专题3.10 圆（章节复习）（知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

该初中数学圆章节复习讲义通过知识梳理系统构建知识体系，以框架图呈现点和圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等11个核心知识点，从基础概念到性质定理再到公式应用层层递进，清晰展现圆的对称性、切线判定等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于29个考点讲练设计，每个考点配备典例与变式训练，如“垂径定理求平行弦距离”“切线判定与性质综合题”，结合中考真题和分层练习，培养推理意识与几何直观，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

专题3.10 圆（章节复习） 【知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：点和圆的位置关系 2 知识点梳理0：圆的对称性 2 知识点梳理03：垂径定理及其推论 2 知识点梳理04：圆周角和圆心角的关系 2 知识点梳理05：确定圆的条件 3 知识点梳理06：直线和圆的位置关系 3 知识点梳理07：切线性质定理与判定定理 3 知识点梳理08：切线长定理 3 知识点梳理09：圆的外心与内心 3 知识点梳理10：三角形内切圆半径与三角形三边关系 4 知识点梳理11：圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 5 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 7 考点3：利用垂径定理求平行弦问题 10 考点4：垂径定理的实际应用 12 考点5：同弧或等弧所对的圆周角相等 13 考点6：半圆(直径)所对的圆周角是直角 16 考点7：90度的圆周角所对的弦是直径 19 考点8：已知圆内接四边形求角度 24 考点9：求四边形外接圆的直径 28 考点10：确定圆心(尺规作图) 31 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 34 考点12：画圆(尺规作图) 37 考点13：证明某直线是圆的切线 40 考点14：切线的性质和判定的综合应用 45 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 49 考点16：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 51 考点17：三角形内切圆与外接圆综合 52 考点18：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 56 考点19：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 59 考点20：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 64 考点21：圆与函数的综合(圆的综合问题) 68 考点22：应用切线长定理求解 76 考点23：应用切线长定理求证 77 考点24：正多边形和圆的综合 83 考点25：尺规作图——正多边形 84 考点26：求图形旋转后扫过的面积 86 考点27：求圆锥侧面积 88 考点28：圆锥的实际问题 88 考点29：圆锥侧面上最短路径问题 89 中考真题 实战演练 91 难度分层 拔尖冲刺 96 基础夯实 96 培优拔高 99 知识点梳理01：点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，； 知识点梳理0：圆的对称性 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知识点梳理03：垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点梳理04：圆周角和圆心角的关系 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 知识点梳理05：确定圆的条件 （1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点梳理06：直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 知识点梳理07：切线性质定理与判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法 （1） 直线与交点个数； （2） 直线到圆心的距离与半径关系； （3） 切线的判定定理. 知识点梳理08：切线长定理 （1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角. （2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 知识点梳理09：圆的外心与内心 （1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 （3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. （4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 知识点梳理10：三角形内切圆半径与三角形三边关系 （1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. （2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. （3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 知识点梳理11：圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. （5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 【变式训练】（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠； （2）设，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：连接， ∵半径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级下·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【规范解答】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 考点3：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【规范解答】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【答案】A 【思路点拨】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案. 【规范解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 考点4：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【规范解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 考点5：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）（）如图，在矩形中，，于点，求证：． （）如图，是⊙的直径，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，圆周角定理的推论．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，推出，，从而知道，然后证明，从而得到． （2）根据直径所对的圆周角是直角得，再根据同弧所对的圆周角相等求得，即可求得的度数． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵为直径 ， ∴， ∵同弧所对应的圆周角相等，且， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【规范解答】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 考点6：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）等腰三角形中，， D为上的动点，过 D引直线的垂线， 垂足为E、 F， 如果D从B 点出发，向 C 点移动，此过程中，三角形外接圆的半径变化情况是（   ）． A．一直减小 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是找出三角形外接圆即是以为直径的圆． 根据圆周角定理，四点在以为直径的圆上，即三角形外接圆即是以为直径的圆即可求解． 【规范解答】如图，连接， ， 在以为直径的圆上， ， 在以为直径的圆上， 即四点在以为直径的圆上， 所以三角形外接圆即是以为直径的圆， 又是等腰三角形， 所以D从B 点出发，向 C 点移动的过程中先减小后增大， 即三角形外接圆的半径先减小后增大． 故选：B． 【变式训练】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图1，已知是的直径，点在半径上（点与点不重合），过点作的垂线交于点，连结，过点作的平行线交于点，交射线于点．    (1)求证：； (2)已知：； ①若，求的长； ②求的最大值； (3)如图2，已知的半径为4，连结，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②36 (3) 【思路点拨】（1）连结，由题意易得，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，，，然后问题可求解； ②设，则有，，然后根据可得，进而列出函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解； （3）连结，由题意可分若，若，两种情况进行分类求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图①，连结，   为的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①， ∴， 又， ∴，， ∴，， ； ②设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为36； （3）解：如图②，连结，    ∵， ∴， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，则可分： ①若， 的半径为4， ∴，解得：， ∴点与点重合，舍去； ②若，设的长为， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：（负根舍去）， 即， 当为等腰三角形时，的长为． 考点7：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）如图，在平行四边形中，连接过点作于点，过上一点作于点，交于点；过作于点，连接． (1)若，，，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，四点共圆的证明，圆的性质等，熟练掌握相关知识，并灵活运用是解题的关键． （1）在中，由勾股定理求出，再利用平行四边形对边相等的性质求解； （2）过点作，交的延长线于点，由，得四点共圆，推出， 再先后证明四点共圆，四点共圆，推出，由得， 再证明得，最后进行等量代换即可． 【规范解答】（1），，， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）如图，过点作，交的延长线于点，连接，，， ，且， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ，，且， ， ， ， ， ，且，， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四边形ABCD内接于，点在上，连接、交于点，． (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，过点作交的延长线于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）通过即可证明是的直径． （2）先根据等角代换证明，进而得出，然后在中证明，得，即可得出结论． （3）根据题意建立构造△△，由求解的思路，先构造△，由推出，进而得出△△，然后推出，求出 ，求出；根据．求出，然后由比例式求出答案． 【规范解答】（1）解：如图，连接． ，， ， 为的直径． （2）解：， ． ，， ， ， ， ∴在，，， ， ， ． （3）解：延长与延长线交于点，延长与延长线交于点，连接，，， 由（2）可知， 为的直径，， ， ，， ， ，． 在中，同理（2）由可得：，． 在和中， ， 则． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 则． 由于， 则． ，， 是的垂直平分线， 连接， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 则、、三点共线，且． ． ， ， ． ，， ， ∵， ∴， ∵，， ， ， △△， 则， 即， 故． 考点8：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明； （2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，D，E 分别是边 上的点，连接与 交于点 P，连接，已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、圆心角与圆周角的关系及点与圆的位置关系（最值问题），解题的关键是通过角度推导确定点的运动轨迹为以BC为弦的定圆，再利用“点到圆上点的最小距离等于点到圆心的距离减去圆的半径”计算的最小值． 先根据和等边中，推得，进而得出，确定点在以为弦、所对圆周角为的上；再在优弧取点，利用圆内接四边形对角互补得，结合圆心角是圆周角的2倍得；由得，结合等边的得；最后根据，结合和求出AP的最小值． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴在中， 构造的外接圆，连接、、、． 在优弧上任取一点（不与点、重合），连接BQ、CQ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴（圆内接四边形对角互补）， ∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）． ∵（的半径）， ∴是等腰三角形， ∴ ∵是等边三角形，， ∴． 由可得， ∴， ∴在中，，又， 根据勾股定理， 代入得：， 化简得，，解得， 则． ∵点在上， ∴， 即． 故答案为：． 考点9：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 【变式训练】（2023·四川巴中·模拟预测）如图，为圆的直径，，为圆上的两点，过点作于点，交圆于点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，， ①求的长； ②求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①8；② 【思路点拨】（1）连接，由垂径定理及等腰三角形的性质可得，再利用圆内接四边形的性质及圆周角定理可证明结论； （2）①证明列比例式可求解的长； ②连接，证明可得，设，则，证明可用表示，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程可求解，的长，再证明可求解的长，即可求得的长，进而可求解圆的半径． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 是圆的直径，， ， ， ， ∴， ， 由圆周角定理得：， ∴． （2）解：①，， ， 由（1）可知，， ∴， ，即， 解得； ②连接， ∵， ， ， 设，则， ，， ∴， ，即， 解得， 是圆的直径，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴，， ∴， 是圆的直径，， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 所以圆的半径为． 考点10：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·月考）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【答案】（1）见解析；（2）的半径． 【思路点拨】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． （1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； （2）由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【规范解答】解：（1）的外接圆如图所示：    （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． 【变式训练】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【思路点拨】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理的应用、勾股定理， （1）在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为该弓形的圆心； （2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，则，．设弓形的半径为，则，．由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【规范解答】（1）解：如图，在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （2）解：设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接， 则，， 设弓形的半径为， 则，． 由勾股定理得，， 即， 解得， 弓形的半径为2． 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（2025·河北邯郸·三模）如图，在菱形中，．点E在射线上运动（不与点B，点C重合），关于的轴对称图形为．若，为的外接圆，设的半径为r．则r的取值范围为 ． 【答案】，且 【思路点拨】设的外接圆圆心为O，连接，作于点G，作于点H，结合题意求出 ，因此有，，在中，，由，且点E不与B、C重合 ，可知，且，进而求出答案． 【规范解答】解：如图，设的外接圆圆心为O，连接，作于点G，作于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中， ， ∵，且点E不与B、C重合， ∴，且， ∴，且． 【变式训练】（2025·河北邯郸·三模）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）分别作出和的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为圆心O的位置； （2）连接，，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质求出，解直角三角形得出，即可得出答案； （3）过点G作交的延长线于点H，连接、、，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据，得出当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为所求作的点； （2）解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径长为； （3）解：矩形中，，， 过点G作交的延长线于点H，连接、、，如图所示： 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 考点12：画圆(尺规作图) 【典例精讲】（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【变式训练】（2025·山东滨州·二模）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点” (1)如图（1）．在中．若，于点．试说明：点是点的“关联点”； (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质等内容． （1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆；③过作交于点，连接、，可得是直角三角形，由此即可解题． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，即为所求， ． 考点13：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（23-24九年级下·黑龙江大庆·月考）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，交于点，连接交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理、相似三角形性质与判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，进而证明为的切线即可； （2）作于点，通过角度关系得到，利用相似三角形的性质得到比例关系即可； （3）连接，设，那么，由圆的直径对应的圆周角是直角得到，根据勾股定理得到半径长，利用得到长即可． 【规范解答】（1）证明：为的平分线， ， ， ， ， ． 是圆的直径， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 为的切线． （2）证明：作于点，则， 由（1）知是切线，， ， ∵， ， ， ， ． （3）解：连接，设，那么，如图： ， ， ， 是圆的直径， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ． ． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，点D是的中点，过点D作的平行线，交的延长线于点P，过点C作的切线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若求的半径； (3)若 的半径是5，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 (3)四边形的面积为 【思路点拨】本题主要考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定及三角函数等知识，熟练掌握切线的性质、垂径定理、菱形的判定及三角函数是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）连接，设与交于点H，先证四边形是菱形，则有，然后根据含30度角的性质可进行求解； （3）由（2）可知：，则设，然后根据勾股定理可得方程求解x，进而可得，最后根据割补法可求四边形的面积． 【规范解答】（1）证明：连接，如图所示： ∵点D是的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接，设与交于点H，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，是的半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）图， 由（2）可知：， ∵ ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，即， ∴， ∴． 考点14：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线，M是线段上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线于N，交于F，切点为P．连接、．若，当直线恰好平分梯形的面积时m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图推出，是的切线．得出，，根据，求出；证明，证明，利用线段比求出点A的坐标，从而求出y关于x的函数解析式；结合直线平分梯形的面积推出的长．求出直线的解析式后因为点F在直线上，易求点F的坐标．然后又因为点F在直线上，进一步求出m值． 【规范解答】解：标注角如图所示： ∵，，是的直径， ∴、是的切线． 又∵切于点P， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，而， ∴． ∴， ∴， ∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∴． 设，， ∵， ∴． ∵， ∴，此时． ∵直线平分梯形的面积， ∴的面积为5． 过点F作于G，则， ∴， ∴点F的横坐标为． ∵，， ∴直线的解析式为． ∵F点在直线上， ∴F点的纵坐标为， ∴． ∵点F又在直线上， ∴， ∴． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，王奶奶有一块三角形的布料，，她要裁一个圆片，已知，，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？ 【答案】她应该剪出这个三角形的内切圆，直径 【思路点拨】主要考查了三角形的内切圆和内心（和三角形三边都相切的圆可以作出一个并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心），解题的关键是熟练掌握相关定义．根据内切圆和内心的定义，找到内心，再以内心为圆心，从向任一边作垂线，垂足即为切点，以为圆心，以垂线为半径作圆即可；根据内心的定义及三角形角平分线性质，可知，利用，即可计算半径r，从而求出直径长． 【规范解答】解：王奶奶应该剪出这个三角形的内切圆，则剪下来的圆片的直径最大． 做法：根据内切圆和内心的定义，作三个角的角平分线，找到内心，再以内心为圆心，从向任一边作垂线，垂足即为切点，以为圆心，以垂线为半径作圆，即为三角形的内切圆，直径最大．如图所示： 设为的内切圆的圆心，为内切圆的半径， ∴ ，， ， ∵ ∴ 即 解得， ∴圆的直径 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【规范解答】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积 ． 故选：B． 考点16：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·月考）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都相切． 【答案】见解析 【思路点拨】分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作即可．本题考查三角形的内切圆，熟练掌握作三角形内切圆的方法是解题关键． 【规范解答】解：如下图所示：分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作． 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【答案】三角形内切圆的半径为． 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与圆心，勾股定理，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先画出图形，过点作交于点，作交于点，连接，由等腰三角形的性质得出，，故点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，由勾股定理求出，再由得出，从而求解． 【规范解答】解：如图，设，， 过点作交于点，作交于点，交于点，连接， ∵，， ∴，， ∴点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为， 根据题意可知：周长为， 在中，， ∴， 由， ， ∴， ∴三角形内切圆的半径为． 考点17：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 【答案】的外接圆与的外接圆的大小相等．理由见解析 【思路点拨】本题考查了三角形外心、内心、垂心的性质.关键是根据题意找出四点共圆，五点共圆，判断三角形共圆，利用“传递”的方法证明本题结论． 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、，可以得到的外接圆与的外接圆是同一个圆；再证明的外接圆与的外接圆是同一个圆，的外接圆与 的外接圆相等，解答即可． 【规范解答】解：的外接圆与的外接圆的大小相等．理由： 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、， 由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，，，， ∴、、、、五点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； 根据轴对称可知，， ∴、、、四点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； ∵，，， ∴， ∴的外接圆与'的外接圆相等； 即的外接圆与的外接圆相等． 【变式训练】（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【思路点拨】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果． （2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论． （3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， 在中，，，， ∴． （2）证明：如图，连接， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 是⊙的直径， ， ， ，即， ． 是的半径， 是的切线． （3），理由如下：   如图，过点作，垂足为，与交于点， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 考点18：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为直径作圆，根据直径所对的圆周角等于90度，即可得到（或）为的切线； （2）根据题意作出图形，利用勾股定理得到，进而得到，作于点，结合解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，最后根据求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：所作的切线（或）如下图所示： （2）解：为的直径， ⸫， ，， ， ， ， 同理可得， ⸫， ， 作于点， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或． 【思路点拨】本题考查了作图——过圆外一点作圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点；以点为圆心，长为半径作，与的交点为、，则、即为所求作切线； （2）连接、，由圆内接四边形对角互补，得到，再根据点的位置分两种情况求解，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图，连接、， 四边形内接于，， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上可知，的度数为或． 考点19：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图①，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图②，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，． (1)求的长和关于的函数解析式； (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值； (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【思路点拨】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解； （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，连接． ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 如图2，， ∴． ∵，∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，三边之比为， ∴可分为三种情况： i）当时，，，解得， ∴． ii）当时，，，解得， ∴． iii）当时，，，解得， ∴． （3）解：如图3，连接，，过点作于点， 则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【变式训练】（2024·湖北·一模）如图，是的直径，点C是的中点，过点C的切线与的延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为2 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键． （1）连接，根据等腰对等角可得，再由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明，可得，即可证明． （2）连接，由题意可证四边形是菱形，可得是等边三角形，从而可得，根据含的直角三角形的性质可得，即可求出结果． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 考点20：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，内接于，为的中点，弦交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若为的切线，的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）证明，再通过圆内接四边形的性质和圆周角定理推导出； （2）利用四边形为平行四边形的性质，求出角度和边长关系，结合是切线的性质，根据垂径定理求出的弦心距，然后判定，再根据相似三角形性质求出长度． 【规范解答】（1）证明：， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ； （2）解：连接并延长交于点，连接， 为的切线， ， 四边形为平行四边形， ， ，， 为的中点， ， ， 又， ， ，即， ， ．     【变式训练】（2025·广东广州·二模）已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)或，理由见解析 【思路点拨】（1）①根据等边对等角，圆周角定理证明即可； ②②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， 得四边形的面积为：，根据题意，得到都是定值，是动值，根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值，解答即可． （2）分两种情况，利用三角函数，等腰三角形得性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 【规范解答】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， ∵， ∴，， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 根据题意，得到都是定值，是动值， 根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值， ∴四边形面积的最大值为：， ∵，的半径为， ∴，， ， ∴四边形面积的最大值为：； （2）解：（i）当点D在优弧上时，如图，延长到点E，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点C作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当点D在劣弧上时，如图，延长到点F，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作，交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 考点21：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【思路点拨】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【规范解答】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其顶点为，为坐标原点．    (1)求、两点坐标； (2)若以、、三点为顶点的三角形为直角三角形，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，是经过、、三点的圆，点是上一动点，连接． ①连接，求的最小值和此时点的坐标； ②若点是线段的中点，连接，请直接写出线段的取值范围 【答案】(1)， (2)或 (3)①的最小值，；② 【思路点拨】（1）令，得，解方程即可求解； （2）连接，，则，过点作于点，则，设，则，则或，解得：或，即可得出抛物线的解析式； （3）①由（2）知，圆心即为点，半径为．当时，在轴上找一点，证明，得出，则的最小值线段，求得直线CH的一次函数解析式，设，勾股定理建立方程，即可求解，当时，同理可得；②如图所示，取的中点，连接，，即点在上运动，勾股定理求得的长，进而求得的长，根据一点到圆上的距离即可求解． 【规范解答】（1）解：在中， 令，得， 解得：，， ∴，． （2）连接，，则，过点作于点，则， ∵，， ∴，设，则， ∴或， ∴或， 解得：或 ∴抛物线的解析式为或．    （3）①由（2）知，圆心即为点，半径为． （i）当时，抛物线的解析式为，， 在轴上找一点，    ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值线段． 由和 设直线的一次函数解析式为，将代入， 得，， 解得：， ∴直线的一次函数解析式， ∴设，且，由，得， ，（舍去）， ∴． （ii）当时，抛物线的解析式为：，，    同样的方法，可求得的最小值=线段，． ②如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴，即点在上运动，    ∵， ∴， ∵是的中点， 则， ∴． 考点22：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键． 由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【规范解答】解：∵分别切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 考点23：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【规范解答】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路点拨】（1）先由切线长定理求得，，推出垂直平分，再根据圆周角定理求得，利用平行线的判定定理得到； （2）先由垂直平分，得出，，则再结合勾股定理列式，，，计算得出，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 考点24：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期末）边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，由，得，而，则，由，求得即可． 【规范解答】解：如图，是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴边长为2的等边三角形的边心距是． 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 考点25：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【思路点拨】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【规范解答】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【思路点拨】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【规范解答】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 考点26：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【思路点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【规范解答】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 考点27：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）母线长为3，底面圆的半径为2的圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式（其中r是底面圆的半径，l是母线长）即可求解． 【规范解答】解：圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【规范解答】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 考点28：圆锥的实际问题 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 【答案】12 【思路点拨】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【规范解答】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 设母线长为 ∵侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳 ∴ 故答案为：12 【变式训练】（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 【答案】米 【思路点拨】本题考查了求圆锥的体积；把一个圆锥形的沙堆铺到路面上，体积不变．用 求出沙堆的体积(用周长求出底面的半径，再求底面积)；把沙子铺在路面上由圆锥变成长方体，这个长方体的横截面的面积为，把铺的长度看成高，据此可求铺的长度． 【规范解答】解： (立方米)，厘米米，(米) 答：能铺米． 考点29：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可． 【规范解答】∵圆锥的底面周长为2π ∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图 ∴∠BAD=90゜ ∵D为AC的中点 ∴ 在Rt△BAD中，由勾股定理得 即最短路线长为 故选：A 【变式训练】（24-25九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【思路点拨】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【规范解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 1．（2024·湖南株洲·中考真题）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ． 【答案】 【思路点拨】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明 ，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【规范解答】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又 ， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 2．（2024·青海西宁·中考真题）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据直线与相切得出，推出方程有两个相等的实数根，再根据即可求出的值． 【规范解答】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切， ， 、是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：4． 3．（2024·云南·中考真题）如图所示，是的直径，点 B，D都在上，连接，若，则的半径长为(     ) A． B． C．4 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径长为； 故选C． 4．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【思路点拨】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，以为直径的交于D，点E在上，，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】（1）连接，由题中条件可得出，再根据得出即可解决问题． （2）先利用勾股定理求出，再由等角对等边得出即可． 【规范解答】（1）证明：（1）连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线． （2）∵，， ∴． 又∵， ∴， 即， ∴． 在中， ． 又∵， ∴． 基础夯实 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的外接圆，连接、，若，则（    ）° A．80 B．100 C．140 D．160 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据，得，则，，故，即可作答． 【规范解答】解：在优弧中取点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 2．（2024九年级下·广西·专题练习）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3．（24-25九年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【思路点拨】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【规范解答】解： 是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 4．（24-25九年级下·北京·期末）如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【答案】 (答案不唯一) 【思路点拨】本题主要考查了切线的定义，要使得直线是的切线，只要使即可． 【规范解答】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∴． 当时， 则，即， 又是的半径， ∴直线是的切线， 故答案为： (答案不唯一)． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 【规范解答】证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 培优拔高 6．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】由圆周角定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图正方形中，以为圆心，为半径作弧与以为直径的交于点，交于，交于，延长交于，下列结论：； ；； ．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，由圆周角定理可得， 根据正方形的性质可得， 从而根据等腰三角形三线合一即可判断；连接、、，延长交于， 若，就必有， 则有，易证， 得到， 得到， 根据等腰三角形的性质结合圆周角定理，即可判断；由 结合对顶角相等可得，， 利用等角的余角相等证得， 进而等量代换证得 ，即可判断；连接，易证是的中位线，从而证得，易证是的直径，连接，由圆周角定理可知即可判断． 【规范解答】解：如图，连接， 为的直径， ，即， 四边形是正方形， ， ，故正确； 如图，连接、、，延长交于， 由于，， 若，就必有， 则有， ，，， ， ， ， 若，则有， ， 在等腰和等腰中， 若，则， 由于与的交点为的中点，而点不是的中点， 显然不成立， 故错误， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 故正确； 如图，连接， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 由得， 、、三点共线， 是的直径， 连接，由圆周角定理可知，，即， 故正确； 综上，正确的结论是． 故选：D ． 8．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】如图，由，都为等腰直角三角形，证明四边形是正方形，连接，交于，连接，过作于，过作于，证明在以为圆心，为半径的圆上；四边形为正方形，证明，可得，求解，再进一步，，可得，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，∵，都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是正方形， 连接，交于，连接，过作于，过作于， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴在以为圆心，为半径的圆上； ∴，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 综上：的长为或； 故答案为：或. 9．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由 的正切值求出，再根据勾股定理求出即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是的切线，点B为切点， ∴， 在中，， 又∵ ， ∴， 在中，，， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【思路点拨】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.10 圆（章节复习） 【知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：点和圆的位置关系 2 知识点梳理0：圆的对称性 2 知识点梳理03：垂径定理及其推论 3 知识点梳理04：圆周角和圆心角的关系 3 知识点梳理05：确定圆的条件 3 知识点梳理06：直线和圆的位置关系 3 知识点梳理07：切线性质定理与判定定理 3 知识点梳理08：切线长定理 3 知识点梳理09：圆的外心与内心 4 知识点梳理10：三角形内切圆半径与三角形三边关系 4 知识点梳理11：圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 5 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 6 考点3：利用垂径定理求平行弦问题 6 考点4：垂径定理的实际应用 7 考点5：同弧或等弧所对的圆周角相等 7 考点6：半圆(直径)所对的圆周角是直角 8 考点7：90度的圆周角所对的弦是直径 9 考点8：已知圆内接四边形求角度 10 考点9：求四边形外接圆的直径 11 考点10：确定圆心(尺规作图) 12 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 13 考点12：画圆(尺规作图) 13 考点13：证明某直线是圆的切线 14 考点14：切线的性质和判定的综合应用 15 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16 考点16：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 17 考点17：三角形内切圆与外接圆综合 17 考点18：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 18 考点19：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 19 考点20：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 20 考点21：圆与函数的综合(圆的综合问题) 21 考点22：应用切线长定理求解 22 考点23：应用切线长定理求证 23 考点24：正多边形和圆的综合 24 考点25：尺规作图——正多边形 24 考点26：求图形旋转后扫过的面积 25 考点27：求圆锥侧面积 25 考点28：圆锥的实际问题 25 考点29：圆锥侧面上最短路径问题 26 中考真题 实战演练 26 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 29 知识点梳理01：点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，； 知识点梳理0：圆的对称性 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知识点梳理03：垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点梳理04：圆周角和圆心角的关系 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 知识点梳理05：确定圆的条件 （1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点梳理06：直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 知识点梳理07：切线性质定理与判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法 （1） 直线与交点个数； （2） 直线到圆心的距离与半径关系； （3） 切线的判定定理. 知识点梳理08：切线长定理 （1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角. （2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 知识点梳理09：圆的外心与内心 （1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 （3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. （4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 知识点梳理10：三角形内切圆半径与三角形三边关系 （1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. （2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. （3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 知识点梳理11：圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. （5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级下·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 考点3：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 考点4：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【变式训练】（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 考点5：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）（）如图，在矩形中，，于点，求证：． （）如图，是⊙的直径，，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 考点6：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）等腰三角形中，， D为上的动点，过 D引直线的垂线， 垂足为E、 F， 如果D从B 点出发，向 C 点移动，此过程中，三角形外接圆的半径变化情况是（   ）． A．一直减小 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．保持不变 【变式训练】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图1，已知是的直径，点在半径上（点与点不重合），过点作的垂线交于点，连结，过点作的平行线交于点，交射线于点．    (1)求证：； (2)已知：； ①若，求的长； ②求的最大值； (3)如图2，已知的半径为4，连结，当为等腰三角形时，求的长． 考点7：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）如图，在平行四边形中，连接过点作于点，过上一点作于点，交于点；过作于点，连接． (1)若，，，求的长． (2)若，求证：． 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四边形ABCD内接于，点在上，连接、交于点，． (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，过点作交的延长线于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长． 考点8：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，D，E 分别是边 上的点，连接与 交于点 P，连接，已知，则的最小值为 ． 考点9：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】（2023·四川巴中·模拟预测）如图，为圆的直径，，为圆上的两点，过点作于点，交圆于点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，， ①求的长； ②求圆的半径． 考点10：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·月考）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【变式训练】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（2025·河北邯郸·三模）如图，在菱形中，．点E在射线上运动（不与点B，点C重合），关于的轴对称图形为．若，为的外接圆，设的半径为r．则r的取值范围为 ． 【变式训练】（2025·河北邯郸·三模）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 考点12：画圆(尺规作图) 【典例精讲】（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【变式训练】（2025·山东滨州·二模）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点” (1)如图（1）．在中．若，于点．试说明：点是点的“关联点”； (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”． 考点13：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（23-24九年级下·黑龙江大庆·月考）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，交于点，连接交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，点D是的中点，过点D作的平行线，交的延长线于点P，过点C作的切线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若求的半径； (3)若 的半径是5，连接，求四边形的面积． 考点14：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【变式训练】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线，M是线段上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线于N，交于F，切点为P．连接、．若，当直线恰好平分梯形的面积时m的值为 ． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，王奶奶有一块三角形的布料，，她要裁一个圆片，已知，，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？ 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 考点16：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·月考）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都相切． 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 考点17：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 【变式训练】（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 考点18：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 考点19：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图①，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图②，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，． (1)求的长和关于的函数解析式； (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值； (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【变式训练】（2024·湖北·一模）如图，是的直径，点C是的中点，过点C的切线与的延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 考点20：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，内接于，为的中点，弦交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若为的切线，的半径，，求的长． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 考点21：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其顶点为，为坐标原点．    (1)求、两点坐标； (2)若以、、三点为顶点的三角形为直角三角形，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，是经过、、三点的圆，点是上一动点，连接． ①连接，求的最小值和此时点的坐标； ②若点是线段的中点，连接，请直接写出线段的取值范围 考点22：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 考点23：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【变式训练】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 考点24：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期末）边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 考点25：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 考点26：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 考点27：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）母线长为3，底面圆的半径为2的圆锥的侧面积为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 考点28：圆锥的实际问题 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 【变式训练】（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 考点29：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 1．（2024·湖南株洲·中考真题）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ． 2．（2024·青海西宁·中考真题）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 3．（2024·云南·中考真题）如图所示，是的直径，点 B，D都在上，连接，若，则的半径长为(     ) A． B． C．4 D．2 4．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，以为直径的交于D，点E在上，，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 基础夯实 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的外接圆，连接、，若，则（    ）° A．80 B．100 C．140 D．160 2．（2024九年级下·广西·专题练习）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 4．（24-25九年级下·北京·期末）如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 培优拔高 6．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 7．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图正方形中，以为圆心，为半径作弧与以为直径的交于点，交于，交于，延长交于，下列结论：； ；； ．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 9．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为 ． 10．（23-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $