专题2.4 直线与圆的位置关系（章节复习）（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判断、切线性质与判定、切线长定理、三角形内切圆与内心等内容，前承圆的基本性质，后接圆与三角形、四边形、函数的综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于17个分层题型设计，涵盖基础判断、定理应用到跨知识综合题，结合中考真题与难度分层练。通过切线证明、尺规作图等培养几何直观和推理能力，圆与函数综合题提升应用意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题2.4 直线与圆的位置关系（章节复习） （知识荟萃+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线与圆的位置关系 2 知识点梳理02：切线的性质与判定定理 2 知识点梳理03：切线长定理 2 知识点梳理04：三角形的内切圆和内心 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断直线和圆的位置关系 3 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 5 考点4：切线的应用 6 考点5：切线的性质定理 7 考点6：切线的性质和判定的综合应用 8 考点7：证明某直线是圆的切线 9 考点8：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 10 考点9：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 11 考点10：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 12 考点11：圆与函数的综合(圆的综合问题) 14 考点12：应用切线长定理求解 16 考点13：应用切线长定理求证 17 考点14：三角形内切圆与外接圆综合 18 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 18 考点16：三角形内心有关应用 19 考点17：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 19 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 24 知识点梳理01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点梳理02：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点梳理03：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理04：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，点C是小正方形的中心，与直线l相切于点T．以点G为圆心的圆经过点A，B，并且与直线l相切． （Ⅰ）直线与的位置关系为 （填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式训练】（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（2025·广东东莞·一模）如图1，已知抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求的坐标； (2)如图2，点是的中点，点、分别在线段、上，满足，作线段平行交轴于点，求证：； (3)对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出的取值范围． 【变式训练】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 考点4：切线的应用 【典例精讲】（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【变式训练】（2025·陕西汉中·一模）如图，内接于，为的直径，点D在上方的上，连接，过点D作的切线交的延长线于点E，． (1)求证：； (2)若，的半径为4，求的长． 考点5：切线的性质定理 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，等边内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 考点6：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 考点7：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2025·江苏镇江·一模）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图，线段是的直径，延长至点C，使 ，E是线段的中点， 交于点 D，连接． (1)求所对的圆心角的度数． (2)求证：是的切线． (3)点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，，求 的值． 考点8：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（2025·河南驻马店·三模）如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【变式训练】（2025·广东深圳·二模）已知直线与相切于点D． (1)如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分） (2)如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）． 考点9：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·江西赣州·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积． 【变式训练】（2023九年级下·湖北宜昌·专题练习）如图，是的内接三角形，为直径，为的切线，且． (1)求证：； (2)若D为弧的中点，求． 考点10：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 【变式训练】（2025·福建泉州·模拟预测）如图1，内接于，为的直径，点在上，连接交于点，． (1)求证：是的平分线； (2)过作，过作，交于点，连接． ①如图2，连接，若，证明：； ②如图3，过点作的切线交延长线于点，若点为中点，且，求的面积．（结果保留） 考点11：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． (1)_____． (2)当时，求的值； (3)设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． 【变式训练】（24-25九年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”． (1)如图1，图形W是半径为2的． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ； ②在点，，中，的“伴随关联点”是 ； (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围； (3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围． 考点12：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·广东深圳·三模）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接． (1)尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中， ①求证：是的切线； ②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径． 【变式训练】（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点13：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【变式训练】（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 考点14：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    【变式训练】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为 ；线段的最大值为 ． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·广东广州·开学考试）在中，，，点为边上的动点（不与点重合）．过点作于点，连接． (1)如图1，当时． ①求的长； ②求内切圆的半径． (2)如图2，若点为的中点，连接，设．的面积为，求与的函数关系式． 考点16：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是的斜边上的高，分别是的内心，若，则 ． 考点17：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 【变式训练】（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接、，若，，则的长为（　　） A．3 B．2 C． D．1 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 3．（2024·上海·中考真题）如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 4．（2024·全国·中考真题）如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是 ． 5．（2024·江西抚州·中考真题）如图，以的半径为边，向右侧作矩形边交于点D，若D为的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中，过点D作出的切线； (2)在图（2）中，作一个正切值为的圆周角． 基础夯实 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 2．（2025·吉林长春·模拟预测）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点、，连接、、，过圆心，与相切，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·海南·月考）如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是 ． 4．（24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 培优拔高 6．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 9．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 10．（23-24九年级下·上海·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 直线与圆的位置关系（章节复习） （知识荟萃+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线与圆的位置关系 2 知识点梳理02：切线的性质与判定定理 2 知识点梳理03：切线长定理 2 知识点梳理04：三角形的内切圆和内心 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断直线和圆的位置关系 3 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 5 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7 考点4：切线的应用 11 考点5：切线的性质定理 15 考点6：切线的性质和判定的综合应用 19 考点7：证明某直线是圆的切线 24 考点8：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 27 考点9：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 30 考点10：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 34 考点11：圆与函数的综合(圆的综合问题) 43 考点12：应用切线长定理求解 52 考点13：应用切线长定理求证 55 考点14：三角形内切圆与外接圆综合 59 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 61 考点16：三角形内心有关应用 65 考点17：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 67 中考真题 实战演练 70 难度分层 拔尖冲刺 76 基础夯实 76 培优拔高 80 知识点梳理01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点梳理02：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点梳理03：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理04：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，点C是小正方形的中心，与直线l相切于点T．以点G为圆心的圆经过点A，B，并且与直线l相切． （Ⅰ）直线与的位置关系为 （填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 垂直 见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图，切线的性质，三角形外接圆的性质，垂直平分线的性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练应用切线的性质构造平行线是解答本题的关键． (1)先根据图形计算求出，得到点C在线段的垂直平分线上，而根据三角形外心的性质可知过A、B两点的圆其圆心也在线段的垂直平分线上，从而得出直线就是线段的垂直平分线． (2)假设与直线l相切于点H，易得，连接交直线l于点E，然后连接交于点F，过点A作交于点G．通过平行线分线段成比例可得，结合进而得出．即可得出为的半径． 【规范解答】解：（Ⅰ）连接，如图 ， 点C在线段AB的垂直平分线上． 又 ∵ 过A、B两点的其圆心G也在线段的垂直平分线上， C、G两点都在线段AB的垂直平分线上， ． 故答案为：垂直． （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，连接并延长，与直线l相交于点E；连接与交于点F；连接并延长，与网格线交点为P，Q；连接与网格线相交于点R；连接并延长，与网格线相交于点S；连接并延长，与相交于点G，则点G即为所求． 【变式训练】（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，切线的判定定理等知识点，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 过点作交于点，求得，然后得到，利用切线的判定定理即可得出结论． 【规范解答】解：将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 的长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【规范解答】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（2025·广东东莞·一模）如图1，已知抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求的坐标； (2)如图2，点是的中点，点、分别在线段、上，满足，作线段平行交轴于点，求证：； (3)对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)或或． 【思路点拨】（1）分别令和再求解即可； （2）先证明为直角三角形，且，得到，推出，再由得到，推出，再结合平行得到，即可证明全等； （3）由的圆心为，半径为，得到在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即，再由，得到到、、三边的最小距离为，据此分情况讨论，利用三角函数求解即可． 【规范解答】（1）解：令，解得， ∴，， 令得到， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵点是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵作线段平行交轴于点， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵的圆心为，半径为， ∴点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； ∵， ∴到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作与，设直线交于，则， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， ∴当，的取值范围为或或． 【变式训练】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【规范解答】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 考点4：切线的应用 【典例精讲】（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2) (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标． （2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可． （3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线 ∴顶点 （2）解：如图， ∵ ∴， 设直线的解析式为，将点D的坐标代入得： ， ∴直线的解析式为 联立， 解得：（舍）或 ∴； ②∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴直线 如图，设交于点G ∵ ∴， 设 解得 解得 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：（舍）或 ∴； （3）解：延长到点M， ，， ∴设的解析式为： 把代入，可得出， ∴的解析式为：， 当时，则， ∴， ∴， 根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·陕西汉中·一模）如图，内接于，为的直径，点D在上方的上，连接，过点D作的切线交的延长线于点E，． (1)求证：； (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义，相似三角形的判定以及性质． （1）由圆周角定理得出，即可得出，由直径所对的圆周角等于90度和切线的定义得出，，根据直角三角形两锐角互余可得出，进而可得出． （2）证明，由相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图： 则 ∵， ∴． ∵为的直径， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∴， 即 （2）解：，的半径为4， ∴，， 由（1）可知，，， ∴ ∴， 即， 解得∶ 考点5：切线的性质定理 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，等边内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）连接，先根据是等边三角形，得出，则得出，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，则，再证明，进而根据切线的性质得出可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质求得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 又∵是的切线， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图 ∵ ∴ ∴ ， 在中， ∴ ∴， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 考点6：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 【变式训练】（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路点拨】（1）过点A作于点H，根据垂径定理可得经过的圆心O，再由，可得，即可求证； （2）过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，结合切线的性质以及圆周角定理可得，从而得到，进而得到，在中，结合锐角三角函数可得，然后证明，可得，进而得到，再由，可得，从而得到，再结合圆周角定理可得，，然后根据，可得 【规范解答】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ， ， 是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O， 是的半径， ， ， 是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径， ， ， 平分， ， ， 是的切线，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 根据圆周角定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 考点7：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2025·江苏镇江·一模）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为16． 【思路点拨】（1）连接，由，，可得，，而，可得，故可证，是的切线； （2）连接，设的半径为，由，可得，从而可用的代数式表示和，再根据是的切线，根据角的等量代换，证明，即可列式计算，解得的半径． 【规范解答】（1）解：连接，如图： ，， ，， ， ，， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图： ， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， ， ， ， 是的切线， ∴， ∵点是以为直径的半圆上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得或（舍去）， 的半径为8， 的直径为16． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图，线段是的直径，延长至点C，使 ，E是线段的中点， 交于点 D，连接． (1)求所对的圆心角的度数． (2)求证：是的切线． (3)点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，，求 的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接，，利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到为等边三角形，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【规范解答】（1）解：如图1中，连接，， 点是线段的中点，交于点， 垂直平分， ，． ， ， 是等边三角形， ， 即所对的圆心角的度数为； （2）证明：，且为 的外角， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，如图2， 由已知可得：． ， ， ， ． 考点8：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（2025·河南驻马店·三模）如图，与相切于点，且经过的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质及弧长公式． （1）根据题意得，以点C为圆心，为半径画圆交于点两点，由与相切于点，则，根据直径所对圆周角为得，即可解答； （2）解直角三角形求出，进而求出，根据切线的性质证明，推出，    求出，再利用弧长公式即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1，直线即为所求作的切线； （2）解：与相切于点， ， 点为的中点， ，     ，    ， ，        与相切于点， ． 在和中，， ， ，     ； ． 【变式训练】（2025·广东深圳·二模）已知直线与相切于点D． (1)如图1，是的直径，延长与直线交于点A，过点B作，垂足为C，交于点F，连接．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分） (2)如图2，点P是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点Q，使得与相切（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)13 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）问题：求的半径；利用相似三角形的判定和性质构建方程求解； （2）连接，，作的角平分线交直线l于点Q，作直线即可． 【规范解答】（1）解：提出问题：圆O的半径是多少? 解：连接， ∵直线与圆相切于点O， ∴， ∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 设半径为则，， ∴， 解得； （2）解：如图，直线即为所求． 考点9：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·江西赣州·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路点拨】本题主要考查了圆的切线判定定理、圆周角定理以及扇形面积公式和弧长公式． （1）要证明为的切线，需证明，通过圆周角定理以及进行推导即可； （2）要求阴影部分的周长和面积，需要利用锐角三角函数以及同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出相关线段的长度和角度，再分别计算弧长、线段长以及扇形面积和三角形面积． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 由同弧所对的圆周角相等，得， 又， ， ， 即， 为的切线； （2）如图，连接， ，又， ， 在中，， ， ， ，， 在中， ， ， ， ，， ，， ， 阴影部分的周长为， ， ， ， ． 【变式训练】（2023九年级下·湖北宜昌·专题练习）如图，是的内接三角形，为直径，为的切线，且． (1)求证：； (2)若D为弧的中点，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义．解题的关键是熟悉相关知识点． （1）连接，连接并延长交于H，可得，所以，再证，可得； （2）由D为弧的中点，可得为等腰直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求得的值，即可得出的值 【规范解答】（1）证明：如图，连接，连接并延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵D为弧的中点，为直径， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴， ∵为的切线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∴， ∴在中，， ∴ ∴在中，， ∵， ∴． 考点10：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①是等腰三角形，的长为2或；② 【思路点拨】（1）探究1：由题意结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解；探究2：由题意可得，结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质得出，即可得解； （2）①分三种情况：Ⅰ．当时，则；Ⅱ．当时，则，此种情形不存在；Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N；分别求解即可得解；②分两种情况：当点D在上时，连接，；当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，；分别求解即可． 【规范解答】（1）解：探究1：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 探究2：∵，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：①是等腰三角形， Ⅰ．当时，如图，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∴； Ⅱ．当时，则，此种情形不存在． Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 综上，是等腰三角形，的长为2或； ②当点D在上时，连接，，如图， 设，则，，， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，，如图， ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 设，则． ∵，， ∴，． ∴， ∵与相切， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得：． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵与边有两个交点， ∴的取值范围为． 【变式训练】（2025·福建泉州·模拟预测）如图1，内接于，为的直径，点在上，连接交于点，． (1)求证：是的平分线； (2)过作，过作，交于点，连接． ①如图2，连接，若，证明：； ②如图3，过点作的切线交延长线于点，若点为中点，且，求的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析; ② 【思路点拨】（1）根据可得，结合，证明，即可得出，即可得证； （2）①设，证明得出四边形是平行四边形，进而证明，则，在中，勾股定理，即可求解． ②延长至，使得，连接，设交于点，证明四边形是矩形，进而证明，得出，设，证明，得出，则，设，，证明得出，，连接交于点，根据得出即可得出①，在中，，根据勾股定理求得②，联立解关于的方程得出，进而根据圆的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）①设， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴，即 在中， ∴． ②如图，延长至，使得，连接，设交于点， ∵点为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵是平行四边形 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， 设， ∵过点作的切线交延长线于点， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ， 即，解得：，负值舍去， ∵ ∴， ∴， 设，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 连接交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴即 ∴① 在中， ∴即② 联立①②得， 解得： ∴的面积为． 考点11：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． (1)_____． (2)当时，求的值； (3)设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；②1 【思路点拨】（1）由直径所对的圆周角是直角，即可求解； （2）方法一：由勾股定理得， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得；方法二：由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，代入 ，即可求解； 方法二：如图，过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 即可求解； ②由相似三角形的性质得， ，令，化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：是的直径， ， 故答案为：； （2）解：方法一：，， ，， ， ，是中点， 是中点， ， ， ， ， 又， ， ， ； 方法二： ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①在中， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知 ， 整理得：， ， ， 解得：， ， 自变量的范围是， 故； 方法二：如图，过作于， 在中 ， ， 解得：， 解得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 取值范围求法见方法一， 故； ②， ， 令， ， 当时，的最小值为1． 【变式训练】（24-25九年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”． (1)如图1，图形W是半径为2的． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ； ②在点，，中，的“伴随关联点”是 ； (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围； (3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) (3)或 【思路点拨】（1）①根据圆的特点，找出最大值即可； ②根据“伴随关联点”的定义，对每一个点进行判断即可； （2）由题意可得，过点作垂直直线，交于点， 当或时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”； （3）分两种情况：①当点在轴负半轴上时；②点在轴正半轴上时，根据“伴随关联点”的定义，求出的临界值即可． 【规范解答】（1）解：①图形W是半径为2的， 图形W上任意两点间的距离的最大值为直径的长， ， ②到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 是的“伴随关联点”， 到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 不是的“伴随关联点”， 到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 不是的“伴随关联点”， 在点，，中，的“伴随关联点”是． （2）解：图形W是中心在原点的正方形，且， 正方形的边长为， 正方形中任意两点的距离最值为或的长， ， 过点作垂直直线，交于点， ①    如图，设直线与轴正半轴交于点 当时，， ， ，此时； ②    如图设直线与轴负半轴交于点， 当时，， ， ，此时， 若直线上存在正方形的“伴随关联点”， 则， （3）解： 的圆心为，半径为4， ， 直线与x轴、y轴分别交于两点， 令时，，令， ， ①当点在轴负半轴上时， 点为线段上离最远的点，如图所示，可以保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点” 使点到的距离为， 则， ∴， ∴； 过点T作线段的垂线于点B，交于点A，则当垂直平分时，点A与线段MN上任一点的距离是最大的，则能保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上，当在x轴负半轴上时，； ②当点在轴正半轴上时， 如图，连接并延长交于F，设在点T左边交x轴于点E， 当时，则线段任一点P到的最小距离不大于2，即线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”； ∴，， 即； 当点为线段上离最远的点，如图，保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”； 点到的距离为， ∴， ， ； 综上，点在轴正半轴上时，； 综合上述两种情况，t的取值范围为或． 考点12：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·广东深圳·三模）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接． (1)尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中， ①求证：是的切线； ②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】（1）尺规作图作一个角等于已知角，依据的是全等三角形的判定定理，通过圆规截取等长线段构造全等三角形来实现角的相等． （2）①过点O作于点，根据角平分线的性质可得，即可解答； ②根据，可得，，再由切线长定理可得，然后根据，即可解答． 【规范解答】（1）解：图形如图所示： （2）①证明：如图，过点O作于点 ∵是的切线， ∴， ， ， 是的切线； ②解：， ，， ∵，是的切线， ∴， ， 在和中， ，， ， ， ， 的半径为 【变式训练】（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 考点13：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线； （2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的直径，过点A作射线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作，垂足为点， 设， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵、、为的切线， ∴，， ∴， ∵射线，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式训练】（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①圆上；② 【思路点拨】（1）证明是半圆O的切线，切点为A，由切线长定理可得． （2）①由，可得．由，是圆O的切线．可得．则．证明．则．进而可得点F在半圆O所在的圆上； ②如图，连接，由与半圆相切于点D，可得，进而可得，，，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，是半径， ∴是半圆O的切线，切点为A． 又∵与半圆O相切于点D， ∴． （2）①解：∵， ∴． ∵，是圆O的切线． ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴点F在半圆O所在的圆上， 故答案为：圆上． ②解：如图，连接， ∵与半圆相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴阴影部分的面积为． 考点14：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查圆与三角形的综合运用，作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，设，则，，当三点共线时，面积最小，由此即可求解． 【规范解答】解：作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，    ∴，设，则， ∴， ， ， ， ， 当三点共线时，面积的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为 ；线段的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意利用勾股定理即可求出的长；利用外接圆、中位线以及勾股定理求出最大值即可． 【规范解答】解：根据题意得， 故答案为：． 如图， 以为中心为圆心，为半径画圆， 在矩形中， ∵， ∴所画圆为外接圆， 弦右侧画弧上任意一点E与构成，使得四边形是圆内接四边形， ∴， 连接并延长与圆的交点即为的最长距离， 作于点H， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴PH=1/2CP=4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【规范解答】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·广东广州·开学考试）在中，，，点为边上的动点（不与点重合）．过点作于点，连接． (1)如图1，当时． ①求的长； ②求内切圆的半径． (2)如图2，若点为的中点，连接，设．的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】（1）①先求，再对运用勾股定理求解； ②先通过面积法求出，继而可求，再对运用面积法得到，即可求解半径； （2）可知点四点共圆，根据圆周角定理以及外角定理证明，过点作于点，则，设，则由勾股定理得：，那么，故，在中，由勾股定理得，，则，再代入即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ②如图： 在中，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴在中，由勾股定理得，， 设内切圆半径为，则， ∴ ∴； （2）解：如图： ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 设， 则由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 考点16：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是的斜边上的高，分别是的内心，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．首先作于E，于F．在直角中，利用勾股定理求得的值，再求得的长．因为为直角的内切圆的半径，即可求得的值．连接，则分别是和的平分线，利用垂直的定义，可得到．利用在直角三角形中，求得的值，进而求得的值． 【规范解答】解：作于E，于F， ， ， 是的斜边上的高， ， ， ， 设的内切圆半径为r，圆心为O，连接， ， ， ， ∵为直角的内切圆的半径， ∴同理得， 连接，则分别是和的平分线， ∵， ∴， ∴， 同理，可求得， ∴， 故答案为：． 考点17：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为， ∵M为锐角的内心， ∴点到三边距离为，，，是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴中，，， 中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)2 【思路点拨】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接、，若，，则的长为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键．先根据圆周角定理、圆的切线的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，据此可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·上海·中考真题）如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可． 【规范解答】解：连接，则：， ∴， ∵的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解． 【规范解答】解：∵是的直径，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·江西抚州·中考真题）如图，以的半径为边，向右侧作矩形边交于点D，若D为的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中，过点D作出的切线； (2)在图（2）中，作一个正切值为的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）由D是中点，E是中点，得是中位线，，由，得，即可判定是切线； （2）和中，由是公共角，得，得 【规范解答】（1）解：如图1，连接交于点E，作直线，直线即为所求． 理由：∵D是中点，矩形中，E是中点， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线． （2）解：如图，延长交于点F，连接交于点G，连接，即为所求． 理由：∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【思路点拨】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    2．（2025·吉林长春·模拟预测）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点、，连接、、，过圆心，与相切，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】通过切线性质得垂直，结合已知垂直推，再利用等腰三角形性质求解角度． 本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线垂直于过切点的半径是解题关键． 【规范解答】解：∵ ，， ∴， ∵ 与 相切， ∴ ，即 ． ∴, ∵ ∴ ． 故选：A． 3．（24-25九年级下·海南·月考）如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．正确作出辅助线是解答本题的关键．连接，根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小． 【规范解答】解：如图，连接OC， ∵ ∴， ∵为的切线， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 【规范解答】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 5．（24-25九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 培优拔高 6．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键． 根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个． 【规范解答】解：∵，即， ∴三角形为直角三角形， 设内切圆半径为，则， 解得， ∴应分为五种情况： 当一条边与圆相离时，有0个交点， 当一条边与圆相切时，有1个交点， 当一条边与圆相交时，有2个交点， 当圆与三角形内切圆时，有3个交点， 当两条边与圆同时相交时，有4个交点， ∴公共点个数可能为0、1、2、3、4个， 故选：A． 7．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形面积计算，关键是连接辅助线和，证明得到为等边三角形． 【规范解答】解：连接和，作垂足为点如下图所示： 中与相切于点， ， 由圆周角定理可知，， 在中，， 在和中， ， ． ， ，圆半径为． 扇形面积， 在中，， 由勾股定理可知，， 面积， 面积， 半圆面积， ． 故选：． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．连接，根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出，从而可求出的度数，根据弧长的公式即可得到结论． 【规范解答】解：如解图，连接， 五边形是正五边形， ， 与相切， ， ， 劣弧； 故答案为 9．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与轴相切及过点的条件，建立圆心坐标的关系式，进而求解与轴的交点． 设圆心为，因为圆与轴相切，所以半径为．又圆过点，根据两点间距离公式，圆心到的距离等于半径，可得，平方后整理得，令，求出，即得与轴交点． 【规范解答】设圆心为， 圆与轴相切， 圆的半径 圆心到的距离为半径，即 整理得 当时， 即交点为 10．（23-24九年级下·上海·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 【答案】(1)CD与相切，理由见解析 (2)的长为 【思路点拨】连接，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即可得到与垂直，即是的切线； 设交于点，由，得到，根据垂径定理，设，则，利用勾股定理求出，从而利用勾股定理求得的长． 【规范解答】（1）解：CD与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴CD为切线即CD与相切． （2）解：如图所示，设交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得， ，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $