第四单元　三角形课件 2026年中考数学一轮专题复习（浙江）

让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第18讲 等腰三角形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 1 1.[浙教八上P55T1]若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是(　　　) A.14 B.15 C.16 D.14或16 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 2 【解析】 当腰长为4时，三边长为4，4，6，能构成三角形，故周长为4＋4＋6=14； 当腰长为6时，三边长为6，6，4，能构成三角形，故周长为6＋6＋4=16. 综上所述，这个等腰三角形的周长是14或16. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 2.[浙教八上P58T5改编]如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E.若∠CDE=25°，则∠A=　80　°，∠B=　50　°.  80 50 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 3.[浙教八上P64T2改编]如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，则△ABC一定是　等腰　三角形.  等腰 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 4.[浙教八上P86T16改编]如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ的度数为　60　°.  60 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAP=∠C=60°. 在△ABP和△CAQ中，∵ ∴△ABP≌△CAQ(SAS)， ∴∠ABP=∠CAQ， ∴∠BOQ=∠BAO＋∠ABP=∠BAO＋∠CAQ=∠BAC=60°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 5.[浙教八上P85T10]已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 证明：如答图，过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF. 同理，DF=EF， ∴BF－DF=CF－EF，即BD=CE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 题根 [浙教八上P53做一做T1改编]如图1，在△ABC中，AB= AC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 题系1 若∠A=34°，则∠C=　73　°.  题系2 若∠A=∠ABC，AB=4，△ABC为　等边　三角形，△ABC的周长为　12　，△ABC的面积为　4　.  题系3 若BD平分∠ABC，交AC于点D，∠A=36°，则图中共有　3　个等腰三角形，∠BDC=　72　°；若AB=1，则AD的 长为  　.  73 等边 12 4 3 72 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 题系4 如图2，若AB=4，∠C=30°，E是BC上一点，且不与点B，C重合，则AE的最小值为　2　；若AE平分∠BAC，则∠AEB=　90　°，BE=　2　；当△ACE是等腰三角形时，∠CEA的度数为　75°或120°　.  2 90 2 75°或120° 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 1.等腰三角形的概念和性质 (1)定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形. (2)性质： ①等腰三角形是　轴对称　图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.  ②等腰三角形的两个底角相等.这个定理也可以说成在同一个三角形中，　等边对等角　.  ③等腰三角形的顶角　平分线　、底边上的　中线　和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.  轴对称 等边对等角 平分线 中线 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (3)拓展： ①等腰三角形两腰上的高线　相等　.  ②等腰三角形两腰上的中线　相等　.  ③等腰三角形两底角的平分线　相等　.  ④等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的　半　.  ⑤等腰三角形顶角的外角平分线与底边　平行　.  相等 相等 相等 一半 平行 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 ⑥等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线长. ⑦等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 2.等腰三角形的判定 (1)判定定理：如果一个三角形有　两　个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单地说成：在同一个三角形中，　等角对等边　.  两 等角 对等边 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (2)拓展： ①一边上的高线与该边上的中线　重合　的三角形是等腰三角形.  ②一边上的高线与该边所对角的平分线　重合　的三角形是等腰三角形.  ③一边上的中线与该边所对角的平分线　重合　的三角形是等腰三角形.  重合 重合 重合 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 3.等边三角形的概念和性质 (1)定义：三边都　相等　的三角形叫做等边三角形.  (2)性质：等边三角形的各内角都等于　60　°.  4.等边三角形的判定 判定定理： ①三个角都　相等　的三角形是等边三角形.  ②有一个角是60°的　等腰　三角形是等边三角形.  相等 60 相等 等腰 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 5.线段的垂直平分线 (1)定义：垂直于一条线段，并且　平分　这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.  (2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离等　.  性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的　垂直平分线　上.  平分 相等 垂直 平分线 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 [经典题]如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为　100　°.  类型一　等腰三角形的性质 100 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 20 【解析】 如答图所示标记角. ∵AC=AE，BC=BD，∴∠1=∠2， ∠3=∠4. 又∵∠1＋∠3=180°－∠DCE=140°， ∴∠ACB=∠2＋∠4－∠DCE=∠1＋∠3－40°=100°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式1 [2025·杭州校级模拟]如图，B，D两点在AE边上，C，F两点在AG边上，并且AB=BC=CD=DF=EF，∠A=20°，则∠EFG=(　　　) A. 20° B. 80° C. 100° D. 120° C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 ∵∠A=20°，AB=BC， ∴∠ACB=∠A=20°， ∴∠CBD=∠A＋∠ACB=40°. 又∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=40°， ∴∠DCF=∠CDB＋∠A=60°. 同理可得∠FDE=80°，∠EFG=100°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 [双平模型]如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D.求证：△DOC是等腰三角形. 类型二　等腰三角形的判定 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC. ∵CD∥OB， ∴∠DCO=∠BOC， ∴∠AOC=∠DCO， ∴OD=CD， ∴△DOC是等腰三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式2－1 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF ∥BC，交AB于点E，交AC于点F，图中等腰三角形的个数是(　　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 ∵AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF， ∴△EBD，△DBC，△FDC是等腰三角形. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且△ABC是等腰三角形. ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=∠ABC， ∴△AEF是等腰三角形. 所以共有△EBD，△DBC，△FDC，△ABC，△AEF 5个等腰三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式2－2 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 解：(1)∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD=∠EBD. 又∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB， ∴∠EBD=∠EDB. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (2)CD=ED.理由如下： ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC. ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC， ∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CD=BE. 由(1)，得∠EBD=∠EDB，∴BE=DE， ∴CD=ED. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 思维升华 判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”这两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，结合三角形全等可以解决.双平模型：角平分线＋平行→等腰三角形，如图，△ABE，△ABC为等腰三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和 CE相交于点O. (1)求证：△ABD≌△ACE. (2)判断△BOC的形状，并说明理由. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 解：(1)∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)△BOC是等腰三角形.理由如下： ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACE， 即∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC，即△BOC是等腰三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 [2023·丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.若AB=4，则DC的长 是　4　.  类型三　线段的垂直平分线 4 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式4－1 [2025·连云港]如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　　　) A.5 B.6 C.7 D.8 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式4－2 [2025·宁波南三县模拟]如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°. (1)尺规作图：作 AB 的垂直平分线DE，交 BC于点D，交AB于点E(不写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的基础上，连结AD，若AD平分∠CAB，且∠B=30°，DE=3，求BC的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 解：(1)如答图所示. (2)∵直线DE是AB的垂直平分线， ∴∠BED=90°. 又∵∠C=90°，AD平分∠CAB， ∴DC=DE=3. 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE=6， ∴BC=DC＋BD=9. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 [经典题]如图，BD是等边三 角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的 长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 连结DE.求证：CD=CE. 类型四　等边三角形的性质与判定 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 证明：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC=30°. 又∵BD=DE， ∴∠E=∠DBC=30°. 又∵∠CDE＋∠E=∠ACB=60°， ∴∠E=∠CDE=30°， ∴CD=CE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 变式5 [2023·台州]如图，点C，D在线段AB上(点 C在点A，D之间)，分别以AD，BC为边向同侧作 等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为 a，b.CF与DE相交于点H，延长AE，BF相交于点 G，AG长为c. (1)若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为　5a＋5b=7c　.  (2)若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为　a2＋b2=c2　.  5a＋5b=7c a2＋b2=c2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 (1)∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴∠A=∠FCD=60°，∠B=∠EDC=60°， ∴AG∥CF，DE∥BG，△CDH和△ABG都是等边三角形， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴HF=EG=c－a，EH=GF=c－b， ∴C四边形EHFG=2(c－a＋c－b)=4c－2a－2b. 易知CD=a＋b－c，C△CDH=3(a＋b－c)， ∴4c－2a－2b=3(a＋b－c)， ∴5a＋5b=7c. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (2)由图形，得S△ADE＋S△CBF－S△CDH＋S四边形EHFG=S△ABG. 又∵S△CDH=S四边形EHFG， ∴S△ADE＋S△CBF=S△ABG， ∴a2＋b2=c2， ∴a2＋b2=c2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 [2025·龙东地区]已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，D是直线BC上一动点，连结AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连结DE，BE，过点E作EF⊥BC于点F.现做如下探究： 类型五　等腰三角形的探究 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (1)若α=60°. ①如图1，当点D在CB的延长线上时，求证：BF=DF＋BC. ②如图2，当点D在BC的延长线上时，试探究线段BF，DF，BC之间存在怎样的数量关系. (2)若α=120°，点D在CB的延长线上时，如图3，猜想线段BF，DF，BC之间的数量关系.请直接写出结论，不需要证明. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 解：(1)①∵AB=AC，∠BAC=α=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°。 ∵∠BAC=∠EAD=α=60°， ∴∠BAC＋∠BAD=∠EAD＋∠BAD，即∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， ∵ 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°， ∴∠EBF=180°－∠ABE－∠ABC=60°. ∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE==2BF. ∵CD=BD＋BC=BF＋DF＋BC，CD=BE=2BF， ∴2BF=BF＋DF＋BC， ∴BF=DF＋BC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 ②同(1)可知△ABC是等边三角形，∠ABC=∠BCA=60°， ∴∠ACD=180°－∠BCA=120°. 又同(1)可证△ABE≌△ACD(SAS)， ∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°， ∴∠EBF=∠ABE－∠ABC=60°. 又∵EF⊥BC，∴BE=2BF， ∴CD=BD－BC=BF＋DF－BC=2BF， ∴2BF=BF＋DF－BC，∴BF=DF－BC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (2)3BF=DF＋BC.理由如下： ∵AB=AC，∠BAC=α=120°， ∴∠ABC=∠BCA=(180°－∠BAC)=30°. 同(1)可证△ABE≌△ACD(SAS)， ∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=30°， ∴∠EBC=∠EBA＋∠ABC=60°. ∵EF⊥BC，∴BE=2BF， ∴CD=BC＋BD=DF－BF＋BC=2BF， ∴3BF=DF＋BC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (1)已知等腰三角形的一个内角的度数为70°，则另外两个内角的度数为(　　　) A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对 (2)在△ABC中，AB=5，BC=10.若△ABC是等腰三角形，则△ABC的周长为　25　.  易错点一——等腰三角形的边和角 C 25 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【易错剖析】 在等腰三角形中，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰进行讨论，还要注意这三边是否满足三角形的三边关系；同样在条件中没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 易错点二——数等腰三角形的个数 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边 为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的 其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最 多是(　　　) A.4 B.5 C.6 D.7 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 分情况讨论： 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 如答图1，BC=BD，△BCD是等腰三角形； 如答图2，AC=AE，△ACE是等腰三角形； 如答图3，BC=CF，△BCF是等腰三角形； 如答图4，AH=CH，△ACH是等腰三角形； 如答图5，AG=BG，△AGB是等腰三角形； 如答图6，CI=BI，△BCI是等腰三角形； 如答图7，BC=CK，△BCK是等腰三角形. 故选D. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 (2)如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数为　10°或100°　.  10°或100° 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【解析】 如答图，点D和D'即为所求. 在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°， ∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°. 由作图可知AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC=(180°－∠BAC)=50°， ∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=10°. 由作图可知AC=AD'，∴∠ACD'=∠AD'C. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 又∵∠ACD'＋∠AD'C=∠BAC=80°， ∴∠ACD'=∠BAC=40°， ∴∠BCD'=∠ACB＋∠ACD'=100°. 综上所述，∠BCD的度数为10°或100°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于考虑不全所有情况. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 数图形的个数时，一定要有次序、有条理地数，先确定能分成哪几类，再把每一类的所有情况都考虑清楚，最后还要确认不同类之间是否有重复.  教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2-1 变式2-2 典例3 典例4 变式4-1 变式4-2 典例5 变式5 典例6 返回 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第16讲 线段、角、相交线与平行线 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 1 【课标要求】 1.了解点、线、面、角的一些基础知识，掌握一些基本事实，以及相关性质。 2.知道从边、角、重要线段这三个方面研究一般三角形，类比一般三角形的学习，会探究特殊三角形，体会从一般到特殊的数学学习方法，探索勾股定理及其逆定理。 返回 2 3.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定，能运用相关知识解题。 4.在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，形成几何直观和推理能力；会用数学的思维思考现实世界，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性。 返回 【单元架构】 返回 1.(1)[浙教七上P156T2改编]121.38°化为度、分、秒的形式为　121°22'48″　.  (2)[浙教七上P157T3改编]72°12'化为度的 形式为　72.2°　.  2.[浙教七下P28T6]如图，CD平分∠ACB， DE∥AC.若∠1=35°，则∠2=　70　°.  121°22'48″ 72.2° 70 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 5 3.[浙教七下P28T8改编]如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4=　125　°.  125 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 4.[浙教七下P29T14改编]如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠.设∠1为x°，用关于x的代数式表示∠α的度数为　－　. .  90° －x° 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 如答图所示还原纸带. ∵AB∥CD，∴∠5=∠1=x°，∠3 =∠α. 由折叠，得∠3=∠4， ∴∠3=∠4=(180°－∠5)=90°－x°， ∴∠α=∠3=90°－x°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题根1 [浙教七上P176目标与评定T6]已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是＋4，－6，x(x＜0). (1)求线段AB的长. (2)求线段AB的中点D所表示的数. (3)若AC=8，求x的值. (4)求线段OD(O为原点)的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 解：(1)AB=4－(－6)=10. (2)=－1， 故点D所表示的数为－1. (3)x=4－8=－4. (4)OD=0－(－1)=1. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题系1－1 如果没有x＜0这个条件. (1)若AC=8，求x的值. (2)若点A与点C关于点B对称，求x的值. 解：(1)x=4－8=－4或x=4＋8=12. (2)=－6，解得x=－16. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题系1－2 当点C在线段AD上时，直接写出AC，BC，CD之间的数量关系. 解：BC－AC=2CD. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题系1－3 在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，A同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？ 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 解：设经过t秒后P，Q两点相距4个单位. ①当点P，Q分别从点B，A同时出发相向运动时，由题意得t＋2t=10－4，解得t=2， 或t＋2t=10＋4，解得t=. ②当点P，Q分别从点B，A同时出发向左运动时，由题意得2t＋4=t＋10，解得t=6. 或2t－4=t＋10，解得t=14. 综上所述，经过2，，6，14秒后P，Q两点相距4个单位. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题根2 (浙教七上P162作业题T5)如图，E是直线AC上一点. 题系2－1 ∠AEB=　∠AEG　－∠BEG=∠AEF＋　∠BEF　.  ∠AEG ∠BEF 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 题系2－2 若EF平分∠AEB，EG平分∠CEB，则∠FEG=0　°，∠AEF的余角为　∠BEG和∠CEG　，∠AEG的补角为______　∠BEG和　，其中∠AEG的邻补角是　∠CEG　.  题系2－3 若∠AEB=60°，∠AEG=145°，EF平分∠AEB，则∠GEF=　115　°.  90 ∠BEG和∠CEG 和∠CEG ∠BEG ∠CEG 115 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 1.三种基本图形——直线、射线、线段 (1)有关概念： 线段向一方无限延伸就成为　射线　.线段向两方无限延伸就成为　直线　.　线段　是直线上两点间的部分，　射线　是直线上某一点及一旁的部分.连结两点的　线段的长度　叫做这两点间的距离.  射线 直线 线段 射线 线段的长度 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 (2)有关基本事实： ①直线有下面的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线.可以简单地说成：　两点　确定一条直线.  ②线段有以下的基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短.简单地说，两点之间线段　最短　.  两点 最短 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 (3)常见几何计数： ①当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在  　条以这n个点中的两点为端点的线段.  ②平面内有n个点，过这n个点中的两点可作一条直线，在这个 平面内最多可作  　条直线.  ③如果平面内有n条直线，它们最多有  　个交点.        教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 2.角 (1)角的定义： ①由两条有公共端点的　射线　所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的　顶点　.  ②由一条射线绕着它的　端点　旋转而成的图形叫做角.  (2)角的分类：角按照大小可以分为　锐角　、　直角　、钝角、平角、周角.  射线 顶点 端点 锐角 直角 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 (3)角的比较方法：①　叠合　法；②度量法.  (4)角的度量及单位换算：1°=　60　'，1'=　60　″.  (5)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个　相等　的角，这条射线叫做这个角的平分线.  叠合 60 60 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 3.互为余角、互为补角 (1)互为余角：如果∠1和∠2互为余角，那么∠1＋∠2=　　°.  (2)互为补角：如果∠1和∠2互为补角，那么∠1＋∠2=　　°.  (3)余角与补角的性质：同角或等角的余角　相等　，同角或等角的补角　相等　.  90 180 相等 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 4.对顶角 (1)定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线　，这两个角叫做对顶角.  (2)对顶角的性质：　对顶角相等　.  反向延长线 对顶角相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 5.垂直 (1)垂直的性质：在同一平面内，过一点有　条而且仅有一　条直线垂直于已知直线.  (2)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的　线段的长度　叫做点到直线的距离.  (3)垂线段最短：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，　垂线段　最短.  一条而且仅有一 垂线段的长度 垂线段 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 6.同位角、内错角、同旁内角 如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截. (1)同位角：两个角都在第三条直线l3的同旁， 并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的 一对角叫做同位角.如∠1和　∠5　，∠7 和　∠3　.  ∠5 ∠3 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 (2)内错角：两个角分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在直线l1，l2之间，这样的一对角叫做内错角.如∠3和　∠5　，∠6和　∠4　.  (3)同旁内角：两个角都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1，l2之间，这样的一对角叫做同旁内角.如∠3和　∠6　，∠5和　∠4　.  ∠5 ∠4 ∠6 ∠4 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 7.平行线 (1)平行线的定义：在同一个平面内，　不相交　的两条直线叫做平行线.  (2)平行公理：经过直线外一点，　有且只有一　条直线与这条直线平行.  (3)平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相　平行　.  不相交 有且只有一 平行 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 8.平行线的判定 (1)同位角　相等　，两直线平行.  (2)内错角　相等　，两直线平行.  (3)同旁内角　互补　，两直线平行.  9.平行线的性质 (1)两直线平行，　同位角　相等.  (2)两直线平行，　内错角　相等.  (3)两直线平行，　同旁内角　互补.  相等 相等 互补 同位角 内错角 同旁内角 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 10.七巧板 七巧板是中国古老的智力游戏，它由七块板组成，完整图案为一个正方形，由这七块板可以变换出各种不同的图案.解七巧板问题的技巧之一是活用等腰直角三角形的性质. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2025·广西]在跳远比赛中，某同学 从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示. 测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近 着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原 理是 类型一　直线、线段和射线 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 30 (　　　) A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式1 [2025·金华模拟]下列说法中错误的是(　　　) A.两点之间线段最短 B.如果∠α=53°38'，那么∠α余角的度数为36°22' C.一个锐角的余角比这个角的补角小 D.互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2025·陕西]如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1=52°，则∠2的度数为(　　　) A.76° B.74° C.64° D.52° 类型二　角与角平分线 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式2 如图，已知∠AOD=∠COB，若∠AOB= 128°，∠COD=32°，则∠BOD=　48　°.  【解析】 ∵∠AOD=∠COB， ∴∠AOD－∠COD=∠COB－∠COD， ∴∠AOC=∠BOD， ∴∠BOD=(∠AOB－∠COD)=48°. 48 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2024·北京]如图，直线AB和CD相 交于点O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB 的度数为(　　　) A.29° B.32° C.45° D.58° 类型三　相交线与垂线 【解析】 ∵∠AOC=58°， ∴∠EOB=180°－90°－∠AOC=32°. B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式3 如图，纸上画有三条直线，直线l，直线m和直线n.已知直线m⊥直线l，∠1=59°，则直线m和直线n相交所成的锐角是　31　°.  31 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 方法一：延长m，n，设两者相交 于点P，则∠P=90°－∠1=31°， 即直线m 和直线n相交所成的锐角是31°. 方法二：如答图，平移直线n，交直线l于点B，交直线m于点C，则∠ABC=∠1=59°， ∴∠ACB=90°－∠ABC=31°， 即直线m和直线n相交所成的锐角是31°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 如果∠A=55°，那么∠A的补角为　125　°，余角为　35　°.  变式4 [2025·浙江模拟]如果一个角的余角是它的2倍，那么这个角的度数为(　　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 类型四　余角与补角 125 35 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 方法技巧 解此类问题常用方程思想，先设所求角的度数为未知数，然后根据题意以及余角、补角等的概念列出方程，最后求解即可. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2025·浙江]如图所示，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1=91°，则(　　　) A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=91° 类型五　平行线的性质 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式5－1 [跨学科][2025·扬州]如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF相交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是 (　　　) A.60° B.70° C.80° D.90° C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 由题意可知，AB∥PQ∥CD. ∵AB∥PQ，∴∠BGP=180°－∠ABE=50°. ∵PQ∥CD，同理可得∠PGD=30°， ∴∠BGD=∠BGP＋∠PGD=80°， ∴∠EGF=∠BGD=80°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式5－2 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为　140　°.  140 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 如答图标注∠3. ∵图案是由一张等宽的纸条折成的， ∴纸条的长边平行， ∴∠2=∠3=180°－2∠1=140°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式5－3 [新情境][2025·烟台]如图是一款 儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1= 30°，∠2=70°，则∠3的度数为(　　　) A.40° B.35° C.30° D.20° A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2025·开化模拟]如图，直线a，b 被直线c，d所截形成的角中，∠1=130°，∠2 =50°，∠3=70°，则∠4=(　　　) A.100° B.110° C.120° D.130° 类型六　平行线的判定与性质的综合运用 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式6 [2025·温州模拟节选]如图，在 △ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点 D，E为边AB上一点，AE=DE.求证： AC∥DE. 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠DAE. 又∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE， ∴∠ADE=∠CAD，∴AC∥DE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 归纳总结 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，不要混淆. ①平行线的判定是为了判断两条直线是否平行，当知道“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行. ②平行线的性质是已知两条直线平行时，就可以推出“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”的数量关系. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 [2023·温州]图1是4×4 方格绘成的七巧板图案，每个小方 格的边长为，现将它剪拼成一个 “房子”造型(如图2)，过左侧的三 个端点作圆，并在圆内右侧部分留 出矩形CDEF作为题字区域(点A，E， D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为　5　.若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=EF， 则题字区域的面积为  　.  类型七　七巧板 5 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 如答图所示标注字母，连结OG，观察图形，结合七巧板的性质易得LI=2，GI=IJ=4，点G，I，J在同一条直线上，LK垂直平分GJ，∴LK是☉O的一条直径. 设☉O的半径为r，在Rt△GIO中，GI2＋IO2=OG2，即42＋(r－2)2=r2，解得r=5. 如答图，连结AO，AM，则AM过点N. ∵LK∥JP，∴∠ANK=∠AMP， 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 ∴=tan∠ANK=tan∠AMP==2. ∵OI=OL－LI=3， ∴ON=IN－OI=4－3=1. 设NQ=a，则AQ=2a，OQ=a＋1. 在Rt△AOQ中，AO2－OQ2=AQ2，即52－(a＋1)2=(2a)2， 解得a1=2，a2=－(舍去)， ∴OQ=ON＋NQ=3. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 ∵AB∥PN，PN⊥KL，四边形CDEF是矩形， ∴易知ED⊥KL，∴ER=DR. 由题意，设EF=b，则QR=b，ED=b， ∴ER=b. 在Rt△ORE中，OR2＋ER2=OE2， 即(3＋b)2＋=52， 解得b1=，b2=－4(舍去)， 则题字区域的面积为EF·ED=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 变式7 [2024·江西]将图1所示的七巧板拼成图2所示的四边形ABCD，连结AC，则tan∠CAB= 　.    教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【解析】 设AC与BD相交于点O. ∵∠ABD=∠CDB=90°，∴CD∥AB. 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分， ∴OB=BD. 又∵AB=BD，∴OB=AB. 在Rt△AOB中，tan∠CAB=tan∠OAB=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 已知线段AB=8 cm，若在直线AB上画线段BC使BC=3 cm，则线段AC=　5或11　cm.  【解析】 分两种情况讨论： ①当点C在线段AB上时， AC=AB－BC=8－3=5(cm)； ②当点C在线段AB的延长线上时， AC=AB＋BC=8＋3=11(cm). 综上所述，AC=5或11 cm. 易错点一——线段的和差 5或11 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于只考虑一种情况. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 易错点二——平行线的判定与性质 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中，正确的是 (　　　) A.当∠1=∠2时，一定有a∥b B.当a∥b时，一定有∠1=∠2 C.当a∥b时，一定有∠1－∠2=90° D.当∠1＋∠2=180° 时，一定有a∥b D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于没能清楚地辨别同位角、内错角和同旁内角. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5-1 变式5-2 典例6 变式6 典例7 变式7 返回 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第19讲 直角三角形和勾股定理 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 1 1.[浙教八上P70T1改编]在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C，则∠B=　67.5　°，∠C=　22.5　°.  2.[浙教八上P70T4改编]如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=1.5.D 为斜边AB的中点，连结CD，则AC=　0.7， CD=　0.75　.  67.5 22.5 0.75 0.75 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 2 3.[浙教八下P22T14改编]如图，台阶阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm.一只蚂蚁从点A爬到点B，最短路程为　130cm.  130 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 把从点A到点B的两级台阶展开如答图所示. ∵台阶每一级的高为20 cm，宽为40 cm，长为50 cm， ∴AB==130(cm)， 即最短路程为130 cm. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 4.[浙教八上P78T4改编]如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC = 4，CD=12，AD=13，∠B=90°，则四边形ABCD的面积为　36　.  36 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 如答图，连结AC. 在△ABC中，∵∠B=90°，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∴S△ABC=AB·BC=6. 在△ACD中，∵AD=13，AC=5，CD=12， ∴CD2＋AC2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S△ACD=AC·CD=30， ∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=36. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 题根 [浙教八上P70T4改编]如图1，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，D为BC上一点，连结AD. 图1 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 题系1 若∠B=52°，则∠C=　38　°.  题系2 若∠B－∠C=30°，则∠B=　60　°；BC与AB的数量关系为　BC=2AB　.  题系3 若D为BC的中点，AB=3，AC=4，则BC=　5，AD=　 ，△ABC的面积为　6　.  题系4 若∠C=30°，BC=4，AD将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ADC=　120　°；若△ACD为等腰三角形，则BD的长为　2 －6　.  38 60 BC=2AB 5   6 120 2－6 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 题系5 如图2，AD⊥BC，图中共有　3　个直角三角形；若∠BAD=30°，DC=6，求AB的长.  图2 3 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 解：∵AD⊥BC，∠BAD=30°， ∴∠B=60°，BD=AB. 又∵∠BAC=90°， ∴∠C=30°，∴AB=BC. 设AB=x，则BD=x. ∵BD＋DC=BC， ∴x＋6=2x，解得x=4， 即AB的长为4. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 1.直角三角形 (1)定义：有一个角是　直角　的三角形叫做直角三角形.  (2)直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角　互余　.  ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　.  ③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的　半　.  (3)直角三角形的判定： 有两个角　互余　的三角形是直角三角形.  直角 互余 一半 一半 互余 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 2.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么　a2＋b2=c2　.  (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b＜c)，并且满足　a2＋b2=c2　，那么这个三角形是直角三角形.  (3)勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数. a2＋b2=c2 a2＋b2=c2 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 [2025·浙江]如图，在 Rt△ABC中，∠A=35°，∠ACB =90°，CD是AB边上的中线，以 点C为圆心，CD的长为半径作弧， 与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则的长为 类型一　直角三角形的性质的运用 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 13 (　　　) A.π B.π C.π D.π B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=AB，∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A=35°， ∴∠CDE=∠A＋∠ACD=70°. 由题意知CD=CE， ∴∠CED=∠CDE=70°， ∴∠DCE=180°－70°－70°=40°. ∵AB=2，∴CD=×2=1， ∴π. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 归纳总结在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式1－1 [2025·陕西]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A =20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式1－2 [2025·宁波模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D为AC的中点，若E为BC上一点，使得∠AEB=∠ADB，且AB=12，BE=5，则EC的长为　13　.  13 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵∠ABC=90°，D为AC的中点， ∴BD=AD=CD，∴∠DBC=∠C. ∵∠AEB=∠ADB，∠AEB=∠EAC＋∠C，∠ADB=∠DBC＋∠C， ∴∠DBC=∠EAC=∠C，∴AE=EC. ∵AB=12，BE=5， ∴EC=AE==13. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 [数学文化]《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈=10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处与地面的距离为几尺？计算可知折断处与地面的距离为(　　　) A.5.45尺 B.4.55尺 C.5.8尺 D.4.2尺 类型二　勾股定理及其应用 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设折断后竹根所在部分高为x尺，则折断处到竹尖的部分长为(10－x)尺，根据勾股定理，得 x2＋32=(10－x)2， 解得x=4.55， 故折断处与地面的距离为4.55尺. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式2 [2024·吉林]图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为　x2＋22=(x＋0.5)2　.  x2＋22=(x＋0.5)2 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 [2025·甘肃改编]勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个 类型三　勾股定理的面积关系 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 图形……则第5个图形中共有　31　个正方形；若第1个图形中的正方形面积为5，则第5个图形中所有正方形的面积之和为 25　.  31 25 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 由图可知：第一个图形有1个正方形，面积为5， 第2个图形有1＋21=3(个)正方形，面积为5＋5=10， 第3个图形有1＋21＋22=7(个)正方形，面积为5＋5＋5=15， ∴第5个图形中共有1＋21＋22＋23＋24=31(个)正方形，面积为5×5=25. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式3 [2025·东营]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2 025的值为  　.    教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵正方形ABCD的边长为2，∴S1=DC2=4. ∵△DEC是等腰直角三角形，∴2DE2=DC2=S1， ∴S2=ED2=， 同理可得S3=S2=， 按照此规律继续下去，则S2 025=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 (1)[2025·遂宁]如图1，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是(　　　) 类型四　平面展开最短路径问题 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 (2)如图2，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是(　　　) A.厘米 B.10厘米 C.8厘米 D.8厘米 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 如答图，将圆柱展开，最短距离为PA'的长. PA'= = =10(cm)， ∴最短路程为PA'=10 cm. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式4 [2025·新昌模拟]如图，长方体的长 为20 cm，宽为15 cm，高为10 cm，点B离 点C为6 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是(　　　) A. 5 cm B. 25 cm C. 2 cm D. 4 cm D 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 把上面展开到左侧面上，连结AB，如答图1， AB==6(cm)； 把上面展开到正面上，连结AB，如答图2， 答图1 答图2 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 AB==4(cm)； 把侧面展开到正面上，连结AB，如答图3， AB==2(cm). ∵=4 cm. ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为4 cm. 答图3 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 方法技巧 在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°.P是△ABC内一点，若PA=2.5，PC=，PB=1.5，则△ABC的面积为  　.  类型五　勾股定理的逆定理 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 如答图，过点C作CM⊥CP，并使CM=CP，连结AM，PM， 则△PCM是等腰直角三角形，∠CMP=45°，PM=PC=2. ∵∠ACB=∠MCP=90°， ∴∠MCA=∠PCB. 又∵CM=PC，AC=BC， ∴△AMC≌△BPC(SAS)， ∴AM=BP=1.5. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 又∵AP=2.5， ∴AM2＋PM2=AP2， ∴△AMP是直角三角形，∠AMP=90°， ∴∠AMC=135°. 过点C作CN⊥AM，交AM的延长线于点N，则∠CMN=45°， ∴△CMN是等腰直角三角形， ∴CN=MN=CM=1， ∴AC2=AN2＋CN2=(AM＋MN)2＋CN2=， ∴S△ABC=AC2=. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式5 [数学文化][2025·扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数：　11，60，61　.  11，60，61 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 通过观察得： 第1组勾股数分别为2×1＋1=3，2×12＋2×1=4，2×12＋2×1＋1=5； 第2组勾股数分别为2×2＋1=5，2×22＋2×2=12，2×22＋2×2＋1=13； 第3组勾股数分别为2×3＋1=7，2×32＋2×3=24，2×32＋2×3＋1=25； 第4组勾股数为2×4＋1=9，2×42＋2×4=40，2×42＋2×4＋1=41； ∴第5组勾股数为2×5＋1=11，2×52＋2×5=60，2×52＋2×5＋1=61. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　　　) A.24 B.36 C.40 D.44 类型六　赵爽弦图 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c. ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2＋b2=c2=24. ∵小正方形的面积是4， ∴(a－b)2=a2＋b2－2ab=4， ∴ab=10， ∴图2中大的正方形的面积为c2＋4×ab=24＋2×10=44. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式6－1 [2025·拱墅区校级模拟]我国汉代 数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图， 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三 角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形 EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2， S3，若S1＋S2＋S3 =21，则S2的值是(　　　) A. 9.5 B. 9 C. 7.5 D. 7 D 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设全等的直角三角形的两条直角边长为a，b且a＞b， 由题意可知： S1=(a＋b)2，S2=a2＋b2，S3=(a－b)2. ∵S1＋S2＋S3=21，即 (a＋b)2＋a2＋b2＋(a－b)2=21， 3(a2＋b2)=21， ∴3S2=21， ∴S2的值是7， 故选D. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式6－2 [2025·上虞区模拟]如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.若tan∠GBC=，则=(　　　) A. B. C.　 D. D 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设正方形EFGH的边长为x. ∵Rt△ABF和Rt△BCG全等， ∴BF=CG. ∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形， ∴∠FGH=90°. 在Rt△BCG中，∵tan ∠GBC=， ∴BG=2CG， ∴BF＋FG=2CG， 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 即CG＋FG=2CG， ∴CG=FG=x， ∴BG=2x， ∴BC=x， ∴. 故选D. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 [2024·浙江]如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF， △CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH 组成，连结DE.若AE=4，BE=3，则DE= (　　　) A.5 B.2 C. D.4 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵Rt△DAH≌Rt△ABE， ∴DH=AE=4，AH=BE=3， ∴EH=AE－AH=4－3=1. ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠DHE=90°， ∴DE= =. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式7－1 [2023·杭州]第二十四届 国际数学家大会会徽的设计基础是 1 700多年前中国古代数学家赵爽的 “弦图”.如图，在由四个全等的直 角三角形(△DAE，△ABF，△BCG， △CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE.设∠BAF=α，∠BEF=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α=tan2 β，则n= (　　　) A.5 B.4 C.3 D.2 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设AE=a，DE=b，则BF=a，AF=b. ∵tan α=，tan β=，tan α=tan2β， ∴， ∴(b－a)2=ab， ∴a2＋b2=3ab. ∵a2＋b2=AD2=S正方形ABCD，(b－a)2=S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD=ab∶3ab=1∶3， ∴n=3. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式7－2 如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀 算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成的一个大正方形.设图中AF=a，DF=b，连 结AE，BE.若△ADE与△BEH的面积相等，则 =　3　.  3 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵AF=a，DF=b， ∴ED=AF=a，EH=EF=DF－DE=b－a. ∵△ADE与△BEH的面积相等， ∴DE·AF=EH·BH， ∴a2=(b－a)·b， ∴a2=b2－ab， 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 ∴1=， ∴－1=0， 解得(负值舍去)， ∴=3. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式7－3 如图是我国汉代数学家赵爽在注解 《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交 正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形 ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE(k＞1)，则用含k的式子表示的值是  　.    教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 如答图，过点A作AG∥BP交FE 的延长线于点G. ∵AG∥BP，∴∠AGE=∠BPE=45°， △AGE∽△BPE， ∴. 设AG=1，则BP=k. ∵∠NMP=45°， ∴∠AMG=45°，∴AM=AG=1. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 ∵AN=BP=k，∴MN=k－1. ∵S1=AD2=AM2＋MD2=k2＋1，S2=MN2=(k－1)2， ∴. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 [浙教八上P77T2改编]如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形构成的图形中，深色部分的面积与浅色部分的面积相等，则△ABC一定是　直角　三角形.  直角 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 如答图所示标注边和面积. 深色部分的面积=b2－S1＋a2－S2， 浅色部分的面积=S3＋S4=c2－(S1＋S2). ∵深色部分的面积与浅色部分的面积相 等， ∴b2－S1＋a2－S2=c2－(S1＋S2)，即b2＋a2=c2， ∴△ABC一定是直角三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 变式8 [2023·金华]如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作 三个正方形，点F在GH上，CG与EF相交于 点P，CM与BE相交于点Q.若HF=FG，则 的值是 (　　　) A. B. C. D. B 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 设HF=x，则FG=x，AH=AC=HG=2x. ∵∠H=90°， ∴AB=BE=FA=x. 又∵∠ACB=90°，∴BC=HF=x. ∵AF∥BE，∴∠FAC=∠BQC. 又易知∠HAF＋∠FAC=90°，∠BQC＋∠CBQ=90°， ∴∠HAF=∠CBQ， ∴=tan∠CBQ=tan∠HAF=， 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 ∴PE=x， ∴S△BPE=x·x=x2=S正方形ABEF. ∵∠PBE=∠QBC，∠BCQ=∠E=90°， ∴△BQC∽△BPE， ∴， ∴S四边形PCQE=S△BPE=S正方形ABEF， 即. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式 ＋|a－b|=0，则△ABC的形状为　等腰直角 形　.  易错点——判断三角形的形状 等腰直角三角形 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【解析】 ∵＋|a－b|=0， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0， ∴c2=a2＋b2且a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于对非负数的性质理解有误，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 教材回归 题型分类 典例1 变式1-1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式1-2 典例4 变式4 典例5 变式5 典例6 变式6-1 变式6-2 典例7 变式7-1 变式7-2 变式7-3 典例8 变式8 返回 $让天下学子共享优质教育！ 第四单元　三角形 第17讲 三角形与全等三角形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 1 1.[浙教八上P41T1]下列各组数不可能是一个三角形的边长的是(　　　) A.5，12，13 B.5，7，7 C.5，7，12 D.101，102，103 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 2 2.[浙教八上P41T2]一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(　　　) A.75° B.65° C.60° D.55° A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 3.[浙教八上P45T23改编]我国纸伞的制作工艺 十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞 柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ∠BAC，且AE=AF，DE=DF，从而保证伞圈 D能沿着伞柄滑动.根据以上条件，证明点D在AP上的依据是 (　　　) A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 4.[浙教八上P82T1改编]已知Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C= ∠C'=90°)，有下列条件：①AC=A'C'，∠A=∠A'；②AC= A'C'，BC=B'C'；③∠A=∠A'，∠B=∠B'；④AB=A'B'，∠B= ∠B'；⑤AC=A'C'，AB=A'B'.其中能判定两个三角形全等的是　①②④⑤　(填序号).  ①②④⑤ 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 5.[浙教八上P32例5]已知：如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，∠A=∠D.求证：AE=DF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C. 在△ABE和△DCF中， ∵ ∴△ABE≌△DCF(ASA)，∴AE=DF. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 题根 [浙教八上P9作业题T2]如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜边上的高线，E为AB上一点. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 题系1 若CE是△ABC的角平分线，且∠CEB=105°，则∠ECB =　45　°，∠ECD=　15　°；若BC=2AC，则S△AEC∶S△BEC =　1∶2　.  题系2 若CE是斜边上的中线，则AE=　BE　= 　AB，△AEC与　△BEC　面积相等， S△AEC= 　S△ABC，过点E分别作AC的垂线段(长度记为h1)，作BC的垂线段(长度记为h2)，若BC=2AC，则h1∶h2=　2∶1　.  45 15 1∶2 BE △BEC 2∶1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 题系3 若∠B=30°，则∠ACD=　30　°，当DE=　AD　，即CD是AE的　垂直平分　线时，△ACD≌△ECD(SAS)；当∠A=　∠CED　时，△ACD≌△ECD(AAS)；当AC=　CE　时，△ACD≌△ECD(　HL　).  30 AD 垂直平分 ∠CED CE　 HL 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 1.三角形的概念及分类 (1)定义：由　不在同一条直线上　的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.  (2)三角形的分类： ①按角分： 三角形 不在同一条直线上 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 ②按边分： 三角形 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 2.三角形的三边关系 (1)三角形任何两边的和　大于　第三边.  (2)三角形任何两边的差　小于　第三边.  大于 小于 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 3.三角形的内角和 (1)定理：三角形三个内角的和等于　180　°.  (2)推论：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　和.  ②三角形的一个外角　大于　任意一个和它不相邻的内角.  (3)拓展：在一个三角形中，最多有　三　个锐角，最少有　两　个锐角，最多有　一　个钝角，最多有　一　个直角.  180 和 大于 三 两 一 一 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 4.三角形中的重要线段 (1)角平分线：在三角形中，一个内角的　角平分线　与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点是三角形的内心.  (2)中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边　中点　的线段，叫做三角形的中线.三角形三条中线的交点是三角形的重心.  角平分线 中点 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (3)高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作　线　，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.三角形三条高线的交点是三角形的垂心.  (4)中位线：连结三角形两边　中点　的线段叫做三角形的中位线.  三角形的中位线　平行　于第三边，并且等于第三边的　 　.  垂线 中点 平行 一半 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 5.全等图形及全等三角形的概念 (1)全等图形：能够　重合　的两个图形称为全等图形.  (2)全等三角形：能够　重合　的两个三角形叫做全等三角形.  6.全等三角形的性质 (1)性质：全等三角形的对应边　相等　，对应角　相等　.  (2)拓展：全等三角形的对应边上的高线　相等　，对应边上的中线　相等　，对应的角平分线　相等　.  重合 重合 相等 相等 相等 相等 相等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 7.三角形全等的判定 对应相等的元素 三角形是否 一定全等 一 般 三 角 形 两边 一角 两边及其夹角 一定(SAS) 两边及其中一边的对角 　不一定　  两角 一边 两角及其夹边 一定(ASA) 两角及其中一角的对边 一定(AAS) 三角 　不一定　  三边 　一定　(　SSS　)  直角三 角形 斜边、一条直角边 一定(　HL　)  不一定 不一定 一定 SSS HL 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 拓展：满足下列条件的三角形也是全等三角形： (1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等. (2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等. (3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等. (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等. (5)有两边和其中一条边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 8.定义、命题与证明 (1)定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. (2)命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. (3)命题的组成：命题通常写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是　条件　，“那么”后面的部分是　结论　.  条件 结论 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (4)命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为　正确　的命题.  (5)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的　逆命题　.  (6)互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是　真命题　，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.  正确 逆命题 真命题 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (7)证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明. (8)反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题成立 　，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件　矛盾　，或者与定义、基本事实、定理等　矛盾　，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.   不成立 矛盾 矛盾 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 9.角平分线的性质定理 (1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 等 　.  (2)角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在　这个角的平分线上　.  相等 这个角的平分线上 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [2025·连云港]下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　　　) A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 类型一　三角形的三边关系 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 24 思维升华 “三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是判断任意三条线段能否组成三角形的依据. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式1 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [2023·杭州]如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°，∠ACF=118°，则∠A=　90　°.  类型二　三角形的内角和与外角的性质 90 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE=28°， ∴∠A=∠ACF－∠B=90°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 归纳总结 解决三角形内角或外角的有关问题时，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，则需要进行转化，有时候还要添加辅助线作为“桥梁”. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式2 [2025·福建]点A，E，C，F在同一 条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B= 45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE 的度数为(　　　) A.5° B.15° C.25° D.35° B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [2025·萧山区模拟]如图，在△ABC中，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E.若DE=3，则BD的长为　2　.  类型三　角平分线的性质 2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 如答图，过点D作DF⊥AB于点F. ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC， ∴DF=DE=3. 又∵∠B=60°， ∴BD==2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式3－1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　　) A. B. C.2 D.3 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 在Rt△ABC中，tan B=，∴AC=×6=2. ∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=×60°=30°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=×2=2. ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最小值为2. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式3－2 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积为 (　　　) A.24 B.30 C.36 D.42 B 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB，交BA的延 长线于点H. ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°， ∴DH=CD=4， ∴S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD=AB·DH＋BC·CD=×6×4＋×9×4=30. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [2023·金华]如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点.若CD=4 cm，则该工件内槽宽AB的长为　8　cm.  类型四　三角形的中位线 8 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式4－1 [2025·广东]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=(　　　) A.20° B.40° C.70° D.110° C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 ∵点D，E分别为BC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，∴∠DEB=∠A=70°. 同理可得DF∥AB，∴∠EDF=∠DEB=70°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式4－2 [2024·浙江]如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连结BE，DE.若∠AED=∠BEC，DE=2，则BE的长为　4　.  4 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 ∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴BC=2DE=2×2=4，DE∥BC， ∴∠AED=∠C. ∵∠AED=∠BEC，∴∠BEC=∠C， ∴BE=BC=4. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [2025·北京]能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a=　－3　，b=　1(答不唯一)　.  类型五　命题与证明 －3 1(答案不唯一) 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 归纳总结 举反例是要举出一个符合命题条件而不符合命题结论的例子. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式5－1 [2025·凉山州]下列命题中，真命题是(　　　) A.若|a|=|b|，则a=b B.若am＜bm，则a＜b C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式5－2 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应先假设这个三角形中(　　　) A.至少有两个内角是直角 B.没有一个内角是直角 C.至少有一个内角是直角 D.每一个内角都不是直角 A 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 归纳总结 在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必须一一否定. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 如图，点A，D，B，E在同一 条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF. (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的 度数. 类型六　三角形全等 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 解：(1)∵AD=BE， ∴AD＋BD=BE＋BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF(SSS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (2)∵∠A=55°，∠E=45°， 由(1)可知△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠FDE=55°， ∴∠F=180°－(∠FDE＋∠E)=180°－(55°＋45°)=80°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 方法技巧 (1)证明的基本方法： ①综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法. ②分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法. ③两头“凑”法：综合应用以上两种方法找到证明思路的方法. (2)判定两个三角形全等一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑，二是从两边和它们的夹角考虑，三是从两角和一边考虑. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式6－1 [2025·内江]如图，点B，F，C， E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D， AB∥DE. (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)若BF=4，FC=3，求BE的长. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 解：(1)∵AB∥DE，∴∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中， ∵ ∴△ABC≌△DEF(AAS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (2)由(1)可知，△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BF＋CF=EC＋CF，∴BF=EC. ∵BF=4，FC=3，∴EC=4， ∴BE=BF＋FC＋EC=11. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式6－2 [2025·陕西]如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC.求证：BE=AC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 证明：∵D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D=∠ABC. 在△BDE和△ABC中， ∵ ∴△BDE≌△ABC(SAS)， ∴BE=AC. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 [倍长中线][2025·临平区校级模拟]小玲看到这样一道题，“证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等.” 类型七　三角形全等的开放型探究问题 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (1)小玲在思考这道题时，画出图形，写出已知和求证. 已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，CD=C'D'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 请你帮她完成证明过程. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (2)小玲接着提出了两个猜想： ①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等； ②如果两个三角形有两条边和第三边上的高线分别相等，那么这两个三角形全等. 请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明；如果不正确，请举出反例. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 解：(1)∵CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线， ∴AD=DB，A'D'=D'B'， ∴AD=A'D'. 在△ACD和△A'C'D'中，∵ ∴△ACD≌△A'C'D'(SSS)， 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 ∴∠A=∠A'. 在△ABC和△A'B'C'中，∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 (2)①正确，证明如下： 已知：如答图1，在△ABC和△A'B'C'中，CB=C'B'，AC=A'C'，CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，CD=C'D'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 答图1 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 证明：延长CD到T，使得CD=DT，连结AT，延长C'D'到T'，使得C'D'=D'T'，连结A'T'. 在△CDB和△TDA中，∵ ∴△CDB≌△TDA(SAS)， ∴CB=AT，∠DCB=∠T. 同理可证，△C'D'B'≌△T'D'A'， 可得C'B'=A'T'，∠D'C'B'=∠T'. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 ∵CB=B'C'，CD=C'D'， ∴CT=C'T'. 在△ACT和△A'C'T'中，∵ ∴△ACT≌△A'C'T'(SSS)， ∴∠ACT=∠A'C'T'，∠T=∠T'， ∴∠BCD=∠B'C'D'，∴∠ACB=∠A'C'B'. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 ②不正确，如答图2，AB=A'B'，AC=A'C'，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高线，且AD=A'D'，但△ABC显然与△A'B'C'不全等. 答图2 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 思维升华 (1)全等三角形的开放型探究问题，常见的类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种.注意挖掘题目中隐含的条件，例如公共边、公共角、对顶角等. (2)三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查判定三角形全等的方法为主.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式7－1 在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B' =6，AC=A'C'=4，已知∠C=n°，则∠C'的度数为(　　　) A.30° B.n° C.n°或180°－n° D.30°或150° C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'(SSS)， ∴∠C'=∠C=n°； 当BC≠B'C'时，如答图. ∵A'C'=A'C″， ∴∠A'C″C'=∠C'=n°， ∴∠A'C″B'=180°－n°. 综上所述，∠C'=n°或180°－n°. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 变式7－2 [2025·威海]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.在下列条件中，不能判定四边形ABCD属于筝形的是(　　　) A.BO=DO，AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC，AD=AB C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC，BO=DO D 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【解析】 A.∵BO=DO，AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线，　 ∴AB=AD，CB=CD，∴四边形ABCD是筝形， ∴A不符合题意. B.在△ACD与△ACB中， ∵ ∴△ACD≌△ACB(SAS)， ∴CD=CB，∴四边形ABCD是筝形， ∴B不符合题意. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 C.在△ACD与△ACB中， ∵ ∴△ACD≌△ACB(ASA)， ∴AD=AB，CD=CB，∴四边形ABCD是筝形， ∴C不符合题意. D.由∠ADC=∠ABC，BO=DO不能证明四边形ABCD是筝形， ∴D符合题意. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 规范答题——全等三角形的证明 (8分)如图，在△ABC 中，D是BC边上一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连结DE.求证：△ABE≌△DBE. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE. (2分) 在△ABE和△DBE中， ∵ (6分) ∴△ABE≌△DBE(SAS). (8分) 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 评分标准 第一步：得到对应角相等，得2分. 第二步：找到对应关系，得4分. 第三步：得到三角形全等，得2分. 注意事项 1.证明问题在解题前，需写上“证明：”. 2.证明的每一步都需要有理有据，条理清楚，步骤到位，不能跳步. 3.证明三角形全等时，需按照顺序依次罗列出对应关系，再得出对应三角形全等. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 易错点——三角形全等的判定 如图，已知AB=AD，那么添加下列条 件中的一个后，仍无法判定△ABC≌△ADC的 是(　　　) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° C 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 【易错剖析】 本题容易出错的地方在于错用SSA证明三角形全等. 教材回归 题型分类 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3-1 变式3-2 典例4 变式4-1 典例5 变式5-1 典例6 变式6-1 变式6-2 变式4-2 变式5-2 典例7 变式7-1 变式7-2 返回 $