 B. cm2 C.175π cm2 D.350π cm2 【解析】 在Rt△AOC中，AC==25(cm)， ∴圆锥的侧面展开图的面积=π·OC·AC=175π(cm2). C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆，D是的中点，连结BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为(　　　) A. B.4π C. D.16π C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图，排污管道的横截面是直径为2 m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥的横截面面积为(　　　) A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 由题意，得OA=OB=1 m，AB=1 m， ∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形， ∴S阴影=S扇形AOB－S△OAB=×12=m2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为(　　　) A. B. C. D. C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，连结OD，OE. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°. ∵OE=OB，∴∠OEB=∠ABC=70°， ∴∠OEB=∠C=70°，∴OE∥AC. 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C=180°， ∴∠A=180°－∠ABC－∠C=40°，OA=OD=AB=5. ∵OE∥AC，∴∠A=∠ADO=40°=∠DOE， ∴的长度为. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(3分)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　cm.  【解析】 由题意可知·360°=180°，解得r=5，故圆锥底面圆的半径为5 cm. 5 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(3分)如图，AB为半圆的直径，且AB=6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　.  【解析】 易知S阴影=S扇形BAC==6π. 6π 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(3分)[2025·成都]如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连结AC，则图中阴影部 分的面积为  　cm2.  基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，连结OB. ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB=OC. 又∵OA=OC，∴OA=AB， ∴▱OABC是菱形，∴OA=OB=AB， ∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°， ∴AC=2OA·sin∠AOB=2×1×， ∴S菱形OABC=AC·OB=×1=， ∴S阴影=S菱形OABC=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(3分)[2025·湖州模拟]如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OB=2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以点C为圆心，CD的长为半径作弧，交OB 的延长线于点E，则图中阴影部分 的面积为  　.  基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，连结OD，BD. ∵C是OB的中点，CD⊥OB，∴OD=BD. ∵OB=OD， ∴OB=OD=BD=2，∴∠BOD=60°， ∴OC=CB=OB=1， ∴CD=， ∴S阴影=S扇形DCE＋S△COD－S扇形BOD=×1×. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D， 交AC于点E，且BD=BC，连结OB交☉O于点F. (1)(4分)求证：AB是☉O的切线. (2)(4分)若AD=，AE=1，求的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)如答图，连结OD. 在△BOD和△BOC中，∵ ∴△BOD≌△BOC(SSS)，∴∠BDO=∠BCO. ∵∠ACB=90°，∴∠BDO=90°，即OD⊥AB. 又∵点D在☉O上， ∴AB是☉O的切线. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令☉O的半径为r. 在Rt△AOD中，()2＋r2=(r＋1)2，解得r=1， ∴AO=2，∴sin A=， ∴∠A=30°，∴∠DOC=120°. 又∵△BOD≌△BOC， ∴∠DOB=∠COB=60°， ∴的长为. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，矩形ABCD内接于☉O，分别以AB， BC，CD，AD为直径向外作半圆.若AB=4，BC =5，则阴影部分的面积是(　　　) A.π－20 B.π－20 C.20π D.20 D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 连结BD，则BD过点O. 在Rt△ABD中，AB=4，AD=BC=5， ∴BD2=AB2＋AD2=41， ∴S阴影=S以AD为直径的圆＋S以AB为直径的圆＋S矩形ABCD－S以BD为直径的圆=π×＋π×＋4×5－π×＋20－=20. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[数学文化]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章 算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆 的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出 “割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术” 孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.141 6.如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　　　) A. B.2 C.3 D.2 C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 【解析】 如答图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过点A作AM⊥OB于点M. ∵在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°， ∴AM=OA=， ∴S△AOB=OB·AM=×1×， ∴正十二边形的面积为12×=3， ∴3=12×π，∴π=3，即π的近似值为3. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(3分)[2025·舟山定海区模拟]如图，在扇形AOB 中，OA=2，∠AOB=90°，C为的三等分点，D 为OA上一动点，连结DC，DB.当DC＋DB的值最小 时，图中阴影部分的面积为  　.  基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，作点B关于AO的对称点F，连结CF，交AO于点D，此时，DC＋BD=DC＋DF=CF，值最小. ∵C为的三等分点，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠AOB=30°， ∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=60°， ∴∠OFC=∠BOC=30°， ∴∠FDO=90°－∠OFC=60°. 如答图，连结BC，则∠FCB=90°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OC=OB=OF=OA=2，∴△OCB是等边三角形， ∴S△OCB=OB2=. 过点D作DE∥BC，连结EC，则∠FDE=90°，S△CDB=S△CEB， ∴∠ODE=90°－∠FDO=30°， ∴OE=OD=OF=， ∴S△OCE=÷2×S△OCB=， ∴S阴影=S扇形BOC－S△OCE=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(8分)[2025·杭州临安区模拟]如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米，其中C为AB的中点，D为的中点.(参考数据：cos 37°≈0.80，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) (1)(4分)求该圆弧所在圆的半径. (2)(4分)求的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)如答图1，设该圆弧的圆心为O， 连结OA，OC，OD. ∵C为AB的中点，D为的中点， ∴OD⊥AB，OC⊥AB， ∴O，C，D三点共线. 设该圆弧所在圆的半径为r米，则OD=OA=r米. ∵跨度AB=32米，拱高CD=8米， 答图1 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴AC=AB=16米，OC=OD－CD=(r－8)米， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＋OC2=OA2， ∴162＋(r－8)2=r2，解得r=20， ∴该圆弧所在圆的半径为20米. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如答图2，连结OB. 在Rt△AOC中，cos∠OAC=， ∴∠OAC=37°，∴∠AOC=53°， ∴∠AOB=2∠AOC=106°， ∴的长为(米). 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(10分)如图，已知等腰三角形ABC，AB =AC，以AB为直径作☉O，交BC于点D， 过点D作DF⊥AC于点E，交BA的延长线于 点F. (1)(4分)求证：DF是☉O的切线. (2)(6分)若CE=，CD=2，求图中阴影部分的面积. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)如答图，连结OD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠B=∠ODB， ∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD. 又∵DF⊥AC，∴OD⊥DF. 又∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如答图，连结AD. 设☉O的半径为r. 在Rt△CED中，CE=，CD=2， ∴ED2=CD2－CE2=1，∴ED=1. ∵cos C=，∴∠C=30°， ∴∠B=30°，∴∠AOD=60°. ∵AC∥OD，O为AB的中点， ∴易知D是BC的中点，∴BD=CD=2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴AD=AB=r，∴BD=AD=r=2， ∴r=， ∴AB=2r=， ∴AE=AC－CE=AB－， ∴S阴影=S四边形AODE－S扇形AOD =×1－π× =. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(3分)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为　 　.  π＋4－4 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，连结AB. ∵∠AOB=90°，OA=2，∴OB=OA=2， ∴AB=2. 设OC=x，则B'C=BC=2－x，OB'=2－2. 在Rt△B'OC中，由勾股定理，得x2＋(2－2)2=(2－x)2， 解得x=2－2， ∴S阴影=S扇形AOB－S△AOC－S△AOC=－2×=π＋4－4.   基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $让天下学子共享优质教育！ 第六单元　圆 第22练　圆的有关性质 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1.下列说法中，正确的是(　　　) A.平分弦的直径垂直于弦 B.圆的内接四边形的对角相等 C.三点确定一个圆 D.三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心 D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.[2025·新疆]如图，CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为(　　　) A.30° B.45° C.60° D.75° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[2025·山西]如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连结AD，CD.若，则∠D的度数为 (　　　) A.30° B.45° C.60° D.75° B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[2025·湖北]如图，△ABC内接于☉O，∠BAC =30°.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为 半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN， 交AC于点D，连结BD并延长，交☉O于点E，连 结OA，OE，则∠AOE的度数是(　　　) A.30° B.50° C.60° D.75° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 由作图知MN垂直平分AB， ∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=30°， ∴∠AOE=2∠ABE=60°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[2025·泸州]如图，四边形ABCD内接于☉O，BD为☉O的直径.若AB=AC，∠ACB=70°，则∠CBD=(　　　) A.40° B.50° C.60° D.70° B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=40°， ∴∠BDC=∠BAC=40°. 又∵BD为☉O的直径，∴∠BCD=90°， ∴∠CBD=90°－∠BDC=50°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(3分)[2025·扬州]如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC=50°，则∠OBC=　　°.  40 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱形，则∠D=　 　°.  【解析】 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠B＋∠D=180°. ∵四边形OABC是菱形， ∴∠B=∠AOC，∴∠AOC＋∠D=180°. 又∵∠D=∠AOC，∴∠D=60°. 60 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(3分)[新情境]面食文化源远流长，其中“老碗面”是其代表.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB.已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则☉O的半径OA为　 　cm.  13 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵是☉O的一部分，D是的中点，AB=24 cm， ∴OD⊥AB，AC=BC=AB=12 cm. 设☉O的半径OA为r(cm)，则OC=OD－CD=(r－8)cm. 在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°， ∴OA2=AC2＋OC2，即r2=122＋(r－8)2， 解得r=13，即☉O的半径OA为13 cm. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(3分)[2025·拱墅区校级模拟]如图，在△ABC中， AC=AB，以AB为直径作☉O，交BC于点D，交AC 于点E.若∠BAD=25°，则∠EDC=　 　°.  【解析】 ∵AB为☉O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC. 又∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAD=50°. ∵∠BAC=180°－∠BDE=∠EDC， ∴∠EDC=50°. 50 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(8分)[2025·广西]如图，已知AB是☉O的直径， 点C，D在☉O上，∠ABC=65°，. (1)(4分)求证：△BOC≌△DOC. (2)(4分)求∠ABD的度数. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)∵，∴∠BOC=∠DOC. ∵OC=OC，OD=OB， ∴△BOC≌△DOC(SAS). (2)∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=65°， ∴∠COB=180°－∠ABC－∠OCB=50°， ∴∠DOC=∠BOC=50°， ∴∠AOD=180°－∠DOC－∠BOC=80°， ∴∠ABD=∠AOD=40°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，☉O是等边三角形ABC的外接圆，D是 上一动点(不与点A，C重合)，有下列结论： ①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时， DB=2DC；④DA＋DC=DB.其中一定正确的结论 是(　　　) A.①② B.①③ C.③④ D.①③④ D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠ADB=∠ACB=60°，∠BDC=∠BAC=60°， ∴∠ADB=∠BDC，①正确. ∵D是上一动点， ∴与不一定相等， ∴DA与DC不一定相等，②错误. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当DB最长时，DB为☉O的直径， ∴∠BCD=90°. 又∵∠BDC=60°，∴∠DBC=30°， ∴DB=2DC，③正确. 如答图，在DB上取一点E，使DE=AD. 又∵∠ADB=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=60°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵∠BAC=60°，∴易得∠BAE=∠CAD. 又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴BE=CD， ∴BD=BE＋DE=CD＋AD，④正确. 综上所述，正确的有①③④，故选D. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(3分)如图，△ABC内接于☉O，圆的半径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长为　 　.  7 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 【解析】 如答图，过点O作OD⊥BC于点D，连结OB，OC. ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=2∠BAC=120°. 又∵OB=OC，OD⊥BC， ∴∠BOD=60°，BD=CD， ∴BD=BO·sin∠BOD=7×sin 60°=， ∴BC=2BD=7. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(3分)[2025·平湖模拟]如图，AB为☉O的直径，且AB=10，C为☉O上异于A，B的一点.现将劣弧BC沿直线BC折叠，若与直径AB相交于点D，BD=8，则BC的长为　 　.  3 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，过点D作DF⊥BC，交☉O于点F，连结AC，BF，两者的延长线相交于点E，连结CF. 由圆内接四边形的性质可知∠A＋∠CFB=180°. 又∵∠CFB＋∠CFE=180°，∴∠A=∠CFE. 又∵∠E=∠E，∴△CEF∽△BEA， ∴. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB为直径，∴∠ACB=90°， ∴AB，BE关于BC对称， ∴BF=BD=8，EF=AD=AB－BD=10－8=2，CE=AC， ∴AE=2AC=2CE，∴， ∴AC=，∴BC==3. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直 径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC， BC于点E，F，其中E是AD的中点. (1)(4分)求证：∠CAD=∠CBA. (2)(4分)求OE的长. 解：(1)∵OC是☉O的半径，E是AD的中点， ∴OC⊥AD，， ∴∠CAD=∠CBA. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵AB为☉O的直径， ∴∠BCA=90°. ∵OC⊥AD，∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠BCA. 又∵∠EAC=∠CBA，∴△ACE∽△BAC， ∴，∴，∴CE=3.6. 又∵OC=AB=5， ∴OE=OC－CE=1.4. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(10分)[2025·安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连结OC，∠DAB＋2∠ABC=180°. (1)(4分)求证：OC∥AD. (2)(6分)若AD=2，BC=2，求AB的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC=180°， ∴∠DAB＋∠AOC=180°， ∴OC∥AD. (2)如答图，连结BD，交OC于点E. ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB=90°. ∵OC∥AD， ∴. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵OA=OB， ∴EB=DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴OE=AD=1. 设半圆的半径为r，则CE=r－1， 在Rt△OEB中，BE2=OB2－OE2=r2－1， 在Rt△CEB中，BE2=BC2－CE2=12－(r－1)2， ∴r2－1=12－(r－1)2， 解得r1=3，r2=－2(舍去)， ∴AB=2r=6. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(10分)如图，在△ABC中，AB=4， D为AB的中点，∠BAC=∠BCD，cos ∠ADC=，☉O是△ACD的外接圆.求： (1)(4分)BC的长. (2)(6分)☉O的半径. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B， ∴△BAC∽△BCD， ∴. ∵AB=4，D为AB的中点， ∴BD=AD=2， ∴BC2=16， ∴BC=4. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E，连结CO并延长，交☉O于点F，连结AF. ∵在Rt△AED中，cos∠CDA=，AD=2， ∴DE=1， ∴AE=. ∵△BAC∽△BCD， ∴. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设CD=x，则AC=x，CE=x－1， ∵在Rt△ACE中，AC2=CE2＋AE2， ∴(x)2=(x－1)2＋()2，即x2＋2x－8=0， 解得x1=2，x2=－4(舍去)， ∴CD=2，AC=2. ∵∠AFC=∠ADC，∠CAF=90°， ∴sin∠AFC==sin∠CDA=， ∴CF=，∴☉O的半径为. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $