第六单元　圆 课件2026年中考数学一轮专题复习（云南）

该初中数学中考复习课件聚焦“与圆有关的位置关系”高频考点，紧扣云南中考5年5考（8~12分）的考查要求，系统梳理点与圆、直线与圆的位置关系及三角形外接圆与内切圆等核心知识，通过知识清单对接中考说明，结合对点练习归纳常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”，整合2021-2025年云南中考真题，如2025年切线证明题，通过“连半径证垂直”“作垂直证半径”等方法突破切线判定难点，培养学生推理意识与几何直观。助力学生掌握答题技巧，为教师提供系统复习框架，提升中考冲刺效率。

第二十四讲　圆的有关计算(5年6考,2~4分) 知识清单•主干回顾 云南5年真题 高频考点·疑难突破 知识清单•主干回顾 知识要点 1.正多边形和圆 (1)定义:各边__________,各角也都__________的多边形是正多边形.  (2)正多边形和圆的关系:把一个圆___________,依次连接____________可作出圆的内接正n边形.  　相等　 　相等　 　n等分　 　各分点　 ‹#› 1. 如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( ) A.72°　　　　　　B.70° C.60°　　　　　　D.45° 对点练习 A ‹#› 2.圆中的弧长与扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_______.  (2)扇形面积: ①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= .  ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=. 知识要点  　 　 lR ‹#› 2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( ) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为_______.  对点练习 B 　8　 ‹#› 3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧=_________;  ②S圆柱全=_______________;  ③V圆柱=_________.  (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:①S圆锥侧=________;  ②S圆锥全=_____________;  ③V圆锥=πR2h. 知识要点 　2πRl　 　2πR2+2πRl　 　πR2l　 　πRl　 　πRl+πR2　 ‹#› 3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是( ) A.96π cm2　　　　　 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是_______.  (3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为 _________cm2.  对点练习 D 　4　 　10π　 ‹#› 云南5年真题 1.(2025·云南中考)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为( ) A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm 2. (2021·云南中考)如图,等边△ABC的三个顶点都在☉O上,AD是☉O的直径.若OA=3,则劣弧BD的长是( ) A.　　　　　　　　 B.π C. D.2π B B ‹#› 3.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为( ) A.700π平方厘米 B.900π平方厘米 C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米 4.(2023·云南中考)数学活动课上,某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米,母线长为4分米,则该圆锥的高为________分米.  5.(2022·云南中考)某中学开展劳动实践,组织学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 _________.  C  　 　120°　 ‹#› 高频考点·疑难突破 【考点一】正多边形和圆的有关计算 例1 (2024·甘孜州中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,OA=1,则AB的长为( ) A.2 B. C.1 D. C ‹#› 【提分要点】 有关正多边形边的计算的常用公式 (1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长). (2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长). (3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距). ‹#› 【考点二】弧长与面积的相关计算 一题多问·多题归一 例2 如图,已知半径为1的☉O上有三点A,B,C,OC与AB交于点D,∠ADO=85°, ∠CAB=20°. ‹#› 问题1　求劣弧的长度. 【解析】∵∠CAB=20°, ∴∠BOC=2∠CAB=40°. ∵☉O的半径为1, ∴劣弧的长为=. ‹#› 问题2　求扇形AOC的面积. 【解析】∵∠ADO=85°,由问题1知∠BOC=40°,∴∠OBA=∠ADO-∠BOC=45°. ∵OA=OB,∴∠OAB=45°, ∴∠AOB=90°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°,∴S扇形AOC==. ‹#› 问题3　求弓形ACB的面积. 【解析】由问题2得∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形.∴S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=-×1×1=-. 问题4　用大于半圆的扇形AOB围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径. 【解析】设圆锥底面圆的半径为r, 由问题2可得∠AOB=90°,则优弧的长为=.则2πr=,解得r=. ‹#› 【提分要点】 (1)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径; (2)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长; (3)α为圆锥侧面展开图扇形的圆心角,l既为圆锥母线长,又为圆锥侧面展开图扇形的半径,r为圆锥底面圆的半径,则α=×360°. ‹#› 问题5　问题4中围成的圆锥的侧面积是______.  问题6　问题4中围成的圆锥的高是______.   π　  　 ‹#› 本课结束 ‹#› $第六单元　圆 第二十二讲　圆的认识(5年6考,2~4分) 知识清单•主干回顾 云南5年真题 高频考点·疑难突破 知识清单•主干回顾 知识要点 1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转__________,另一个端点A所形成的图形.  (2)轴对称性:圆是________________,任何一条__________________都是它的对称轴.  1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.( ) 对点练习 　一周　 　轴对称图形　 　直径所在直线　 √ ‹#› 2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径____________, 并且平分弦所对的____________.  (2)推论:平分弦(不是直径)的直径___________, 并且平分弦所对的___________.  知识要点 　平分弦　 　两条弧　 　垂直于弦　 　两条弧　 ‹#› 2. (教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中, AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于_______cm.  对点练习 　3　 ‹#› 3.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于这条弧所对的圆心角的__________.  (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是_________,90°的圆周角所对的弦是________.  ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角__________,它们所对的弧一定__________.  知识要点 　相等　 　一半　 　直角　 　直径　 　相等　 　相等　 ‹#› 3.如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于( ) A.10° B.14° C.16° D.26° 对点练习 C ‹#› 4.圆心角、弧、弦之间的关系 知识要点 名称 内容 表示形式 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧______,所对的弦______. 如图, ∵∠AOB=∠COD, ∴=,AB=CD. 相等 相等 ‹#› 　名称 内容 表示形式 推论 (1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; (1)如图,∵=, ∴∠AOB=________, AB=________.  (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等. (2)如图,∵AB=CD, ∴∠AOB=________, =. ∠COD 　CD　 ∠COD ‹#› 4.(1)(教材再开发·人教九上P88T5改编)如图,四边形ABCD内接于☉O, AB=CD, A为的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 对点练习 A ‹#› (2)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为( ) A.55° B.60° C.65° D.70° C ‹#› 5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角__________.  知识要点 5. 如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C=_________°.  对点练习 　互补　 　105　 ‹#› 云南5年真题 1.(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.9° B.18° C.36° D.45° B ‹#› 2.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则 ∠A=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.66°　 B.33° C.24°　 D.30° B ‹#› 3.(2022·云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( ) A. B. C. D. B ‹#› 高频考点·疑难突破 【考点】圆基本性质的相关计算 一题多问·多题归一 例 如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD, AD,DB,OD,OB. AC与BD交于点F,请回答下列问题: 问题1　若∠ACB=30°,则∠BOC=_________,∠BDC=________,∠AOB=________, ∠ADB=________.  问题2　若∠BAC=40°,则∠OBC=________.  　120°　 　60°　 　60°　 　30°　 　50°　 ‹#› 【提分要点】 在解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解. ‹#› 问题3　 若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB=_______,AD=_______.  问题4　若=,∠BOC=100°,则∠AOB=________,∠COD=________.  问题5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=_______.  【提分要点】 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等. 　2　 　2　 　80°　 　80°　 　3　 ‹#› 问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径. 【解析】设☉O的半径为r, ∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4. ∵AF=2,则OF=r-2. 在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2, 即r2=16+(r-2)2, 解得r=5. ∴☉O的半径为5. ‹#› 问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长. 【解析】∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4, ∵☉O的直径为10,∴☉O的半径OB=5. 由勾股定理得OF==3, ∴AF=5-3=2.即AF的长为2. ‹#› 【提分要点】 垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系” 1.四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量中,知任意两个即可求其他两个. 2.两关系:①()2+d2=r2;②h+d=r. 注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形. ‹#› 问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD=_________.  问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是 ______________.  【易错警示】当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑圆的优弧或劣弧两种情况,避免因忽略一种情况而漏解. 　115°　 　30°或150°　 ‹#› 本课结束 ‹#› $第二十三讲　与圆有关的位置关系 (5年5考,8~12分) 知识清单•主干回顾 云南5年真题 高频考点·疑难突破 知识清单•主干回顾 知识要点 1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔________;点P在圆上⇔________;点P在圆内⇔________.  (2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__________圆.  (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的________________的交点. 　d>r　 　d=r　 　d<r　 　一个　 　垂直平分线　 ‹#› 1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一直线上的三个点 (3)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为_______.  对点练习 A D 　5　 ‹#› 2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:__________、__________、__________.  (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有__________公共点的直线.  ②性质:圆的切线____________过切点的直径.  ③判定:经过半径的外端,并且__________于这条半径的直线是圆的切线.  (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__________,这一点和圆心的连线__________两条切线的夹角.  知识要点 　相交　 　相切　 　相离　 　唯一　 　垂直于　 　垂直　 　相等　 　平分　 ‹#› 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是____________.  (2) (教材再开发·人教九上P101T6改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为___________.  对点练习 　0≤d<2.5　 　10 cm　 ‹#› 3.三角形的外接圆与内切圆 知识要点 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 图形 圆心 三角形的__________,三角形三条边的垂直平分线的交点  三角形的内心,三角形三条_____ __________的交点  性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离__________ 三角形的内心到三角形三边的距离__________ 　外心　 　角 平分线　 　相等　  　相等　  ‹#› 3. 如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=________°.  对点练习 　20　 ‹#› 云南5年真题 1.(2025·云南中考)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为_______cm.  　5　 ‹#› 2.(2025·云南中考)如图,☉O是五边形ABCDE的外接圆,BD是☉O的直径.连接AC,BE,CE,∠AEC=∠ACF. (1)若CE=CB,且∠CBE=60°,求∠BCE的度数. (2)求证:直线CF是☉O的切线. (3)探究、发现与证明: 已知AC平分∠BAE,是否存在常数a,b,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立?若存在,请直接写出一个a的值和一个b的值,并证明你写出的a的值和b的值,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立;若不存在,请说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵CE=CB,且∠CBE=60°, ∴△CBE是等边三角形, ∴∠BCE=60°; (2)延长CO交☉O于点M,连接EM,如图, ∵CM是☉O的直径, ∴∠CEM=90°, ∴∠AEC+∠AEM=90°, ∵∠AEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF, ∴∠ACF+∠ACM=90°, ∴∠MCF=90°, ∴OC⊥CF, ∵OC是☉O的半径, ∴直线CF是☉O的切线; ‹#› (3)存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立.证明如下: 如图,设AC与BE交于点N, ∵AC平分∠BAE, ∴∠EAC=∠BAC, ∵∠EAC=∠EBC,∠BEC=∠BAC, ∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC, ∴CE=CB, ∵∠BCN=∠ACB,∠CBE=∠BAC, ∴△BCN∽△ACB, ∴=, ‹#› ∴BC2=AC·CN①, ∵∠AEN=∠ACB,∠EAN=∠CAB, ∴△AEN∽△ACB, ∴=, ∴AE·AB=AC·AN②, ①+②得:BC2+AE·AB=AC·CN+AC·AN=AC(CN+AN)=AC2, ∵CE=CB, ∴AC2=BC·CE+AB·AE, ∴此时a=1,b=1. ∴存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立. ‹#› 3.(2024·云南中考)如图,AB是☉O的直径,点D,F是☉O上异于A,B 的点.点C在☉O外,CA=CD,延长BF与CA的延长线交于点M,点N 在BA的延长线上, ∠AMN=∠ABM,AM·BM=AB·MN.点H在直径 AB上,∠AHD=90°,点E是线段DH的中点. (1)求∠AFB的度数; (2)求证:直线CM与☉O相切; (3)看一看,想一想,证一证:以下与线段CE,EB,CB有关的三个结论: CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>CB,你认为哪个正确?请说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠AFB=90°; (2)∵AM·BM=AB·MN, ∴=, ∵∠AMN=∠ABM, ∴△AMN∽△ABM, ∴∠NAM=∠MAB. ∵∠NAM+∠MAB=180°, ∴∠NAM=∠MAB=90°, ‹#› ∴OA⊥CM. ∵OA为☉O的半径, ∴直线CM与☉O相切; (3)正确的结论为CE+EB=CB.理由:连接OC,OD,过点B作☉O的切线,交CD的延长线于点K,设BC与DH交于点G,如图所示. 在△OAC和△ODC中, , ∴△OAC≌△ODC(SSS), ‹#› ∴∠OAC=∠ODC. 由(2)知:OA⊥CM, ∴∠OAC=∠ODC=90°, ∴OD⊥CD. ∵OD为☉O的半径, ∴CK为☉O的切线. ∵BK为☉O的切线, ∴DK=BK,BK⊥AB. ∵DH⊥AB,CA⊥AB, ∴AC∥DH∥BK, ‹#› ∴△BHG∽△BAC,△CDG∽△CKB,=. ∴=,=, ∴=,==, ∴=. ∵CA=CD,∴GH=GD, ∴点G是线段DH的中点, ∵点E是线段DH的中点, ∴点G与点E重合. ∴线段BC经过点E, ∴CE+EB=CB. ‹#› 4.(2023·云南中考)如图,BC是☉O的直径,A是☉O上异于B,C的点.☉O外的点E在射线CB上,直线EA与CD垂直,垂足为D,且DA·AC=DC·AB.设△ABE的面积为S1, △ACD的面积为S2. (1)判断直线EA与☉O的位置关系,并证明你的结论; (2)若BC=BE,S2=mS1,求常数m的值. ‹#› 【解析】(1)AE与☉O相切,证明如下: 如图,连接OA, ∵DA·AC=DC·AB, ∴=, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°=∠ADC, ∴△ABC∽△DAC, ∴∠ACB=∠ACD, ∵OA=OC, ‹#› ∴∠OAC=∠ACB=∠ACD, ∴OA∥CD, ∴∠OAE=∠CDE=90°, ∴OA⊥DE, 又∵OA为半径, ∴AE与☉O相切; ‹#› (2)如图,∵OA∥CD, ∴△AOE∽△DCE, ∴=, 设BO=OC=OA=a,则BC=2a, ∵BC=BE=2a, ∴S△ABE=S△ABC,EO=3a,EC=4a, ∴=,∴CD=a, ∵△ABC∽△DAC, ‹#› ∴=, ∴AC2=BC·CD=a2, ∵△ABC∽△DAC, ∴=()2==, 又∵S△ABE=S△ABC=S1, ∴S2=S1,∴m=. ‹#› 5.(2021·云南中考)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC,点D在BA的延长线上,且∠DCA=∠ABC,点E在DC的延长线上,且BE⊥DC. (1)求证:DC是☉O的切线; (2)若=,BE=3,求DA的长. ‹#› 【解析】(1)连接OC, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∵∠ABC=∠DCA, ∴∠OCB=∠DCA, 又∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠DCA+∠ACO=90°,即∠DCO=90°, ∴DC⊥OC, ∵OC是☉O的半径, ∴DC是☉O的切线; ‹#› (2)∵=,且OA=OB, 设OA=OB=2x,OD=3x, ∴DB=OD+OB=5x, ∴=, 又∵BE⊥DC,DC⊥OC, ∴OC∥BE,∴△DCO∽△DEB, ∴==, ∵BE=3,∴OC=, ∴2x=,∴x=, ∴AD=OD-OA=x=,即AD的长为. ‹#› 6. (2022·云南中考)如图,四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的☉O,P是☉O的劣弧上的任意一点.连接PA,PC,PD,延长BC至E,使BD2=BC·BE. (1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论; (2)若四边形ABCD是正方形,连接AC.当P与C重合时,或当P与B 重合时,把转化为正方形ABCD的有关线段长的比,可得 =.当P既不与C重合也不与B重合时,=是否成立? 请证明你的结论. ‹#› 【解析】(1)DE与☉O相切,证明如下: ∵BD为☉O的直径,∴∠BCD=90°, ∵BD2=BC·BE,∴=, ∵∠CBD=∠DBE, ∴△BCD∽△BDE, ∴∠BDE=∠BCD=90°, ∵点D在圆上, ∴DE是☉O的切线, 即DE与☉O相切; ‹#› (2)如图,=仍然成立,证明如下: 作FD⊥PD,交PC的延长线于点F, ∴∠FDP=90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=AD,∠ADC=90°,AC⊥BD, ∴∠COD=∠AOD=90°,∠ADC=∠FDP, ∴∠ADC-∠PDC=∠FDP-∠PDC, 即∠ADP=∠CDF, ∵=,∴∠CPD=∠COD=45°, ‹#› 同理可得:∠APD=∠AOD=45°, ∴∠F=90°-∠DPF=90°-45°=45°, ∴∠F=∠FPD,sin F==, ∴=,∴=, 在△PAD和△FCD中, ∴△PAD≌△FCD(SAS), ∴PA=CF,∴=. ‹#› 高频考点·疑难突破 【考点一】点与圆、直线与圆的位置关系 一题多问·多题归一 例1 如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O为AB的中点. ‹#› 问题1　以C为圆心,2.5 cm为半径作☉C,则O与☉C的位置关系为( ) A.O在☉C内 B.O在☉C上 C.O在☉C外 D.无法确定 问题2　以B为圆心,R为半径作圆,使得点C在圆内,点A在圆外,则R的值可以是( ) A.4 B.4.6 C.5 D.5.6 问题3　以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C的位置关系是__________.  问题4　以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为________________.  B B 　相离　 　3<r≤4或r=　 ‹#› 【考点二】切线的判定 【类型一】切点不确定,作垂直,证半径 例2 如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证: AC是☉O的切线. 【思路点拨】过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,根据切线的性质得出AB⊥OD,根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线,根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论. ‹#› 【证明】过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,∵AB与☉O相切于点D, ∴AB⊥OD, ∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线, ∴OE=OD,即OE是☉O的半径, ∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,∴AC是☉O的切线. ‹#› 【提分要点】当切点不确定时,常用的方法有: (1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径; (2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径. ‹#› 【类型二】切点确定,连半径,证垂直 (1)利用平行证垂直 例3　(2024·广西中考)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC, AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF. (1)求证:四边形ABDF是平行四边形; (2)求证:AF与☉O相切; (3)若tan∠BAC=,BC=12,求☉O的半径. ‹#› 【解析】(1)∵点D,E分别是BC,AC的中点, ∴BD=DC,AE=EC, 在△EDC和△EFA中,, ∴△EDC≌△EFA(SAS), ∴DC=AF,∠EDC=∠F, ∴BC∥AF,BD=AF, ∴四边形ABDF是平行四边形; ‹#› (2)连接AD,如图, ∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC, ∴AD垂直平分BC, ∴AD经过圆心O, 由(1)知:AF∥BC,∴DA⊥AF, ∵OA为☉O半径, ∴AF与☉O相切; ‹#› (3)连接OB,OC,OD,如图, ∵OB=OC,BD=CD=BC=6, ∴OD⊥BC,∠BOD=∠BOC, ∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOD=∠BAC. ∵tan∠BAC=,∴tan∠BOD=, ∵tan∠BOD=,∴=, ∴OD=8,∴OB==10, ∴☉O的半径为10. ‹#› 【提分要点】当题干中有与“要证的切线垂直”的直线,则连接圆心与切点,证明半径与该直线平行. ‹#› (2)利用等角转换证垂直 例4　(2025·广安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,点E在BC的延长线上,连接AE,∠ABE=∠CAE. (1)求证:AE是☉O的切线. (2)过点C作CD⊥AE,垂足为D,若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍,CE=12,求AE的长. ‹#› 【解析】(1)连接OA, ∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∵∠ABE=∠CAE, ∴∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°,∴OA⊥AE, ∵OA是☉O的半径, ∴AE是☉O的切线. ‹#› (2)∵S△ABC=3S△ADC,∴=3, ∵CD⊥AE,∴∠ADC=90°, ∴∠BAC=∠ADC,∵∠ABC=∠DAC, ∴△ABC∽△DAC,∴=()2=3, ∴=或=-(不符合题意,舍去), ∴BC=AC, ∴BA===AC, ‹#› ∵∠ABE=∠CAE,∠E=∠E,CE=12, ∴△ABE∽△CAE, ∴===, ∴AE=CE=12. ‹#› (3)利用三角形全等证垂直 例5 (2025·威海中考)如图,PA是☉O的切线,点A为切点.点B为☉O上一点,射线PB,AO交于点C,连接AB,点D在AB上,过点D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E.AD=BE,BD=AF. (1)求证:PB是☉O的切线; (2)若AP=4,sin C=,求☉O的半径. ‹#› 【解析】(1)连接OB, ∵DF⊥AB,DE⊥BP, ∴∠ADF=∠DEB=90°, 在Rt△BDE与Rt△AFD中,, ∴Rt△BDE≌Rt△AFD(HL), ∴∠DBE=∠FAD, ∵PA是☉O的切线,点A为切点, ∴∠CAP=90°,∴∠OAB+∠FAD=90°, ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA, ∴∠OBA+∠ABE=90°,∴∠OBE=90°, ∵OB是☉O的半径,∴PB是☉O的切线; ‹#› (2)∵∠CAP=90°,AP=4,sin C=, ∴PC==6, ∴AC==2, ∵∠CBO=∠CAP=90°,∠C=∠C, ∴△CBO∽△CAP,∴=, ∴=,∴OB=, 即☉O的半径为. ‹#› 【考点三】切线的性质 例6 (2025·陕西中考)如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的☉O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为☉O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°. (1)求证:AB=AC; (2)若sin A=,AB=8,求DG的长. ‹#› 【解析】(1) 如图,连接OD, ∵以OC为半径的☉O与AB相切于点D, ∴OD⊥AB, ∵∠F=45°,∴∠DOE=2∠F=90°,即EF⊥OD,∴AB∥EF,∴∠OEC=∠B, ∵OE=OC,∴∠C=∠OEC, ∴∠B=∠C,∴AB=AC; ‹#› (2)∵AB=8,AB=AC,∴AC=8, 设☉O的半径为r,∴AO=8-r,OD=r, ∵∠ADO=90°,sin A=,∴==, 解得r=3, ∴OF=OD=3,AO=5,AD==4,∵OD⊥EF,∴∠DOF=90°, ∴DF==3, ∵EF∥AB,∴△OFG∽△ADG, ∴==, ∴DG=DF=×3=. ‹#› 【提分要点】在利用切线的性质解题时,常连接圆心和切点,构造直角三角形,利用直角三角形的性质解题. ‹#› 【考点四】三角形的外接圆与内切圆 例7　(2023·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交☉O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交☉O于点F. (1)求证:BD=BC; (2)若☉O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长. ‹#› 【解析】(1)如图,连接DC, 则∠BDC=∠BAC=45°,∵BD⊥BC, ∴∠BCD=90°-∠BDC=45°, ∴∠BCD=∠BDC,∴BD=BC; (2)如图,∵∠DBC=90°, ∴CD为☉O的直径,∴CD=2r=6. ∴BC=CD·sin∠BDC=6×=3, ∴EC===3, ‹#› ∵BF⊥AC,∴∠BMC=∠EBC=90°,∠BCM=∠BCM, ∴△BCM∽△ECB, ∴==, ∴BM===2,CM===, 连接CF,则∠F=∠BDC=45°,∠MCF=45°,∴MF=MC=, ∴BF=BM+MF=2+. ‹#› 【变式】(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是( ) A.d=a+b-c B.d= C.d= D.d=|(a-b)(c-b)| D ‹#› 【提分要点】(1)在Rt△ABC中,若两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则内切圆半径为r= ,外接圆半径为R=; (2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则= (a+b+c)r. ‹#› 本课结束 ‹#› $