专题1.2 锐角三角函数的计算（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦锐角三角函数的计算核心知识点，先系统梳理锐角三角函数定义、30°45°60°角的三角函数值及计算方法，再通过12个题型讲练搭建从基础概念到综合应用的学习支架，覆盖特殊角运算、计算器应用等关键内容。 资料以知识梳理+题型讲练+中考真题+分层练为特色，典例与变式结合培养运算能力和推理意识，难度分层设计兼顾基础夯实与培优拔高，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题1.2 锐角三角函数的计算 （知识荟萃+12个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数 2 知识点梳理02：30°,45°,60°角的三角函数值 2 知识点梳理03：三角函数值的计算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：特殊三角形的三角函数 3 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 3 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 考点4：用计算器求锐角三角函数值 4 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 4 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 5 考点7：已知角度比较三角函数值的大小 5 考点8：根据三角函数值判断锐角的取值范围 5 考点9：利用同角三角函数关系求值 6 考点10：求证同角三角函数关系式 7 考点11：互余两角三角函数的关系 9 考点12：三角函数综合 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 13 知识点梳理01：锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点梳理02：30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 【易错点拨】 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 知识点梳理03：三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 考点1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 【变式训练】（2025·四川乐山·二模）计算：． 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）计算： 【变式训练】（2025·云南楚雄·模拟预测）计算：． 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·四川绵阳·月考）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 考点4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）用计算器计算： ， （精确到． 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【变式训练】（2023·广东茂名·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，E为上一点，若交于G． (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，连接，求扇形的面积． 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（2024·山东烟台·一模）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 考点7：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·山东泰安·期中）最接近下列哪个数值（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式训练】（23-24九年级下·吉林长春·月考）比较大小： ． 考点8：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 考点9：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，二次函数（其中）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点，过点C的直线交x轴于点，交抛物线于另一点E． (1)用b的代数式表示a，则________________； (2)过点A作直线的垂线，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式； (3)如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，．在点P左侧的x轴上取点F，使．过点P作轴，交线段于点Q，延长线段到点G，连接、．若，试判断是否存在m的值，使的面积和的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由． 【变式训练】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B(A左B右)， 交y轴于点C， 对称轴为 (1)求抛物线解析式； (2)P为第一象限抛物线上一点，点D在第四象限抛物线上，且 ，连接，设点P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在(2)的条件下，Q为上方抛物线上一点，且连接，若求点 P 的坐标. 考点10：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·月考）如图：在等腰直角三角形中，，，边长为的正方形的对角线交点与点重合，连接，． (1)求证：≌； (2)当点在内部，且时，设与相交于点，求的长； (3)将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长． 考点11：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽滁州·月考）在中，，则的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 考点12：三角函数综合 【典例精讲】（2025·上海金山·一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 【变式训练】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； (3)点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 1．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 4．（2024·上海·中考真题）如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线交点为E，顶点B，C在直线上，且B为直线l与y轴的交点，轴．已知菱形的面积为12． （1）点A的坐标为 ． （2）连接，点F是x轴正半轴上一点，过点F作的平行线；交反比例函数的图象于点G，则 ． 5．（2024·新疆克拉玛依·中考真题）计算： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 基础夯实 1．（2026九年级下·全国·专题练习）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·三模）下列各式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 5．（24-25九年级下·福建厦门·月考）计算： （1） ； （2） ． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在实数，0，中，无理数的个数是 ． 7．（2025·山东威海·三模）计算：= ． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）计算：． 9．（2025·甘肃武威·二模）计算：． 10．（2024·湖南·模拟预测）计算： 培优拔高 11．（24-25九年级下·内蒙古包头·自主招生）如图，在中，于点M，于点N，P为边的中点，连接，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 12．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为，旋转1周用时．小明从摩天轮的底部（与地面相距）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面以上的空中时间是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·贵州铜仁·自主招生）已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，的直径为6，矩形内接于为上一点，且分别交于点，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级下·宁夏银川·月考）计算： ． 16．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点A的坐标是，反比例函数经过中点C，交于点D，则的面积是 ． 17．（24-25九年级下·山东青岛·月考）计算 ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 19．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中． 20．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 锐角三角函数的计算 （知识荟萃+12个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数 2 知识点梳理02：30°,45°,60°角的三角函数值 2 知识点梳理03：三角函数值的计算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：特殊三角形的三角函数 3 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 4 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 4 考点4：用计算器求锐角三角函数值 5 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 6 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 9 考点7：已知角度比较三角函数值的大小 10 考点8：根据三角函数值判断锐角的取值范围 11 考点9：利用同角三角函数关系求值 11 考点10：求证同角三角函数关系式 18 考点11：互余两角三角函数的关系 23 考点12：三角函数综合 24 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 40 知识点梳理01：锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点梳理02：30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 【易错点拨】 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 知识点梳理03：三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 考点1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【规范解答】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 【变式训练】（2025·四川乐山·二模）计算：． 【答案】3 【思路点拨】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值．利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算即可． 【规范解答】解：原式 考点2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（2025·云南楚雄·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】利用有理数的乘方法则，绝对值及二次根式的性质，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 本题考查含特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ． 考点3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【思路点拨】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【规范解答】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【变式训练】（24-25九年级下·四川绵阳·月考）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【规范解答】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 考点4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了计算器-三角函数，根据按键顺序写出式子即可显示的结果． 【规范解答】 解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）用计算器计算： ， （精确到． 【答案】 0.57 0.81 【思路点拨】利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得．本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能． 【规范解答】解：，， 故答案为：0.57，0.81． 考点5：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【规范解答】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 【变式训练】（2023·广东茂名·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，E为上一点，若交于G． (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，连接，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据平行线的性质以及等腰三角形的性质解答即可； （2）延长交于点F，证明，可得，再证明，可得，结合勾股定理可求出，，从而得到，即可解答； （3）连接，由（2）知，，可得到，进而得到，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 延长交于点F， ∵是的直径， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． 考点6：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（2024·山东烟台·一模）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【规范解答】解：按下键，再按键，再按下即可，A项符合题意 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【规范解答】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 考点7：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·山东泰安·期中）最接近下列哪个数值（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值．先得到，，据此即可估算得到的值． 【规范解答】解：∵，， 观察四个选项，最接近， 故选：C． 【变式训练】（23-24九年级下·吉林长春·月考）比较大小： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【规范解答】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 考点8：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（23-24九年级下·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴可能是． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【思路点拨】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【规范解答】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 考点9：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，二次函数（其中）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点，过点C的直线交x轴于点，交抛物线于另一点E． (1)用b的代数式表示a，则________________； (2)过点A作直线的垂线，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式； (3)如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，．在点P左侧的x轴上取点F，使．过点P作轴，交线段于点Q，延长线段到点G，连接、．若，试判断是否存在m的值，使的面积和的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在m的值，使的面积和的面积相等， 【思路点拨】（1）将代入二次函数（其中），得出，即可得出结果； （2）作 于M，得出对称轴，由C、D的坐标求出直线解析式为：，将代入，，得出，由，求出， 得出，，，由射影定理得：，解得，得出，即可得出二次函数的表达式； （3）过点E作于点Q，由与相交于点E，，求出，由，得出，，由，，， 得出，求出，再由的面积，的面积 ，的面积和的面积相等，得出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数（其中），， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：作 于M，如图1所示： 对称轴， 设直线解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， H在对称轴上，将代入， ∴， ∴， 由，则， ∴，， ∵， ∴， 由射影定理得：， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴ （3）解：存在m的值，使的面积和的面积相等；理由如下： 过点E作于点Q，如图2所示： ∵与相交于点E， ∴， 解得：，或（不合题意舍去），， ∴， ∵， ∴，代入得： ， ∵，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵的面积，的面积 ，的面积和的面积相等，， ∴， 解得：； ∴存在m的值，使的面积和的面积相等，． 【变式训练】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B(A左B右)， 交y轴于点C， 对称轴为 (1)求抛物线解析式； (2)P为第一象限抛物线上一点，点D在第四象限抛物线上，且 ，连接，设点P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在(2)的条件下，Q为上方抛物线上一点，且连接，若求点 P 的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据对称轴公式即可求出b； （2）显然，分别过点P，D作x轴的垂线，垂足为，设，由，得，则，代入得，化简得，则，故，化简求解即可； （3）延长交x轴于点G，过点P作轴于点E，则，则，可求，设直线表达式为：，则，解得：，故直线表达式为：，与抛物线表达式联立得，，求出，则，解得：或（舍），故． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴， ∴解析式为：； （2）解：当时，， 解得：或， ∴， ∴， 分别过点P，D作x轴的垂线，垂足为 由点P的横坐标为m，得， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴S与m的函数关系式为：； （3）解：延长交x轴于点G，过点P作轴于点E， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为：， 与抛物线表达式联立得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴ ∵， ∴， 整理得，， 解得：或（舍）， ∴． 考点10：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【思路点拨】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·月考）如图：在等腰直角三角形中，，，边长为的正方形的对角线交点与点重合，连接，． (1)求证：≌； (2)当点在内部，且时，设与相交于点，求的长； (3)将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质，可证明≌； （2）过点作于点，当时，则，由正方形的边长和的长，可计算出的长，利用和边之间的特殊关系列方程，可求出的长； （3）、、三点在同一直线上又分两种情况，即点在、两点之间或在射线上，需要先证明点、、也在同一条直线上，然后在中用勾股定理列方程即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌； （2）解：过点作于点，如图所示： ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：、、三点在同一直线上，且点在点和点之间，如图所示： ，， ； 由≌，得， ， 点、、在同一条直线上， ， ，且，， ，解得或（不符合题意，舍去）； 当、、三点在同一直线上，且点在的延长线上如图所示： ，，， ≌， ， ， ， 点、、在同一条直线上； ，，， ≌， ； ， ，解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的长为或． 考点11：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽滁州·月考）在中，，则的值为 ． 【答案】0.618/ 【思路点拨】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：0.618． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【规范解答】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    考点12：三角函数综合 【典例精讲】（2025·上海金山·一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)EH或0 【思路点拨】（1）过点A作于点H，可得，，根据勾股定理求出，根据，可以求出； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，①当时，证明 ，进而证明，∴设，则，根据求出，﹒过点F作于点G，求出，，即可求出；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【规范解答】（1）解：如图，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴， 设，则，， 在中，， ∵和是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①如图， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 过点F作于点G， ， ∴﹒ ∵， ∴， 解得； ②如图， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、H重合，C、F重合， ∴﹒ 综上，或﹒ 【变式训练】（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； (3)点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【思路点拨】（1）利用抛物线与轴交点设交点式，代入轴交点坐标求表达式； （2）①通过分割图形（四边形拆为两个三角形），结合三角形面积公式计算；②作平行线构造等腰直角三角形，用坐标表示线段长，结合三角函数求距离最大值； （3）设点坐标，用斜率表示直线倾斜程度，结合三角函数值列方程求解点坐标． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①连接OP， ∵，， ∴，， ∴，， ． ②过点P作轴交AC于E，作于点H， ∵， ∴直线AC的解析式为， 设点P的坐标为，则E的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当时，PH的最大值为． （3）解：设点Q的坐标为， 当在轴的上方时，过作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，（此时为，不符合题意，舍去）， ∴， 当在轴的下方时，同理可得． 综上所述，Q的坐标为或． 1．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】连接，过点Q作于点M，利用直角三角形的边角关系，结论可得． 本题主要考查了圆周角定理及推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，特殊角的三角函数值，解直角三角形，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理及推论．过点Q作于点M，利用解直角三角形的知识求得结论是解题的关键． 【规范解答】解：连接，如图， ∵， ∴． ∴为的直径， ∴． ∵点P为中点，点Q为中点， ∴是的中位线，是的中位线． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 过点Q作于点M，则为等腰直角三角形， ∴． 在中， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2024·广东深圳·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是理解题意． 根据新定义下的运算，列出算式求解进行判断即可． 【规范解答】解：A.∵， ∴该选项两个向量互相垂直； B. ， ∴该选项两个向量互相垂直； C. ， ∴该选项两个向量互相垂直； D. ∵， ∴该选项两个向量不是互相垂直； 故选：D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，线段之和最小问题，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． 点是点关于的对称点，连接，交于点，此时，值最小，即为的值，过点作，交于点，先求出，确定为等边三角形，再判定为等腰三角形，最后利用锐角三角函数求出，利用三线合一即可求解． 【规范解答】解：如图所示，点是点关于的对称点，连接，交于点， 此时，值最小，即为的值，过点作，交于点， 在矩形中，， ∴， ∴， 根据轴对称的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴为等腰三角形，又， ∴， ∴， 根据三线合一得，， 故答案为：6． 4．（2024·上海·中考真题）如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线交点为E，顶点B，C在直线上，且B为直线l与y轴的交点，轴．已知菱形的面积为12． （1）点A的坐标为 ． （2）连接，点F是x轴正半轴上一点，过点F作的平行线；交反比例函数的图象于点G，则 ． 【答案】 20 【思路点拨】本题考查一次函数、菱形性质、反比例函数及等腰直角三角形的综合应用，解题关键是利用菱形性质、三角函数设参求点坐标，结合反比例函数与几何性质推导结论 ． （1）根据一次函数求出与坐标轴交点、的坐标，进而得到、的长度，利用三角函数求出，再结合菱形性质（，，， ）以及轴，推出，得到的值．设，，根据菱形面积公式列出关于的方程，求解得到的值，从而确定、的长度．由四边形是矩形得出，进而求出的长度，结合轴确定点的坐标． （2）由（1）得出的点、的坐标，确定为等腰直角三角形，得到 ．因为，推出，结合轴，可知是等腰直角三角形，即 ．根据点在反比例函数上求出反比例函数表达式，设出点的坐标，进而表示出、、、的长度．分别计算和，再求它们的差值． 【规范解答】设直线与轴交于点，与轴交于点，如图1所示：   对于，当时，，当时，，   点的坐标为，点的坐标为，   ，，   在中，，   四边形是菱形，   ，，，，   ，，   轴，   轴，   ，   ，   ，   在中，，   设，，其中，   ，，   菱形的面积为12，   ，   ，   ，   ，（不合题意，舍去），   ，，   轴，轴，   ，   四边形是矩形，   ，   ，   点的坐标为，   故答案为：；   （2）过点作轴于点，如图2所示：   由（1）可知：点，，，   点的坐标为，   ，   是等腰直角三角形，   ，   ，   ，   轴于点，   是等腰直角三角形，   ，   点在反比例函数的图象上，   ，   反比例函数的表达式为：，   点在反比例函数的图象上，   设点的坐标为，   ，，   ，   ，   ，   在中，由勾股定理得：，   ．   故答案为：20． 5．（2024·新疆克拉玛依·中考真题）计算： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查实数的运算和分式的化简求值．解题关键在于掌握绝对值、零指数幂、三角函数、负整数指数幂的运算规则，以及分式的通分、约分和代入求值的方法． （1）根据化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的混合运算化简，再将字母的值代入，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式 基础夯实 1．（2026九年级下·全国·专题练习）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【规范解答】解：∵，且为三角形内角， ∴． 故选：A． 2．（2025·江苏泰州·三模）下列各式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，有理数的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，有理数的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：． 故选：B． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是实数的混合运算，包括根式的化简、三角函数的计算、以及负整数指数幂的处理，关键在于正确化简根式和处理指数运算． 首先化简根式，再代入三角函数值，处理负整数指数幂，最后合并结果． 【规范解答】解：， ， ， ， 故答案为：6． 5．（24-25九年级下·福建厦门·月考）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 1 【思路点拨】本题考查了特殊三角函数的值，解题关键是熟记特殊三角函数的值． 利用特殊三角函数的值求解． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：1； （2）， 故答案为：． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在实数，0，中，无理数的个数是 ． 【答案】2个 【思路点拨】本题考查无理数，特殊锐角三角函数值，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【规范解答】解：，0是整数，是分数，是有限小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它们是无理数，共2个， 故答案为：2个． 7．（2025·山东威海·三模）计算：= ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，特殊角的三角形值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简二次根式，负整数指数幂，乘方，以及化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【规范解答】解： ． 9．（2025·甘肃武威·二模）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 10．（2024·湖南·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【规范解答】解： ． 培优拔高 11．（24-25九年级下·内蒙古包头·自主招生）如图，在中，于点M，于点N，P为边的中点，连接，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【思路点拨】根据直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，可判断①正确；根据的三角函数，相似三角形的性质和判定，可判断②正确；根据的三角函数，可判断④正确；由③的条件可判断为等边三角形，若为等边三角形，则，则可证此时，因为于点M，P为边的中点，则，则此时也为等边三角形，则，但不一定为，则③错误． 【规范解答】解：①：，且， ∴ 则， 同理， 故，， ∴∽， ∴， 即， 则①正确； ②，且， ， 则， 同理， 故，， ∴∽， ， 即， 则②正确； ③∵于点N，P为BC边的中点， ∴， ∵， 则为等边三角形， ∴， 若为等边三角形， 则， 则， ∵于点M，P为边的中点， ， 则为等边三角形， 则， 但不一定为， 则③错误； ④∵于点N，P为BC边的中点， ， ， 则， ∵P为BC边的中点， ， 则④正确； 故选：C． 12．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为，旋转1周用时．小明从摩天轮的底部（与地面相距）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面以上的空中时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查垂径定理，解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 设小明在点和点时距离地面，利用三角函数求出的角度即可求出时间． 【规范解答】解：如图，设小明在点和点时距离地面，延长交于， 即，小明在上时即为所求， 由题知，，，， ， ， ， ， 摩天轮旋转1周用时， 小明在离地面以上的空中时间是． 故选：A． 13．（24-25九年级下·贵州铜仁·自主招生）已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【规范解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，的直径为6，矩形内接于为上一点，且分别交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，理解圆周角定理，矩形的性质，熟练掌握垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形是解决问题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据矩形性质及圆周角定理得是直径，，解得，进而得，，证明和相似得，继而得，根据得当为最大时，为最小，而对于 ，当为最大时，为最大，由此得当为最大时，为最小，再根据得当为最大时，为最大，因此当为最大时，点共线，此时点为弧的中点，经过圆心，根据垂径定理得是线段的垂直平分线，则 ，故为等边三角形，由此得到，解得 ，同理得，则，据此即可得出的最小值． 【规范解答】解：过点作于点，交于点，连接，如图所示： ∵矩形内接于， ， ∴是直径， 又∵， 根据平行线间的距离处处相等得： ， ， ∴由圆周角定理得：， 在中，， ，， ，， ， ， 即， ， ， ∴当为最大时，为最小，对于，当为最大时，为最大， ∴当为最大时，为最小， 又∵， ∴当为最大时，为最大， ∴当为最大时，点共线，如图所示： 此时点为弧的中点，经过圆心， 根据垂径定理得：， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 在中，， 同理：， ， 即的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·宁夏银川·月考）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，先计算负整数指数幂与零指数幂及化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点A的坐标是，反比例函数经过中点C，交于点D，则的面积是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了反比例函数解析式，勾股定理，三角函数的应用，解方程组，熟练掌握定理，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键．过点A作轴于点G，过点B作轴于点F，确定设直线的解析式为，得到直线的解析式为，由，得，，过点C作于点E，得，根据三角形面积公式，得的面积是． 【规范解答】解：一个含角的直角三角板的顶点A的坐标是，反比例函数经过中点C，交于点D， ∴，，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为， 过点A作轴于点G，过点B作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， 解得， ∴， ∴， 过点C作于点E， ∴ ∴的面积是， 故答案为：1． 17．（24-25九年级下·山东青岛·月考）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【规范解答】解：， 故答案为： 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当 时，原式 ． 19．（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘方，特殊角的三角函数值，去绝对值，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行计算，再代值计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 当时，原式． 20．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【思路点拨】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【规范解答】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $