专题2.3 三角形的内切圆（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦三角形内切圆核心知识点，系统梳理其定义、内心性质及与外心的区别，通过5个考点（内切圆与外接圆综合、直角三角形周长面积与半径关系、圆外切四边形模型、内心应用、一般三角形关系）搭建从基础到综合的学习支架，衔接圆的性质与三角形几何知识体系。 资料以分层设计和真题实践为特色，通过典例精讲与变式训练培养几何直观和推理能力，如圆外切四边形性质推导；难度分层练覆盖基础夯实与培优拔高，中考真题演练强化模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

专题2.3 三角形的内切圆 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：三角形内切圆与外接圆综合 2 考点2：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 4 考点3：圆外切四边形模型 5 考点4：三角形内心有关应用 6 考点5：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、 三角形外心、内心的区别： 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点。 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点。 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等，即 。 内心到三角形三条边的距离相等，即 。内心与顶点连线平分三角形的内角。 位置 外心不一定在三角形的内部。 内心一定在三角形的内部。 角度关系 。 。 考点1：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级下·宁夏银川·月考）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 【变式训练2】（2025·广东广州·三模）已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积． 考点2：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【变式训练1】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 考点3：圆外切四边形模型 【典例精讲】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 考点4：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）小明所在的剪纸兴趣小组想在如图所示的三角形纸片中裁剪出一个最大的圆．请帮他们完成图纸设计．请用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹 【变式训练1】（2024九年级下·江西赣州·专题练习）如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 考点5：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【变式训练1】（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 1．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 2．（2024·河北秦皇岛·中考真题）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，内接于，是的内心，的延长线交于点，连接、，若是的直径，，则的值为 ． 4．（2024·福建泉州·中考真题）如图，在中，，，点为边上的一动点，以点为直角顶点向外作等腰直角三角形，点为的内心，当最短时，的面积为 ． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）我们把圆心在三角形的一边上，且与其他两边都相切的圆叫做这个三角形的“边切圆”，其圆心叫做这个三角形该边上的“边心”，如图1，圆心是的边上的“边心”． (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）． ①任何一个三角形都有三个“边切圆”；_____ ②“边心”一定在三角形边的垂直平分线上；_____ ③若三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形．_____ (2)如图2，中，，点在边上，且，以为圆心，为半径画圆，求证：是的“边切圆”； (3)如图3，是的边上的“边心”，与，边的切点为与交于点恰好是的内切圆圆心． ①求证：； ②令的半径为，的内切圆半径为，试用含，的式子表示的值． 基础夯实 1．（23-24九年级下·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 2．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 4．（24-25九年级上·江西新余·月考）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 5．（24-25九年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则 ． 6．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 7．（24-25九年级下·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 8．（24-25九年级下·福建莆田·月考）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 培优拔高 11．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2024九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 13．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，为锐角三角形，I为内心，O为外心，若，，则 15．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，是矩形的对角线，⊙是的内切圆，过点作于点于点．若矩形的面积为3，则矩形的面积为 ． 16．（2023·青海西宁·模拟预测）边长为的等边的内切圆的半径为 ． 17．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 18．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 19．（2025·湖南长沙·二模）如图1，中，，于点，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，连接，并延长交于点，连接，， (1)求证：； (2)①求证：；②若，，求的值； (3)如图2，连接线段，，与边相切于点，与边相切于点， ①若，，求线段和的长； ②猜想线段与的数量关系，并证明． 20．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，已知是半圆的直径，为半圆上一个动点（不与重合），点A是的中点，连接，交于点，过点作，交于点，的延长线交的垂线于点． (1)求证：； (2)连接，若，设，，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①若，求内心和外心之间的距离； ②求内心和外心距离的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 三角形的内切圆 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：三角形内切圆与外接圆综合 2 考点2：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 8 考点3：圆外切四边形模型 12 考点4：三角形内心有关应用 15 考点5：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 18 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 38 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、 三角形外心、内心的区别： 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点。 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点。 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等，即 。 内心到三角形三条边的距离相等，即 。内心与顶点连线平分三角形的内角。 位置 外心不一定在三角形的内部。 内心一定在三角形的内部。 角度关系 。 。 考点1：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级下·宁夏银川·月考）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，结合的周长等于，得出的半径，再证明是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵的周长等于， ∴的半径， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点O作， ∴， 则， ∴正六边形的内切圆的半径为， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【思路点拨】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线，相似三角形的性质与判定； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E． 【规范解答】（1）解：如图①，即为所求； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②如图⑤或图⑥，即为所求． 思路：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作； 思路：作的角平分线，作点关于的对称点，的延长线交于点；作，在上截取，以为直径作，过点作，交于点，可得；在上截取，可知；过点作，交于点，以为圆心，为半径作． 【变式训练2】（2025·广东广州·三模）已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②2或3或 【思路点拨】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法求得的解析式为，进而可得：，即是等腰直角三角形，则外接圆半径，再利用面积法求得内切圆半径为，即可求得答案；②分三种情况：当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，分别求得的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设的解析式为， ∵B的坐标为，C的坐标为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆半径， ∵内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴， 当点F在的平分线上时，如图，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F在的平分线上时，如图， ∵， ∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合， ∴； 当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H， 设，则， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 解得： ， ∴， ∴； 综上，的面积为2或3或． 考点2：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【思路点拨】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【规范解答】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 【变式训练1】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理可得的长，设与的切点分别为D，E，F，连接，则，设的半径为r，可证明四边形是正方形，可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到，，从而得到，然后根据扇形面积公式解答即可． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， 如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，则， 设的半径为r， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)内切圆的半径为． 【思路点拨】（1）利用角平分线的定义求得，，根据平角的定义得到，求得，据此可证明四边形是矩形； （2）找到内切圆与的切点，连接，利用等积法，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，据此计算，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵分别是与的平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，设的内切圆半径为，， 圆O为的内切圆，切点分别为G、E、F，连接，连接， 则，，． ∴， ∵，即， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴的面积为， ∴，， 即，， ∴（负值已舍），， ∴内切圆的半径为． 考点3：圆外切四边形模型 【典例精讲】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查几何综合，涉及矩形、菱形、圆、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，解题关键是构造合适的辅助线． 解法一：连结，它们与交点，则，；延长交于点，设，则；在中，，可求出，进而可求出． 解法二：连结交点，连结，由菱形可得，由菱形的内切圆可得，由原矩形可得，则，，设，则，，解得． 【规范解答】解法一：连结，它们与交点，则，． 延长交于点， 设， ，， ． 矩形纸片， ． 在中，， ， 解得． ， ． ， 解得． 解法二：连结交点，连结， 四边形是菱形， 于点． 是菱形的内切圆， 于点． 原四边形是矩形， 于点． ，， ． ， ． 矩形纸片， ． 设，则． ，解得． ． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【规范解答】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A. 【变式训练2】（2024·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【规范解答】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 考点4：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）小明所在的剪纸兴趣小组想在如图所示的三角形纸片中裁剪出一个最大的圆．请帮他们完成图纸设计．请用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查作角平分线，垂线，三角形的内切圆等知识，解题的关键是理解三角形的内切圆的圆心是三角形角平分线的交点．作的角平分线，作的角平分线，交于点，过点作于点，以为圆心，为半径作即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 【变式训练1】（2024九年级下·江西赣州·专题练习）如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了三角形的内心，外心，重心的定义，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．设H为的垂心，显然、、交于点H，证明A、D、B、E和B、E、C、F分别四点共圆，得出，，证明A、D、F、C四点共圆，得出，说明平分，同理得：平分，即可得出答案． 【规范解答】解：设H为的垂心，显然、、交于点H，如图所示： 根据题意可得：， ∴A、D、B、E和B、E、C、F分别四点共圆， ∴，， ∵， ∴A、D、F、C四点共圆， ∴， ∴， ∴平分， 同理得：平分， ∴点B为的内心． 故选：C． 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 中，为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 考点5：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【规范解答】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 【变式训练1】（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【规范解答】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 【变式训练2】（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【思路点拨】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【规范解答】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 1．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】过点I作于E，于E，连接、、，根据勾股定理求出，，根据内心性质得出，根据，得出，即可得出答案． 【规范解答】解：过点I作于E，于E，连接、、，如图所示： 在中，∵，，， ∴， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 2．（2024·河北秦皇岛·中考真题）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查正多边形的性质，圆的内心和外心，直角三角形的性质等知识，连接交于点，连接，根据正六边形的性质得，，从而得出，根据对称性得出，是等边三角形，得出，设的内切圆的半径为，根据列式求出，再根据求解即可． 【规范解答】解：连接交于点，连接，设与交于点，如图， ∴点为正六边形的中心， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵正六边形是轴对称图形， ∴ ∴， ∴，, ∵点为的外心，点在上， ∴， 根据对称性得出是等边三角形，， ∴，， ∴， 设的内切圆的半径为， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，内接于，是的内心，的延长线交于点，连接、，若是的直径，，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据条件证得，可得，由是的直径，得到，由于，于是求得，设，根据勾股定理即可得到 ，根据三角函数即可得出答案． 【规范解答】解：连接， 点是的内心， ，， ， ， ， ，， ， ， 设 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·福建泉州·中考真题）如图，在中，，，点为边上的一动点，以点为直角顶点向外作等腰直角三角形，点为的内心，当最短时，的面积为 ． 【答案】/0.125 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心，解直角三角形的应用，分母有理化等知识，确定点的运动轨迹，构造直角三角形解题是关键．根据三角形内心的定义得到点在与边夹角为的射线上运动，当时，最短，作的垂直平分线交于点，连接并延长交于点，证明是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理求出，进而得出，再根据，即可得到答案． 【规范解答】解：是等腰直角三角形， ， 点为的内心， 平分， ， 点在与边夹角为的射线上运动， 当时，最短， 在中，，， ， ， 如图，作的垂直平分线交于点，连接并延长交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设，则， ， 在中，，， ，， 解得：，即 点为的内心， 平分， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）我们把圆心在三角形的一边上，且与其他两边都相切的圆叫做这个三角形的“边切圆”，其圆心叫做这个三角形该边上的“边心”，如图1，圆心是的边上的“边心”． (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）． ①任何一个三角形都有三个“边切圆”；_____ ②“边心”一定在三角形边的垂直平分线上；_____ ③若三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形．_____ (2)如图2，中，，点在边上，且，以为圆心，为半径画圆，求证：是的“边切圆”； (3)如图3，是的边上的“边心”，与，边的切点为与交于点恰好是的内切圆圆心． ①求证：； ②令的半径为，的内切圆半径为，试用含，的式子表示的值． 【答案】(1)√；×；√ (2)见解析 (3)①见解析；② 【思路点拨】（1）根据“边切圆”和“边心”的特点判断即可； （2）过点作于点，由切线可得，则，得到，即可得，推出与相切，是的“边切圆”； （3）①连接，，则，，且，得到 ，再由点是的内切圆圆心，得到，再证明； ②先证明，，，得到，过点作于点，则，则，得到，代入解得，结合得到． 【规范解答】（1）解：①任何一个三角形都有三个“边切圆”，分别是三角形三个内角角平分线与对边的交点为“边心”；故答案为：√； ②“边心”一定在三角形内角角平分线上，故答案为：×； ③若三角形的一个“边切圆”的圆心为内角角平分线，三角形外接圆圆心在边上只有直角三角形，且外接圆圆心为斜边中点，当三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形，故答案为：√． 故答案为：√；×；√． （2）证明：如图，过点作于点， ， 且为半径， 与相切， ， ， ， 又， ，即， 又，为半径， 与相切， 是的“边切圆”； （3）①证明：，与相切于点，， ， 连接，， 则，，且， ，垂直平分， ， ， 又点是的内切圆圆心， 平分，平分，平分， ， 又， ； ②解：平分， ， 又， ， 同理可证， ， ， ． 由①可知， ， 过点作于点，则， ， ， ， ， 解得， 又， ， ， ． 基础夯实 1．（23-24九年级下·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 2．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键． 根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可． 【规范解答】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 3．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何基本概念和命题真假的判断，需逐一分析各选项的正确性即可． 【规范解答】解：选项A：点动成线，线动成面，面动成体是几何基本事实，正确． 选项B：正六边形各边长度固定但角度可变，具有不稳定性（如蜂窝结构可压缩），正确． 选项C：密铺要求图形内角能整除．正五边形内角为，，非整数，无法单独密铺，故为假命题． 选项D：等边三角形的内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）重合于重心，正确． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江西新余·月考）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，据此计算即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内心以及三角形内角和定理的应用；设，根据题意得出，，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】解：设， ∵点是的内心， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 【答案】/ 【规范解答】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． 【解答】解：在中， ∵， ，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 【答案】21 【思路点拨】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且， ∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：21． 8．（24-25九年级下·福建莆田·月考）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【思路点拨】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【规范解答】解：（1）如图所示． （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【思路点拨】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【规范解答】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【规范解答】如图，点M即所求： 培优拔高 11．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．（2024九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【思路点拨】这道题主要考查了三角形的内切圆性质、解直角三角形以及等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用． 先根据已知条件判断出的形状，求出，把，看作是一元二次方程的两个根，求出，，再结合三角函数的定义求出的值． 【规范解答】解：由是的中线，，，如图， ∴，， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ， 设内切圆的半径为r，圆心为O， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵在直角中，， ∴， ∴直角三角形内切圆的半径， 依题意得，①，又②， ①式两边平方得，， ，是一元二次方程的两个根， 又因为， 所以，， 故． 故选：C． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【规范解答】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 14．（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，为锐角三角形，I为内心，O为外心，若，，则 【答案】2 【思路点拨】作的外接圆，延长交于点，连接，根据三角形内心的定义及圆周角的性质定理得出相等的角，得出，利用圆的垂径定理得出相等的边和角，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：如图，作的外接圆，延长交于点，连接， ∵点是的内心， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，是矩形的对角线，⊙是的内切圆，过点作于点于点．若矩形的面积为3，则矩形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理、内切圆的性质、内切圆半径的求法、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，圆的半径为，过点作三边的垂线，分别交于、、点，根据面积法表示出圆的半径，再计算矩形的面积即可． 【规范解答】解：设，，则， 设圆的半径为， 如图，过点作三边的垂线，分别交于、、点，则有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵矩形的面积为3，即， ∴． 故答案为： ． 16．（2023·青海西宁·模拟预测）边长为的等边的内切圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、内心的性质，掌握相关知识解题的关键．等边的内切圆圆心是等边角平分线的交点，进而即可求解． 【规范解答】解：如图，等边的内切圆的圆心是等边角平分线的交点， 根据等边三角形的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴， ∴等边的内切圆的半径为4． 故答案为： 4． 17．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内切圆与内心，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，，得四边形为正方形，设正方形的边长为r，然后利用含30度角的直角三角形和切线长定理可以求出，再利用扇形面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：如图，设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，， 可得四边形为正方形， 设正方形的边长为r， 在中，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 由翻折可知：， ∴，与圆周围成的阴影部分的面积为． 故答案为：． 18．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)120 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得到，，再利用三角形的内角和定理解答即可； （2）设与交于点，利用（1）的方法得到，利用圆周角定理，角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可得出，则可得结论； （3）连接，利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，圆周角定理和等式的性质得到，则，利用垂径定理可得，则；利用相似三角形的判定与性质求得．则；利用相似三角形的判定与性质得到，则可求结论． 【规范解答】（1）解：是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故答案为：120； （2）证明：设与交于点，如图，   是的内心， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ． ，， ， ， ； （3）解：连接，如图，   是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． ，， ， ， ． ， 关于的函数解析式为． 19．（2025·湖南长沙·二模）如图1，中，，于点，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，连接，并延长交于点，连接，， (1)求证：； (2)①求证：；②若，，求的值； (3)如图2，连接线段，，与边相切于点，与边相切于点， ①若，，求线段和的长； ②猜想线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)①；；②证明见解析 【思路点拨】（1）证明即可得出结论； （2）①由内心性质可知、分别为和的角平分线，又，故，即证明． ②证明，则可设由直角三角形内切圆公式得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）①作于点，故四边形为矩形，，根据，，可得，，，，，由直角三角形内切圆公式可得，，，，在中，由勾股定理可得．作于点，由题意知为的内心，，，可得，，从而可得； ②由内心性质可知，即．同理，，．延长交于点，证明，同理可知，则，只证明，即可得本题结论． 【规范解答】（1）证明：，，则， ，， ． ， ，即； （2）①证明：由内心性质可知、分别为和的角平分线， 且， ， 即． ②解：由（）知，， ， 设 ， （3）①解：如图2所示，作于点， 由切线性质可知， 故四边形为矩形，． ，， ，，，，， ， ， 在由勾股定理可得． 作于点，由题意知为的内心， ， ， ②证明：，理由如下： 由内心性质可知， 即． 同理，， ． 延长交于点，如图3所示， ， ， 同理可知，则， 在和中， ， ， ． 20．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，已知是半圆的直径，为半圆上一个动点（不与重合），点A是的中点，连接，交于点，过点作，交于点，的延长线交的垂线于点． (1)求证：； (2)连接，若，设，，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①若，求内心和外心之间的距离； ②求内心和外心距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)①；② 【思路点拨】（1）由垂径定理可得，根据已知条件证得即可得证； （2）根据已知条件可得，则，将式子整理即可求解； （3）①设，，根据勾股定理可得，根据已知证得，则有，解出，设的内心为I，外心为O，过O作，连接 ，利用内心半径公式可得内切圆半径为2，设到的距离为，到的距离为，对应减去内切圆半径利用勾股定理即可求解； ②设，，则,内切圆半径，设O到的距离为，O到的距离为，与①同理可得，由此有，根据直角三角形中，斜边固定时，两直角边相等时和最大，则时直角边最大，再根据三角形两边之和大于第三边，则，即可求解出内心和外心距离的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵点A是的中点，是半径， 根据垂径定理可知：，即， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）是半圆的直径， ， ，， ， 则，即， ，设，， ，； （3）①在中，，设，， ， ，， ， 又，， ， ， ，即， 又， ，， ，， 设的内心为I，外心为O， 如图，过O作，连接 ， 根据三角形的面积， 则， 解得：， 为中点，， 设到的距离为，到的距离为， ，， ， 则内心和外心之间的距离； ②设，，则,内切圆半径， 外心O为中点，设内心为I， 设O到的距离为，O到的距离为， ， 将代入化简得：， 因为直角三角形中，斜边固定时，两直角边相等时和最大， 则时直角边最大， ， 又因为三角形两边之和大于第三边，则， ， 当时，，， 当时，， 即内心与外心的距离最小值为， 则内心和外心距离的取值范围是． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $