第四单元　三角形课件 2026年中考数学一轮专题复习（浙江）

让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第18练　等腰三角形 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长为(　　　) A.8 cm B.13 cm C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　　) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[2023·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，点D， E分别在边AB，AC上，连结BE，CD.下列命题中，假命题是 (　　　) A.若CD=BE，则∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC，则CD=BE C.若BD=CE，则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC，则BD=CE A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而BC=CB，∠DCB= ∠EBC，可得△DCB≌△EBC(ASA)，故CD=BE，BD=CE，B，D是真命题. 根据BC=CB，∠ABC=∠ACB，BD=CE，得△DCB≌△EBC(SAS)，故∠DCB=∠EBC，C是真命题. 不能通过CD=BE，CB=BC，∠ABC=∠ACB证明△BCD≌△CBE，从而推出∠DCB=∠EBC，A是假命题. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC=(　　　) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD=DB. ∵△ACD的周长为50 cm， 即AC＋AD＋CD=AC＋CD＋DB=AC＋BC=50 cm. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[2025·安徽]如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=，则AC的长是(　　　) A.4 B.6 C.2 D.3 B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵∠A=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=×(180°－120°)=30°. ∵ED⊥AC，∴∠CDE=90°， ∴tan C=tan 30°=， ∴DC=3. 又∵D是AC的中点，∴AC=2DC=6. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　 　°.  100 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(3分)[嘉兴中考]小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件__________________　 .  　∠A=60°(答案不 唯一) 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(3分)[2024·重庆]如图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2， 则AD的长度为　 　.  【解析】 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C. ∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°， ∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD=180°－72°－36°=72°， ∴∠BDC=∠C，∴BD=BC=2. ∵∠A=36°，∠ABD=36°，∴∠A=∠ABD， ∴AD=BD=2. 2 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(8分)如图，已知AB=DC，∠A=∠D，AC与DB相交于点O.求证：∠OBC=∠OCB. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：在△AOB和△DOC中， ∵ ∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(8分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF= ∠C. (1)(4分)求证：∠BDF=∠A. (2)(4分)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写 出△ABC的形状. 解：(1)∵DE∥BC，∴∠C=∠AED. ∵∠EDF=∠C，∴∠AED=∠EDF， ∴DF∥AC，∴∠BDF=∠A. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵∠A=45°，∴∠BDF=45°. ∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°. ∵DE∥BC，∴∠B=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.[2025·北京]如图，∠MON=100°，点A在射 线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交 射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为 半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，连结 AC，则∠OAC的度数为(　　　) A.80° B.100° C.110° D.120° B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，连结AB，BC. 由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB， ∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°. ∵OC=OC，∴△OAC≌△OBC(SSS)， ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=∠AOB=50°， ∴∠OAC=180°－∠AOC－∠ACO=100°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(3分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰AB的长为　 　.  6 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 【解析】 ∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”， ∴AB=2×3=6或AB=×3=1.5. 若AB=6，则△ABC的三边长分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6； 若AB=1.5，则△ABC的三边长分别是1.5，1.5，3. 又∵1.5＋1.5=3，∴此时不能构成三角形， ∴这种情况不存在. 综上所述，腰AB的长为6. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(8分)[2025·福建]如图，△ABC是等边三角形， D是AB的中点，CE⊥BC，EF是由CD沿CE方向平 移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)(4分)求∠DCE的度数. (2)(4分)求证：△CEG是等边三角形. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=×60°=30°. ∵CE⊥BC， ∴∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠BCE－∠DCB=60°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由平移可知CD∥EF， ∴∠EAC=∠DCA=30°. 又∵∠ECA=∠BCE－∠ACB=30°， ∴∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE，∠AEC=120°. 又∵AB=CB， ∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC=∠AEC=×120°=60°. 由(1)知，∠GCE=60°，∴∠EGC=60°， ∴∠GEC=∠GCE=∠EGC， ∴△CEG是等边三角形. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(10分)如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，点D在AB上，DE⊥AC于点E，连结CD，∠CDE=∠B. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【特例探索】(1)(2分)如图1，若∠A=60°，求∠ACD的度数. 【类比迁移】(2)(4分)如图2，若∠A=α，求∠ACD的度数(用含α的代数式表示). 【拓展提升】(3)(4分)在图2中，猜想BD与AE的数量关系，并给出证明. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°. ∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°. ∵∠CDE=∠B=60°， ∴∠ACD=90°－60°=30°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵AB=AC，∠A=α， ∴∠B=∠ACB==90°－. ∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°. ∵∠CDE=∠B=90°－， ∴∠ACD=90°－. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)BD=2AE.证明如下： 如答图，在EC上截EF=AE，连结DF，则∠DFA= ∠A=α. 由(2)知∠ACD=， ∴∠FDC=∠AFD－∠FCD=， ∴CF=DF=AD. 又∵AB=AC， ∴BD=AF=2AE. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第17练　三角形与全等三角形 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是(　　　) A.1 B.5 C.7 D.9 B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.[2025·南充]如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是(　　　) A.120° B.130° C.140° D.150° D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[2025·山西]如图，小谊将两根长度不等的木条AC， BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO= DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的 性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是(　　　) A.SSS B.SAS C.ASA D.HL B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.”假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”的定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(　　　) A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法 A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是(　　　) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵BE=CF，∴BE＋EF=CF＋EF，即BF=CE，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，A不符合题意. 当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，B不符合题意. 当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，C不符合题意. 当AF=DE时，SSA不能证明△ABF≌△DCE，D符合题意. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(3分)如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，连结DE.若DE=12，则AB的长为　 　.  24 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(3分)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，若要证AE=CE，可添加的条件为_______________ 　 　.(只添加一种情况即可)  DE=EF或AD= CF 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵CF∥AB， ∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE， ∴添加条件DE=EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)， 添加条件AD=CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)， ∴AE=CE. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(3分)请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题： 　 　.  如果b－a＜0，那么a＞b 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(8分)[2025·福建]如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD.求证：AB=AD. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明：∵∠CBE=∠CDF，∴180°－∠CBE=180°－∠CDF， ∴∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∵ ∴△ABC≌△ADC(AAS)， ∴AB=AD. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(8分)[2025·自贡]如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF.求证：AE=BF. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明：∵∠ABE=∠BAF，∴CB=CA. ∵CE=CF，∴CB＋CE=CA＋CF，即BE=AF. 在△ABE和△BAF中， ∵ ∴△ABE≌△BAF(SAS)，∴AE=BF. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·凉山州]如图，AB=AC，AE=AD，点 E在BD上，∠EAD=∠BAC，∠BDC=56°，则 ∠ABC的度数为(　　　) A.56° B.60° C.62° D.64° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 如答图，设AC与BD相交于点O. ∵∠EAD=∠BAC， ∴∠BAE＋∠EAC=∠EAC＋∠CAD， ∴∠BAE=∠CAD. 在△BAE和△CAD中， ∵ 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△BAE≌△CAD(SAS)， ∴∠ABE=∠ACD. 又∵∠BOC=∠ABE＋∠BAC=∠ACD＋∠BDC， ∴∠BAC=∠BDC=56°. 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=(180°－∠BAC)=62°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　 　.  【解析】 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=1.6， ∴BD=BC－CD=4－1.6=2.4. 2.4 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 13.(3分)[一线三垂直]如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC，D为BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4，CF=1，则EF的长度为 　 　.  3 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】 ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠BAE＋∠ABE=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAE＋∠FAC=90°， ∴∠FAC=∠ABE. 在△ABE和△CAF中， ∵ 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABE≌△CAF(AAS)， ∴AF=BE，AE=CF. ∵BE=4，CF=1， ∴AF=BE=4，AE=CF=1， ∴EF=AF－AE=3. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(8分)[2025·宜宾]如图，E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，AD=5. (1)(4分)求证：△ADE≌△FCE. (2)(4分)求BF的长. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠D=∠FCE. ∵E是CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中， ∵ ∴△ADE≌△FCE(ASA). 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=5. 又∵△ADE≌△FCE，∴FC=AD=5， ∴BF=BC＋FC=10. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(8分)已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB， BA=BC，AE⊥BC，垂足为E，F为AC的中点. 求证： (1)(4分)BF⊥AC. (2)(4分)△ADC≌△AEC. 证明：(1)∵BA=BC，F是AC的中点， ∴BF⊥AC(等腰三角形的三线合一). 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°. ∵∠ADC=90°，∴∠ADC=∠AEC. ∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB. ∵BA=BC，∴∠ECA=∠CAB， ∴∠DCA=∠ECA. 在△ADC和△AEC中， ∵ ∴△ADC≌△AEC(AAS). 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(10分)如图，在三角形纸片ABC中，∠B=40°， ∠ACB= 90°，AE平分∠BAC，交BC于点E.P是边BC上的动点(不与点B，C重合)，连结AP，将△APC纸片沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)(5分)当点P与点E重合时，求α的度数. (2)(5分)当点P与点E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β之间的数量关系. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：(1)∵∠B=40°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=180°－∠ACB－∠B=50°. 又∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC=25°. 由翻折可知，AE垂直平分CD， ∴∠ACD=90°－∠EAC=65°， ∴α=∠ACB－∠ACD=25°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)分情况讨论： ①当点P在线段BE上时，如答图1. 易知∠ADC=∠ACD=90°－α. ∵∠ADC＋∠BAD=∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β=40°＋α，∴2α－β=50°； 图1 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当点P在线段CE上时，如答图2，延长AD交BC 于点F. 易知∠ADC=∠ACD=90°－α. 又∵∠ADC=∠AFC＋∠BCD=∠B＋∠BAD＋ ∠BCD=40°＋β＋α， ∴90°－α=40°＋β＋α，∴2α＋β=50°. 综上所述，α与β之间的数量关系为2α－β=50°或2α＋β=50°. 图2 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第16练　线段、角、相交线与平行线 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是(　　　) A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.三角形两边之和大于第三边 B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.[2025·苏州]如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为(　　　) A.100° B.105° C.110° D.115° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1= 35°，则∠2的度数是(　　　) A.55° B.45° C.35° D.30° A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[2025·甘肃]如图1，三根木条a，b，c相交，∠1=80°，∠2 =110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示的位置，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转(　　　) A.30° B.40° C.60° D.80° A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[跨学科][2025·深圳]如图所示为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为(　　　) A.22° B.32° C.35° D.122° B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵CB∥OA，∴∠CBO=∠BOA=122°. 又∵∠BON=90°， ∴∠AON=∠BOA－∠BON=32°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[2025·齐齐哈尔]将一个含30°角的三角尺和直尺按如图所示的方式摆放.若∠1=50°，则∠2的度数是(　　　) A.50° B.60° C.70° D.80° C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图标记∠3，∠4，∠5. 由直尺上下两边平行，得∠3=∠1=50°，∠4=∠2. 由三角尺有一个角是30°，得∠5=90°－30°=60°. 又∵∠4＋∠5＋∠3=180°， ∴∠2=∠4=180°－60°－50°=70°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(5分)角度互化：(1)(3分)57.18°=　 　°　 　'　 　″.  (2)(2分)12'=　 　°或　 　″.  57 10 48 0.2 720 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(3分)[跨学科][2025·广安]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，a，b为两条平行的光线，∠1=45°，则∠2的度数为　 　°.  45 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(8分)[2025·江西]如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1= ∠2.求证：AE∥DF. 证明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠1. 又∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴AE∥DF. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.[2025·凉山州]如图，DF∥AB，∠BAC=120°，∠ACE= 100°，则∠CED=(　　　) A.30° B.40° C.60° D.80° B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，延长AC，与直线DF相交于点G，则AB∥GF， ∴∠AGF=180°－∠BAC=60°， ∴∠CED=∠ACE－∠AGF=40°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(3分)如图，直线GH∥MN，一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°.保持三角尺ABC不动，现将三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0≤t≤45)，则经过　 　秒两三角尺的直角边平行.  15 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，延长AC，交MN于点 P. ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AC∥DF，即AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA. ∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC， ∴∠FDM=∠HAC=30°，∴2t°=30°，∴t=15. ∵在0≤t≤45范围内，只存在这一种情况， ∴经过15秒两三角尺的直角边平行. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(8分)课堂上同学们独立探究这样一道问题： “如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1 =∠2.” 小莲同学解答如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠1＋∠BCD=180°. ∵AD∥BC， ∴∠2＋∠BCD=180°， ∴∠1=∠2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程. 解：小莲的证法是错误的. 证明：∵AB∥CD，∴∠1＋∠BAD=180°. ∵AD∥BC，∴∠2＋∠BAD=180°，∴∠1=∠2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(8分)[新情境]如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD相交于点G和点D，AB与DM相交于点N，∠AOE=∠BNM. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)(4分)求证：OE∥DM. (2)(4分)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数. 解：(1)∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM， ∴∠AOE=∠AND，∴OE∥DM. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵AB与底座CD都平行于地面EF， ∴AB∥CD，∴∠BOD=∠ODC=30°. ∵∠AOF＋∠BOD=180°，∴∠AOF=150°. ∵OE平分∠AOF， ∴∠EOF=∠AOF=75°， ∴∠BOE=∠BOD＋∠EOF=105°. ∵OE∥DM，∴∠ANM=∠BOE=105°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(3分)[金华中考]如图，在平面直 角坐标系中，有一只用七巧板拼成 的“猫”，三角形①的边BC及四边 形②的边CD都在x轴上，“猫”耳 尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横 坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为  　.  基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如答图，过点A作AH⊥x轴于点H，过 点F作FJ⊥y轴于点J，交PQ于点K，延长PQ交 OB于点T. 设大正方形的边长为4a，易知OC=a，CD=2a， AD=a. 在Rt△ADH中，∠ADH=45°， ∴AH=DH=a，∴OH=4a. ∵点A的横坐标为1，∴4a=1，∴a=. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在Rt△FPQ中，易知PF=FQ=2a=， ∴PQ=PF=. 易知FK⊥PQ，∴PK=KQ， ∴FK=PK=KQ=. 易知KJ=，PT=1＋BT=1＋(BC－TC)=1＋， 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴FJ=， KT=PT－PK=， ∴点F. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第19练　直角三角形和勾股定理 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1.[经典题]已知a，b，c是△ABC的三条边长，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　　) A.∠A＋∠B=∠C B.a2－b2=c2 C.∠A－∠B=∠C D.(a－b)(a2＋b2－c2)=0 D 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.[数学文化]我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500 m，则该沙田的面积为(　　　) A.7.5 km2 B.15 km2 C.75 km2 D.750 km2 A 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 ∵52＋122=132，∴该沙田的形状为直角三角形，∴这块沙田的面积为×(5×0.5)×(12×0.5)=7.5(km2). 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[2025·德阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连结CD，若CD=1，则GE=(　　　) A.3 B.2 C.1 D. B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(3分)[2025·连云港]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为　 　m.  2.4 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD是BC边的中线，若BC=6，则AD的长为　 　.  4 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 ∵AB=AC，AD是边BC的中线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°. ∵AB=5，BC=6，∴BD=CD=3. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD==4. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(3分)[一题多解]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点.若EF的长为10，则CD的长为 　　.  10 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 方法一：如答图，连结DF，DE. ∵D，F分别是AB，AC的中点， ∴DF∥BC， 同理可得DE∥AC， ∴四边形CFDE是平行四边形. 又∵∠ACB=90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴CD=EF=10. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二：∵E，F分别为边BC，CA的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AB，∴AB=2EF=20. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点， ∴CD=AB=10. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为　 　.  6或12 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8， ∴BC=×8=4， ∴AC==4. 当点D在点B左上方时，如答图1. ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°. 又∵∠BCD=30°，∴∠BDC=60°－30°=30°， ∴BD=BC=4，∴AD=8＋4=12； 第7题答图1 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当点D在点B的右下方时，如答图2. ∵∠ABC=60°，∠BCD=30°，∴∠CDA=90°. 在Rt△ACD中，cos A=， ∴AD=AC·cos A=4=6. 综上所述，AD的长为6或12. 第7题答图2 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(8分)[金华中考]如图1，将长为2a＋3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大、小两个正方形. (1)(4分)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长. (2)(4分)当a=3时，该小正方形的面积为多少？ 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：(1)∵直角三角形较短的直角边长为2a÷2=a，较长的直角边长为2a＋3， ∴图2中小正方形的边长为2a＋3－a=a＋3. (2)当a=3时，S小正方形=(a＋3)2=(3＋3)2=36. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB于点E，AC=6，BC=8. 求： (1)(4分)DE的长. (2)(4分)△ADB的面积. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=CD. 又∵AD=AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AE=AC=6. 又∵在Rt△ABC中，AB==10， ∴BE=AB－AE=4. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设DE=CD=x，则BD=8－x. ∵在Rt△EDB中，DE2＋BE2=BD2， ∴x2＋42=(8－x)2，解得x=3， ∴DE=3. (2)∵DB=CB－CD=5， ∴S△ADB=AC·DB=×6×5=15. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是(　　　) A. B. C.2－2 D.2 B 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 如答图，过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC=BC=2，∠ACB=90°，CH⊥AB， ∴AB=2，AH=BH=CH=. ∵CD=AB=2， ∴DH=， ∴DB=DH－BH=.故选B. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.[2025·威海]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为(　　　) A. cm B.2 cm C. cm D.3 cm C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 如答图，由正方形的轴对 称性质，易得BC=CD， ∴∠CBD=45°，∴∠ABE=180° －90°－∠CBD=45°， ∴AE=AB. 设BC=x(cm)，则AB=(12－x)cm，BD=x(cm)，BE=4x(cm). 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＋AB2=BE2， ∴(12－x)2＋(12－x)2=(4x)2，解得x1=，x2=－4(舍去)， ∴正方体的棱长=BD= cm. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(3分)[新情境]如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为　　cm (杯壁厚度不计).  10 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 【解析】 如答图所示标注字母，将杯子侧面展开 一半，作点B关于EF的对称点B'，连结B'A，则 B'A即为最短路程. ∵AD=9－4＋1=6(cm)，B'D=16÷2=8(cm)， ∴B'A==10 cm. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(3分)如图，E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE'C的度数为　 　°.  135 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 如答图，连结EE'. 由旋转的性质，得∠EBE'=90°，BE'=BE=2，CE'=AE=1， ∴EE'=2，∠BE'E=45°. ∵EE'2＋CE'2=8＋1=9，CE2=9， ∴EE'2＋CE'2=CE2， ∴△EE'C是直角三角形，且∠EE'C=90°， ∴∠BE'C=∠BE'E＋∠EE'C=135°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(10分)[新情境][2025·江西]图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB=BC=CD=60 cm，∠ABC=∠BCD=135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动.当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM=6°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)(6分)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①(4分)∠CMN最小为　 　°，最大为　 　°.  ②(2分)△CMN面积的变化情况是　 　.  A.越来越大 B.越来越小 C.先增大再减小 0 39 C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)(4分)当∠CMN=30°时，求△CMN的面积. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：(1)①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°， 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM=6°，则此时∠CMN有最大值， ∵∠CNM=6°，∠BCD=135°， ∴∠CMN=180°－6°－135°=39°，即∠CMN有最大值39°. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ②当点N与点C重合时，点C到MN的距离h=0，则S=MN·h=0， 如果没有点P的限制，点N与点D重合时，同上可得S=0， 在此之间，h≠0，∴S＞0， ∴△CMN面积的变化情况是先增大后减小. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)如答图，过点N作NG⊥BC于点G. 当∠CMN=30°时，NG=MN=30 cm， ∴MG==30 cm. ∵∠NCG=45°，∴CG=NG=30 cm， ∴MC=MG－CG=(30－30)cm， ∴S△CMN=CM·NG=×(30－30)×30=(450－450)cm2. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.[2025·湖南改编]已知a，b，c是△ABC的三条边长，记t= ，其中k为整数.有下列结论：①若△ABC为等边三角形，则t=2；②若k=2，t=1，则△ABC为直角三角形；③若k=1，a=b＋2，c=1，则5＜t＜11；④若k=1，t≤，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7.其中正确的是(　　　) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ C 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 若△ABC为等边三角形，则a=b=c， ∴t==1＋1=2，①正确. 当k=2，t=1时， 则1=， 即a2＋b2=c2，∴△ABC为直角三角形， ②正确. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当k=1，a=b＋2，c=1时， t==a＋b=b＋2＋b=b＋2. 在△ABC中，当a＞b时，a－b＜c，即b＋2－b＜1，解得b＞2； 当a＜b时，b－a＜c，即b－b－2＜1，解得b＜6. 综上所述，2＜b＜6. 当b=2时，t=×2＋2=5， 当b=6时，t=×6＋2=11， ∴5＜t＜11，③正确. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若k=1，t≤， 则t=≤，∴a＋b≤c. 又∵a＋b＞c， ∴c＜a＋b≤c. 不妨设a=n，则b=n＋1，c=n＋2， ∴n＋2＜2n＋1≤(n＋2)，解得1＜n≤7， 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为，共6个， ④错误. 综上所述，正确的结论是①②③. 基础保分练 技能提升练 冲刺高分练 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $