专题1.4 解直角三角形（章节复习）（知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过“知识梳理+技巧点拨”系统构建解直角三角形知识体系，用表格呈现特殊三角函数值，框架图梳理常用关系及应用步骤，涵盖锐角三角函数定义、边角关系及实际应用，突出几何直观与空间观念，明晰重难点内在联系。 讲义亮点在于20个题型讲练（典例+变式）覆盖从基础计算到综合应用，中考真题与分层练习结合，如仰角俯角问题培养模型意识，构造直角三角形求面积锻炼推理能力，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题1.4 解直角三角形（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数 2 知识点梳理02：特殊的三角函数值 2 知识点梳理03：解直角三角形的常用关系 2 知识点梳理04：解直角三角形的应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：求角的正弦值 3 考点2：已知正弦值求边长 4 考点3：求角的余弦值 7 考点4：已知余弦求边长 8 考点5：求角的正切值 9 考点6：已知正切值求边长 14 考点7：特殊三角形的三角函数 16 考点8：特殊角三角函数值的混合运算 17 考点9：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 18 考点10：根据三角函数值判断锐角的取值范围 19 考点11：已知角度比较三角函数值的大小 21 考点12：根据三角函数值判断锐角的取值范围 21 考点13：利用同角三角函数关系求值 22 考点14：互余两角三角函数的关系 25 考点15：三角函数综合 26 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 32 考点17：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 34 考点18：方位角问题(解直角三角形的应用) 36 考点19：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 39 考点20：其他问题(解直角三角形的应用) 42 中考真题 实战演练 45 难度分层 拔尖冲刺 53 基础夯实 53 培优拔高 56 知识点梳理01：锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ ； 余弦： cosA＝＝； 正切： tanA＝＝. 知识点梳理02：特殊的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 知识点梳理03：解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点梳理04：解直角三角形的应用 （1） 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. （3）方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. （4）解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 考点1：求角的正弦值 【典例精讲】（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【规范解答】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【规范解答】解：在中，，， ∴， ∴桥的坡面与地面的夹角的正弦值为， 故选：B． 考点2：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽淮南·月考）已知如图，正方形的边长为4，取边上的中点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，交于点，交于点，则（1） ；（2） ． 【答案】 1 【思路点拨】根据正方形的性质，得，，结合边上的中点，，得到，，利用，根据正弦定义解答即可；延长交于点P，利用三角形全等，三角形相似，勾股定理，直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵边上的中点，， ∴，， ， ∴， ∴ ∴ 解得， 故答案为：； 延长交于点P， ∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质，利用正弦值求边长，勾股定理，利用垂直平分线的性质得出，进一步求出，再利用勾股定理求出，再利用正弦函数建立等式求解即可． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴在中， ， ∴在中， ． 即 ． 考点3：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【规范解答】解：∵，，， ， ． 故选：D． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【规范解答】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴ ， 所以 ． 故答案为：． 考点4：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·月考）如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作于点．已知，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了已知余弦求边长，勾股定理等知识点，熟练掌握余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 由可得，再利用勾股定理得出，于是得解． 【规范解答】解：∵过点作于点，且， ∴在中，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数，根据余弦的定义解答即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 考点5：求角的正切值 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识．证明，利用相似三角形的性质求出，过点B作于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论． 【规范解答】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点B作于点H． ∵， ∴， ∵．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【规范解答】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 考点6：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·浙江绍兴·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质，正方形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得，，， ， ， ， 设，则 ， ， 故选：D． 【变式训练】（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可． 【规范解答】解：正方形的边长为2，为边的中点， ∴，， ∴ 如图，当的对应点落在上时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当落在上时，如图，， ∴， ∴ 设，则， 在中， 在中， ∴ 解得： 即 综上所述，的长为或 故答案为：或． 考点7：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·四川内江·一模）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的化简与求值等知识，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算绝对值、写出特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，再计算减法即可； （2）先将原式变形为，利用因式分解和分式的乘法法则，进一步化简式子，再把代入化简后的式子，求值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·月考）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【思路点拨】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可． 【规范解答】（1） ， ， ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 考点8：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（24-25九年级下·四川巴中·月考）（1）解方程：     （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值计算。第（1）问的关键是利用平方差公式进行因式分解求解；第（2）问的关键是掌握特殊角的三角函数值并遵循正确的运算顺序； （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ， ，即， ， 解得：； （2） 【变式训练】（2025·云南丽江·一模）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了实数混合运算的能力，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算． 先计算负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数、绝对值，最后计算加减． 【规范解答】解：， ， ． 考点9：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北咸宁·月考）在△ABC中，(2cosA－)2＋|－tanB|＝0，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【思路点拨】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的度数，根据直角三角形的判定，可得答案． 【规范解答】解：由， 得，． 则，， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 则△ABC一定是锐角三角形， 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 【答案】锐角三角形 【思路点拨】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案． 【规范解答】∵， ∴cos2A-=0，tan-=0， ∴cosA=（负值舍去），tanB=， ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形 考点10：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是 ． 【答案】30 【思路点拨】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【规范解答】解：连接，则：， ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【变式训练】（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是利用来求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 若，则， ， 则阴影部分的面积为：， 故答案为：． 考点11：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【思路点拨】根据锐角三角函数的性质解答 ．　 【规范解答】解：根据锐角三角函数的性质可得： cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1， ∴cos48°<sin48°<1<tan48°， ∴β<α<γ， 故答案为β<α<γ．　 【变式训练】（24-25九年级下·江苏常州·月考）比较大小：sin40° cos50°（填“ ＞ ”、“ ＜ ”或“ ＝ ”） 【答案】＝ 【思路点拨】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【规范解答】解：∵cos50°=sin（90°-50°）=sin40°， ∴sin40°=cos50°． 故答案为：=． 考点12：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 【答案】C 【思路点拨】首先明确cos60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析． 【规范解答】解：∵cos60°=0.5，余弦函数随角增大而减小， ∵∠A为锐角， ∴∠A>60°． 故选：C． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 【答案】0°＜α＜45°． 【思路点拨】根据锐角三角函数的增减性即可求解． 【规范解答】解：由sinα＜cosα，得 0°＜α＜45°， 故答案为：0°＜α＜45°． 考点13：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ． （2）的长为 ． 【答案】 100 7.9 【思路点拨】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为．，则，进而得出{，勾股定理得出，即可求解； （2）设交于点，证明，利用同角的三角函数性质求出，，，即可求解． 【规范解答】解：（1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为． 正方形的面积为196，正方形的面积为4， ． ，， ． 解得：． ． 正方形的面积为：． 故答案为100； （2）设交于点． 由题意得：，， ． ． ． 四边形是正方形， ． ． 由题意得：，． ． 同理． ． 由题意得：，，． ． ． 故答案为：7.9． 【变式训练】（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)① ② 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得到直角和题干的，利用等角的余角相等，再由，即可证明； （2）①先利用勾股定理求出，再由等角的三角函数相等， ，求出，继而求出即可． ②先求的面积，再由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①∵正方形的边长为2，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ；     ②在中， ， ． 考点14：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·山东泰安·期中）在Rt中，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【规范解答】解：在中，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】（1）先求证，得到，再根据，即可求证； （2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ （2）在，， 由锐角三角函数关系可得：，即 由（1）得， ∴ 考点15：三角函数综合 【典例精讲】（2025·江苏无锡·一模）四边形，是完全相同的两个矩形，按照如图1所示，放置在平面直角坐标系中，，将矩形绕着点O顺时针旋转． (1)如图2，当与相交于点G，若时，求的度数； (2)当点D恰好落在上时，与y轴交于点K，求的值； (3)当所在的直线恰好经过的中点M，连接，，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据题意，得，，于是得到，过点O作于点G，得到，于是，得到，即得到； （2）证明，得到，故，解得，故． （3）当直线经过点M时，设与x轴的交点为N，则，过点F作于点Q，过点D作于点P，则，，计算一次面积；当点M在线段上时，延长与x轴的交点为T，则，过点F作于点W，过点A作于点R，再证明，得，于是计算即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ， 根据题意，得，， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． （3）解：如图，当直线经过点M时， ∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ，， 设与x轴的交点为N， 则， ∴， ∵的中点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点F作于点Q，过点D作于点P， ∴，， ∴ ； 如图，当点M在线段上时， ∵四边形，是完全相同的两个矩形， ， ∴，， ，， 延长与x轴的交点为T， 则， ∴， ∵的中点M， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点F作于点W，过点A作于点R， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【变式训练】（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形的边长是6，，点C在x轴上，点B在反比例函数 的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，当反比例函数图象经过菱形一边的中点时，求m的值． 【答案】(1) (2)或或 【思路点拨】（1）过点B作轴于点D，确定，解答即可； （2）过点A作轴于点E，确定四个顶点的坐标，根据题意，菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，则，，，，分类确定中点坐标，解答即可． 【规范解答】（1）解：过点B作轴于点D， ∵菱形的边长是6，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数 的图象上． ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：过点A作轴于点E， ∵菱形的边长是6，， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据题意，菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形， ∴，，，， 双曲线与x轴无交点， 故不经过的中点， 当经过的中点时，此时中点坐标为， 故； 当经过的中点时，此时中点坐标为， 故； 解得； 当经过的中点时，此时中点坐标为， 故； 解得； 综上所述，或或． 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【思路点拨】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【规范解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽淮南·期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？ 【答案】36 【思路点拨】连接，构造直角三角形，用勾股定理即可． 【规范解答】解：如图，连接， 在△， 又∵在△ ∵ ， ∴ ∴△是直角三角形，， ∴ 考点17：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度为米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，应用等角对等边的知识得到线段的长度是解决本题的关键．易得的度数，那么可得线段的长度，进而根据正弦值和线段的长度可得的长度，即为的高度． 【规范解答】解：如图所示，延长交于点，则，， ，， ， ， ， ， ． 答：建筑物的高度为． 考点18：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·月考）已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 【答案】观测站A与货船B之间的距离为海里 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用-方位角的应用，作，垂足为点H．在中，求出，在中，求出，即可得出结果． 【规范解答】解：如图所示，作，垂足为点H． 由题意，得海里． 在中， ∵海里， ∴海里，海里． 在中， ∵， ∴． ∴（海里）． 答：观测站A与货船B之间的距离为海里． 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·月考）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 【答案】(1)B处距离小岛C的距离约为海里； (2)安全，说明见解析 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可； （2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于， 由题意得， ，， 海里， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∵， 即：， 解得， 在中，（海里） ， 答：B处距离小岛C的距离约为海里； （2）解：如图，过点作于， 在中，，， ∴ (海里)， ∵， ∴能安全通过， 答：能安全通过． 考点19：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)坡角________度，________度； (2)求点到地面的距离； (3)求该建筑物的高度． 【答案】(1)30，30 (2)点到地面的距离为5米 (3)该建筑物的高度为15米 【思路点拨】（1）根据坡度为，得到，过点D作于点F，根据三角形的内角和定理得到结论； （2）过点作，交的延长线于点E，根据三角函数的定义得到的长度； （3）根据题意及（1）中的结论，可得，再根据，利用正切值求解三角形，得出，在中，利用正弦值求即可求出的长度． 【规范解答】（1）解：坡度为， ， ， 过点D作于点F， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则（米）， 即点到地面的距离为5米； （3）解：，，． 又，（米）， （米）． 在中，（米）， 即该建筑物的高度为15米． 【变式训练】（2025·河南郑州·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构，小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚D处测得钢支架顶端A的仰角为，沿着斜坡走50米到平台的边沿E测得钢支架顶端A的仰角为，用水盆测量法测得的坡度为．学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出钢支架的高度．（在测量的过程中测量者和工具的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：，，） 【答案】钢支架的高度约为米． 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，过点E作于F，求出，设米，米，由勾股定理得，解方程得到米，米；证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解中，得到米，解，米，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点E作于F， ∵的坡度为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米，米； ∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 设米，则米， 在中，米， 在中，米， ∴， 解得米， 答：钢支架的高度约为米． 考点20：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·广东东莞·开学考试）数学源于生活，用于生活．在东莞市某镇的广场上，小明发现一休憩处．出于好奇，他打算测休憩处顶面最左端的点C（如图）与地面的距离． 测量方式如下：过点C作与地面的垂线，测量点A处的仰角，随后向北走2m到达点B，测量点B处的仰角，其中． 【建构模型】（1）在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，则用边表示． 【实际应用】（2）若，则求点C与地面的距离． 【优化方案】（3）若只测B处的仰角（其中），且，求点C与地面的距离（取整数值）． 【答案】（1）；（2）；（3）点C与地面的距离为 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，解一元二次方程； （1）在中，过点C作于M，设，则，根据勾股定理得到， 整理得，则； （2）设，即，由（1）结论得，解得，再根据求解即可； （3）设，即，根据，得到，再在中，由三角形组成条件得，即可得到，最后求出，根据为正整数求解即可． 【规范解答】解：（1）在中，过点C作于M，设，则， 在和中，， ∴， 整理得， ∴； （2）由（1）结论得， 设，即， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）设，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，由三角形组成条件得， 解得， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵为正整数， ∴点C与地面的距离为． 【变式训练】（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，．连接，过点作于点，过点作分别交，，于点，，，则下列比值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设，，，则，，即可证明，有和，根据平行线的性质得，可得到，即可求得，，，和，再进一步计算即可． 【规范解答】解：设，，， ∵四边形和为正方形 ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，记的交点为， ∵， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，， 在，， 即，， ， ∴，，，都不是定值； 故选：B． 2．（2024·上海·中考真题）已知等边三角形的边长为，其外部有一点，满足，设，，在点运动过程中，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作的外接圆，圆心为点，连接并延长交于点，连接、，由等边三角形的性质得，，所以，，而，可知是的直径，由，得，求得，连接，在上截取，连接，可证明是等边三角形，再证明，则，所以，由，得，即可推出的最大值，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接并延长交于点，连接、， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴连接，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的弦，是的直径， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 3．（2024·青海西宁·中考真题）如图，射线与轴正半轴的夹角为，点是上一点，轴于，将绕点逆时针旋转后，到达的位置，再将沿着轴翻折到达的位置，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为 ．   【答案】 【思路点拨】根据点在上，可以设出点的坐标，从而可以表示出点和点的坐标，然后根据特殊角的三角函数值可以求得点的坐标． 【规范解答】解：设， ∵将沿着轴翻折到达的位置， ∴， ∵将绕点逆时针旋转后，到达的位置， ∴， ∵射线与轴正半轴的夹角为，点是上一点，轴于， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 【答案】2 【思路点拨】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 设，因为四边形是正方形，点E是边的中点，所以，， 由翻折得，，可证明，由勾股定理得， 求得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：由题意可得如图所示： 设， ∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴，，， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．（2024·甘肃武威·中考真题）如图1，中，，D在边上．为等边三角形，连接，F为中点，连． (1)请直接写出的关系，不必说明理由； (2)将图1中的绕点B顺时针旋转，其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)若将图（1）中的绕点B逆时针旋转，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键： （1）延长交于点，证明，推出为顶角为120度的等腰三角形，三线合一结合锐角三角函数，即可得出结论； （2）延长至点，使，连接，先证明，推出，，根据四边形的内角和为360度，结合对顶角相等，等边三角形的性质，推出，进而得到，得到为顶角为120度的等腰三角形，三线合一结合锐角三角函数，即可得出结论； （3）同法（2）即可得出结果． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 延长交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 延长至点，使，连接，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵，即， 又∵，且， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故（1）中结论仍然成立； （3），理由同（2）． 基础夯实 1．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【规范解答】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：C． 3．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，设塔高，利用，表示出，利用，表示出，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，， 设塔高， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：． 4．（24-25九年级下·广西南宁·月考）我市的青秀塔位于青秀山公园内，该塔建于清朝光绪年间，是青秀山的重要标志之一．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则可估算出青秀塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，在中，米，， ∴米， 故答案为：． 5．（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 把各个三角函数值代入，先计算零指数幂、算术平方根及负整数指数幂，再合并即可． 【规范解答】解： ． 培优拔高 6．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形得到答案． 【规范解答】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，是⊙的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点，若，，则⊙的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可解答． 【规范解答】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 的半径为． 故选：B． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连结交于点G，交于点F，则 ． 【答案】 【思路点拨】过点E作于点H，过点A作于点T，可证，可得，再证，可得，设，则，，在中，运用勾股定理可得的长，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解． 【规范解答】解：如图，过点E作于点H，过点A作于点T， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴，CHAC， ∵，即， ∴， ∴， ∴2， ∴， ∴，， ∴设，则， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：． 9．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题涉及准直角三角形的定义、三角函数、相似三角形的性质及判定以及旋转的性质．首先根据准直角三角形的定义和已知条件求出三角形的各个角，再利用三角函数求出边的长度，结合中位线定理得到相关线段的长度，最后根据旋转的性质和勾股定理及相似三角形的性质和判定求出的长度． 【规范解答】解：∵是准直角三角形，是二倍角， ∴， ∵三角形内角和为，即， ∴， 根据新定义：，且， 作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 中，，， 即， 解得（负值已舍）， ， 中，， 将绕点B旋转，点E落在直线上， 设E′为E旋转后的点， 根据旋转的性质，，， 分以下两种情况： ①当E′在上时， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②当E′在延长线上时， 在中，同理可求， ， 同理可证明， ， ， ； 综上所述，或． 故答案为：或． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在锐角中，是最短边． (1)以为直径作，交于E，过O作交于点D（在D劣弧上），连结、、，与相交于点H，与相交于点F． (2)求证：； (3)若，求的值和的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）依据题意画出图形即可； （2）延长交于点G，利用圆周角定理，三角形的中位线定理和线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用三角形的外角的性质解答即可得出结论； （3）利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理和三角形的中位线定理求得，，，再利用相似三角形的判定与性质求得，利用比的性质即可得出结论，最后利用直角三角形的边角关系定理即可求得的值． 【规范解答】（1）解：以为直径作，交于E， 过O作交于D（点D在劣弧上），连结、、，与相交于点H，与相交于点F，如图． （2）证明：延长交于点G，如图， ∵为的直径作， ∴， ∴． ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵为的直径作， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 解直角三角形（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数 2 知识点梳理02：特殊的三角函数值 2 知识点梳理03：解直角三角形的常用关系 2 知识点梳理04：解直角三角形的应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：求角的正弦值 3 考点2：已知正弦值求边长 3 考点3：求角的余弦值 4 考点4：已知余弦求边长 5 考点5：求角的正切值 5 考点6：已知正切值求边长 6 考点7：特殊三角形的三角函数 7 考点8：特殊角三角函数值的混合运算 7 考点9：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 8 考点10：根据三角函数值判断锐角的取值范围 8 考点11：已知角度比较三角函数值的大小 8 考点12：根据三角函数值判断锐角的取值范围 8 考点13：利用同角三角函数关系求值 9 考点14：互余两角三角函数的关系 10 考点15：三角函数综合 10 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11 考点17：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 12 考点18：方位角问题(解直角三角形的应用) 13 考点19：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 14 考点20：其他问题(解直角三角形的应用) 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 19 知识点梳理01：锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ ； 余弦： cosA＝＝； 正切： tanA＝＝. 知识点梳理02：特殊的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 知识点梳理03：解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点梳理04：解直角三角形的应用 （1） 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. （3）方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. （4）解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 考点1：求角的正弦值 【典例精讲】（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 考点2：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽淮南·月考）已知如图，正方形的边长为4，取边上的中点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，交于点，交于点，则（1） ；（2） ． 【变式训练】（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 考点3：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 考点4：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·月考）如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作于点．已知，，则的长为 ． 【变式训练】（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点5：求角的正切值 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ． 【变式训练】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 考点6：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·浙江绍兴·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·山东潍坊·二模）如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ． 考点7：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·四川内江·一模）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·月考）（1）计算：； （2）解不等式组：． 考点8：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（24-25九年级下·四川巴中·月考）（1）解方程：     （2）计算：． 【变式训练】（2025·云南丽江·一模）计算：． 考点9：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北咸宁·月考）在△ABC中，(2cosA－)2＋|－tanB|＝0，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【变式训练】（24-25九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 考点10：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是 ． 【变式训练】（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 考点11：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏常州·月考）比较大小：sin40° cos50°（填“ ＞ ”、“ ＜ ”或“ ＝ ”） 考点12：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 考点13：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ． （2）的长为 ． 【变式训练】（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 考点14：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·山东泰安·期中）在Rt中，，，则 ． 【变式训练】（24-25九年级下·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 考点15：三角函数综合 【典例精讲】（2025·江苏无锡·一模）四边形，是完全相同的两个矩形，按照如图1所示，放置在平面直角坐标系中，，将矩形绕着点O顺时针旋转． (1)如图2，当与相交于点G，若时，求的度数； (2)当点D恰好落在上时，与y轴交于点K，求的值； (3)当所在的直线恰好经过的中点M，连接，，，请直接写出的面积． 【变式训练】（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形的边长是6，，点C在x轴上，点B在反比例函数 的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，当反比例函数图象经过菱形一边的中点时，求m的值． 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【变式训练】（24-25九年级下·安徽淮南·期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？ 考点17：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 考点18：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·月考）已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 【变式训练】（24-25九年级下·山东泰安·月考）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 考点19：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)坡角________度，________度； (2)求点到地面的距离； (3)求该建筑物的高度． 【变式训练】（2025·河南郑州·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构，小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚D处测得钢支架顶端A的仰角为，沿着斜坡走50米到平台的边沿E测得钢支架顶端A的仰角为，用水盆测量法测得的坡度为．学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出钢支架的高度．（在测量的过程中测量者和工具的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：，，） 考点20：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·广东东莞·开学考试）数学源于生活，用于生活．在东莞市某镇的广场上，小明发现一休憩处．出于好奇，他打算测休憩处顶面最左端的点C（如图）与地面的距离． 测量方式如下：过点C作与地面的垂线，测量点A处的仰角，随后向北走2m到达点B，测量点B处的仰角，其中． 【建构模型】（1）在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，则用边表示． 【实际应用】（2）若，则求点C与地面的距离． 【优化方案】（3）若只测B处的仰角（其中），且，求点C与地面的距离（取整数值）． 【变式训练】（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 1．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，．连接，过点作于点，过点作分别交，，于点，，，则下列比值为定值的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·中考真题）已知等边三角形的边长为，其外部有一点，满足，设，，在点运动过程中，的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·中考真题）如图，射线与轴正半轴的夹角为，点是上一点，轴于，将绕点逆时针旋转后，到达的位置，再将沿着轴翻折到达的位置，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为 ．   4．（2024·全国·中考真题）如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 5．（2024·甘肃武威·中考真题）如图1，中，，D在边上．为等边三角形，连接，F为中点，连． (1)请直接写出的关系，不必说明理由； (2)将图1中的绕点B顺时针旋转，其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)若将图（1）中的绕点B逆时针旋转，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由． 基础夯实 1．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，婷婷想测量“青云塔”的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 4．（24-25九年级下·广西南宁·月考）我市的青秀塔位于青秀山公园内，该塔建于清朝光绪年间，是青秀山的重要标志之一．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则可估算出青秀塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，） 5．（2025·湖南·模拟预测）计算：． 培优拔高 6．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，是⊙的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点，若，，则⊙的半径长为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连结交于点G，交于点F，则 ． 9．（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则 ． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在锐角中，是最短边． (1)以为直径作，交于E，过O作交于点D（在D劣弧上），连结、、，与相交于点H，与相交于点F． (2)求证：； (3)若，求的值和的值． 第 1 页 共 12 页 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