第四单元　三角形 课件 2026年中考数学一轮专题复习（苏州）

该初中数学中考复习课件聚焦线段、角、相交线与平行线等中考核心考点，依据新课标核心素养要求，对接中考说明分析近4年考点分布，如平行线判定及性质4年3考，系统归纳线段中点、角平分线等常考命题点，体现备考针对性与实用性。 课件以“考点精讲+真题训练”为特色，融入2025年苏州等中考真题改编题，通过平行线性质求角度一题多解法培养学生数学思维，结合“满分技法”总结垂直平行关系等应试技巧，帮助学生掌握推理逻辑提升得分率，为教师提供系统复习指导助力中考冲刺。

第四单元　三角形 提升课22　解直角三角形及其应用 节前复习导图 解直角三角形 及其应用 锐角三角函数 与相似三角形的实际应用 仰角、俯角 坡度（坡比）、坡角 方向角 锐角 三角函数 定义 特殊角的三角函数 1 考点精讲 2 核心考点突破 3 分层作业本 考点精讲 一、锐角三角函数 1. 定义：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角. 2. 则∠A的正弦：sin A== 　​　　　∠A的余弦：cos A== 　​　 ​ ​ ∠A的正切：tan A== 我们把锐角∠A的正弦、余弦和正切统称为∠A的三角函数 ​ 图① 返回思维导图 返回目录 3. 特殊角的三角函数值 　 示意图 α 30° 45° 60° sin α ​ cos α ​ ​ tan α ​ 1 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 返回思维导图 返回目录 二、锐角三角函数与相似三角形的实际应用 1. 仰角、俯角：如图②，图中仰角是 ，俯角是 ⁠ ∠1 ∠2 返回思维导图 返回目录 2. 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为 ，坡度(坡比)i=tan α= ⁠ α ​ 返回思维导图 返回目录 3. 方向角：如图④，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 ⁠ 方向，C点位于O点的 ⁠方向 【易错警示】东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指 北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向 北偏东30° 南偏东 60° 北偏西45°(或西北) 返回思维导图 返回目录 核心考点突破 解直角三角形(2025.24涉及) 命题点 1 例1　(九下练习改编)如图，∠ABC=α，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作 CD⊥AB于点D，则下列不能表示tan α的是(　B　) A. B. C. D. B 返回目录 练习1　如图，△ABC的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边 长是1，则cos∠ACB= 　 . ​ 返回目录 解直角三角形的实际应用(4年2考) 命题点 2 例2　(2025高新区一模)中国古代运用“土圭之法”判别四季.如图①的圭 表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于 夏至和冬至日影长度的平均数.如图②，在示意图中，产生日影的杆子MN 垂直于地面，MN长10尺.在某地夏至日正午时分，杆子MN在太阳光线MP 照射下产生的日影为NP； 返回目录 在该地冬至日正午时分，杆子MN在太阳光线 MQ照射下产生的日影为NQ. 已知∠MPN=73.4°，∠MQN=26.6°.求春分和秋分时日影的长度.(结果精确到0.1尺，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35) 返回目录 解：∵在Rt△MNP中，∠MPN=73.4°，MN=10尺， ∴NP==≈≈2.99(尺)， ∵在Rt△MNQ中，∠MQN=26.6°，MN=10尺， ∴NQ==≈=20(尺)， ∴春分和秋分时日影的长度为≈11.5(尺). 答：春分和秋分时日影的长度约为11.5尺. 返回目录 模型分析 模型 模型分析 模型 模型分析 背 靠 背 型 基础模型 AB=AD＋BD 母 子 型 基础模型 AD=AC－CD 模型演变 AB=AD＋CE ＋BF 模型演变 FG=AD＋DC， BG=BC＋AF 返回目录 例3 (2025 )为了遮阳和防雨可以借助汽 车或树木搭建如图①所示的“天幕”，如图②是搭建后的截面示意图，将 天幕撑开，用绳子分别拉直天幕一侧CE后系在车顶点A处，拉直另一侧 CF后用地钉系在地面上的点P处，CD是垂直于地面的天幕支撑杆，可通 过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角∠ECF， 新考法 真实问题情境 返回目录 已知CE=CF=3 m，车顶到地面的距离AB为1.7 m，CD与EF垂直.若将天幕撑开到最大时，天幕的展开角∠ECF=150°，拉直CE所需的绳子AE的长为2 m，求拉直CF所需的绳子PF的长.(结果保留一位小数，参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73) 返回目录 易得四边形ABDG是矩形， ∴DG=AB=1.7 m， ∵CE=CF=3 m，CD⊥EF，∴CD平分∠ECF， ∵∠ECF=150°，∴∠ACG=∠DCP=∠ECF=75°， ∵AC=AE＋CE=2＋3=5(m)， ∴在Rt△ACG中，CG=AC∙cos∠ACG=5×cos 75°≈5×0.26=1.3(m)， ∴CD=CG＋DG=1.3＋1.7=3(m)， ∴在Rt△CDP中，CP=≈≈11.54(m)， 解：如解图，过点A作AG⊥CD于点G， 解图 ∴PF=CP－CF=11.54－3≈8.5(m). 答：拉直CF所需的绳子PF的长约为8.5 m. 返回目录 练习2　(2023苏州23题8分)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质 解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支 架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B， C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋 转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形 ABCD的形状，以此调节篮板的高度). 返回目录 已知AD=BC，DH=208 cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据： sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6) 返回目录 解：如解图①，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥AH交AH所在直线于 点K， ∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH. ∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠ADC=∠GAE. ∵点C离地面的高度为288 cm，DH=208 cm， ∴DK=288－208=80(cm)， 当∠GAE=60°时，得∠CDK=60°， ∴CD==160(cm). 解图① 返回目录 如解图②，当∠GAE=54°时，过点C作CK′⊥AH交AH所在直线于点K′， 解图② ∴∠CDK′=54°， ∴DK′=CD∙cos 54°≈160×0.6=96(cm). ∵DK′－DK=96－80=16(cm)， ∴点C离地面的高度升高了，升高了约16 cm. 返回目录 练习3　(2024苏州23题8分)图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆， 竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可．伸．缩．支撑杆， 已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm. (1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结 果保留根号)； 解：(1)如解图①，过点C作CE⊥AD于点E， 解图① 返回目录 则∠AEC=90°， 由题意得，∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AE=BC=20(cm)，CE=AB=10(cm)， ∴DE=AD－AE=30(cm)， ∴CD==10(cm)； 解图① 返回目录 (2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且 tan α=(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号). AB⊥BC，AD可绕点A旋转，已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm. (2)如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，交AD′于点G， 易得四边形ABFG是矩形， ∴∠AGD=90°，FG=AB=10 cm，BF=AG， ∵在Rt△AGD中，tan α==，∴DG=AG， 根据勾股定理，得AG2＋DG2=AD2， 即AG2＋(AG)2=502， F 返回目录 解得AG=40 cm， ∴DG=AG=30 cm，BF=AG=40 cm， ∴DF=DG＋FG=40 cm， ∵BC=20 cm，∴CF=BF－BC=20 cm， ∴在Rt△CFD中，CD===20 (cm). F 返回目录 练习4　 如图①是某起钉器，图②是起钉器在起钉时的截面示 意图，起钉盒可看作矩形ABCD，点D落在底座GH上(底座厚度忽略不 计)，起钉时∠CDH=15°.已知AD=AN=2 cm，MN=12 cm， ∠MND=135°，且N，A，D三点共线. (1)求起钉时∠NDG的大小； 解：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDH＋∠NDG=90°. ∵∠CDH=15°， ∴∠NDG=75°； 返回目录 ∠CDH=15°，∠NDG=75°.已知AD=AN=2 cm，MN=12 cm， ∠MND=135°，且N，A，D三点共线. (2)求起钉时点M到底座GH的距离.(结果保留到小数点后一位，参考数 据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97) (2)如解图，过点M作ME⊥GH于点E， 过点N分别作NQ⊥ME于点Q，NF⊥GH于点F， ∴∠DNF=90°－∠NDG=90°－75°=15°. 解图 返回目录 ∵N，A，D三点共线，AD=AN=2 cm， ∴ND=AD＋AN=4 cm， ∴在Rt△DNF中，NF=ND∙cos 15°≈4×0.97=3.88(cm). 易得四边形QEFN为矩形， ∴QE=NF=3.88 cm. ∵∠MND=135°， ∴∠MNQ=135°－90°－15°=30°， 解图 返回目录 ∵MN=12 cm， ∴在Rt△MNQ中，MQ=MN∙sin 30° =6(cm)， ∴ME=MQ＋QE=6＋3.88≈9.9(cm)， 答：起钉时点M到底座GH的距离约为9.9 cm. 解图 返回目录 练习5 (2025姑苏区立达中学二模)学科综合 创新考法 跨物理学科 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图①)， 我们把n=称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角). 返回目录 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验，即通过细管MN可以 看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图③是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm. 返回目录 (1)求入射角α的度数； 解：(1)如解图，过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得，四边形DGBF是矩形， ∴DG=BF=12 cm，BG=DF=16 cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG===， ∴∠BDG=53°， ∴∠PDH=∠BDG=53°， ∴入射角α的度数为53°； 解图 BF=12cm，DF=16cm. 返回目录 (2)若BC=7 cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) BF=12cm，DF=16cm. 返回目录 (2)∵BG=16 cm，BC=7 cm，∴CG=BG－BC=9(cm)， 在Rt△CDG中，∵DG=12 cm， ∴DC===15(cm)， ∴sin β=sin∠GDC===， 由(1)得∠PDH=53°，∴sin∠PDH=sin α≈， ∴折射率n=≈=， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为. 返回目录 $ 第四单元　三角形 基础课19　特殊三角形及其性质 节前复习导图 特殊三角形 及其性质 直角三角形 图形 边 角 边角关系 对称性 面积计算公式 重要线段 判定 等腰 三角形 图形 边 角 边角关系 对称性 面积计算公式 重要线段 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、等腰三角形 图形 边 角 边角关系 重要线段 对称性 面积计算公式 两腰相等 两底角 相等 等边对等 角；等角 对等边 三线 合一 是轴对称 图形，有1 条对称轴 S= 　 ⁠ 三边相等 每一个 角 都等于 60° — 是轴对称 图形，有3 条对称轴 S=ah= 　 . ah a2 返回思维导图 返回目录 二、直角三角形 图形 边 角 边角关系 重要线 段 对称性 面积计算公式 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角 三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2=c2 两锐 角和 等于 90° 30°角所 对的直角 边是斜边 的一半 直角三 角形斜 边上的 中线等 于斜边 的一半 — S=ch= 　ah 　 ah 返回思维导图 返回目录 图形 边 角 边角 关系 重要线段 对称性 面积计算公式 1.两直角边 互相垂直 2.三边长的 比为 1∶1∶ 1.两锐角均为45° 2.两锐角和等于 90° 3.两底角相等 — 直角三角 形斜边上 的中线等 于斜边的 一半 是轴对 称图 形，有 1条对 称轴 S=a2=ch =c2=ah 返回思维导图 返回目录 三、判定： 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 等腰三角形的性质及判定(4年5考) 命题点 1 1. (2022苏州12题3分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样 的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB的长为 ⁠. 6 返回目录 (1)AB的长为 ； (2)△ABC的面积为 　； 4 ​ 4 ​ 2. (八上例题改编)如图，在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC， BC=4. 返回目录 【解法提示】∵在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°， ∵△BCD为等腰三角形，∴∠BCD=∠B=30°或∠BCD=∠BDC=(180°－ ∠B)=75°；若△BCD为等腰三角形，则BD=BC=4或BD=CD，此时 ∠B=∠BCD=30°，如解图②，过点D作BC的垂线交BC于点G， ∴BG=BC=2，∴BD==. 综上所述，BD的长为4或. 在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4. (3)D为AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形. ①∠BCD的度数为 ，BD的长为 ； 75°或30° 4或 ​ 返回目录 在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4. (3)D为AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形. ②若E为AB上不同于D的一点，且BD=DE=AE，连接CE，判断△CDE的 形状，并证明. 证明：∵BD=DE=AE，由(1)得AB=4， ∴BD=DE=AE=，∴由(3)①得∠BCD=30°， ∴∠BDC=120°，BD=CD=， 如解图③，则∠EDC=60°，CD=DE， ∴△CDE是等边三角形. 解图 返回目录 题后反思 你能发现△ACE的形状吗？给出你的理由吧! △ACE是等腰三角形. 由(3)②得△CDE是等边三角形，则∠CEB=60°， ∴∠ACE=∠CEB－∠A=30°=∠A， ∴△ACE是等腰三角形. 返回目录 3. (2025姑苏区立达中学二模)如图，等腰△ABC的腰长为2，顶角 ∠A=45°，D是BC边上一动点，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足 为F，连接EF，则S△DEF的最大值是 . ​ 【解析】如解图①，连接AD，作BH⊥AC于点H， ∴AB=AC，∴DE＋DF=BH=2， 则△ABH是等腰直角三角形，∴BH=AH=AB=2， ∵S△ABC=AC∙BH=S△ABD＋S△ACD=AB∙DE＋AC∙DF， △ABC为等腰三角形， 解图① 返回目录 如解图②，过点F作FG⊥ED交ED的延长线于点G， ∵∠B=∠C=×(180°－∠A)=67.5°， ∴∠BDE=∠CDF=90°－67.5°=22.5°，∵∠CDG=∠BDE， ∴∠CDG=∠CDF=∠BDE=22.5°，∴∠FDG=45°，∴DG=FG， 设DG=FG=x，∴DF=x，∴DE=2－x， ∴S△DEF=DE∙FG=(2－x)∙x=－x2＋x， ∴当x=时，S△DEF有最大值，最大值是. 解图② 返回目录 直角三角形的性质及判定(4年5考) 命题点 2 4. (八上习题改编)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　C　) A. ∠A＋∠B=90° B.∠A∶∠B∶∠C=1：2：3 C. a=2，b=2，c=3 D. a=1，b=2，c= 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，D，E分别 是AC，BC的中点，若DE=6，则CF的长为 ⁠. C 6 返回目录 6. (八上练习改编)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3， 动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接 CD，设点D运动时间为t s，当△BCD的面积为3时，AD的长为 ⁠. 3 － 2 返回目录 7. (2023苏州16题3分)如图，∠ABE=135°，∠BAC=90°，AB=AC=3. 过点C作CD⊥BC，延长CB到点E，使 BE=CD，连接AE，ED. ED=2AE， 则BE= 　 ⁠.(结果保留根号) ＋1 返回目录 【解析】令AE=m，BE=n，则CD=3n，DE=2m，如解图，将△ABE绕点A 逆时针旋转90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACD=∠ABE=135°，则点E的对应点落在CD上，记为F，连接AF，EF，则AF=AE=m， CF=BE=n，又∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=m，∵AB=AC=3， ∴BC=6，在Rt△CEF中，(6＋n)2＋n2=(m)2，在Rt△CDE中，(6＋n)2＋ (3n)2=(2m)2，两式联立可解得n=＋1或1－(负值不合题意，舍去)， ∴BE=＋1. 解图 返回目录 【解析】如解图，作点D关于直线AB的对称点D′，此时D′E就是DF＋EF 的最小值，作EK⊥AB于点K，EG⊥DD′于点G，则四边形EGHK是矩形， ∴GH=EK，GE=HK，设AC=x，则BC=10－x， 8. (2025三区统考一模)如图，线段AB=10，C是线段AB上的一个动点，分 别以AC，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE， 点F在线段AB上，连接DF，EF，DE，则△DEF周长的最小值为 ⁠. 5＋ 5 ​ 解图 返回目录 ∴D′H=DH=AC=x，GH=EK=BC=(10－x)，∴GE=HK=CH＋CK=5， D′G=D′H＋GH=5，∴D′E=5， ∵∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=(10－x)， ∴∠DCE=90°，DC＋CE=x＋(10－x)=5， ∴AH=CH=x，CK=BK=(10－x). ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， DD′⊥AB，EK⊥AB， 解图 返回目录 ∴在Rt△DCE中， DE2=DC2＋CE2=x2＋(10－x)2=x2－10x＋50=(x－5)2＋25， ∴DE=，∴当x=5时，DE取得最小值，最小值为5， ∴此时DE＋DF＋EF=DE＋D′E=5＋5， 即△DEF周长的最小值为5＋5. 解图 返回目录 $ 第四单元　三角形 基础课18　一般三角形及其性质 节前复习导图 一般三角形 及其性质 三角形 的分类 按边分 按角分 三角形 边、角关系 三边关系 角的关系 边角关系 三角形中的 特殊线段及直线 中线 高线 角平分线 中位线 垂直平分线 三角形 的性质 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、三角形的分类 1. 按边分 (1)三边都不相等的三角形 (2)等腰三角形 底≠腰的等腰三角形 ⁠ 2. 按角分：锐角三角形、 ⁠、钝角三角形 等边三角形 直角三角形 返回思维导图 返回目录 二、三角形的性质：三角形具有稳定性 三、三角形的边、角关系 1. 三边关系：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 ⁠第三边 【满分技法】判断给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否 大于最长线段 2. 角的关系 (1)内角和定理： ⁠ 大于 小于 三角形三个内角和等于180° 返回思维导图 返回目录 (2)外角和：三角形的外角和为 ⁠ (3)内、外角关系 任意一个外角 ⁠与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角 ⁠任何一个与它不相邻的内角 360° 等于 大于 3. 边角关系：同一个三角形中，等边对 ⁠，大边对大角；等角对等边，大角对 大边 等角 返回思维导图 返回目录 四、三角形中的特殊线段及直线　 特殊线 段/直 线 性质(文 字语言) 示意图(图形 语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸 线 段 中 线 AD是 △ABC 的中线 ∵AD是△ABC的中线 ∴BD= = BC， S△ABD=S△ACD=S△ABC 三角形三条中线的交 点为三角形的重心 高 线 AD是 △ABC 的高线 ∵AD是△ABC的高线 ∴AD⊥ ⁠ (∠ADB=∠ADC=90°) 三角形的三条高线所 在的直线的交点为三 角形的垂心 CD ​ BC 返回思维导图 返回目录 特殊线 段/直线 性质(文字语 言) 示意图(图形 语言) 数学表示(符号语 言) 拓展延伸 线 段 角平 分线 AD是△ABC 的角平分线 ∵AD是△ABC的 角平分线 ∴∠BAD= ⁠ =∠BAC (1)三角形三条内角平分线 的交点为三角形的内心 (2)内心到三角形三边距离 相等 ∠C AD 返回思维导图 返回目录 特殊线 段/直线 性质 (文字语言) 示意图(图形 语言) 数学表示(符号语 言) 拓展延伸 线 段 中位 线 DE是△ABC 的中位线 ∵DE是△ABC的 中位线 ∴DE∥BC， DE= 　BC 【适用情况】在三角形中 遇到某一边中点时，常构 造三角形中位线，可简单 地概括为“已知中点找中位 线” 返回思维导图 返回目录 特殊线 段/直线 性质(文字语言) 示意图(图 形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸 直 线 垂直 平分 线 DE是△ABC中 BC边上的垂直 平分线(中垂线) ∵DE是△ABC中BC边 上的垂直平分线 ∴DE⊥BC， BE= ⁠， BD= ⁠ (1)外心：三角形的三 条边的垂直平分线的 交点 (2)外心到三角形三个 顶点的距离相等 CE CD 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 三角形及边角关系 命题点 1 1. (八上练习改编)下列各组数中，能构成三角形三边长的是(　C　) A. 1，1，2 B. 2，3，6 C. 1，2，2 D. 3，4，7 2. (八上讨论改编)空调安装在墙上时，一般都会用三角形支架进行固定， 这种固定方法应用的几何原理是 ⁠. C 三角形具有稳定性 返回目录 3. (八上例题改编)如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，已知 ∠B=42°，∠C=36°，∠BAD=66°. (1)∠BAC的度数为 ，∠ADC的度数为 ⁠； (2)△ABC的形状为 ⁠三角形(填“钝角”“锐角”或“直角”)； 102° 108° 钝角 返回目录 如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=36°，∠BAD=66°. (3)AD，CD的大小关系为 ，AD，AB的大小关系为 ⁠ ⁠. 【解析】由(1)得∠ADC=108°，∵∠C=36°，∴∠DAC=180°－∠ADC －∠C=36°=∠C，∴AD=CD，∠ADB=∠C＋∠DAC=72°＞∠B， ∴AD＜AB. AD=CD AD＜ AB 返回目录 三角形中的重要线段(常在几何题中涉及) 命题点 2 4. (八上复习题改编)如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，点E，F分 别是AC，DC的中点.若EF=2，则BD的长为(　B　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 返回目录 5. (八上练习改编)如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CE⊥AB于点E， AD⊥BC于点D，则的值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】∵AB=8，BC=6，AB，BC边上的高分别为CE，AD， ∴S△ABC=AB∙CE=BC∙AD，∴×8CE=×6AD，∴=. B 返回目录 【解析】如图，延长AE交BC于点F，∵∠B=40°，∠DAE=20°， ∴∠AFC=∠B＋∠BAF=60°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠FCE， ∵CD⊥AF，∴△ACF是等腰三角形， ∴∠EAC=∠AFC=60°. 6. (八上习题改编)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A 作AE⊥CD于点E，若∠B=40°，∠DAE=20°，则∠EAC的度数为(　D) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° D F 返回目录 7. (2025姑苏区振华中学二模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E. 若AC=2，DE=1，则S△ACD= ⁠. 1 【解析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=1，∵AC=2， ∴S△ACD=AC∙DF=×2×1=1. F 返回目录 8. (八上习题改编)如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高 线，点D在点E的左侧，已知AE=2，DE=1，若S△ABC=8，则CE的长 为 ⁠. 【解析】∵S△ABC=8，∴BC∙AE=8，即×BC×2=8，解得BC=8， ∵AD是边BC上的中线，∴CD=BC=4，∵DE=1， ∴CE=CD－DE=3. 3 返回目录 9. 如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，BC的垂直平分 线，连接BE，BF. 若∠ABC=70°，则∠EBF的度数为 ⁠. 【解析】∵DE，FG分别是边AB，BC的垂直平分线，∴BE=AE，BF=CF， ∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∴∠CBF＋∠ABE=∠C＋∠A=180°－ ∠ABC=110°，∴∠EBF=∠CBF＋∠ABE－∠ABC=110°－70°=40°. 40° 返回目录 $ 第四单元　三角形 基础课21　相似三角形(含位似) 节前复习导图 相似三角形 (含位似) 比例线段 比例的性质 黄金分割比例 平行线分线段成比例 相似多边形 定义 性质 图形的位似 相似三角形 定义 相似三角形 的判定及性质 判定三角形 相似的思路 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、比例线段 1. 比例的性质 (1)性质1(基本性质)：如果 =，那么ad= ⁠ (2)性质2(合比性质)：如果=，那么= 　 (3)性质3(等比性质)：如果==…=(b＋d＋…＋n≠0)，那么= bc ​ 返回思维导图 返回目录 2. 黄金分割比例：如图①，若= 　​　，则线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且=≈0.618， 简记为：==(注：一条线段上有两个黄金分割点) ​ 图① 返回思维导图 返回目录 3. 平行线分线段成比例 (1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实)，如图②， 当l3∥l4∥l5时，有= 　​　，= 　​　 ​ ​ 返回思维导图 返回目录 如图④，当DE∥BC时，有== (2)推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 如图③，当DE∥BC时，有=，=等 返回思维导图 返回目录 二、相似三角形 1. 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2. 相似三角形的判定及性质 (1)判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三 角形相似 ⁠分别相等的两个三角形相似 两边成比例且 ⁠相等的两个三角形相似 三条边 ⁠的两个三角形相似 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 两角 夹角 成比例 返回思维导图 返回目录 (2)性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⁠ 相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ⁠ 相似比 相似比 相似比的平方 返回思维导图 返回目录 (3)判定三角形相似的思路 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找另一对等角该角的两边对应成比例 有两边对应成比例，找夹角相等第三边也对应成比例 返回思维导图 返回目录 三、相似多边形 1. 定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相 似多边形 2. 性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边的比等于 ⁠ (2)相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ⁠ 相似比 相似比 相似比的平方 返回思维导图 返回目录 四、图形的位似 性质 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质 2.任意一组对应点的连线或延长线相交于同一个点(位似中心) 3.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比 4.位似图形的对应边平行(或在一条直线上) 【满分技法】位似变化与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中 心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的 点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)(注：有两种情况) 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 平行线分线段成比例 命题点 1 1. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音 符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点A，B，C都在五线 谱的线上，若AB的长为3，则AC的长为(　C　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 C 返回目录 2. (九下尝试与交流改编)如图，AB∥EF∥CD，AF∶AD=2∶5，若CE=9，则BE的长为 ⁠. 6 返回目录 3. 如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F， AD=3，DE=6. (1)若AB=4.5，求BC的长； 解：(1)∵l1∥l2∥l3， ∴=， ∵AD=3，DE=6，AB=4.5， ∴=， 解得BC=9； 返回目录 (2)若EF=10，求BE的长. (2)∵l1∥l2∥l3， ∴=，即=， 解得BE=. 直线l1∥l2∥l3，AD=3，DE=6. 返回目录 黄金分割 命题点 2 4. (九下练习改编)如图，乐器上的一根弦AB长度为80 cm，两个端点A，B 固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点 A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ⁠cm.(结 果保留根号) (80 －160) 返回目录 【解析】∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB=80 cm， ∴AC=AB=×80=(40－40) cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点， AB=80 cm，∴DB=AB=×80=(40－40)cm，∴CD=AC＋BD－ AB=2(40－40)－80=(80－160)cm，∴支撑点C，D之间的距离为 (80－160)cm. 返回目录 易错提醒 提醒：你发现了吗？一条线段的黄金分割点有两处哦!因此在解此类题目 时要注意分类讨论. 返回目录 相似多边形 命题点 3 5. (九下思考与探索改编)如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则 a= 　　　　5，∠D= ⁠°. 5 135° 返回目录 相似三角形的判定及性质(常在几何题中涉及) 命题点 4 类型一　A字型(4年3考) 6. (九下习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点， AB=3AD，∠ADE=∠B，则△AED与四边形BCDE的面积之比为(　C　) A. 1∶3 B. 1∶6 C. 1∶8 D. 1∶9 C 返回目录 【解析】∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD，△CDE∽△CAB， ∴===. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE， ∴==.∵BC=6，∴BE=BC=，∴DE=. 7. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E. 若AB=9，BC=6，则DE的长为(　C　) A. B. 3 C. D. 4 C 返回目录 8. 如图，已知∠A=70°，∠ADC=65°，AC2=AD∙AB，则∠B的度数 为 ⁠. 【解析】∵∠A=70°，∠ADC=65°， ∴∠ACD=180°－70°－65°=45°， ∵AC2=AD∙AB，∴=，∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴∠B=∠ACD=45°. 45° 返回目录 9. (九下复习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，延长AB 到点D，使BD=1，延长BC到点E，使BC=CE，连接DE交AC的延长线于点 F，若BE=2，则的值为 　​　. ​ 返回目录 【解析】如解图，过点B作BG∥CF交DE于点G， ∵BC=CE，BG∥CF，∴CF是△EBG的中位线， ∴CF=BG，在Rt△ABC中，AB=3，BC=BE=1， ∴AC==，设CF=x，则BG=2x，∵△BDG∽△ADF， ∴=，即=，解得x=，∴=. 解图 返回目录 模型分析 1. 正A字型 条件：如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC(或 =). 图示： 结论：△ADE∽△ABC. 返回目录 2. 斜A字型 条件：如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，∠AED=∠C 或∠ADE=∠B. 图示： 结论：△ADE∽△ABC. 返回目录 类型二　8字型(2025.27涉及) 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且 DE∥BC，连接BE，CD交于点F，且=3，则的值为(　A　) A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 A 返回目录 11. (九下练习改编)如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，点D，E分 别是边BC，AC边上的点，连接DE并延长至点F，连接AF. 若EC=2EA， ED=2EF，则∠FAB的度数为(　B　) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° B 返回目录 12. (九下习题改编)如图，在4×4的网格中，已知每个小四边形都是边长 为1的正方形，A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则PC的长 为(　C　) A. B. C. D. C 返回目录 【解析】如解图，设AB与网格线交于点R，取格点Q，连接RC，AQ， BQ，则A，C，Q三点在同一条直线上，D，B，Q三点在同一条直线上， 根据题意得，AC=CQ=2，AQ=DQ=4，BQ=3，BD=1，∠Q=90°， ∴CD===2，∵RC∥BQ，∴△ARC∽△ABQ， ∴===，∴RC=BQ=，∵BD∥RC，∴△BPD∽△RPC，∴===，∴PC=CD=×2=. 解图 返回目录 13. (2025 )如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P从点B 出发沿BC方向运动到点C停止，点Q在BC的延长线上(包含点C)，且点Q和 点P关于点C对称，连接DP与AQ交于点O. 若AD=2，AB=， ∠ADC=120°，在点P从点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为 (　B　) A. B. C. D. B 返回目录 模型分析 1. 正8字型 条件：如图，AC与BD交于点O，AB∥CD(或一组内错角相等). 图示： 结论：△AOB∽△COD. 返回目录 2. 斜8字型 条件：如图，AC与BD交于点O，∠A=∠D(或∠B=∠C). 图示： 结论：△AOB∽△DOC. 返回目录 答题规范 得分要点 类型三　其他类型 14. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上， DE与AC相交于点F. 若AB=18，BD=6，求CF的长. 解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠ADE=60°， ∴∠BAD＋∠ADB=120°， ∠ADB＋∠FDC=120°， ∴∠BAD=∠FDC， 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCF， ∴=，即=，∴CF=4. 由等边三角形性质推导出两组 对应角相等 对应顶点的字母写在对应的位 置上 利用相似三角形性质得出边的比 例关系 返回目录 【模型链接】 一线三等角模型见本书P116微专题7 返回目录 15. (九下习题改编)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED， ∠ABC=∠ADE，连接BD，CE，求证：△ACE∽△ABD. 证明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，=， ∵∠BAC＋∠BAE=∠DAE＋∠BAE， ∴∠CAE=∠BAD， 又∵=，∴△ACE∽△ABD. 返回目录 【模型链接】 手拉手模型见本书P118微专题8 返回目录 位似 命题点 5 16. (2025昆山多校联考一模)如图，O是△ABC内任意一点，D，E，F分别 为AO，BO，CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为 O. 若AD=AO，则△ABC与△DEF的相似比为 　​ 　. ​ 类型三 其他类型(常在几何题中涉及) 返回目录 【解析】∵O是△ABC内任意一点，D，E，F分别为AO，BO，CO上的 点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，AD=AO， ∴=，则△ABC与△DEF的相似比为. 返回目录 相似三角形的实际应用 命题点 6 17. 一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的截面示意图，图③是 在打开状态时的截面示意图(此时AB∥CD)，相关数据如图(单位：cm). 从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了(　B　) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm B 返回目录 【解析】如解图，连接BD，由题意，得=，∠A=∠A， ∴△AEF∽△ABD，∴=，∴=，∴BD=5 cm， ∴点B，D之间的距离减少了5－2=3(cm). 解图 返回目录 $ 第四单元　三角形 基础课20　全等三角形 节前复习导图 全等三角形 性质 概念 判定 SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL 全等判定思路 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 二、性质 1. 全等三角形的对应边 ，对应角 ⁠ 2. 全等三角形的周长 ，面积 ⁠ 3. 全等三角形对应的中线、 、 ⁠、中位线都相等 相等 相等 相等 相等 高线 角平分线 返回思维导图 返回目录 三、判定 SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL 三边分别相 等的两个三 角形全等 (基本事实) ⁠ ⁠ ⁠ (基本事实) ⁠ ⁠ ⁠ (基本事实) ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 两边及其夹角 分别相等的两个 三角形全等 两角及其夹边 分别相等的两个 三角形全等 两角分别相等 且其中一组等角 的对边相等的两 个三角形全等 斜边和一条 直角边分别相 等的两个直角 三角形全等 返回思维导图 返回目录 四、全等判定思路 1. 已知两边 (1)找夹角→SAS (2)找直角→HL或SAS (3)找第三边→SSS 2. 已知一边和一角 (1)边为角的对边→找另一角→AAS (2)边为角的邻边 找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 返回思维导图 返回目录 3. 已知两角 (1)找夹边→ASA (2)找其中一角的对边→AAS 【易错警示】 1. “SSA”不能判定两个三角形全等； 2. “HL”是判定两个直角三角形全等的特有方法，对于一般三角形不适用. 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 类型一　平移型(2025.21涉及) 1. (八上例题改编)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AC=DF， AC∥DF，BC∥EF. 若AE=7BD=7，求AB的长. 命题点 全等三角形的判定及性质(每年1~3道)( 快答App∙答疑高频考 点1292次) 返回目录 答题规范 得分要点 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB=DE， ∵AE=7BD=7，∴BD=1. ∴AE=AB＋BD＋DE=2AB＋1=7， ∴AB=3. 解：∵AC∥DF，BC∥EF， ∴∠A=∠FDE，∠ABC=∠DEF， 利用平行线性质得两组对应角相等 按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等 利用全等三角形性质得出结论 返回目录 2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，过点 E作EG⊥AC交AC于点G，延长EG至点D，使DG=EG，过点D作DF∥AC交 BC的延长线于点F. (1)求证：△ABC≌△DEF； (1)证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴BA⊥AC. ∵ED⊥AC，∴AB∥DE， ∴∠B=∠DEF. ∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∠EDF=∠EGC=90°. ∵DG=EG，∴CG是△EDF的中位线， ∴点C是EF的中点，∴EC=CF. 返回目录 ∵点E是BC的中点，∴BE=EC， ∴BE=CF， ∴BE＋EC=EC＋CF，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)； 返回目录 (2)连接AD，若AB=3，AC=4，求四边形ABFD的周长. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，EG⊥AC，DG=EG，作DF∥AC. (2)解：如图，连接AE， ∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==5. ∵由(1)证得△ABC≌△DEF， ∴EF=BC=5，DF=AC=4. 返回目录 ∵E是BC的中点，C是EF的中点， ∴BE=EC=CF=AE=. ∵ED⊥AC，DG=EG， ∴AC是DE的垂直平分线， ∴AD=AE=， ∴C四边形ABFD=AB＋BE＋EC＋CF＋DF＋AD=3＋＋＋＋4＋=17. 返回目录 模型分析 解题思路： (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等； (2)找等角：利用平行线性质找对应角相等. 返回目录 类型二　轴对称型(4年4考) 3. (八上复习题改编)如图，△ABD≌△ACE，若AE=3，AB=6，求CD 的长度. 解：∵△ABD≌△ACE，AE=3，AB=6， ∴AD=AE=3，AC=AB=6， ∴CD=AC－AD=6－3=3. 返回目录 4. (2024苏州20题6分)如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大 于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于 点E. (1)求证：△ABD≌△ACD； (1)证明：由作图知BD=CD， 在△ABD 和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS)； 返回目录 (2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长. 如图，△ABC中，AB=AC. (2)解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°， ∴∠BDA=∠CDA=∠BDC=60°， ∵BD=CD，AB=AC， ∴DA⊥BC，BE=CE， ∴BE=BD∙sin∠BDA=2×=， ∴BC=2BE=2. 返回目录 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于 点D，过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证：△ACD≌△AED； (1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴CD=ED， ∵在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)； 返回目录 (2)若AC=4，BC=3，求CD的长. (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， 由(1)得△ACD≌△AED，∴AE=AC=4，CD=ED， ∴BE=AB－AE=5－4=1， 设CD=DE=x，则BD=3－x， 在Rt△BDE中，BE2＋DE2=BD2，即12＋x2=(3－x)2， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB. 解得x=，∴CD=. 返回目录 模型分析 1. 有公共边 2. 有公共顶点 返回目录 解题思路： (1)找等边：找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到 对应边相等； (2)找等角：找公共角、对顶角、垂直找直角、等腰等条件得到对应角 相等. 返回目录 类型三　中心对称型(4年2考) 6. 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱 OE与地面垂直，且OE的长度为50 cm，当小明到水平线CD的距离AM为 40 cm时，小颖到地面的距离BF为 ⁠cm. 90 返回目录 7. (2025高新区一模)如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C， AE∥BF，且AE=BF. 求证：AC=BD. 证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE=∠BCF=90°. ∵AE∥BF，∴∠A=∠B， 在△ADE与△BCF中， ∴△ADE≌△BCF(AAS)， ∴AD=BC，∴AC=BD. 返回目录 模型分析 1. 共顶点 2. 不共顶点 解题思路： (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等； (2)找等角：对顶角相等或利用平行线性质找对应角相等. 返回目录 类型四　其他模型(2024.8涉及) 8. (八上例题改编)如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE， AB=CD，求证：BC=DE. 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠ACE=∠B=∠D=90°. ∵∠BCA＋∠DCE＋∠ACE=180°，∠ACE=90°， ∴∠BCA＋∠DCE=90°. ∵∠BCA＋∠A＋∠B=180°，∠B=90°， ∴∠BCA＋∠A=90°，∴∠DCE=∠A， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE(ASA)，∴BC=DE. 返回目录 【模型链接】 一线三等角模型见本书P116微专题7 9. (九下练习改编)如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，连接AD，点 A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数. 解：∵△ABC，△DCE为等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE， 返回目录 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°－∠CDE=120°， ∴∠AEB=∠CEB－∠CED=60°. 返回目录 10. (八上练习改编)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的 点，且∠EAF=45°.连接EF，判断BE，DF，EF之间的数量关系，并证明. 解：EF=BE＋DF. 证明：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到 △ABF′， 则∠F′AB=∠FAD， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE＋∠FAD=45°， 解图 返回目录 ∴∠EAF′=∠F′AB＋∠BAE=45°， ∴∠EAF′=∠EAF. 在△AEF和△AEF′中， ∴△AEF≌△AEF′(SAS)， ∴EF=EF′， 又∵EF′=BE＋BF′=BE＋DF， ∴EF=BE＋DF. 解图 返回目录 $ 第四单元　三角形 基础课17　线段、角、相交线与平行线 章前复习思路 解决问题 特殊 线段、角、相交线与平行线 直线和线段 角及角平分线 相交线、平行线 命题 直角三角形 全等、相似三角形的性质 全等、相似三角形的判定 实际应用 性质 面积 判定 角 边角关系 边 重要线段及直线(角平分线、中线、高线、中位线、 垂直平分线) 三角形 等腰三角形 全等、相似三角形 三角形 锐角三角函数 节前复习导图 命题 平行线 平行公理及推论 平行线的性质 与判定 线段、角、相 交线与平行线 度分秒的换算 余角、补角 角平分线 角及角 平分线 两个基本事实 线段的中点 线段的和与差 线段和直线 相交线 对顶角 邻补角 三线八角 点到直线的距离 垂线的性质 线段的垂直平分线 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、线段和直线 1. 两个基本事实 (1)直线的基本事实：两点 ⁠一条直线 (2)线段的基本事实：两点之间 ⁠最短 确定 线段 返回思维导图 返回目录 2. 线段的中点：如图①，若有AM= = 　AB，则点M是线段AB的中点 图① BM 返回思维导图 返回目录 3. 线段的和与差：如图②，在线段AC上取一点B，则有 ＋BC=AC； AB= －BC；BC=AC－ ⁠ 图② AB AC AB 返回思维导图 返回目录 二、角及角平分线 1. 度分秒的换算：1°= ，1′=60″，角的度、分、秒是60进制 2. 余角、补角 (1)余角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为余角 (2)补角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为补角 (3)性质：同角(等角)的余角 ，同角(等角)的补角 ⁠ 60′ 90° 180° 相等 相等 返回思维导图 返回目录 3. 角平分线 (1)性质(定理)： ⁠ (2)逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离 ⁠的点在这个角的平分线上 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 相等 返回思维导图 返回目录 三、相交线(如图③) 图③ 1. 对顶角 (1)举例：∠1与 是对顶角，∠2与 ⁠是对顶角 (2)性质： ⁠ 2. 邻补角 (1)举例：∠1的邻补角是 ，∠3的邻补角是 ⁠ (2)性质：一个角与它的邻补角之和等于 ⁠ ∠3 ∠4 对顶角相等 ∠2或∠4 ∠2或∠4 180° 返回思维导图 返回目录 3. 三线八角 (1)同位角：∠1与 是同位角，∠2与 ⁠是同位角 (2)内错角：∠2与 是内错角，∠3与 ⁠是内错角 (3)同旁内角：∠2与 是同旁内角，∠3与 ⁠是同旁内角 4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 ∠5 ∠6 ∠8 ∠5 ∠5 ∠8 图③ 返回思维导图 返回目录 5. 垂线的性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直(基本事实) (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， ⁠最短 6. 线段的垂直平分线 (1)性质(定理)： ⁠ (2)逆定理：到线段两端 ⁠的点在线段的垂直平分线上 一 垂线段 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 距离相等 返回思维导图 返回目录 四、平行线　 1. 平行公理及推论 (1)公理：过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行(基本事实) (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 (基本事实) 一条 平行 返回思维导图 返回目录 2. 平行线的性质与判定 (1)两直线平行同位角 (注：判定是基本事实) (2)两直线 内错角相等 (3)两直线平行同旁内角 ⁠ 相等 平行 互补 返回思维导图 返回目录 2. 两条平行线之间的距离处处相等 【满分技法】 1. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 返回思维导图 返回目录 五、命题 1. 命题：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行” (1)该命题的条件是 ，结论是 ⁠， 该命题是 命题(填“真”或“假”) (2)“如果两条直线平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题 (填 “是”或“不是”)(1)中命题的逆命题，该命题是 (填“真”或“假”)命题，证明的方法 是举反例 两条直线都与第三条直线平行 这两条直线平行 真 是 假 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 线段和直线 命题点 1 1. (七上习题改编)已知线段AB，延长AB至点C，使BC=AB，D是线段AC 的中点.若DC=2，则AB的长为 ⁠. 角与角平分线 命题点 2 2. (2025高新区一模改编)若∠α=35°27′，则∠α的余角的度数 是 ，补角的度数是 ⁠. 3 54°33′ 144°33′ 返回目录 3. (七上练习改编)如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E在OD上，EF⊥OA，交OA于点F. (1)若∠COD=35°，则∠AOD= ⁠； (2)若EF=3，则点E到OC的距离为 ，其依据是 ⁠ ⁠. 35° 3 角平分线上的点到角 两边的距离相等 返回目录 相交线(2022.5) 命题点 3 4. (2025 )如图，直线AB与CD交于点O，OF平分∠AOE，OD⊥OF. 若∠AOC=35°，则∠DOE的度数为(　A　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 55° 【解析】∵OD⊥OF，∴∠DOF=∠COF=90°，∴∠DOE＋∠EOF=∠COA＋∠AOF=90°.∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∵∠AOC=35°， ∴∠DOE=∠AOC=35°. A 返回目录 5. (八上练习改编)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接 BD. 若BD=3，CD=5，则AC的长为 ⁠. 【解析】∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD=BD， ∵BD=3，∴AD=BD=3， ∵CD=5，∴AC=AD＋CD=3＋5=8. 8 返回目录 平行线的判定及性质(4年3考，1次和网格结合) 命题点 4 类型一　平行线的判定(2023.3和网格结合) 6. (七下练习改编)如图，下列条件：①∠DCA=∠CAF，②∠DCA=∠EDB， ③∠BAC＋∠DCA=180°，④∠CDB＋∠B=180°，其中能判断AB∥CD 的是(　C　) A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ C 返回目录 类型二　平行线性质求角度(4年2考) 7. (2025苏州5题3分)如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得 公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则 ∠α的度数应为(　C　) A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° C 【解析】如解图，由题意得，a∥b， ∴70°＋α=180°，∴α=110°. 解图 返回目录 8. (2024苏州5题3分)如图，AB∥CD，若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为(　B　) A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° 【解析】解法一：∵AB∥CD，∠2=120°， ∴∠BAD=180°－∠2=60°.∵∠1=65°， ∴∠3=180°－∠1－∠BAD=55°. B 返回目录 如图，AB∥CD，若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为(　　) 【解析】解法二：∵AB∥CD，∠1=65°，∴∠ACD=∠1=65°， ∵∠2=∠ACD＋∠3，∠2=120°， ∴∠3=∠2－∠ACD=55°. A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° B 返回目录 $